WS 2014/15. (d) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X. (e) Bestimmen Sie nun den Erwartungswert und die Varianz von X.

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1 Fragenkatalog zur Übung Methoden der empirischen Sozialforschung WS 2014/15 Hier finden Sie die denkbaren Fragen zum ersten Teil der Übung. Das bedeutet, dass Sie zu diesem Teil keine anderen Fragen im Übungsteil der Klausur zu erwarten haben. Natürlich können die Fragen ein wenig anders formuliert sein, nur Teilaufgaben verwendet und etwa auch Zahlen oder Wertebereiche von Zufallsvariablen verändert werden. Aufgabe 1 Sie würfeln mit zwei vierseitigen Würfeln (Pyramiden), die beide jeweils die Ziffern 1, 2, 3 und 4 haben. Die Zufallsvariablen W 1 und W 2 seien die jeweiligen Augenzahlen der Würfel. (a) Bestimmen und zeichnen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Verteilungsfunktion von W 1. (b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von W 1. (c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P (1<W 1 <4). Die Zufallsvariable X sei die Differenz der Augenzahlen von W 1 und W 2. (d) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X. (e) Bestimmen Sie nun den Erwartungswert und die Varianz von X. Sie werfen nun noch eine Münze und die Zufallsvariable M sei null, wenn die Münze Kopf zeigt und eins, wenn die Münze Zahl zeigt. Die Zufallsvariable Z sei die Summe aus W 2 und M. (f) Sind die Zufallsvariablen Z und X stochastisch unabhängig voneinander? Begründen Sie Ihre Antwort in geeigneter Weise. Aufgabe 2 Sie würfeln mit einem sechsseitigen Würfel und werfen eine Münze. Die Zufallsvariablen W sei die Augenzahl des Würfels und die Zufallsvariable M sei 1 wenn die Münze Wappen zeigt und 2 wenn die Münze Zahl zeigt. (a) Berechnen Sie jeweils den Erwartungswert und die Varianz von W und M. Die Zufallsvariable X sei die Summe der Zufallsvariablen W und M, X =W +M. (b) Bestimmen und skizzieren Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Verteilungsfunktion von X. (c) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X. MES FK 14 1

2 Aufgabe 3 Sie werfen mit zwei Münzen. Die Zufallsvariable W 1 sei 1 wenn die erste Münze Wappen zeigt und 2 wenn die erste Münze Zahl zeigt. Die Zufallsvariable W 2 sei 0 wenn die zweite Münze Wappen zeigt und 1 wenn die zweite Münze Zahl zeigt. (a) Berechnen Sie jeweils den Erwartungswert und die Varianz von W 1 und W 2. Die Zufallsvariable X sei die Summe der Zufallsvariablen W 1 und W 2, X =W 1 +W 2. (b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X. (c) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X. Aufgabe 4 Sie werfen mit zwei Münzen. Die Zufallsvariable W 1 sei 2 wenn die erste Münze Wappen zeigt und 3 wenn die erste Münze Zahl zeigt. Die Zufallsvariable W 2 sei 1 wenn die zweite Münze Wappen zeigt und 2 wenn die zweite Münze Zahl zeigt. (a) Berechnen Sie jeweils den Erwartungswert und die Varianz von W 1 und W 2. Die Zufallsvariable X sei die Differenz der Zufallsvariablen W 1 und W 2, X =W 1 W 2. (b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X. (c) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X. Aufgabe 5 Welche der folgenden Funktionen sind Dichtefunktionen der Zufallsvariable X? (a) f x für 0 x 2 (x)={ 0 sonst (b) f (x)={ 3 x2 für 0 x 1 0 sonst (c) f 2x für 0 x 1 (x)={ 0 sonst (d) f 2x für 0 x 2 (x)={ 0 sonst Aufgabe 6 Für welchen Wert von y ist die folgende Funktion eine Dichtefunktion der Zufallsvariable X? f (x)={ x für 0 x y 0 sonst MES FK 14 2

3 Aufgabe 7 Die gemeinsame Dichte zweier unabhängiger Zufallsvariablen, für bestimmte Intervalle für Werte von X und Y, sei f (x, y)=xy, die Dichte von X sei f (x)=x. Bestimmen Sie die Dichtefunktion von Y. Aufgabe 8 Gegeben seien Dichtefunktionen der Zufallsvariable X Bestimmen sie jeweils den Erwartungswert. a) f 2x für 0 x 1 (x)={ 0 sonst b) f (x)={ 3 x2 für 0 x 1 0 sonst Aufgabe 9 Die folgende Tabelle enthält die gemeinsame Verteilung von zwei Zufallsvariablen X und Y. X Y /9 2/9 2 1/9 1/9 1/9 3 2/9 1/9 0 (a) Bestimmen Sie die Randwahrscheinlichkeiten von X und Y. (b) Bestimmen Sie die bedingte Verteilung von X, bedingt auf Y. (c) Entscheiden Sie anhand des Ergebnis von (b), ob die beiden Zufallsvariablen X und Y unabhängig sind. (d) Berechnen Sie die Kovarianz zwischen X und Y. (e) Falls Sie einen Zusammenhang zwischen X und Y vermuten, so beschreiben Sie diesen kurz mit eigenen Worten. Aufgabe 10 (a) Sie erheben eine Zufallsstichprobe vom Umfang n=100 aus einer normalverteilten Grundgesamtheit. Das arithmetische Mittel der Stichprobe sei X =20 und die geschätzte Standardabweichung sei σ=10. Bestimmen Sie ein 95%-Konfidenzintervall für den Mittelwert der Grundgesamtheit. MES FK 14 3

