1. Einführung in die induktive Statistik

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1 Wichtige Begriffe 1. Einführung in die induktive Statistik Grundgesamtheit: Statistische Masse, die zu untersuchen ist, bzw. über die Aussagen getroffen werden soll Stichprobe: Teil einer statistischen Masse, der analysiert wird, um Aussagen über die Grundgesamtheit zu gewinnen. Die Anzahl n der Elemente in der Stichprobe heißt Stichprobenumfang Grundgesamtheit Erwartungswert bzw. Mittelwert µ Stichprobe Varianz σ 2 s 2 Standardabweichung σ s Θ p Anteilswert bei dichotomer Grundgesamtheit Anzahl der Elemente (Umfang) N n Prof. Dr.-Ing. Dipl.-Wirt. Ing. Jörg Niemann Seite 1

2 Aufgabe 1: Bierkonsum 1. Einführung in die induktive Statistik Bei einer Meinungsumfrage unter den Studenten der FH D werden 100 Studenten befragt, wie viel Bier sie täglich trinken. Man erhält folgendes Ergebnis (Bierkonsum auf 0,5 Liter gerundet): Bierkonsum 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3 3,5 4,0 4,5 5,0 Anzahl Berechnen Sie den durchschnittlichen Bierkonsum, Varianz und Standardabweichung der Studenten der Stichprobe Prof. Dr.-Ing. Dipl.-Wirt. Ing. Jörg Niemann Seite 2

3 Fortsetzung Aufgabe 1 1. Einführung in die induktive Statistik Prof. Dr.-Ing. Dipl.-Wirt. Ing. Jörg Niemann Seite 3

4 1. Einführung in die induktive Statistik Interpretation der Ergebnisse von Aufgabe 1 Aussagen: Durchschnittlicher Bierkonsum der Studenten? Der Anteil der Nichttrinker?. Problem bei Stichprobe : Über die nichtbefragten Studenten wird nichts ausgesagt! Theoretisch möglich: Alle anderen > 3 Liter pro Tag etc. -> Befragungsergebnis = Vermutung über den Bierkonsum der übrigen Studenten Prof. Dr.-Ing. Dipl.-Wirt. Ing. Jörg Niemann Seite 4

5 1. Einführung in die induktive Statistik Stichprobentests zur Verwendung als Schätzung Aus dem Test eine Vermutung ableiten Annahme Aufgabe 1 Bierkonsum: Die Studenten sind zufällig ausgewählt worden (wie Lose aus einer Lostrommel), dann kann man vermuten, dass je Student ca. 1,5 Liter/Tag Bier getrunken werden. Stichprobenergebnis dient der Schätzung des durchschn. Bierkonsums aller Studenten. Die Schätzung kann natürlich vom tatsächlichen Wert abweichen Schätzverfahren Schätzung von Parametern (Erwartungswert, Standardabweichung, Anteilswert) Punktschätzungen, d.h. Bestimmung einer Zahl als Schätzwert für den unbekannten Parameter Intervallschätzung, d.h. Bestimmung eines Intervalls, dass den unbekannten Parameter mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit überdeckt. Die Grenzen des Intervalls werden mit Stichprobenwerten berechnet und sind damit Realisationen von Zufallsvariablen Prof. Dr.-Ing. Dipl.-Wirt. Ing. Jörg Niemann Seite 5

6 Aufgabe 2 Bierkonsum 1. Einführung in die induktive Statistik Bestimmung des durchschnittlichen Bierkonsums der Stichprobe (100 befragte Studenten) Verwendung des Mittelwertes als Punktschätzung (muss also nicht genau zutreffen!) Erfassung der Abweichung über Intervallschätzung. Ergebnis: Ein Intervall, in dem der zu schätzende Parameter mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit erwartet wird. Aussagen: Mit einer Sicherheit (Wahrscheinlichkeit) von 95% liegt der unbekannte Parameter (=hier der durchschnittliche Bierkonsum aller Studenten) zwischen den Grenzen a und b. Je höher die Sicherheit sein soll, desto breiter muss das Intervall sein f(x) Intervall 1 (a bis b) Intervall 2 (a* bis b*) a* a µ b b* x Prof. Dr.-Ing. Dipl.-Wirt. Ing. Jörg Niemann Seite 6

