Klausur zu Methoden der Statistik II (mit Kurzlösung) Sommersemester Aufgabe 1

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1 Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie der Otto-Friedrich-Universität Bamberg Prof. Dr. Susanne Rässler Klausur zu Methoden der Statistik II (mit Kurzlösung) Sommersemester 2009 Aufgabe 1 Nach dem von Karl Landsteiner eingeführten System der Blutgruppen werden heutzutage die Hauptgruppen A, B, AB und 0 voneinander unterschieden. In Europa sind die beiden Blutgruppen 0 und A deutlich häufiger anzutreffen als B und AB. In manchen asiatischen Staaten sind die beiden Blutgruppen B und AB nicht ganz so selten wie in Europa. Beispielsweise haben in China 29% der Bevölkerung die Blutgruppe 0, 27% die Blutgruppe A, 32% die Blutgruppe B und immerhin 12% die Blutgruppe AB. Die Studie eines bayerischen Universitätsklinikums, bei der die Daten von 190 in Deutschland geborenen Kindern chinesischer Eltern ausgewertet wurden, ergab folgendes Ergebnis: 0 : 60, A : 59, B : 54 und AB : 17 Kinder. a) Überprüfen Sie anhand eines χ 2 -Anpassungstests, ob sich die Ergebnisse der Studie des Universitätsklinikums statistisch signifikant (α = 5%) von der aus China bekannten Verteilung unterscheiden. Bei einer Befragung unter 80 Studierenden gaben 60 von ihnen an, noch nie Blut gespendet zu haben. Von den Studierenden, die schon einmal Blut gespendet haben, kannten 80% ihre eigene Blutgruppe, von denen, die noch nie Blut gespendet haben, kannten nur 30% ihre eigene Blutgruppe. b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person dieser Befragung i) schon einmal Blut gespendet hat, aber ihre eigene Blutgruppe nicht kennt, ii) ihre eigene Blutgruppe nicht kennt. c) Mit welchem statistischen Testverfahren würden Sie überprüfen, ob die Blutgruppe vom Geschlecht abhängt? d) Zeigen Sie, dass bei Unabhängigkeit der beiden Ereignisse C und D gilt. P (C D) = P (C)

2 Aufgabe 2 Miss Marple hat sich mit Hercule Poirot um 16:50 Uhr in Paddington verabredet. Leider hat der Orient-Express, mit dem Hercule Poirot reist, einige Minuten Verspätung. Am Bahnsteig begrüßt er Miss Marple mit einem Wachsblumenstrauß und erzählt ihr sofort vom Tod auf dem Nil. Als auch Miss Marple ihren Bericht zu dem von ihr zuletzt aufgeklärten Mord in Bertrams Hotel beendet hat, merkt Hercule Poirot anerkennend an, dass Miss Marple durchschnittlich jedes Jahr einen Mordfall aufklärt. a) Wie und mit welchem Parameter ist die Zufallsvariable Anzahl der von Miss Marple aufgeklärten Morde pro Jahr verteilt? b) Skizzieren Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion dieser Zufallsvariable für die Werte x = {1, 2, 3, 4, 5}. c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Miss Marple in einem Jahr mehr als einen Mord aufklären kann? d) Wie wahrscheinlich ist es, dass die besten Detektive der Welt - unter ihnen natürlich Sherlock Holmes und Inspektor Columbo - gemeinsam mehr als 11 Fälle in einem Jahr lösen können, wenn sie zusammen durchschnittlich 12 Morde pro Jahr aufklären? e) Die Anzahl der jeweils aufgeklärten Morde X i der i = 1,..., n Detektive sei unabhängig identisch Poisson-verteilt mit dem Parameter λ. Bestimmen Sie mit Hilfe der Maximum-Likelihood-Methode den Maximum-Likelihood-Schätzer für den Parameter λ.

3 Aufgabe 3 Aus dem während der Vorlesung ausgefüllten Fragebogen des Sommersemesters 2007 wurden die Angaben der Studierenden zur durchschnittlichen Stundenzahl beim Sport ausgewertet. Ihnen liegt der folgende Output der Statistik-Software R zu einem durchgeführten Test vor: One Sample t-test data: sport t = , df = 526, p-value = alternative hypothesis: true mean is less than percent confidence interval: -Inf sample estimates: mean of x a) Welches Hypothesenpaar wurde hier getestet? b) Erläutern Sie ausführlich die Informationen des Outputs. c) Wie lautet die Testentscheidung? Begründen Sie Ihre Antwort. d) Wie lautet die theoretische Teststatistik für den obigen Test? e) Wie und mit welchem/n Parameter(n) ist die Teststatistik für den obigen Test bei Gültigkeit der Nullhypothese verteilt? f) Skizzieren Sie die Dichtefunktion der Teststatistik des obigen Tests bei Gültigkeit der Nullhypothese. (Keine exakten Werte notwendig!) (Hinweis: Wenn Sie Teilaufgabe e) nicht lösen können, verwenden Sie eine Standardnormalverteilung.) g) Veranschaulichen Sie die Irrtumswahrscheinlichkeit und den p-wert in Ihrer Zeichnung aus Teilaufgabe f). h) Was versteht man unter dem β-fehler (auch Fehler 2. Art genannt) und was können Sie hier über seine Größe aussagen?

