p = h n (K)= Juli vl smart vp qk notebook Praktische Lösung des Problems: mit den Werten

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1 I. Eigenschaften von Schätzfunktionen Wir wollen den unbekannten Anteil p von Autos ermitteln, die mit Katalysator fahren. Mathematisch können wir das Problem wie folgt beschreiben: Sei X der Autotyp eines zufällig herausgegriffenen Autos; X ist damit eine Zufallsgröße: Praktische Lösung des Problems: Dazu machen wir eine Stichprobe von X und ermitteln den Anteil p dieser Kat-Autos in einer Stichprobe (relative Häufigkeit) als Schätzung für p: p = h n (K)= Konkrete mit den Werten i.tes Auto hat einen Kat 0 i.tes Auto hat keinen Kat. Gesucht ist eine Schätzung für den Anteil p = P(Kat)=P(X=1). Angenommen, 3 Personen führen dieses Verfahren unabhängig voneinander mit einer Stichprobe vom Umfang n=10 durch. Dann erhält jede Person eine andere Stichprobe, z.b. folgende konkrete Stichproben: Was wir aber erreichen wollen, ist 1) dass bei festem SPU n der Mittelwert aller möglichen Schätzwerte h n(k), die man auf der Basis einer SP vom Umfang n erhalten kann, gleich dem unbekannten p ist. (Im Mittel schätzen viele Personen p durch h n(k) richtig und 2) wenn der SPU n wächst, sollen die Abweichungen der einzelnen Schätzwerte vom Mittel, also deren Streuung immer kleiner werden, d.h. p immer genauer geschätzt werden. Wir illustrieren die Eigenschaft 2 für verschiedene n bei 3 maliger Durchführung des Schätzverfahrens: n=10: Jede Person erhält einen anderen Schätzwert p für p : 1

2 Mathematisch können wir die beiden Güteeigenschaften des Schätzverfahrens wie folgt beschreiben: Wir betrachten die Stichprobe von X als zufallsbehaftet; wir führen den Begriff der mathematischen SP ein: Definition: Mathematische SP von X: Die Unterschiede in den Schätzwerten der 3 Personen werden immer geringer, je größer n ist. Satt einem Schätzwert für p auf der Basis einer konkreten Stichprobe von X erhalten wir nun eine zufallsbehaftete Schätzfunktion, die wir als Vorschrift zur Schätzung von p betrachten können. Allgemein: Schätzfunktionen und ihre Eigenschaften zufallsbehafteteschätzfunktion Die beiden o.g. gewünschten Eigenschaften 1) und 2) sind nun als Güteeigenschaften der Schätzfunktion mathematisch durch ihren Erwartungswert und ihre Varianz beschreibbar: 2

3 Erwartungstreue und konsistente Schätzfunktionen für p=p(a), m=ex und s 2 =VarX Es gilt: (Wegen der Rechen- Eigenschften von Erwartungswerten und Varianzen) Sei X = Ereignis A tritt auf A tritt nicht auf p (1-p) Ges: p= P(X=1)=P(A) Mathem. Es gilt: Schätzfunktion: (Konsistenz) Schätzfunktion: Es gilt: 3

4 Für Bemerkung: Wenn wir in s 2 (n) nur durch n statt n-1 teilen würden, so erhalten wir keine erwartungstreue Schätzung für mehr: Schätzfunktion: Es gilt: II. Toleranzbereiche Problemstellung: Lösung des Problems: Statt einem Schätzwert konstruieren wir ein möglichst kleines Intervall um diesen Schätzwert herum (Toleranzbereich) : Toleranzbereich D.h., wir haben zwar eine erwartungstreue und konsistente Schätzfunktion, aber die Wahrscheinlichkeit dafür, bei festem n den unbekannten Wert mit dieser Schätzfunktion genau zu erhalten, ist = 0. 4

5 in welchem θ mit Sicherheit 1-α liegt: Bezeichnungen: D.h., wir werden mit Einführung von ε etwas ungenauer mit unserer Schätzung, aber dafür wird die Sicherheit wird höher, dass wir θ "einkästeln". Toleranzintervall, Konfidenzintervall, Bereichsschätzung. Ein Toleranzintervall hängt von 3 wesentlichen Größen ab: n, ε und 1-α. Berechnung von Toleranzbereichen Wir werden später sehen: - Je größer bei festem n die.intervallbreite ε ist, umso größer wird die Sicherheitswahrscheinlichkeit 1-α - Je genauer man ist (d.h. je kleiner ε), desto kleiner auch die Sicherheitswahrscheinlichkeit 1-α - Je größer man n wählt, um so kleiner kann man ε wählen bei fest vorgegebener Sicherheit 1-α bzw.umso größer wird die Sicherheit bei fest vorgegebenem ε 5

