11 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "11 Wahrscheinlichkeitsrechnung"

Transkript

1 1 Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung 11.1 Zufallsexperimente Beispiele Definition: Vorgänge bei denen man das Ergebnis noch nicht kennt, heissen Zufallsexperimente. Sämtliche möglichen Ergebnisse eine Zufallsxperimentes werden zu einer Menge zusammengefasst. Diese Menge heisst Ergebnismenge S = e e, e,...,. (Ergebnisraum) { } 1, 2 3 e n Vor der Durchführung eines Zufallsexperimentes muss die Ergebnismenge festgelegt werden: Beispiele: 1) Würfeln S = { Definition 2) Man zieht eine Kugel aus einer Urne mit roten, grünen und blauen Kugeln. S = { 3) Die Religionszugehörigkeit der Schü der Klasse H3c S = { Eine Teilmenge einer Ergebnismenge heisst Ereignis. Aufgaben: 1 Man würfelt mit zwei Würfeln. Als Ergebnis wird die Augensumme der beiden Würfel betrachtet. a) Wie lautet die Ergebnismenge? b) Ereignis A: Die Augensumme ist gerade. c) Ereignis B: Die Augensumme ist kleiner als 6. d) Ereignis C: Das Gegenereignis zu A. e) Ereignis D: Die Augensumme ist eine durch 4 teilbare Zahl. f) A D g) C D h) B D i) A D

2 Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 2 In einer Schulklasse soll ein(e) Klassenchef(in) und ein(e) Stellvertreter(in) gewählt werden. Martin, Thomas, Julia und Claudia sind bereit, sich wählenzu lassen. Wie lautet die Ergebnismenge? Geben Sie S als Menge von geordneten Paaren an. S = { Die Anzahl der möglichen Ergebnisse beträgt S = 4 3 = In einer Urne befinden sich 3 Kugeln (je eine rote, blaue und grüne) a Man zieht nacheinander 2 Kugeln, ohne sie zurückzulegen. Wie lautet die Ergebnismenge? b Man zieht 2 Kugeln, wobei die erste jeweils wieder zurückgelegt wird. Die Reihenfolge spielt keine Rolle. Bestimme S.

3 3 Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung 11.2 Mehrstufige Zufallsexperimente Beispiel Eine Basketballmannschaft wählt in einem ersten Wahlgang ihren Captain und in einem zweiten Wahlgang ihren Mannschaftssprecher. Drei Spieler Adi, Bobby und Chris stehen für diese Aufgaben zur Verfügung. Es ist möglich, dass ein Spieler beide Aufgaben übernimmt. Stellen Sie das Wahlprozedere graphisch dar! A B C Ergebnismenge S = { AA, Zufallsexperimente, die sich in 2 oder mehr Stufen durchführen lassen, kann man durch ein Baumdiagramm veranschaulichen, falls in jeder Stufe nur endlich viele (nicht zuviele!!) Ergebnisse möglich sind. Man kann zweistufige Zufallsexpermente auch als ein einziges Zufallsexperiment auffassen. Man kann die Ergebnisse als geordnete Paare angeben. In einem dreistufigen Z. heissen die Ergebnisse Tripel. Allgemein nennt man Ergebnisse bei einem n-stufigen Z. n-tupel.

4 Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung 4 Beispiele: 1 Gegeben sind 2 Urnen U 1 und U 2.U 1 enthält schwarze und rote Kugeln, U 2 weisse und schwarze. Zunächst wird aus U 1, dann aus U 2 eine Kugel gezogen. Wie lautet die Ergebnismenge? 2 Von vier Sportlern Artest, Bryant, Carter und Duncan sollen 2 zur Doping Kontrolle ausgelost werden. (Reihenfolge spielt keine Rolle). Bestimmen Sie S = { 11.3 Ereignisse Beispiel: Beim Monopoly möchte Reto den Paradeplatz (ZH) kaufen. Er steht 10 Felder davor. Laut Spielregeln darf er mit zwei Würfeln werfen. Mit welcher Kombination von Augenzahlen der beiden Würfel erreicht er sein Ziel? Hier nochmals die Definition Eine Teilmenge einer Ergebnismenge heisst Ereignis. Hinweis 1 Auch die Ergebnismenge S und die leere Menge { } sind Ereignisse! 2 Das Ereignis S tritt bei jeder Durchführung ein und heisst daher sicheres Ereignis. 3 Das Ereignis {} tritt niemals ein und heisst daher unmögliches Ereignis. 4 Ist ein Ergebnis keine Element eines Ereignisses A, so ist das Gegenereignis A ( A quer ) eingetroffen.

