Auf dem Schulfest bietet Peter als Spielleiter das Glücksspiel "GlücksPasch" an.

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1 Aufgabe 4 Glückspasch" (16 Punkte) Auf dem Schulfest bietet Peter als Spielleiter das Glücksspiel "GlücksPasch" an. Spielregeln: Einsatz 1. Der Mitspieler würfelt mit 2 Oktaederwürfeln. Fällt ein Pasch, erhält er die erwürfelte Augensumme in Euro als Gewinn. Ansonsten geht er leer aus. a) Geben Sie den Wahrscheinlichkeitsraum (W,P) für den doppelten Würfelwurf an, wenn die beiden Würfel stochastisch unabhängig voneinander geworfen werden. (1 Punkt) b) Beschreiben Sie die folgenden Ereignisse als Teilmengen von W in charakterisierender Form und bestimmen Sie jeweils die zugehörige Wahrscheinlichkeit P(A), P(B) und P(C). (3 Punkte) A: Es fällt ein Pasch. B: Mindestens einer der Würfel zeigt eine 8. C: Die Augensumme ist größer als 12. c) Die Zufallsgröße X bezeichne die Augensumme des doppelten Würfelwurfs mit den Oktaederwürfeln. Bestimmen Sie die Wertemenge von X und geben Sie eine formale Definition von X als Abbildung an. (2 Punkte)

2 d) Drücken Sie Ereignis C aus Teilaufgabe b) mit Hilfe der Zufallsgröße X aus. (1 Punkt) e) Die Zufallsgröße Y bezeichne den Nettogewinn (Gewinn minus Einsatz) eines Mitspielers, der sich auf das GlücksPasch-Spiel von Peter einlässt. Geben Sie den Wertebereich von Y an und stellen Sie tabellarisch die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y dar. (3 Punkte) f) Berechnen Sie den Erwartungswert E(Y) der Zufallsgröße Y. (2 Punkte) g) Wie hoch hätte Peter den Einsatz festsetzen müssen, damit er als Spielleiter im Mittel pro Spiel 25 Cent Gewinn bekäme? (1 Punkt)

3 h) Wie würden Sie an diesem Beispiel das Gesetz der großen Zahl für den Erwartungswert visualisieren und begründen? (3 Punkte) Aufgabe 5 Urnenziehung" (5 Punkte) In einer Urne befinden sich 16 gleich große Kärtchen, auf denen jeweils nur ein Buchstabe aufgedruckt ist. Kärtchen mit den Buchstaben: A E F L T Anzahl der Kärtchen: a) Man darf dreimal hintereinander ein Kärtchen ziehen, ohne es zurück zu legen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man drei gleiche Buchstaben zieht. (2 Punkte) b) Man zieht fünf Karten mit einem Griff. Wie wahrscheinlich ist es, dass man aus den gezogenen Karten das Wort Falle legen kann. (3 Punkte)

4 Aufgabe 6 Multiple-Choice-Test" (17 Punkte) Der Dozent einer Lehrveranstaltung macht Ihnen folgende Klausurangebote für den Erwerb eines Leisungsnachweises: 1. Multiple-Choice-Test mit 10 Fragen (jeweils drei Antwortmöglichkeiten, von denen eine richtig ist), mindestens 50% der Fragen müssen richtig beantwortet sein. 2. Multiple-Choice-Test mit 20 Fragen (jeweils drei Antwortmöglichkeiten, von denen eine richtig ist), mindestens 50% der Fragen müssen richtig beantwortet sein. Sie möchten gerne den Schein erwerben, können aber nicht für die Klausur lernen. a) Unter welchen Voraussetzungen könnte man die Anzahl der richtigen Antworten in den Tests als binomialverteilte Zufallsgröße modellieren? (2 Punkte) b) Modellieren Sie die Anzahl richtiger Antworten als Zufallsgrößen X 1 im 10er-Test und X 2 im 20er-Test mit einer geeigneten Binomialverteilung. i. Berechnen Sie P(X 1 = 5), die Wahrscheinlichkeit, dass Sie den 10er-Test gerade bestehen, wenn Sie nur raten. (1 Punkt) ii. Berechnen Sie P(X 1 5), die Wahrscheinlichkeit, dass Sie den 10er-Test bestehen, wenn Sie nur raten. (2 Punkte)