4 Aufgabe 4 Giovanni Binomi - Mitarbeiter am Lehrstuhl für Statistik der Universität Konstanz - verleiht am Wochenende sein Motorboot Laplace für Fahrten auf dem Bodensee an Touristen. Die Fahrt mit seinem Boot kostet pauschal 60e unabhängig von der Anzahl der Mitfahrer. Die Anzahl der Mitfahrer, die gleichzeitig im Boot mitfahren, habe folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung: a, bei einem Mitfahrer, 6 mit a > 0. a, bei zwei Mitfahrern, f(a) = a, bei drei Mitfahrern, 3 a, bei vier Mitfahrern, 2 a) Wie viele Mitfahrer kann Giovanni Binomi durchschnittlich pro Boot erwarten? b) Ermitteln Sie mit Hilfe der Momenten-Methode den Momenten-Schätzer für den Parameter a. c) Wie groß muss der Parameter a sein, damit es sich um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt? d) Bestimmen Sie den Erwartungswert E(Y ) der Kosten Y pro Mitfahrer pro Fahrt. Verwenden Sie hierzu den von Ihnen in Teilaufgabe c) bestimmten Parameter a. (Hinweis: Falls Sie Teilaufgabe c) nicht lösen können, verwenden Sie zur Bearbeitung von Teilaufgabe d) a = 1 2.) Die jährlich anfallenden Kosten für Unterhalt und Reparatur von Giovanni Binomis Boot seien normalverteilt mit Erwartungswert µ und Varianz σ 2. Um zu untersuchen, ob sich durch einen Wechsel zur Bootswerkstatt Bootanik seine Kosten senken lassen, befragt Giovanni Binomi zufällig 4 Kunden von Bootanik mit vergleichbaren Booten nach ihren Kosten Y i mit i = 1, 2, 3, 4. Für eine Punktschätzung der durchschnittlichen Kosten schlägt er die folgende Schätzfunktion vor: T = Y Y Y 3 + Y 4. e) Erläutern Sie kurz verbal oder formal den Begriff der Erwartungstreue. f) Unter welcher Bedingung ist ein erwartungstreuer Schätzer T (1) effizienter als ein erwartungstreuer Schätzer T (2)? g) Ist die obige Schätzfunktion T erwartungstreu? h) Bestimmen Sie den MSE der obigen Schätzfunktion T.

5 Aufgabe 5 (R-Aufgabe) In einer Erhebung zu Arbeits- und Einkommensfragen wurden 7425 Personen befragt. Zwei der Angaben, die erhoben wurden, sind Alter (in Jahren) und Ausbildung (in Jahren). > Alter <- age # in Jahren > Ausbildung <- education # in Jahren Ihr Chef bittet Sie nun um einige Auswertungen. a) Ihr Chef hat bereits selbst mit dem Datensatz gearbeitet und dabei folgende Grafik erzeugt. Verteilung der Variablen Alter Density Alter Leider hat er den dazu nötigen Befehl nicht gespeichert. Nun ist Ihr Können gefragt. Er weist Sie nochmals auf die wesentlichen Dinge hin: Histogramm für das Alter, Farbe: grau, Titel Verteilung der Variablen Alter nicht vergessen! Wie lautet der R-Befehl? b) Sie wissen, dass Ihr Chef dann auch nach Mittelwert, Median und der Standardabweichung der Variable Alter fragen wird. Wie können Sie diese Werte in R berechnen? c) Kurz darauf kommt er erneut auf Sie zu, diesmal aber entspannter. Er hat den Befehl t.test(alter,alternative="two.sided",mu=25) ausgeführt und wundert sich über das Testergebnis. Seine Fragestellung war, ob die Befragten signifikant jünger als 52 Jahre sind. Sie sehen sofort, dass sich zwei Fehler eingeschlichen haben. Schreiben Sie den richtigen Befehl auf. d) Sie überlegen sich nun, wie man in R 100 Würfe von Münzen und Würfeln simulieren könnte. Ihr sechsseitiger Würfel sollte fair sein, aber die Münze mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 0, 7 Kopf aufweisen. Legen Sie die Variable Augenzahl für die 100 Würfe des Würfels an und für die 100 Münzwürfe benennen Sie die Variable Münze. Hinter den Variablen sollen die Ergebnisse der Zufallsexperimente abgelegt werden. Geben Sie die nötigen R-Befehle zur Erzeugung der Zufallszüge sowie zur Bestimmung der absoluten Häufigkeiten an.

