Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler

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1 Fachbereich Mathematik Dr. Hefter & Dr. Herzwurm Übungsblatt 0 Keine Abgabe. Gegeben seien die Mengen A 1 =, A 2 = {1}, A 3 = {1, 1}, A 4 = {1, 3}, A 5 = {1, 2, 4}, A 6 = {1, 2, 3, 4}. a) Bestimmen Sie alle i, j {1,..., 6} mit A i A j. b) Bestimmen Sie alle Mengen der Form A i A j bzw. A i A j für i, j {1,..., 6}. c) Sei Ω = {1, 2, 3, 4}. Bestimmen Sie A c i für i {1,..., 6}. Sei A Ω Ω. Gilt immer Ω \ A = Ω \ A? Gibt es eine Funktion f : {1, 2, 3, 4} {1, 5} mit a) f(1) = 1 und f(1) = 5, b) f(1) = 3, c) f(5) = 1, d) f(1) = 5 und f(2) = 5? Bestimmen Sie folgende Mengen a) {0, 1, 2} {0, 2}, b) {1, 2} 3. a) Berechnen Sie 5 i=1 i sowie 4 k=0 k 2. b) Seien Ω = {1, 2, 3, 4, 5} und A = {1, 4}. Bestimmen Sie i) (ω 1), ii) ω 1, iii) (ω 2 + 1), ω Ω ω Ω c) Konvergieren folgende Reihen? i) ( 1) k, k=0 d) Berechnen Sie k=1 ( 5 2 k k ). ii) ω Ω\A q k, 0 < q < 1. k=0

2 Fachbereich Mathematik Dr. Hefter & Dr. Herzwurm Übungsblatt 1 Abgabe bis Dienstag, , 9:00 Uhr, in die Briefkästen vor Seien Ω eine Menge und A, B, C Ω Ereignisse. a) Vereinfachen Sie die Ausdrücke ( ((A B) C ) c B ) c und ( (A B C) c \ A ) \ (B C). b) Gilt die Gleichheit (A \ B) C = (A C) \ (B C) im Allgemeinen? Falls ja, begründen Sie Ihre Antwort wie in Teil a). Falls nein, geben Sie ein Gegenbeispiel an. c) Prüfen Sie die folgenden Beispiele auf paarweise Disjunktheit: i) A = {1, 2}, B = {2, 3} und C = {1, 3}, ii) A = {1}, B = {2} und C = {3}, iii) A = {1, 5}, B = {2, 3} und C = {5, 6}. In welchen Fällen gilt A B C =? Sei Ω eine Menge, und sei die Funktion f : Pot(Ω) R definiert durch für A Pot(Ω). f(a) = A a) Bestimmen Sie für Ω = {1, 2, 3} die Potenzmenge Pot(Ω), und tabellieren Sie f wie in Bsp Berechnen Sie zudem A Ω f(a). b) Ist eine Tabellierung praktikabel für Ω = {1, 2,..., 20}? Für n N 0 und k {0,..., n} ist der Binomialkoeffizient n über k definiert als ( ) n n! = k k! (n k)!, wobei 0! = 1 und n n! = i = 1... n i=1

3 für n N. Zeigen Sie: a) Für n N 0 gilt ( ( ) n 0) = 1 = n n. b) Für n N und k = 0,..., n 1 gilt ( ) n + 1 = k + 1 c) Für n N 0 und k = 0,..., n gilt ( ) n = k ( ) ( ) n n +. k k + 1 ( ) n. n k Aus der Kombinatorik ist folgende Aussage bekannt: Seien n N, Ω = {1,..., n} und k {0,..., n}. Dann ist die Anzahl der k-elementigen Teilmengen von Ω gegeben durch {A Pot(Ω): A = k} ( ) n =. k Interpretieren Sie die Aussagen 3a)-c) in diesem Kontext. Interpretieren Sie ebenfalls die Aussage ( ) n n = 2 n. k k=0