4 (b) Bestimmen Sie nun die Breite des Konfidenzintervalls aus (a). (c) Wie groß muss der Umfang der Stichprobe mindestens sein, wenn die Breite des Konfidenzintervalls höchstens 1.96 betragen soll? Aufgabe 11 Beantworten Sie die folgenden Fragen kurz mit einer ausreichenden Begründung. (a) Die Kovarianz der beiden Zufallsvariablen X und Y sei gleich 0. Sind X und Y stochastisch unabhängig? (b) Erklären Sie sorgfältig und in eigenen Worten was man beim Hypothesentest als Fehler 1. und Fehler 2. Art bezeichnet. (c) Was passiert mit der Breite eines Konfidenzintervalls, wenn man aufgrund einer geschätzten Standardabweichung in einer Stichprobe mit 20 Beobachtungen, dazu gezwungen ist die t- Verteilung statt der Standardnormalverteilung zu verwenden? (d) Warum kann die folgende Funktion keine Verteilungsfunktion der Zufallsvariable X sein? 0 für x<0 F ( x für 0 x 1 x)={ 1 sonst (e) Bestimmen sie allgemein die Breite eines Konfidenzintervalls und erklären Sie sorgfältig, wann das Konfidenzintervall breiter oder schmaler wird, beziehen Sie sich auf Änderungen von der Stichprobengröße und der Irrtumswahrscheinlichkeit (f) Welcher Wert der standardnormalverteilten Zufallsvariable Z wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 Prozent nicht überschritten? (g) Vier Zufallsvariablen haben die Varianzen Var ( X 1 )=Var( X 3 )=16, Var ( X 4 )=25 und Var ( X 2 )=9. Alle Kovarianzen seien Null. Man bilde daraus die neue Zufallsvariable Y =1/2 X 1 +1 /4 X 2 1 /3 X 3 + X 4 Bestimmen Sie die Varianz von Y. (h) Die Zufallsvariable X sei standardnormalverteilt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X genau 0 beträgt. (i) Die Varianz der unabhängigen Zufallsvariablen X i, für i=1,2 sei 10. Bestimmen Sie die Varianz der Schätzfunktion Θ=1/2 X 1 +1/2 X 2. (j) Eine Zufallsvariable X habe die Dichtefunktion MES FK 14 4

5 f (x)={ 2 für 0 x sonst Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X Werte annimmt, die größer sind als 0.2. (k) Ist die Schätzfunktion M =1/2 X 1 +3/4 X 2 erwartungstreu zum Schätzen des Mittelwertes einer Grundgesamtheit mit dem unbekannten Mittelwert μ. (l) Die Varianz der unabhängigen Zufallsvariablen X i, für i=1,2,3 sei σ 2. Bestimmen Sie die Varianz der Schätzfunktion Θ=1/2 X 1 +1/2 X 2 +1/2 X 3. (m)die Zufallsvariable X sei exponentialverteilt mit dem Erwartungswert 1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X Werte annimmt, die größer als 1 sind. (n) Die Zufallsvariable X sei poissonverteilt mit dem Erwartungswert 1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X genau 0 beträgt. (o) Skizzieren Sie die Testverteilungen unter Gültigkeit der Nullhypothese für die drei möglichen Hypothesenpaare beim Einstichproben-Mittelwerttest. Fügen Sie jeweils auch den Ablehnungsbereich in Ihre Skizze ein. (p) Betrachten Sie die Teststatistik für einen Einstichproben-Mittelwerttest. Argumentieren Sie, welche Faktoren das verwerfen des Tests beeinflussen. (q) Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Einstichproben-Mittelwerttest mit einem Signifikanzniveau von 5% die eigentlich richtige Nullhypothese zu Unrecht verwirft? (r) Nehmen Sie an, dass Sie einen Hypothesentest für eine eine Grundgesamtheit durchführen möchten, in der das interessierende Merkmal eine sehr kleine Varianz aufweist. Brauchen Sie hierfür eine besonders große Stichprobe? Begründen Sie die Antwort genau. (s) Nehmen Sie an, dass Sie einen Hypothesentest für eine eine Grundgesamtheit durchführen möchten, in der das interessierende Merkmal eine sehr große Varianz aufweist. Brauchen Sie hierfür eine besonders große Stichprobe? Begründen Sie die Antwort genau. (t) Nehmen Sie an, dass Sie einen Zweistichprobentest durchführen möchten, in der das interessierende Merkmal in beiden Stichproben eine große Varianz aufweist. Brauchen Sie hierfür eine besonders große Stichprobe? Begründen Sie die Antwort genau. (u) Erklären Sie sorgfältig mit eigenen Worten, was genau der Standardfehler eines Schätzers ist. (v) Nehmen Sie an, dass Sie zur Schätzung eines Mittelwerts drei sehr große unabhängige Stichproben gezogen haben. Die Mittelwerte, die Sie geschätzt haben waren deutlich unterschiedlich groß. Was bedeutet das für die Varianz der Grundgesamtheit? (w)nehmen Sie an, dass Sie einen Zweistichprobentest durchführen, mit jeweils 100 Beobachtungen pro Stichprobe. Die geschätzten Varianzen seien 400 und 500. Wie groß ist der Standardfehler der Differenz der Mittelwerte der Stichproben? MES FK 14 5

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