5 5 Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung 11.4 Aufgaben 1 Bei den Grand Slam Tennisturnieren wird solange gespielt, bis einer der beiden Spieler A oder B 3 Sätze gewonnen hat. (3 Gewinnsätze) a) Wie lautet die Ergebnismenge S? b) Bestimmen Sie das Ereignis Ein Spieler gewinnt in 3 Sätzen. c) Bestimmen Sie das Ereignis Ein Spieler gewinnt in 4 Sätzen. d) Bestimmen Sie das Ereignis B gewinnt. e) Bestimmen Sie das Ereignis A gewinnt in 3 Sätzen. 2 Pierre hat in seiner Geldbörse 7 Münzen: zwei 5-Rp-Stücke ein 10-Rp-Stück zwei 50-Rp-Stücke ein 1-Fr-Stück ein 2-Fr-Stücke Wie lautet das Ereignis, dass drei zufällig herausgenommene Münzen genau den Wert von CHF 1.10 haben? 3 Pasqualina würfelt mit einem Würfel. Bestimmen Sie folgende Ereignisse: A: Eine Zahl grösser als 3 wird geworfen B: Eine gerade Zahl C: Eine gerade Zahl grösser als 3 4 Eine Münze wird dreimal geworfen. Jedes Mal wird notiert, ob Kopf oder Zahl oben liegt. Geben Sie die Ergebnismenge sowie folgende Ereignisse an: A: genau zweimal Zahl B: höchstens einmal Zahl C: Immer Zahl D: Gegenereignis von B 5 In einer Wunderkiste liegen Süssigkeiten, Spiele und Farbstifte. a) Wie lautet die Ergebnismenge, wenn man dreimal nacheinander in die Kiste greifen darf und von jeder Sorte mehr als drei Dinge liegen? b) Ereignis P: Man darf dreimal nacheinander in die Kiste greifen und es sollen zwei Spiele dabei sein. 6 In einer Schachtel liegen drei Karten mit den Buchstaben A, B, und C. Man zieht dreimal eine Karte ohne zurück zu legen. Geben Sie die Ergebnismenge an. 7 Aus vier Sportlern a, b, c und d sollen zwei zur Dopingkontrolle ausgelost werden. Wie lautet die Ereignismenge? Spielt die Reihenfolge eine Rolle? 8 Beim Zahlenlotto 3 aus 5 werden drei Zahlen aus den Zahlen 1 bis 5 ausgewählt. Wie lautet die Ergebnismenge?

6 Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung 6 9 Eine Urne enthält 10 Kugeln mit den Zahlen 0 bis 9. Eine Kugel wird gezogen. a) Geben Sie die Ereignisse in aufzählender Schreibweise an: A: Primzahl B: Zahl durch 5 teilbar C: Ungerade Zahl D: Zahl grösser als 8 E: Zahl kleiner als 4 F: Quadratzahl 10 Die drei Triebwerke eines Flugzeugs werden getestet; es interessiert, ob diese einwandfrei arbeiten (1) oder nicht (0). a) Geben Sie die Ergebnismenge mit Tripeln an. b) Geben Sie folgende Ereignisse in aufzählender Schreibweise an: A: Genau ein Triebwerk ist schadhaft B: Höchstens ein Triebwerk ist schadhaft C: Mindestens ein Triebwerk ist schadhaft. 11 Wieviele Ereignisse gehören zu einem Zufallsexperiment mit a) 2 Ergebnissen b) 3 Ergebnissen c) n Ergebnissen 12 Beim Werfen eines Würfels sei X eine Zufallsvariable für das Quadrat der gefallenen Augenzahlen. Welche Werte kann X annehmen? Welche Ereignisse (in aufzählender Schreibweise) werden beschrieben durch: a) X < 9 b) X < 36 c) X = 16 d) 4 X 25 e) 1 < X 25