4 Fachbereich Mathematik Dr. Hefter & Dr. Herzwurm Übungsblatt 2 Abgabe bis Montag, , 12:00 Uhr, in die Briefkästen vor Geben Sie einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum an, der die Augenzahlen beim Werfen zweier handelsüblicher sechsseitiger Würfel modelliert. Schreiben Sie die folgenden Ereignisse als Mengen und berechnen Sie deren Wahrscheinlichkeiten: a) die Augenzahl des ersten Würfels ist um genau zwei größer als die des zweiten Würfels, b) beide Augenzahlen betragen eins, c) die Summe der Augenzahlen ist mindestens zehn. Seien Ω = {0, 1} 2 und A = {(1, 0), (1, 1)} sowie B = {(0, 1), (1, 1)}. Bestimmen Sie alle möglichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen P auf Ω mit P (A) = P (B) = 1 2. Seien (Ω, P ) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und A, B, C Ω mit P (A c ) = 7 10, P (B) = 3 10, P (C) = 7 20, P (Ac B) = 1 4, P (A C) = 1 10, P (A B C) = 1 20, P ((A C) B) = Berechnen Sie P (A B), P (A c B), P (A C), P (B C), P (A B C c ), P (A B C). Seien (Ω, P ) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und A, B Ω mit P (A) = 0.7, P (B A) = 0.8, P (B A c ) = 0.4. a) Berechnen Sie P (B). b) Berechnen Sie P (A B).

5 Fachbereich Mathematik Dr. Hefter & Dr. Herzwurm Übungsblatt 3 Abgabe bis Montag, , 12:00 Uhr, in die Briefkästen vor Seien (Ω, P ) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und A, B Ω. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Begründen Sie Ihre Antwort. a) Sind A und B unabhängig, so sind auch A und B c unabhängig. b) Sind A und B unabhängig, so sind auch A c und B c unabhängig. c) Falls P (A) {0, 1}, so sind A und B unabhängig. d) Sind A und B disjunkt, so sind A und B unabhängig. e) Sind A und B unabhängig, so sind A und B disjunkt. a) Sei Ω = {1, 2, 3, 4} und sei P die Gleichverteilung auf Ω. Betrachten Sie die Ereignisse A = {1, 2}, B = {1, 3}, C = {2, 3}. Prüfen Sie, ob A und B unabhängig sind. Verfahren Sie analog mit A und C sowie mit B und C. Gilt P (A B C) = P (A) P (B) P (C)? b) Betrachten Sie die Situation aus auf Übungsblatt 2. Sind die zwei Ereignisse die Augenzahl des ersten Würfels ist um genau zwei größer als die des zweiten Würfels und die Summe der Augenzahlen ist mindestens zehn unabhängig? Geben Sie einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum an, der das 3-malige unabhängige Werfen einer fairen Münze modelliert. Modellieren sie die Anzahl der Ausgänge Kopf sowie die Anzahl der Ausgänge Zahl mittels Zufallsvariablen. Bestimmen Sie die zugehörigen Wahrscheinlichkeitsfunktionen. Sind die beiden Zufallsvariablen identisch verteilt? Betrachten Sie die Situation aus Bsp (2-maliges Werfen eines Würfels). a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktionen von (i) Y = max(x 1, X 2 ), (ii) Z = min(x 1, X 2 ). Sind Y und Z identisch verteilt?

6 b) Berechnen Sie P Y ({1, 2}), P ({Z = 5}) und P (Y,Z) ({1, 2} {5}).

7 X 1 X 2 p 0, Technische Universität Kaiserslautern Sommersemester 2017 Fachbereich Mathematik Dr. Hefter, Dr. Herzwurm Übungsblatt 4 Abgabe bis Montag, , 12:00 Uhr, in die Briefkästen vor Seien X 1, X 2 : Ω {0, 1, 2} Zufallsvariablen, die folgendem Tableau genügen (vgl. Bemerkung ). a) Vervollständigen Sie das Tableau. b) Berechnen Sie P ({X 2 = 0} {X 1 1}) p 1,2 p 1, p 2,0 p 2,1 p 2,2 0 p,0 p,1 p,2 c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X 2. d) Sind X 1 und X 2 unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort. Seien X 1, X 2, X 3 : Ω {1, 2, 3} unabhängige Zufallsvariablen mit p X1 (1) = 1/3, p X1 (2) = 1/3, p X1 (3) = 1/3, p X2 (1) = 1/4, p X2 (2) = 1/4, p X2 (3) = 1/2, p X3 (1) = 1/5, p X3 (2) = 1/5, p X3 (3) = 3/5. Berechnen Sie P ({X 1 + X 2 + X 3 = 8}) und P ({min(x 1, X 2, X 3 ) = 2}). Sei k N und seien X 1, X 2, X 3 : Ω {1,..., k} unabhängige Zufallsvariablen. Sind X 1 + X 2, X 3 unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort. Betrachten Sie in der Situation aus Beispiel die Merkmale Typ des Studienganges mit den Ausprägungen Bachelor-, Master- und Diplom-Studiengang sowie das Merkmal Fachbereich mit den Ausprägungen Wirtschaftswissenschaften und Andere. Berechnen Sie alle relevanten relativen Häufigkeiten.