5 Aufgabe 3 Glücksrad (23 Punkte) Bei einer Benefizveranstaltung wird für die Gäste ein Glücksspiel mit rechts abgebildetem Glücksrad angeboten. Das Glücksrad darf dreimal gedreht werden. a) Beschreiben Sie die Ergebnismenge W des 3-stufigen Zufallsexperiments formal. Bestimmen Sie W. (2 Punkt) b) Beschreiben Sie die folgenden Ereignisse als Teilmengen von W in charakterisierender Schreibweise und bestimmen Sie jeweils die zugehörige Wahrscheinlichkeit P(A), P(B) und P(C). (6 Punkte) A: Die erste gedrehte Zahl ist gleich 2. B: Genau eine der drei gedrehten Zahlen ist eine 2. C: Die Summe der erdrehten Punkte ist 9. Ein Gast darf an diesem Glücksspiel mit einem Einsatz von 10 teilnehmen. Die erdrehten Punkte werden aufsummiert. Erreicht der Spieler eine Endpunkzahl von höchstens 4 Punkten, so gewinnt er 30. Erreicht er eine Endpunkzahl von höchstens 6 Punkten, so gewinnt er 15. Andernfalls geht er leer aus. Die Zufallsgröße X sei der Nettogewinn (Gewinn minus Einsatz). c) Geben Sie die Wertemenge ˆ W X der Zufallsgröße X an. (1 Punkt)

6 d) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X. Begründen Sie Ihre Ergebnisse. (Kontrolle: P(X=20)=1/16) (10 Punkte) e) Bestimmen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße X. (2 Punkte) f) Welche Bedeutung hat der berechnete Erwartungswert. (2 Punkte)

7 Aufgabe 5 Statistische Kennzahlen (15 Punkte) Sei X ein numerisches Merkmal mit den Werten: 13, 4, 9, 1, 6, 2, 1, 7, 5, 4, 3, 17, 20, 6. a) Berechnen Sie das arithmetische Mittel von X. (2 Punkte) b) Berechnen Sie alle benötigten Kennzahlen des Merkmals X, um einen Boxplot nach Tuckey zeichnen zu können. Erläutern Sie Ihren Rechenweg. (10 Punkte) c) Zeichnen Sie den Boxplot nach Tuckey von X in folgendes Diagramm: (3 Punkte) X

8 Aufgabe 1 Aussagen (16 Punkte) Kreuzen Sie an, ob folgende Aussagen richtig oder falsch sind. Für jede richtige Antwort erhalten Sie einen Punkt. Bei einer falschen Antwort wird Ihnen ein Punkt abgezogen. Für nicht bewertete Aussagen erhalten Sie null Punkte. Eine negative Endpunktzahl wird auf null Punkte getilgt. Statistik: richtig falsch Bei einer rechtsschiefen Verteilung ist der Median kleiner als das arithmetische Mittel Der Median der Abweichungen vom Median ist gleich null. Ein Histogramm zeigt die Verteilung eines numerischen Merkmals mit relativen Häufigkeiten. Die Summe der Flächen aller Säulen ist immer gleich 1. Beim Boxplot ist ein Anreiner in der oberen Datenhälfte der kleinste Ausreißer nach oben. Das Intervall (Q1, Q3) enthält genau 50% der Daten. Der Median ist robust gegen Ausreißer. Sei X ein numerisches Merkmal und a,b. Dann gilt: median(a X + b) = a median(x) + b. Das Maximum eines numerischen Datensatzes ist immer größer als das dritte Quartil Q3. Wahrscheinlichkeitsrechnung: richtig falsch Die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments ist die Menge aller möglichen Ergebnisse, die bei dem Zufallsexperiment auftreten können. Bei sehr häufigen Durchführen eines Zufallsexperiments erwartet man, dass sich die Wahrscheinlichkeit mit der ein Ereignis in der Versuchsreihe auftritt, um die relative Häufigkeit dieses Ereignisses einpendelt und sich immer mehr annähert. Beim Münzwurf mit einer ungezinkten Münze ist 10 mal hintereinander Wappen gefallen. Nach dem Gesetz der großen Zahlen ist zu vermuten, dass bei den nächsten 10 Würfen wahrscheinlich häufiger Zahl geworfen wird. In einer Urne liegen zwei gelbe und zwei blaue Kugeln. Zwei Kugeln werden ohne Zurücklegen gezogen. Die Wahrscheinlichkeit zwei gleichfarbige Kugeln zu ziehen beträgt 1/3. Die Augensumme beim Doppelwürfel ist gleichverteilt. In einem großen Krankenhaus, in dem durchschnittlich 80 Kinder pro Woche geboren werden ist die Wahrscheinlichkeit geringer, dass mehr als 60% der geborenen Kinder Jungen sind, als an einem kleinen Krankenhaus mit durchschnittlich 30 Geburten pro Woche. Sei W eine Ergebnismenge und P eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über W. Dann gilt für alle Ereignisse A, B W: P(A B) = P(A) + P(B). Beim sechsfachen Würfelwurf ist das Ergebnis (6,3,4,2,1,3) wahrscheinlicher als (2,2,2,6,6,6).