7 7 Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung 11.5 Absolute und relative Häufigkeit Die folgende Liste enthält die Ergebnisse von 60 Würfen mit einem Würfel Die Augenzahl 3 kommt bei den 60 Würfen insgesamt 12-mal vor, die der Zahl 3 ist 12. Bestimmen Sie die übrigen absoluten Häufigkeiten: Augenzahl absolute Häufigkeit Die der Zahl 3 ist 12 von 60, also = = 0.2 = 20% Entsprechend erhält man die folgende Häufigkeitstabelle für die relativen Häufigkeiten. Augenzahl relative Häufigkeit Für das Ereignis A: Gerade Augenzahl ergibt sich die relative Häufigkeit = =. Hierfür schreibt man h ( A) = 43.3% Definition: Ein Zufallsexperiment werde Ist ein Ereignis A dabei n mal durchgeführt. H Häufigkeit, die relative Häufigkeit von A. n H -mal eingetreten, so nennt man H die absolute Man schreibt H h ( A) = (lies: h von A ) n

8 Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung 8 Relative Häufigkeiten haben folgende Eigenschaften: h (A) h( S) = 1, wenn S { } Für das Ereignis A = e1, e2, e3,..., e r gilt h ( A) = h( e1 ) + h( e2) h( er ), d.h. relative Häufigkeit eines Ereignisses A erhält man durch Addition der relativen Häufigkeiten der Ergebnisse, aus denen sich A zusammensetzt Aufgaben 1 Unter den nach Arbeitern, Angestellten, Beamten und Selbstständigen gegliederten Berufstätigen einer Stadtbevölkerung verhalten sich die Anteile bei der angegebenen Reihenfolge wie 7:5:3:4. Wie lautet die relaitve Häufigkeit jeder Berufsgruppe? 2 Die wiederholte Durchführung eines Zufallsexperimentes erbrachte die Zahlen: 1,4,5,6,3,2,7,7,9,8,0,0,3,7,6,6,1,5,7,4,3,7,1,5. Bestimme die relative Häufigkeit des Ereignisses A: Die Zahl ist gerade. 3 Jeder 15. Angestellte einer Firma kommt zu Fuss; 7 von 10 mit MIV, 8 von 100 mit dem Fahrrad; die übrigen benutzen ÖV. Geben Sie die relativen Häufigkeiten auf dem Weg zur Arbeit in Prozent an. 4 Um beim Fernsehen die Einschaltquoten zu ermitteln, befragt die Gesellschaft für Konsumforschung (GfK) rund 6000 Personen und rechnet dann hoch auf 6 Millionen Personen ab 3 Jahren in Fernsehhaushalten. a) Die GfK gibt für das Fussballspiel Schweiz Türkei 18% an. Wieviele Personen in der Schweiz haben das Spiel gesehen? b) Das Rückspiel Türkei Schweiz haben 2.5 Millionen gesehen. wie hoch war die Einschaltquote? 5 Eine Telekom-Firma untersucht die Gesprächsdauer bei Ferngesprächen. Sie ermittelt dazu bei 270 Gesprächen die Gesprächsdauer (in Gebühreneinheiten). Dauer des Gesprächs über 10 Anzahl Gespräche Wie gross ist die relative Häufigkeit für eine Gesprächsdauer X mit a) X < 3 b) X < 5 c) X 9 d) 4 < X < 10 e) X > 5 6 Ein Zufallsexperiment hat die Ergebnismenge { e, e e } S =. Bei , Durchführungen trat 18-mal das Ergebnis e1 und 42-mal das Ergebnis e 2. Geben Sie alle Ereignisse an und bestimmen Sie für jedes Ereignis die relative Häufigkeit. 3