8 Fachbereich Mathematik Dr. Hefter, Dr. Herzwurm Übungsblatt 5 Abgabe bis Montag, , 12:00 Uhr, in die Briefkästen vor a) Seien X und Y Zufallsvariablen mit X B(n, p) und Y B(m, p) für m, n N und 0 p 1. Gilt dann bereits ohne die Unabhängigkeit von X und Y, dass X + Y B(n + m, p)? Begründen Sie Ihre Antwort. b) Seien X und Y unabhängige Zufallsvariablen mit X B(n, p) und Y B(m, q) für m, n N und 0 p, q 1. Gilt dann X + Y B(n + m, (p + q)/2)? Begründen Sie Ihre Antwort. Fluggesellschaften überbuchen häufig ihre Flugverbindungen. Für ein Flugzeug mit 280 Plätzen werden 282 Tickets verkauft. Passagiere erscheinen mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.02 nicht zu ihrem Flug. Modellieren Sie diese Situation unter einer vereinfachenden Unabhängigkeitsannahme mittels Zufallsvariablen und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass nicht alle Passagiere mitfliegen können. Seien n N und k {0,..., n}. Für 0 p 1 und X B(n, p) sei Bestimmen Sie das Maximum von f. f(p) = P ({X = k}). a) Geben Sie einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum an, der die Augenzahlen vom fünfmaligen Werfen eines handelsüblichen sechsseitigen Würfels modelliert. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahlen folgendes Muster erfüllen: gerade, ungerade, gerade, ungerade, gerade. b) Auf 4 Stellen bewerben sich 8 Bewerber, davon sind 3 weiblich und 5 männlich. Nehmen Sie an, dass alle Kombinationen die 8 Bewerber auf die 4 Stellen zu besetzen, die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Geben Sie einen passenden Wahrscheinlichkeitsraum an und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass nur männliche Bewerber eingestellt werden.

9 Fachbereich Mathematik Dr. Hefter, Dr. Herzwurm Übungsblatt 6 Abgabe bis Montag, , 12:00 Uhr, in die Briefkästen vor Eine Lieferung von 50 PC-Bildschirmen gilt als gut, wenn höchstens 1 Bildschirm defekt ist, und als schlecht, wenn mindestens 4 Bildschirme defekt sind. Kunde und Lieferant haben vereinbart, 4 rein zufällig herausgegriffene Bildschirme zu überprüfen. Nur wenn alle 4 Bildschirme nicht defekt sind, nimmt der Kunde die Lieferung an. a) Geben Sie ein geeignetes Modell für die Anzahl defekter Bildschirme bei einer Überprüfung an. Welche Modellparameter sind unbekannt? b) Nehmen Sie an, dass eine gute Lieferung nicht angenommen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis? c) Nehmen Sie an, dass es sich nun um eine schlechte Lieferung handelt. Für welche Anzahl defekter Bildschirme innerhalb der gesamten Lieferung wird die Wahrscheinlichkeit für die Annahme einer Lieferung maximal? Berechnen Sie die zugehörige Wahrscheinlichkeit. Beim Würfelspiel Kniffel wirft jeder Spieler zu Beginn seines Spielzugs 5 Würfel simultan. Die Ereignisse 5 gleiche Augenzahlen sowie 3 gleiche und 2 gleiche Augenzahlen werden als Kniffel sowie Full House bezeichnet. a) Geben Sie ein geeignetes Modell für die Anzahlen der verschiedenen Augenzahlen 1,..., 6 beim simultanen Werfen von 5 handelsüblichen Würfeln. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit ein Kniffel sowie ein Full House mit drei Einsen (ausschließlich des Ausgangs 5 Einsen) zu würfeln. a) Sei k N. Für λ > 0 und X Poi(λ) sei Bestimmen Sie das Maximum von f. f(λ) = P ({X = k}). b) Sei X B(500, 0.001). Berechnen Sie P ({X 2}) exakt und näherungsweise mittels des Poissonschen Grenzwertsatzes. c) Sei X H(2000, 400, 5). Berechnen Sie P ({X > 1}) exakt und näherungsweise mittels Satz Beweisen Sie Satz

