Dr. H. Grunert Schließende Statistik Vorlesungscharts. Vorlesung 7. Schätzverfahren

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1 Vorlesungscharts Vorlesung 7 Schätzverfahren Konstruktion von Konfidenzintervallen Konfidenzintervalle für den Erwartungswert normalverteilter Grundgesamtheiten Konfidenzintervalle für Anteilswerte Seite 1 von 9

2 Chart 1: Definition Konfidenzintervall Auf der Grundlage der Stichprobenwerte (Schätzfunktionen) lassen sich Intervalle berechnen, in denen der wahre, aber unbekannte Parameter der Verteilung der Grundgesamtheit (zb m ) mit großer Wahrscheinlichkeit zu erwarten ist Diese Intervalle bezeichnet man als Konfidenz- oder Vertrauensintervalle Für diese Intervalle gilt (am Beispiel m ) : ( m G ) 1 P G u = -a o G ; G a u o untere bzw obere Konfidenzgrenze Irrtumswahrscheinlichkeit - Konfidenzniveau 1 a Seite 2 von 9

3 Chart 2: Konstruktion von Konfidenzintervallen Aufbau eines Konfidenzintervalls Maximaler Schätzfehler Maximaler Schätzfehler Untere Konfidenzgrenze Obere Konfidenzgrenze Punktschätzwert Seite 3 von 9

4 Chart 3: Konfidenzintervalle für m für N (m, s ) - verteilte Grundgesamtheiten 1 Fall Varianz s 2 ist bekannt s P x - z x z 1 1 a m 1 a a - - = - 2 n 2 n einseitige Konfidenzintervalle è nach oben begrenztes Konfidenzintervall P m x z 1 -a = 1-a n è nach unten begrenztes Konfidenzintervall P m x - z 1 -a = 1-a n Seite 4 von 9

5 Chart 4: Vorlesungsbeispiel Konfidenzintervalle In einer Anlage wird Zucker in Tüten abgefüllt Aus Erfahrung weiß man, dass das Füllgewicht normalverteilt ist mit einer Standardabweichung von 1,2 g Aus einer Stichprobe von 25 Tüten wird ein durchschnittliches Füllgewicht von 1000,3 g ermittelt a) Berechnen Sie ein 95 % -iges Konfidenzintervall für das durchschnittliche Füllgewicht von Zuckertüten b) Berechnen Sie ein 99 % -iges Konfidenzintervall für das durchschnittliche Füllgewicht von Zuckertüten c) Berechnen Sie ein 95 % -iges Konfidenzintervall für das durchschnittliche Füllgewicht bei einer Stichprobe n = 36 d) Berechnen Sie 95% -ige Vertrauensintervalle für das Mindest- bzw das Höchstfüllgewicht von Zuckertüten Seite 5 von 9

6 Chart 5: t Verteilung X und Y seien zwei unabhängige Zufallsvariable X sei dabei N ( 0,1 2 ) verteilt und Y sei c verteilt Dann ist die Zufallsgröße T mit T = Z Y g t - verteilt mit g = n -1 Freiheitsgraden z = x - s m n Y = ( n -1) s 2 s 2 g = n -1 ( ) E t = 0 für g 2 ( ) VAR t g = für g 3 g -1 Standardisierung der Zufallsgröße T zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten: t = x - m s n Seite 6 von 9

7 Chart 6: Konfidenzintervalle für m für N (m, s ) - verteilte Zufallsgrößen 2 Fall Varianz s 2 ist unbekannt s P x - t1 -a / 2; g m x t1 -a / 2; g = 1-a n n t1 a / 2; g - ist gleich dem a/2 - Quantilswert der t-verteilung bei g - Freiheitsgraden Die t- Verteilung wird vor allem bei kleinen Stichprobenum-fängen mit n-1 30 angewendet Bei Stichprobengrößen mit n-1 > 30 approximiert die t - Verteilung gegen die Normalverteilung Dann kann folgendes Konfidenzintervall berechnet werden: s P x - z1 -a / 2 m x z1 -a / 2 = 1-a n n Seite 7 von 9

8 Chart 7: Beispiele Konfidenzintervall, å² unbekannt A In einer Parkanlage liegt an 31 Tagen der Wasserverbrauch bei durchschnittlich 2000 m³ Die Stichprobenstandardabweichung s lag bei 180 m³ Wie hoch ist der tatsächliche Wasserverbrauch in der Parkanlage (à = 1% )? t- Verteilung, à in Prozent à ,2 0,1 à/ 25 12,5 5 2,5 1 0,5 0,1 0,05 2 c 1 1,00 2,41 6,31 12,7 31,82 63,7 318,3 637,0 2 0,816 1,60 2,92 4,30 6,97 9,92 22,33 31,6 3 0,765 1,42 2,35 3,18 4,54 5,84 10,22 12,9 28 0,683 1,17 1,70 2,05 2,47 2,76 3,41 3, ,683 1,17 1,70 2,05 2,46 2,76 3,40 3, ,683 1,17 1,70 2,04 2,46 2,75 3,39 3,65 B Eine Befragung unter 30 Studenten einer Fachhochschule ergab im Durchschnitt eine monatliche Ausgabe von 769,33 EUR bei einer Standardabweichung von s = 71,22 EUR Schätzen Sie mit à = 5% die Höhe der tatsächlichen durchschnittlichen Ausgaben aller Studenten der Fachhochschule! (Die monatlichen Ausgaben seien näherungsweise normalverteilt) Seite 8 von 9

9 Chart 8: Konfidenzintervall für Anteilswerte P ~ p - z ( 1- p) ~ p( 1- ~ p) ~ p ~ n p ~ p z 1 - a / a / 2 1 a n - ~ p relative Häufigkeit des Merkmals in der Stichprobe p zu schätzender Anteilswert in der Grundgesamtheit n p% Approximationsbedingung : ( p% ) 1- > 9 Beispiel: 435 Männer wurden zu ihren Präferenzen für Parteien befragt, 144 Männer äußerten eine Präferenz für die Partei A Bestimmen Sie ein 95% - Konfidenzintervall für die Präferenz von Männern für die Partei A! Seite 9 von 9