9 9 Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung 11.7 Mathematische Wahrscheinlichkeit Das Gesetz der grossen Zahlen Bis jetzt haben wir Zufallsexperimente nach der der Durchführung beschrieben. Es bleibt die Frage, ob wir auch vor der Durchführung eines Zufallsexperimentes etwas über den Ausgang sagen können. Wir wollen uns jetzt mit der Frage beschäftigen, wie wahrscheinlich ein bestimmtes Ergebnis oder Ereignis eintritt. Beispiel: Münzwurf Das Zufallsexperiment: Eine Münze wird geworfen hat die S = Kopf, Zahl Ergebnismenge { } K = {Kopf } und Z = { Zahl} sind Elementarereignisse (d.h. Ereignisse mit nur einem Element) Das Experiment werde m-mal durchgeführt. Wir stellen den Ausgang des Zufallexperimentes in der folgenden Tabelle dar: m Kopf Zahl relative Häufigkeit für K relative Häufigkeit für Z Anfänglich gibt es grosse Schwankungen, aber wenn immer mehr Experimente (=Würfe) durchgeführt worden sind, stabilisieren sich die relativen Häufigkeiten. Dies geschieht nach dem so genannten. In unserem Beispiel stabilisiert sich die relative Häufigkeit bei 0.5 (=50%) ein. Den Wert, auf den sich die Häufigkeitswerte für immer grösser werdende m hin stabilisieren, bezeichnet man als Wahrscheinlichkeit des beobachteten Ereignisses. Damit haben wir eine statistische Definition der Wahrscheinlichkeit gegeben. Aufgrund von vielen Beobachtungen haben wir festlegen können, wie häufig ein Elementarereignis erwartet werden kann, wie wahrscheinlich es ist. Beachte: Das Gesetz der grossen Zahl besagt nicht, dass nach einer langen Serie Kopf im obigen Beispiel eine Zahl beim nächsten Wurf kommen muss!

10 Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung 10 Die Wahrscheinlichkeit für ein Elementarereignis kann auch durch Vorgaben und Überlegungen festgelegt werden. Beispiel: Würfel mit einem Wurf S = { 1,2,3,4,5,6 } Wir können eine Serie von m Zufallsexperimenten durchführen. Dabei wird sich die 1 Wahrscheinlichkeit bei einem fairen Würfel für ein Elementarereignis bei 6 stabilisieren. Würde sich die relative Häufigkeit bei einem andern Wert stabilisieren, wär dies kein fairer Würfel. Somit kann man auch festlegen: Ein Würfel ist nur dann ein fairer Würfel, bei dem jedes Ergebnis gleichwahrscheinlich ist. Dieser zweite Weg zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit wird oft bei Spielen beschritten. Der erste Weg über eine grosse Anzahl hintereinander ausgeführten Zufallsexperimenten muss beschritten werden, wenn für Alltagssituatioinen Wahrscheinlichkeiten erklärt werden müssen (z.b. Bekleidungsindustrie) Der Begriff der mathematischen Wahrscheinlichkeit Axiome (Forderungen) Für Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen soll gelten: 1 P( E) 0 Für jedes Ereignis ist die Wahrscheinlichkeit grösser oder gleich Null. 2 P( S) = 1 Die Wahrscheinlichkeit für das sichere Ereignis S ist gleich 1. 3 P ( A B) = P( A) + P( B) falls A und B unvereinbare Ereignisse sind, d.h. A B = {} ist.

11 11 Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung Damit sind die wichtigsten Eigenschaften der mathematischen Wahrscheinlichkeit festgelegt. Beispiel: Wurf mit einem Würfel Wie wir schon festgelegt haben, sind die Wahrscheinlichkeiten für die Elementarereignisse {} 1 ) = P( {} 2 ) = P( {} 3 ) = P( {} 4 ) = P( {} 5 ) = P( {} 6 P ( ) = Nach den Axiomen für die Wahrscheinlichkeit kann man auch die Wahrscheinlichkeit anderer Ereignisse berechnen. Beispiele: 1 Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine 3 oder eine 5 zu würfeln? Welches Axiom kommt zur Anwendung? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine 1 oder eine 3 oder eine 5 zu würfeln? Welches Axiom kommt zur Anwendung? 3 Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine 1, 2, 3, 4, 5 oder eine 6 zu würfeln? Welches Axiom kommt zur Anwendung? 4 Berechne folgende Wahrscheinlichkeitswerte: P ( 4,5,6 ); P( 3,4 ); P( 2,4,6, ); P( 1,2,3,4,5. { } { } { } { }) Die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignis, des unmöglichen Ereignis und des Gegenereignis Die Wahrscheinlichkeit für das sichere Ereignis und ist gleich 1: P( S) = 1 S wurde schon in Axiom 2 festgelegt Aus den oben geforderten Eigenschaften für die mathematische Wahrscheinlichkeit folgen sofort weitere: 1 Jede Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E ist kleiner oder gleich 1: P ( E) 1 2 Die Wahrscheinlichkeit für das unmögliche Ereignis ist Null: P ( ) = {} 0 3 Die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis E ist P( E) = 1 P( E) bzw. P ( E) = 1 P( E) 4 P( A) P( B), falls A notwendig B nach sich zieht, d.h. A B.