6 Kurzlösung zu Aufgabe 1 a) χ 2 -Anpassungstest mit α = 0, 05 Approximationsregeln sind erfüllt. Da χ 2 = < χ 2 0,95;(4 1) = χ2 0,95;3 = 7.81 ist, kann H 0 nicht verworfen werden. Die vorliegende Stichprobe deutet demnach nicht darauf hin, dass sich die Blutgruppen von in Deutschland geborenen Kindern chinesischer Eltern von den Ergebnissen aus China unterscheiden. b) i) 4 80 = 0.05, also 5% = 0.575, also 57.5% ii) c) Mit einem χ 2 -Unabhängigkeitstest. d) P (C D) = P (C D) P (D) = P (C) P (D) P (D) = P (C)

7 Kurzlösung zu Aufgabe 2 a) X Pois(λ = 1) b) c) P (X > 1) = 0, d) Y = Anzahl der aufgeklärten Morde der besten Detektive Y Pois(λ = 12) Da die Poissonverteilung für λ = 12 nicht mehr tabelliert ist, aber λ = 12 > 9 ist, können wir die Poissonverteilung durch eine Normalverteilung mit µ = λ = 12 und σ 2 = λ = 12 approximieren (Stetigkeitskorrektur beachten!): P (Y > 11) = 0, e) Sei X i die Anzahl der aufgeklärten Morde des i ten Detektivs. Für x = (x 1,..., x n ) ergibt sich die Likelihoodfunktion ˆλ = n x i i=1 n = x.

8 Kurzlösung zu Aufgabe 3 a) H 0 : µ 3.75 vs. H A : µ < 3.75 b) t-test mit µ 0 = 3.75 einseitiger Test mit Signifikanzniveau α = 5% Stichprobenumfang: n=df+1=526+1=527. Teststatistik (t-wert oder z-wert):t = p-wert = Alternativhypothese Einseitiges Konfidenzintervall: [-Inf ] Stichprobenmittelwert: c) Da der p-wert ( ) kleiner ist als das Signifikanzniveau (5%) wird die Nullhypothese verworfen. Ausserdem ist der Wert µ 0 der Nullhypothese nicht in dem errechneten Konfidenzintervall. d) X µ 0 S n = t e) Die Teststatistik ist t-verteilt mit 526 Freiheitsgraden. f) und g) Zeichnung h) Unter dem β-fehler versteht man den Fehler, den man macht wenn man die Nullhypothese fälschlicherweise nicht ablehnt, d.h. man lehnt H 0 nicht ab, obwohl H 0 falsch ist. Dieser Fehler ist nicht i.d.r. quantifizierbar kann maximal 1 α betragen.

9 Kurzlösung zu Aufgabe 4 a) E(X) = 31 6 a b) â = 6 31 X c) a = 1 2 d) E(Y ) = e) Erwartungstreue: E(T n ) = θ für alle θ Im Mittel (über unendlich viele Stichproben) ist der Punktschätzer gleich dem unbekannten Parameter der Grundgesamtheit. f) Effizienz: Sind (bei festem n) T n (1) und T n (2) erwartungstreue Schätzfunktionen für den Parameter θ und gilt V ar(t n (1) ) < V ar(t n (2) ), so heißt T (1) n effizienter (wirksamer) als T (2) n. g) E(T (1) 4 ) = 11 4 µ µ nicht erwartungstreu h) Var(T (1) 4 ) = σ2 BIAS(T (1) 4 ) = 7 4 µ MSE(T (1) 4 ) = σ µ2

10 Kurzlösung zu Aufgabe 5 (R-Aufgabe): a) hist(alter,col=4,freq=f,main="verteilung der Variablen Alter") b) mean(alter);median(alter);sd(alter) c) t.test(alter,alternative="less",mu=52) d) Würfel <- sample(1:6,100,replace=t) table(würfel) Münze <- sample(c("kopf","zahl"),100,replace=t,prob=c(0.7,0.3)) table(münze)