10 Fachbereich Mathematik Dr. Hefter, Dr. Herzwurm Übungsblatt 7 Abgabe bis Montag, , 12:00 Uhr, in die Briefkästen vor Seien (Ω, P ) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω X. a) Für a R sei f(a) = E ( (X a) 2). Bestimmen Sie alle globalen Minima von f. b) Sei X B(1, 1/2). Für a R sei g(a) = E ( X a ). Bestimmen Sie alle globalen Minima von g. c) Sei zudem Y : Ω X. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Begründen Sie Ihre Antwort. i) Falls E(X) E(Y ), so gilt X(ω) Y (ω) für alle ω Ω. ii) Es gilt Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ). Seien (Ω, P ) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und X, Y, Z : Ω X unabhängig mit X B(2, 3/4), Y Poi(5) und Z Geo(1/2). Berechnen Sie a) Var(2Y 3Z), b) E ( (X Y ) Z ), c) E ( sin(πx) + Z ). Bei einer Werbemaßnahme eines Warenhauses werden n N Gutscheine an verschiedene Haushalte verschickt. Pro Gutschein entstehen Kosten in Höhe von 10 Euro. Die Erfahrung zeigt, dass die verschiedenen Haushalte unabhängig voneinander mit Wahrscheinlichkeit 60% ihren Gutschein einlösen. a) Geben Sie ein geeignetes Modell für die Gesamtkosten an und berechnen Sie die erwarteten Gesamtkosten. b) Wie viele Haushalte können maximal angeschrieben werden, wenn die erwarteten Gesamtkosten 5000 Euro nicht überschreiten sollen. c) Berechnen Sie die Varianz der Gesamtkosten bei 2000 angeschriebenen Haushalten.

11 Gegeben sei die folgende Stichprobe mit Parameter a R: l x l a a) Berechnen Sie das Stichprobenmittel in Abhängigkeit von a. Existiert für jedes z R ein a R, sodass das Stichprobenmittel gleich z ist? b) Für welche Werte von a ist die Stichprobenvarianz minimal?

12 Fachbereich Mathematik Dr. Hefter, Dr. Herzwurm Übungsblatt 8 Abgabe bis Montag, , 12:00 Uhr, in die Briefkästen vor Berechnen Sie jeweils den Erwartungswert und die Varianz: a) X U(a, b), a < b, b) X Exp(λ), λ > 0, c) X N(µ, σ 2 ), µ R, σ > 0. Für a R sei f a : R R gegeben durch ax + a, falls x [ 1, 0], f a (x) = a ax, falls x [0, 1], 0, sonst. a) Bestimmen Sie alle a R, sodass f a eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist. b) Sei X eine stetig verteilte Zufallsvariable mit Dichte f 1. Berechnen Sie E( X X 2 ) sowie P ({X x}) für x R. Die durchschnittliche Lebensdauer eines elektronischen Bauteils beträgt 2000 Tage. a) Geben Sie ein geeignetes Modell für die Lebensdauer des Bauteils an. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Bauteil länger als 500 Tage funktionstüchtig ist, sowie die Wahrscheinlichkeit, dass das Bauteil kürzer als 300 Tage funktionstüchtig ist. Seien X, Y unabhängig mit X Exp(1) und Y B(1, 3/4). a) Ist X Y diskret oder stetig verteilt? b) Berechnen Sie P ({X Y x}) für x R.