12 Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung Gleichwahrscheinliche Ereignisse Beispiel: Jassen mit 36 Karten Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, Herz Ass zu ziehen? Herz Ass ist eine beliebige der 36 Karten. Wenn alle Karten zur Auswahl stehen, ist die Wahrscheinlichkeit, gezogen zu werden, für jede gleich gross. p + p + p p = 36 p = 1 p = 1 36 Wie gross ist Wahrscheinlichkeit, eine rote Zehn zu ziehen? Ereignis RZ = { Herz Zehn, Karo Zehn} = { Herz Zehn} { Karo Zehn} Nach Axiom 3 gilt 1 1 P ( RZ) = + = Allgemein gilt: Besteht bei einem Zufallsexperiment die Ergebnismenge aus m Elementen und ist jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich, so berechnet sich die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis E, das aus k Elementen besteht, wie folgt: P ( E) = = m m m oder als Merkregel: k m Die Anzahl der günstigen Fälle durch die Anzahl der möglichen Fälle.

13 13 Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel: Urne mit 12 Kugeln 6 der 12 Kugeln sind weiss, 4 rot und 2 blau. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: W= {weisse Kugeln} R= {rote Kugeln} B= {blaue Kugeln} NW= {nicht weisse Kugeln} NR= {nicht rote Kugeln} RW= {rote oder weisse Kugeln} P (W ) = P (R) = P (B) = P (W ) = P (R) = P (RW ) = Beispiel: Geburtstagsmonat Zwei Frauen Sandra und Rebecca sind in der gleichen Klasse. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide im Januar Geburtstag haben? Wie lautet die Ergebnismenge S? S = {( Jan / Jan),( Jan / Feb)... Wieviele Elemente enthält S? Somit ist P ( Jan / Jan) =

14 Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung 14 Aufgaben: 1 Mit welcher Wahrscheinlichlkeit haben beide im gleichen Monat Geburtstag? 2 Mit welcher Wahrscheinlichlkeit hat mindestens eine im Februar Geburtstag? 3 Mit welcher Wahrscheinlichlkeit hat keine im Februar Geburtstag? 4 Mit welcher Wahrscheinlichlkeit haben beide im 4. Quartal Geburtstag?

15 15 Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung Pfadregeln Manche Zufallsexperimente werden in mehreren Stufen ausgeführt. Das folgende Beispiel dient als Modell, auf das viele Anwendungen übertragen werden können. Beispiel: Ziehen von Kugeln mit Zurücklegen In einer Urne sind 4 weisse und drei blaue Kugeln. Für die Ergebnismenge gilt also S = 7 Wir ziehen zunächst eine Kugel. Es sei Ereignis W eine weisse Kugel wird gezogen und B eine blaue Kugel wird gezogen: W = { weisse Kugel } B = { blaue Kugel} Es ist P (W ) = und P (B) = b Wir ziehen nun zweimal eine Kugel und legen nach dem 1. Ziehen die gezogene Kugel wieder zurück in die Urne, bevor wir erneut eine Kugel ziehen. 1 Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, in beiden Zügen eine blaue Kugel zu ziehen? 2 Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, in beiden Zügen eine gleichfarbige Kugel zu ziehen? Baumdiagramm: b w In 3 von 7 Fällen ziehen wir beim ersten Ziehen eine blaue Kugel und davon in 3 von 7 Fällen beim zwieten Ziehen wieder ein blaue, also P ( b / b) = = b w b w {( b / b), ( w w) } = + = P /

16 Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung 16 Wie lauten nun also die Pfadregeln? 1. Wahrscheinlichkeit entlang eines Pfades 2. Wahrscheinlichkeit mehrer Pfade Beispiel: Ziehen von Kugeln ohne Zurücklegen 1 Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, in beiden Zügen eine blaue Kugel zu ziehen? 2 Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, in beiden Zügen eine gleichfarbige Kugel zu ziehen? 3 Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, zwei verschieden farbige Kugeln zu ziehen? Wie sieht das Baumdiagramm aus? b w b w b w

