Wie hoch ist der zu erwartende Gewinnausschüttung des Anbieters des Glücksspiels pro Spiel? (Erwartungswert)

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1 1. Einheit: Erwartungswert Beispiel 1: Bei einem einfachen Glücksspiel möchte der Anbieter eines Glücksspiels (Zufallsexperiment) wissen, wie groß die Summe ist, die er pro Spiel an den Spieler auszahlen muss. Zufallsexperiment 1maliger Würfelwurf Spieler zahlt keinen Einsatz. Der Spieler gewinnt einen 1, wenn er eine 6 würfelt. Sonst, keine Gewinnausschüttung Wie hoch ist der zu erwartende Gewinnausschüttung des Anbieters des Glücksspiels pro Spiel? (Erwartungswert) 1. Zugang: Simulation des Spiels 10 Würfe (10 Spiele) Ereignis (Augenzahl) Gewinnausschüttung Gewinnausschüttung pro Spiel: 2/10 = 0,2 pro Spiel 2. Zugang: Wahrscheinlichkeitsrechnung: a.) Zufallsgröße X: {1,2,3,4,5,6} Gewinn X(1)=0 X(2)=0 X(3)=0 X(4)=0 X(5)=0 X(6)=1 b.) Wahrscheinlichkeitsverteilung k 0 1 P(X=k) 5//6 c.) Ermittlung der durchschnittlichen Gewinnausschüttung pro Spiel Zu erwartende Gewinnausschüttung pro Spiel = 5/6 * 0 + 1/6 * 1 = 1/6 0,17 Antwort: Langfristig wird der Glücksspieler einen Verlust von 0,17 machen. Nehme er zum Beispiel einen Einsatz von 0,2 wäre langfristig ein Gewinn für den Glücksspielanbieter von 0,03 zu erwarten.

2 Merke: Dieser zu erwartende Gewinn pro Spiel wird als Erwartungswert bezeichnet. Er ist die Summe der Produkte, die aus den Werten der Zufallsgröße und der zugehörigen Wahrscheinlichkeiten gebildet werden. Beispiel 2: Zufallsexperiment Eine Münze wird dreimal geworfen. Ein Spieler gewinnt 10 : (ZZZ) Ein Spieler gewinnt 5 : (ZZW), (ZWZ),(WZZ) Ein Spieler gewinnt 9 : (WWW) Ansonsten verliert der Spieler. Es wird kein Einsatz erhoben. Antwort: Wie groß wird der Verlust des Glücksspielanbieters durchschnittlich pro Spiel sein? (Erwartungswert) a. Die Zufallsgröße und die Wahrscheinlichkeitsverteilung Gruppe von Elementarereignisses = Gewinn: X Wahrscheinlichkeit günstige Ereignisse ZWW,WZW,WWZ 0 3 (3 Elementarereignisse, die den Gewinn 0 haben; Elementarereignisse ZZW, ZWZ, WZZ, 5 3 (3 Elementarereignisse, die den Gewinn 5 haben; Elementarereignisse WWW 9 1 (1 Elementarereignis, das den Gewinn 9 hat; Elementarereignisse ZZZ 10 1

3 b. Wahrscheinlichkeitsverteilung (1 Elementarereignis, das den Gewinn 10 hat; Elementarereignisse P(X=0) = 3 P(X=5) = 3 P(X=9) = 1 P(X=10) = 1 (Die Zufallsgröße für X=0 hat die Wahrscheinlichkeit 3/.) (Die Zufallsgröße für X = 5 hat die Wahrscheinlichkeit 3/.) (Die Zufallsgröße für X = 9 hat die Wahrscheinlichkeit 1/.) Die Zufallsgröße für X= 10 hat die Wahrscheinlichkeit 30/.) Oft wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung in einer Tabelle angegeben. k P(X=k) c. Erwartungswert (durchschnittlicher Gewinnausschüttung pro Spiel durch den Anbieter) Durchschnittliche Gewinnausschüttung pro Spiel = P(X=0)* 0 + P(X=5)*5 + P(X=9)*9 + P(X=10)*10 = 3 * * * * 10 = = 34 = 4,25 Antwort: Pro Spiel kann eine Gewinnausschüttung von 4,25 erwartet werden, wenn viele Spiele durchgeführt werden. Der Glücksspielanbieter sollte von daher einen höheren Einsatz als diesen Erwartungswert von den Spielern verlangen. Merke: Dieser zu erwartende Gewinn pro Spiel wird als Erwartungswert bezeichnet. Er ist die Summe der Produkte, die aus den Werten der Zufallsgröße und der zugehörigen Wahrscheinlichkeiten gebildet werden. Achtung: Siehe Buch Seite 11

4 Aufgabe 7:

5 Aufgaben: 1. Wie groß ist die relative Häufigkeit bei dem Ereignis 00? (siehe evtl. Seite 12) 2. Aufgabe: Bestimme die relative Häufigkeit des Ergebnisses 5 Gewinn, 2 Gewinn, 1 Gewinn und 0 Gewinn! (Nutze dein Schulbuch, wenn erforderlich!) 3. Zeichne ein Baumdiagramm zu dem Zufallsversuch! Schreibe an die Zweige des Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten und berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis 2 Gewinn! (Seite 12) 4. Die Tabelle weist jedem Ereignis eine Zufallsgröße zu. Fülle die Tabelle aus! Was gibt die Zufallsgröße an? (Info: Seite 352) Ereignis Zufallsgröße X , 22, , 12, 13,. 0 X: {Ereignisse} -> {0,1,2,5} 5. Was bedeutet P(X=5) = 0,01? Fülle die Lücken aus! Die Zufallsgröße 5, hinter der das Ereignis, hat eine Wahrscheinlichkeit von. 6. Wie groß hätte der Einsatz bei den 100 Testspielen sein müssen, damit der Anbieter keinen Verlust gemacht hätte? 7. Berechne den Erwartungswert wie im hier oder im Buch Seite 11! Was gibt der Erwartungswert an?. Welchen Einsatz pro Spiel würdest du festlegen?

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