13 Fachbereich Mathematik Dr. Hefter, Dr. Herzwurm Übungsblatt 9 Abgabe bis Montag, , 12:00 Uhr, in die Briefkästen vor Seien X 1, X 2 unabhängig mit X 1 Exp(λ 1 ) und X 2 Exp(λ 2 ), wobei λ 1, λ 2 > 0. Berechnen Sie P ({min(x 1, X 2 ) x}) für x R, und bestimmen sie die Verteilung von min(x 1, X 2 ). Berechnen Sie hieraus E(min(X 1, X 2 )). Sei X Exp(1) bzw. X N(0, 1). Für x R sei Bestimmen Sie das Maximum von f. f(x) = P ( {x X x + 1} ). Sei X N(2, 9). Berechnen Sie (näherungsweise) mithilfe der Tabelle auf Seite 99 folgende Wahrscheinlichkeiten: P ({X 2.5}), P ({2 X 3}), P ({ X 2}). Berechnen Sie weiterhin das p-quantil von X mit p = 0.95, und ermitteln Sie ein a R mit P ({2 a X 2 + a}) = Die Bilder A1-A4 zeigen Wahrscheinlichkeitsfunktionen bzw. Wahrscheinlichkeitsdichten. Die Bilder B1-B4 zeigen die zugehörigen Verteilungsfunktionen. Welche Verteilungsfunktion gehört zu welcher Wahrscheinlichkeitsfunktion bzw. Wahrscheinlichkeitsdichte. Begründen Sie Ihre Antwort. A1 A2 A3 A4 B1 B2 B3 B4

14 Fachbereich Mathematik Dr. Hefter, Dr. Herzwurm Übungsblatt 10 (Probeklausur) Seien (Ω, P ) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und A, B Ω. a) Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort. b) Gelte i) Falls P (A) {0, 1}, so sind A und B unabhängig. ii) Sind A und B unabhängig, so sind A und B disjunkt. P (A) = 2 5, P (B A) = 1 2, P (B Ac ) = 1 2. Berechnen Sie P (B) und P (A B). Beim Würfelspiel Kniffel wirft jeder Spieler zu Beginn seines Spielzugs 5 Würfel simultan. a) Geben Sie ein geeignetes Modell für die Anzahlen der verschiedenen Augenzahlen 1,..., 6 beim simultanen Werfen von 5 handelsüblichen Würfeln an. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit 5 aufeinander folgende Augenzahlen sowie genau 4 Dreien zu würfeln. Hinweis: 4 5 = 1024, 6 5 = Sei X N(1, 4). Berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten näherungsweise mit Hilfe der Tabelle in der Formelsammlung: a) P ({X > 1}), b) P ({0 < X 3}), c) P ({ X 2}). Seien X 1, X 2 unabhängig mit X 1 Exp(λ 1 ) und X 2 Exp(λ 2 ), wobei λ 1, λ 2 > 0. Berechnen Sie P ({min(x 1, X 2 ) > x}) für x R, und bestimmen sie die Verteilung von min(x 1, X 2 ). Berechnen Sie hieraus E(min(X 1, X 2 )).

15 Aufgabe 5 Gegeben seien die folgenden Werte der Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable X : Ω [1, [: x F X (x) a) Begründen Sie, warum 2 < m(x) 3 für den Median m(x) von X gilt. b) Begründen Sie, warum die folgenden Aussagen falsch sind: i) F X (2.5) = 0.8, ii) P ({3 < X 4}) = 0.5, iii) E(X) = 0. c) Geben Sie eine Wahrscheinlichkeitsfunktion p X : {1, 2, 3, 4} R an, sodass die zugehörige Verteilungsfunktion die obigen Werte annimmt.