17 17 Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung 11.8 Aufgaben 1 a) Man würfelt mit zwei Würfeln. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass man zwei 6 würfelt? b) Wie heisst dieses Ereignis? 2 Die Anzahl Schüler und Schülerinnen einer Schule beträgt s. Die Anzahl der Mädchen sei w. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei Auslosung ein Knabe ausgelost wird. 3 a) Wie gross ist Wahrscheinlichkeit, dass man mit einem Würfel eine Zahl zwischen 1 und 6 würfelt? b) Man würfelt mit einem Würfel zweimal hintereinander. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Augenzahl grösser als 12 ist? 4 Aus einer Urne mit 9 blauen, 6 grünen und 3 schwarzen Kugeln werden nacheinder 3 Kugeln gezogen, wobei die gezogene Kugel immer wieder zurückgelegt wird. Geben Sie folgende Wahrscheinlichkeiten an: a) 3 blaue Kugeln b) Reihenfolge blau, grün, schwarz c) drei verschiedene Kugeln d) zuerst 2 grüne dann eine blaue Kugel 5 Wie Aufgabe 4 aber ohne Zurücklegen! 6 Mindestensaufgabe. Beispiel mit Lösung: Wie oft muss man aus einem gut gemischten Jasskartenspiel eine Karte mit Zurücklegen ziehen, damit mit 95% Wahrscheinlichkeit mindestens einmal einen Bauern zieht? Wir nennen das Ereignis E, wenn man mindestens einen Bauern bei n Versuchen bekommt, und E (Gegenereignis von E ) wenn man bei n Versuchen keinen Bauern zieht. Für die Wahrscheinlichkeit dieser Ereignisse gilt dann: P E 0,95 ( ) ( E) 0, 95 1 P Nun enthält ein Jasskartenspiel neben den 4 Bauern noch 32 weitere Karten; Die Wahrscheinlichkeit, bei einem beliebigen Zug keinen Bauern zu ziehen beträgt also 32 8 =. Soll dieses Gegenereignis E (bei n Ziehungen 36 9 nacheinander) eintreten, ist die Wahrscheinlichkeit dafür gemäss der 1. Pfadregel P ( E) n 8 =. 9 8 Wir erhalten somit die Ungleichung 1 0, 95, deren Lösung n wir 9 bestimmen müssen: n

18 Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung n n n 0,95 8 0, n lg lg 0,05 9 lg 0,05 n 8 lg 9 n 25, ,05 1 log 8 lg 9 ( 1) ( ist kleiner als 0! ) Es sind also mindestens 26 Versuche nötig, damit man mit 95% Wahrscheinlichkeit mindestens einen Bauern zieht. 7 Carlo geht oft mit seinen Freunden zum Kegeln. Seine Wahrscheinlichkeit alle neune zu treffen beträgt 25%. Kegeln macht durstig, Carlo trinkt daher gerne ein Glas Bier. Allerdings verringert sich dadurch bei den folgenden Würfen 1 seine Treffsicherheit um pro Glas Bier. 3 a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, fünfmal alle neune zu treffen, wenn er nach dem 3, und 4. Wurf ein Bier trinkt? b) Heute trinkt Carlo nur Mineralwasser. Wie oft muss er mindestens kegeln, wenn er mit 95 % Wahrscheinlichkeit mindestens einmal alle neune treffen will? 8 Eine Firma beschäftigt 60% Männer und 40% Frauen. 75% der Männer und 35% der Frauen rauchen. Einer der Beschäftigten dieser Firma wird zufällig ausgewählt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass es a) um einen männlichen Raucher b) um eine(n) Raucher(in) handelt 9 In einer Urne sind 4 rote, 3 schwarze und 2 weisse Kugeln. Man zieht zweimal hintereinander ohne Zurücklegen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse: A: Beide Kugeln sind gleichfarbig. B: Genau eine Kugel ist weiss. C: Keine der Kugeln ist schwarz.