6 II.1 Berechnung eines Toleranzbereiches für den unbekannten Anteil p=p(a)=p(x=1) Sei X = Ereignis A tritt auf A tritt nicht auf p (1-p) Ges: Toleranzbereich für p= P(X=1)=P(A) Mathem. Es gilt: Schätzfunktion: p, Var(X i )=p(1 p) bzw. Wenn n wächst, so word die Verteilung von h n (A) immer spitzer und streut enger um p. Verteilung von p = h n (A): Wir wissen (siehe Anhang zum Übungsblatt 5): Die Summe von sehr vielen unabhängigen Zufallsgrößen Xi und damit die relative Häufigkeit ist näherungsweise für große n (n 120) normalverteilt (Erwartungswert p und Varianz p(1-p)/n hatten wir oben bereits berechnet). Wir nehmen im Weiteren an, dass n 120 ist und legen diese Normalverteilung für h n (A) zugrunde. 6

7 Aufgabe: Lösung: Es gilt: und p ε p+ε 7

8 Ergebnis: Problem: p ist unbekannt, deshalb können wir ε nicht ausrechnen. Lösung: wir vergrößern ε ein bischen; da das Intervall dadurch größer wird, wird die Überdeckungswahrscheinlichkeit 1-α: Toleranzbereich für p = P(A) zur Sicherheit 1-α (Voraussetzung: n 120) mit Modifizierter in der Praxis verwendeter Toleranzbereich für p: Voraussetzung: n 120 1) Aufgabe: =Aufgabe 3a) vom Blatt 5 An einer Tankstelle werden Fahrzeuge auf das Vorhandensein von Katalysatoren geprüft. a) Von n= 150 hatten 30 keinen Katalysator. Berechnen Sie ein Vertrauensintervall für den Anteil p aller Autos mit Katalysator zur Sicherhit von 90%. Lösung: n=150 h n (K)=0,8 8

9 Ergebnis: (siehe Tabelle der Standardnormalverteilung) D.h., für den Anteil P(K) aller Autos mit Katalysator gilt: 2. Aufgabe: Was bedeutet die Sicherheitswahrscheinlichkeit 1-α, z.b. 1-α=0,9? Antwort: Wenn 100 Leute eine Stichprobe vom gleichen Umfang n machen und jeweils mit ihrer SP das Toleranzintervall für p berechnen, so liegt p in 90% bzw. (1-α)*100% aller dieser Intervalle und nur 10 Personen irren sich mit ihrem Intervall. p 1-α=0,9: Von 10 auf der Basis verschiedener SP vom Umfang n berechneten Intervallen enthalten 9 p; nur in einem Fall irrt man sich. 3. Aufgabe Toleranzbereich für p mit Sicherheit 1-α ist: Frage: Wie groß muss n sein, so dass die Breite ε des Intervalls eine vorgegebene Schranke εo nicht überschreitet? 9

10 4. Aufgabe Übungsbaltt 5 Lösung: Es muss gelten: 10

11 Aufgabe 5: A Kiste mit 2 Millionen Stück bunten Smarties. Frage: Wieviele rote sind drin? Der Toleranzbereich für p mit Sicherheit 1-α ist: Lösung: Diese Frage können wir nicht 100 % sicher, sondern nur mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit vonn 1 α und Ungenauigkeit ±ε beantworten. Wählen wir 1-α = 0,9544 so ist u1-α/2=2 und wir erhalten den Toleranzbereich für den Rotanteil zur Sicherheit 95,44%: Wir machen eine Stichprobe und schätzen den Rotanteil in der Stichprobe: D.h. mit einer Sicherheit von 95,55% schätzen wir den Rotanteil im gesamten Glas durch eine Stichprobe vom Umfang n mit der Genauigkeit Anteil der Roten Smarties im Glas: II.2 Toleranzbereiche für den unbekannten Erwartungswert EX=μ einer Zufallsgröße X (Genauigkeit) Konkrete Formel für die Genauigkeit ε (α,n) hängt davon ab, ob X normalverteilt ist oder nicht und ob die Varianz von X Var(X)=σ 2 bekannt ist oder nicht. Die Formeln findet man im Anhang zu Übungsblatt 5 (Formeln (3)-(5) 11

12 Aufgabe 1: Lösung zu a): a) Wie groß ist die Sicherheitswahrscheinlichkeit für diese Genauigkeit? Lösung: 12

13 Anderes Vorgehen: Wir berechnen 1-α aus der Genauigkeitsvorgabe: ε(α,n)=3: Wir ermitteln u durch lineare Interpolation aus der Tabelle der t-verteilung: Daraus ergibt sich für 1-α: 13

14 Für n=32: x = 30, s 2 =4 für einen Toleranzbereich mit: Lösung: D.h., der SPU vom Umfang n=32 reicht aus! Aufgabe 5 Übungsblatt 5: Geg: μ (und σ) n und 1 α Ges: Zufallstreubereich für X Siehe nächste Vorlesung 14