Statistics, Data Analysis, and Simulation SS 2017

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Linda Bieber
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1 Statistics, Data Analysis, and Simulation SS Statistik, Datenanalyse und Simulation Dr. Michael O. Distler Mainz, May 29, 2017 Dr. Michael O. Distler Statistics, Data Analysis, and Simulation SS / 12

2 Mittelwert einer Gauß-Verteilung mit ML In mehreren Experimenten wurden n Werte der Zufallsvariablen x gemessen, welche normalverteilt um einen unbekannten Mittelwert µ streuen, mit unterschiedlichem, aber bekanntem σ 2 : Gaussian p.d.f.: f (x i, µ) = 1 ( ) e 1 xi µ 2 2 σ i 2πσi neg. log-likelihood function: ( xi µ ) 2 F(µ) = const df dµ = = x i µ σ 2 i x i σ 2 i µ = 0 1 σ 2 i σ i Dr. Michael O. Distler <distler@uni-mainz.de> Statistics, Data Analysis, and Simulation SS / 12

3 Mittelwert einer Gauß-Verteilung mit ML Beste Schätzung: ˆµ = xi σ 2 i 1 σ 2 i = wi x i wi (gewichtetes Mittel) Standardabweichung: ( d 2 F σ(ˆµ) = dµ 2 Gleiche Varianzen: σ i = σ Gewichte: w i = 1 σ 2 i ˆµ) 1/2 = 1 1 / σi 2 = 1 wi ˆµ = 1 / σ i 2 x i 1 / σ i 2 1 = 1 n xi σ(ˆµ) = σ n Dr. Michael O. Distler <distler@uni-mainz.de> Statistics, Data Analysis, and Simulation SS / 12

4 Gewichtung von Messgrößen: Wie man es nicht macht Radioaktiver Zerfall: Poisson Verteilung Messung für 1h, Ergebnis: 4 Zerfälle/h, 1/h, 2/h, 1/h Anwendung von Halbwissen : Zählexperiment: error N für große N (min. N > 10) Mittlere Zahl von Zerfällen pro Stunde: 4 λ 1/h = = σ 1/h = 2 FALSCH 11 λ = (1,45 ± 0,60) /h = Dr. Michael O. Distler <distler@uni-mainz.de> Statistics, Data Analysis, and Simulation SS / 12

5 Mittelwert einer Poisson Verteilung (ML Schätzer) Schätzung von Parameter ˆµ (n Beobachtungen) einer Poisson Verteilung: f (x i µ) = µx i x i! e µ Normiert! für alle µ neg. log-likelihood Funktion: F (µ) = (x i ln µ µ ln x i!) = ln µ x i + nµ + const. df dµ = n 1 µ x i d 2 F dµ 2 = 1 µ 2 x i Beste Schätzung: ˆµ = 1 x i n ( V[ˆµ] = ˆµ n = d 2 1 F dµ 2 = µ=ˆµ) ( ) nˆµ 1 ˆµ 2 = ˆµ n Dr. Michael O. Distler <distler@uni-mainz.de> Statistics, Data Analysis, and Simulation SS / 12

6 Mittelwert von Poisson-Messgrößen: Diesmal richtig Measurements: 4, 1, 2, 1 ˆµ = 1 ( ) = 2,0 (nicht 1,45) 4 V[ˆµ] = 2 4 = 1 2 σ(ˆµ) = 0,70 (nicht 0,60) neg. log likelihood F(µ) F= parameter µ Dr. Michael O. Distler <distler@uni-mainz.de> Statistics, Data Analysis, and Simulation SS / 12

7 Konfidenzgrenzen Bislang: Ein Parameter mit dem wahren Wert x t wurde gemessen. Die Meßapparatur hat einen normalverteilten Fehler σ. Der gemessene Wert x m ist eine Zufallsvariable, die einer Gauß-Verteilung N(µ = x t, σ) folgt. Was kann man durch die Messung über x t aussagen? x t ist unbekannt, aber Wahrscheinlichkeitsaussagen über die untere und obere Grenze von x t sind möglich. Konfidenzgrenzen Dr. Michael O. Distler <distler@uni-mainz.de> Statistics, Data Analysis, and Simulation SS / 12

8 Konfidenzgrenzen für Normalverteilung obere Grenze: x m oder kleiner hat die Wahrscheinlichkeit α u xm { xm 1 α u = N(x u, σ)dx = exp 1 ( ) } x 2 xu dx 2πσ 2 σ untere Grenze entsprechend α l = + x m N(x l, σ)dx Dr. Michael O. Distler <distler@uni-mainz.de> Statistics, Data Analysis, and Simulation SS / 12

9 Konfidenzgrenzen Häufige Wahl: 68% (1σ), 95,4% (2σ), 90% (1,64σ), 95% (1,96σ), 99% (2,58σ) Mögliche Intervalle: Symmetrische Intervalle: x u x m = x m x l kleinstes Intervall: x u x l = ist Minimum Zentrales Intervall: α l = α u Dr. Michael O. Distler <distler@uni-mainz.de> Statistics, Data Analysis, and Simulation SS / 12

10 Konfidenzgrenzen für Poisson-Verteilung 0.1 Ohne Beweis: Obere (und untere) Grenze kann mit der χ 2 -CDF berechnet werden. α unten = α oben = r=n r=0 e µ untenµ r unten r! e µ obenµ r oben r! = P = 1 P ( ) χ 2 2n 2µ unten ( ) χ 2 2n+2 2µ oben Dr. Michael O. Distler <distler@uni-mainz.de> Statistics, Data Analysis, and Simulation SS / 12

11 Konfidenzgrenzen für Poisson-Verteilung 0.1 Beispiel: n = 9 Radioaktive Zerfälle wurden gemessen Berechne die 90% Konfidenzgrenzen ( ˆ=1,645σ) α unten = 0,05 = α oben = 0,05 = 1 χ 2 =2µ unten Ergebnis (90% Konfidenz): µ = 9 +6,7 4,3 0 χ 2 =2µ oben (naiv und falsch: 9 ± 1,645 9 = 9 ± 4,9 die Gaußsche Näherung gilt hier nicht) 0 φ 18 (t)dt φ 20 (t)dt Dr. Michael O. Distler <distler@uni-mainz.de> Statistics, Data Analysis, and Simulation SS / 12

12 Konfidenzgrenzen für Poisson-Verteilung Es werden n = 9 Radioaktive Zerfälle beobachtet 90% Konfidenz 95% Konfidenz einseitig nur unten 5,432 µ 4,695 µ nur oben µ 14,21 µ 15,71 beidseitig zentral 4,695 µ 15,71 4,115 µ 17,08 symmetrisch 3,542 µ 14,46 2,270 µ 15,73 minimal 4,141 µ 14,87 3,600 µ 16,25 Dr. Michael O. Distler <distler@uni-mainz.de> Statistics, Data Analysis, and Simulation SS / 12

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