7 1. Einführung in die induktive Statistik Stichprobentests als Verwendung für Testverfahren Umgekehrt zu Schätzungen. Eine Vermutung aufstellen und dann per Test überprüfen Anwendung, wo Annahmen bzw. Hypothesen über Parameter oder Verteilungen einer Grundgesamtheit durch eine Stichprobenuntersuchung zu überprüfen sind Beispiel Bierkonsum III Jemand behauptet, jeder Studi der FH D trinkt 5 Liter Bier/Tag (Hypothese) Hypothesentest durch Befragung einer Stichprobe von 100 zufällig ausgewählten Studis Wenn Hypothese stimmt, dann sicherlich nicht arithmetisches Mittel 1,5 Liter bei Stichprobe Fazit: Stichprobenergebnis widerlegt mit sehr großer Wahrscheinlichkeit die Hypothese Prof. Dr.-Ing. Dipl.-Wirt. Ing. Jörg Niemann Seite 7

8 1. Einführung in die induktive Statistik Typische Aufgabenstellungen für Testverfahren Testen, ob ein Würfel ideal ist, d.h. ob bei wiederholtem Werfen alle Zahlen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten. Wirksamkeit von Wirkstoffen, durch Auswertung von Merkmalen in Vergleichsgruppen Prüfung von Warenlieferungen (z.b. Teile für Serien/Massenproduktion) Begleitende Überwachung der laufenden Produktion (Qualitätsmanagement) Automationstechnik (Abfüllung von Flüssigkeiten, Positionierungen etc.) Fertigungstechnik (z.b. Bearbeitungsgenauigkeiten, Toleranzen) Überprüfung der Einhaltung von Güteanforderungen von Bauwerken ( Probenwürfel) Prof. Dr.-Ing. Dipl.-Wirt. Ing. Jörg Niemann Seite 8

9 Wozu Stichprobenverfahren? Stichprobenverfahren übernehmen eine wichtige Aufgabe bei der bei der Untersuchung statistischer Grundgesamtheiten, bei denen eine Vollerhebung aus verschiedenen Gründen nicht möglich ist Rückschlüsse von den Ergebnissen der Stichprobenuntersuchung auf die übergeordnete Gesamtheit sind immer nur mit Wahrscheinlichkeit möglich. Sichere Aussagen sind von trivialen Sonderfällen abgesehen- nicht möglich Stichprobenverfahren machen von den Instrumenten der Wahrscheinlichkeitsrechnung gebrauch Prof. Dr.-Ing. Dipl.-Wirt. Ing. Jörg Niemann Seite 9

10 Voraussetzungen Zufälligkeit und Unabhängigkeit Zufällige Entnahme: Jedes Element der Grundgesamtheit muß die gleiche Chance haben, in die Stichprobe zu gelangen Unabhängige Entnahme: Zwei Ereignisse sind genau dann von unabhängig voneinander, wenn das Eintreten von Ereignis B nicht davon beeinflusst wird, ob das Ereignis A zuvor eingetreten ist. Beispiel: 1. Urne Ziehen mit Zurücklegen -> Stets gleicher Anteil roter und grüner Kugeln in Urne. -> unabhängig 2. Urne ziehen ohne Zurücklegen -> Anteil der Kugeln in der Urne ändert sich nach jedem Zug. Je nach vorherigem Zug ändern sich die Wahrscheinlichkeitsverteilungen für den nächsten Zug. -> abhängig Prof. Dr.-Ing. Dipl.-Wirt. Ing. Jörg Niemann Seite 10

11 Aufgabe 3 Urne Eine Urne enthält 200 rote und 800 grüne Kugeln. Ziehen wir aus dieser Urne zufällig eine Kugel, dann erhalten wir die Wahrscheinlichkeiten für eine rote Kugel: für eine grüne Kugel: Der Anteil von Elementen in einer Grundgesamtheit, die eine bestimmte Eigenschaft haben, wird als relative Häufigkeit, bzw. Wahrscheinlichkeit des Auftretens mit Θ (Theta) bezeichnet. Prof. Dr.-Ing. Dipl.-Wirt. Ing. Jörg Niemann Seite 11