9 Aufgabe 2 erratene Punkte (22 Punkte) a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit in Aufgabe 1 volle Punktzahl zu erreichen, wenn man nur rät? (2 Punkte) b) Begründen Sie von welchen Annahmen und Regeln Sie bei Ihrer Rechnung in Aufgabenteil a) ausgegangen sind. (3 Punkte) c) Sei X die Zufallsgröße, die die Anzahl der richtig gelösten Aufgaben angibt. Bestimmen Sie die Wertemenge ˆ W X von X und geben Sie eine Formel für die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten an (P(X=k)= ) (2 Punkte) d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit in Aufgabe 1 mindestens 85% richtig zu beantworten, wenn man nur rät? Erläutern Sie Ihren Rechenweg. (6 Punkte)

10 e) Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße X. (2 Punkte) f) Sei Y die Zufallsgröße, die die erreichte Endpunktzahl angibt (1 Punkt = richtig gelöste Teilaufgabe, -1 Punkt = falsch gelöste Teilaufgabe). Hier sind als Endpunktzahl auch negative Punkte zugelassen. Geben Sie die Wertemenge ˆ W Y für Y an. (1 Punkt) g) Geben Sie Y als eine Funktion von X an (Y= ). (2 Punkte) h) Bestimmen Sie den Erwartungswert von Y. (Hinweis: Sie können Ihre Ergebnisse aus den Teilaufgaben e) und g) verwenden.) (2 Punkte) i) Stimmt Ihr rechnerisches Ergebnis von Aufgabenteil h) mit Ihrer Intuition überein? Begründen Sie (2 Punkte)

11 Aufgabe 3 Fernsehbesitzer (14 Punkte) Die Auswertungstabelle gibt die Aussagen über den Besitz eines eigenen Fernsehgerätes der Schülerinnen und Schüler aus dem Muffins- Datensatz wieder. Acht der Befragten haben keine Angabe gemacht. Diese brauchen bei den folgenden Berechnungen nicht berücksichtigt werden. a) Bestimmen Sie mit den Angaben aus obiger Auswertungstabelle die fehlenden sechs Zeilenanteile in nebenstehender Tabelle. Ergänzen Sie die Tabelle mit Ihren berechneten Werten (auf ganze Prozentzahlen gerundet). (6 Punkte) b) Erstellen Sie ein Baumdiagramm, das erst nach TV-Besitz und dann nach Geschlecht kategorisiert. Beschriften Sie das Baumdiagramm vollständig mit den zugehörigen relativen Häufigkeiten (4 Punkte)

12 c) Rechts abgebildete Auswertungstabelle zeigt die Spaltenanteile auf ganze Prozentzahlen gerundet. Betrachten Sie die Werte, die sich auf die männlichen Befragten beziehen. Weisen Sie analog zur Vorlesung nach, dass sich die 44% als gewichtete Mittel aus den 47% und den 36% ergibt. (Sie benötigen zu Begründung die absoluten Häufigkeiten aus der Tabelle von vorhergehender Seite.) (4 Punkte) Aufgabe 5 Mittelwerte und Boxplot (7 Punkte) Sei X ein numerisches Merkmal mit den ungeordneten Werten x1,...,xn. Das arithmetische Mittel sei x. a) Geben Sie eine formale Definition des ersten Quartils Q1 an. (3 Punkte) b) Begründen Sie, dass die Summe der Abweichungen vom arithmetischen Mittel gleich null ist. D. h. zeigen Sie n folgende Gleichung: (x i -x) = 0. (4 Punkte) i=1

13 Aufgabe 6 Würfelwurf (13 Punkte) Wir betrachten die Augensumme beim zweifachen Würfelwurf. Peter behauptet, die Wahrscheinlichkeit eine 6, 7 oder 8 zu werfen sei gleich, nämlich jeweils 3/21, also etwa 14,3%. a) Aufgrund von welchen Modellannahmen könnte Peter zu seiner Berechnung gekommen sein? (3 Punkte) b) Mit welcher Ergebnismenge W und Wahrscheinlichkeitsverteilung P modelliert man üblicherweise den doppelten Würfelwurf? (2 Punkt) c) Bei welchen Bedingungen an das Realexperiment erwarten Sie, dass das Modell gut passt, bei welchen Bedingungen eher weniger? (4 Punkte) d) Die Augensumme des doppelten Würfelwurfs ist eine Zufallsgröße, die wir mit X bezeichnen. Geben Sie eine formale Definition von X als Abbildung an und bestimmen Sie die Wertemenge ˆ W X. (2 Punkte) e) Sei E:= { w W X(w) = 6 }. Berechnen Sie P(E). (2 Punkte)