16 Fachbereich Mathematik Dr. Hefter, Dr. Herzwurm Übungsblatt 11 Abgabe bis Montag, , 12:00 Uhr, in die Briefkästen vor a) Seien X 1,..., X 400 unabhängig und identisch verteilt mit X 1 Exp(2). Bestimmen Sie P ({ 400 i=1 X i > 210}) approximativ mittels des zentralen Grenzwertsatzes. b) Sei X B(1000, 0.6). Bestimmen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten approximativ mittels des zentralen Grenzwertsatzes: i) P ({X > 600}), ii) P ({X [100, 450[}). c) Seien X 1,..., X 50 unabhängig und identisch verteilt mit X 1 Poi(3). Bestimmen Sie P ({ 50 i=1 X i 150 > 100}) approximativ mittels des zentralen Grenzwertsatzes. Seien X 1,..., X 5 unabhängig und identisch verteilt mit X 1 N(µ, 4) und unbekanntem µ R. Zur Schätzung des Erwartungswertes µ seien die folgenden Schätzfunktionen g (i) 5 : R 5 R für i = 1,..., 4 gegeben: g (1) 5 (x 1,..., x 5 ) = 1 3 (x 1 + x 3 + x 5 ), g (2) 5 (x 1,..., x 5 ) = x i, i=1 g (3) 5 (x 1,..., x 5 ) = x 1 + x 4, g (4) 5 (x 1,..., x 5 ) = x 3. a) Bestimmen Sie jeweils den Bias der Schätzfunktionen. Welche Schätzfunktionen sind erwartungstreu? b) Bestimmen Sie jeweils den mittleren quadratischen Fehler der Schätzfunktionen. Welche Schätzfunktion besitzt den kleinsten mittleren quadratischen Fehler? Seien n N und X 1,..., X n unabhängig und identisch verteilt mit Var(X 1 ) > 0. Sei g n : R n R gegeben durch g n (x 1,..., x n ) = 1 n (x i x n ) 2. n a) Gilt E(g n (X 1,..., X n )) = Var(X 1 )? b) Konvergiert g n (X 1,..., X n ) mit Wahrscheinlichkeit 1 gegen Var(X 1 )? i=1

17 Seien n N und X 1,..., X n unabhängig und identisch verteilt mit X 1 U(0, b) und b ]0, [. Zur Schätzung von b seien die Schätzfunktionen g n (1), g n (2) : R n R gegeben durch g n (1) (x 1,..., x n ) = 2 n x i, g n (2) (x 1,..., x n ) = n + 1 n n max(x 1,..., x n ). i=1 a) Zeigen Sie, dass max(x 1,..., X n ) die Dichtefunktion f : R R gegeben durch n x n 1 /b n, falls x [0, b], f(x) = 0, sonst, besitzt. b) Zeigen Sie, dass g n (1) und g n (2) erwartungstreu sind. c) Berechnen Sie die mittleren quadratischen Fehler von g n (1) und g n (2). Hinweis: Für n N gilt ( ) ( n ( ) ) n n 2 n n + 2 = n n(n + 2).

18 Fachbereich Mathematik Dr. Hefter, Dr. Herzwurm Übungsblatt 12 Abgabe bis Montag, , 12:00 Uhr, in die Briefkästen vor Seien X 1,..., X 10 unabhängig und identisch verteilt mit X 1 N(µ, σ 2 ) für µ R und σ ]0, [. Das Stichprobenmittel sei x 10 = 5 und die Stichprobenvarianz sei s 2 = 4. a) Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für µ R zum Niveau 0.95, falls bekannt ist, dass σ = 2. b) Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für µ R zum Niveau 0.95, falls σ nicht bekannt ist. c) Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für σ 2 zum Niveau Der Mittelwert µ einer Normalverteilung, deren Varianz σ 2 = 9 bekannt ist, soll geschätzt werden. a) Eine Stichprobe vom Umfang n = 100 ergibt den Mittelwert Geben Sie ein 95%-Konfidenzintervall für µ an. b) Wie groß müsste der Stichprobenumfang sein, bei einem Mittelwert von 53.97, damit das 95%-Konfidenzintervall höchstens die Länge 0.4 hat? c) Wie groß müsste der Stichprobenmittelwert sein, bei einem Stichprobenumfang von n = 1000, damit das 95%-Konfidenzintervall höchstens die Länge 0.4 hat? Eine Stichprobe ergibt folgende Füllmengen für Zementsäcke: Bestimmen Sie approximativ ein 95%-Konfidenzintervall für die mittlere Füllmenge µ. Seien X 1,..., X n unabhängig und identisch verteilt mit X 1 N(µ, σ 2 ) mit bekanntem σ ]0, [ und unbekanntem µ = ϑ Θ = R. Für 0 < α < 1 konstruieren Sie eine Funktion b n : R n R mit für alle ϑ Θ. P ϑ ({ϑ b n (X 1,..., X n )}) 1 α