12 Fortsetzung Aufgabe 3 Urne Entnehmen wir aus der Urne eine Stichprobe vom Umfang n=10, dann kann die Anzahl der roten Kugeln in der Stichprobe unterschiedlich sein, nämlich 0,1,2, 10. Wir setzen der Einfachheit halber voraus, dass es sich um Ziehen mit Zurücklegen handelt. Dabei ist beim Ziehen jeder Kugel der Anteil der roten und der grünen Kugeln unverändert (20% zu 80%) Für die Anzahl X der roten Kugeln in der Stichprobe erhält man dann eine Binominalverteilung, und zwar mit den Parametern n=10 und Θ=0,2. Aus einer Tabelle für Binominalverteilung kann dann für die roten Kugeln folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung entnommen werden: P(X=x) x Prof. Dr.-Ing. Dipl.-Wirt. Ing. Jörg Niemann Seite 12

13 Tabelle Binominalverteilung Prof. Dr.-Ing. Dipl.-Wirt. Ing. Jörg Niemann Seite 13

14 Realisation von Zufallsvariablen In dem Beispiel haben wir aus einer endlichen bekannten Grundgesamtheit (200 rot, 800 grün) Stichproben im Umfang von n=10 gezogen. Die Entnahme der Kugeln erfolgte zufällig. Die Stichprobenfunktion der Anzahl der roten Kugeln in der Stichprobe stellt dann eine Zufallsvariable X dar. Sie ist das Ergebnis eines Zufallsexperiments zehnmalige zufällige Entnahme einer Kugel. Findet man jetzt in einer Stichprobe z.b. 3 rote Kugeln, dann spricht man von einer speziellen Realisation der Zufallsvariablen X. -> Die Parameter (Anteilswerte, Mittelwerte, Streuungsmaße etc.) oder Verteilungen, die man aus Stichprobenwerten bestimmen kann, sind Realisationen von Zufallsvariablen Prof. Dr.-Ing. Dipl.-Wirt. Ing. Jörg Niemann Seite 14

15 Testverfahren: Hypothesen testen Annahme Anzahl der roten Kugeln unter den insgesamt 1000 Kugeln in der Urne ist unbekannt Vermutung:20% Überprüfung der Vermutung (Hypothese) durch eine Stichprobe von 10 Kugeln Wenn Hypothese stimmt, dann hat die Zufallsvariable X Anzahl der roten Kugeln in der Stichprobe (bei Ziehen mit zurücklegen ) die Verteilung gemäß Tabelle Binominalverteilung. Als sehr wahrscheinlich 1,2, oder 3 rote Kugeln Sehr unwahrscheinlich 6 oder mehr rote Kugeln Wenn 6 oder mehr rote Kugeln in Stichprobe, dann sehr wahrscheinlich Hypothese falsch Bei 1,2 oder 3 Kugeln wird die Hypothese nicht widerlegt. (das heißt aber noch nicht, daß sie richtig ist!) Entscheidung, wie bei 0, 4 oder 5 roten Kugeln entschieden wird, hängt davon ab, welchen Wahrscheinlichkeit für einen Irrtum man bereit ist einzugehen Prof. Dr.-Ing. Dipl.-Wirt. Ing. Jörg Niemann Seite 15

16 Testverfahren: Hypothesen testen Ziehen ohne Zurücklegen : Wenn sich in der Urne 10 rote Kugeln befinden, sind bei zufälliger Entnahme von 10 Kugeln alle Ergebnisse von 0 bis 10 rote Kugeln denkbar Bei Ziehen mit Zurücklegen reicht theoretisch 1 rote Kugel aus, um bei einer Ziehung von 10 Kugeln ein Stichprobenergebnis von 0 bis 10 roten Kugel zu finden -> Ablehnung/ Nichtablehnung einer Hypothese aufgrund einer Stichprobe führt zu einer Entscheidung, die mit einem Risiko der Fehlentscheidung verbunden ist. Sichere Aussagen sind daher meist nicht möglich Bei Testverfahren muss man das Fehlerrisiko, das man bereit ist zu tragen nennen bzw. vorgeben Prof. Dr.-Ing. Dipl.-Wirt. Ing. Jörg Niemann Seite 16

17 Aufgabe 4: In einer Urne befinden sich 100 Kugeln. Davon sind 40 rot. Durch zufällige Entnahme werden aus der Urne Stichproben im Umfang von n=8 gezogen. Welche Verteilung ergibt sich für die Anzahl der roten Kugeln in der Stichprobe, wenn a) Jede Kugel vor der Entnahme der nächsten wieder zurückgelegt wird? b) Die Kugeln nicht zurückgelegt werden? Prof. Dr.-Ing. Dipl.-Wirt. Ing. Jörg Niemann Seite 17