19 19 Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung 10 Eine Lostrommel enthält 400 Lose. Die Hälfte davon sind Nieten, 80% des Restes ergeben Trostpreise, die übrigen Lose sind Gewinne. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das erste gezogene Los a) ein Gewinnlos b) ein Trostpreis c) eine Niete d) keine Niete? 11 Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist beim Samstags-Lotto 6 aus 49 die erste gezogene Zahl gerade? 12 Eine Urne enthält 11 Kugeln, welche die Zahlen tragen. Das Zufallsexperiment besteht im Ziehen einer Kugel und Feststellen ihrer Nummer. Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an: A: Die Quersumme der Kugelnummer ist gerade. B: Die Quersumme der Kugelnummer ist grösser als 6 C: Die Anzahl der echten Teiler der Kugelnummer beträgt mindestens 4. D: Die Kugelnummer ist eine Primzahl. E: Die Kugelnummer ist nicht gerade aber durch 3 teilbar. 13 Ein idealer Würfel wird zweimal hintereinander geworfen. a) Nach jedem Wurf wird die geworfene Augenzahl festgestellt. Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an: A: Die erste Augenzahl ist grösser als die zweite. B: Das Produkt beider Augenzahlen ist grösser als 9. C: Die erste Augenzahl ist gerade. b) Es interessiert nur die Augensumme. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Augensumme grösser als 8? 14 Aus einem Jassspiel mit 36 Karten wird eine Karte gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die gezogene Karte a) ein Ass b) eine Schaufel-Karte c) das Schaufelass d) eine Schaufelkarte, aber nicht das Ass e) weder eine Schaufel-Karte noch ein Ass f) eine Schaufel-Karte oder ein Ass g) ein Ass, aber keine Schaufel-Karte?

Zusammenfassung Stochastik

Zusammenfassung Stochastik Zusammenfassung Stochastik Die relative Häufigkeit Ein Experiment, dessen Ausgang nicht vorhersagbar ist, heißt Zufallsexperiment (ZE). Ein Würfel wird 40-mal geworfen, mit folgendem Ergebnis Augenzahl

Mehr

Stochastik (Laplace-Formel)

Stochastik (Laplace-Formel) Stochastik (Laplace-Formel) Übungen Spielwürfel oder Münzen werden ideal (oder fair) genannt, wenn jedes Einzelereignis mit gleicher Wahrscheinlichkeit erwartet werden kann. 1. Ein idealer Spielwürfel

Mehr

Wählt man aus n Mengen mit z 1 bzw. z 2,..., bzw. z n Elementen nacheinander aus jeder Menge jeweils ein Element aus,

Wählt man aus n Mengen mit z 1 bzw. z 2,..., bzw. z n Elementen nacheinander aus jeder Menge jeweils ein Element aus, V. Stochastik ================================================================== 5.1 Zählprinzip Wählt man aus n Mengen mit z 1 bzw. z 2,..., bzw. z n Elementen nacheinander aus jeder Menge jeweils ein

Mehr

Stochastik - Kapitel 2

Stochastik - Kapitel 2 " k " h(a) n = bezeichnet man als die relative Häufigkeit des Ereignisses A bei n Versuchen. n (Anmerkung: für das kleine h wird in der Literatur häufig auch ein r verwendet) k nennt man die absolute Häufigkeit

Mehr

4. Schularbeit/7C/2-stündig Schularbeit. 7C am

4. Schularbeit/7C/2-stündig Schularbeit. 7C am 4. Schularbeit 7C am 24.5.2017 Name: Note: Beispiel-Nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AP Teil 1: Teil 2: Punkte Teil 1 (inkl. AP) Punkte Teil 2 Gesamtpunkte Notenschlüssel: 0 7 P von Teil 1 (inkl. Anrechnungspunkte

Mehr

15 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

15 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 5 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Alles, was lediglich wahrscheinlich ist, ist wahrscheinlich falsch. ( Descartes ) Trau keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast. ( Churchill zugeschrieben

Mehr

1.1 Ergebnisräume einfacher Zufallsexperimente. 2) Es gibt mindestens zwei mögliche Ausgänge des Experiments.

1.1 Ergebnisräume einfacher Zufallsexperimente. 2) Es gibt mindestens zwei mögliche Ausgänge des Experiments. Übungsmaterial 1 1 Zufallsexperimente 1.1 Ergebnisräume einfacher Zufallsexperimente Damit ein Experiment ein Zufallsexperiment ist, müssen folgende Eigenschaften erfüllt sein: 1) Das Experiment lässt

Mehr

Basiswissen Daten und Zufall Seite 1 von 8 1 Zufallsexperiment Ein Zufallsexperiment ist ein Versuchsaufbau mit zufälligem Ausgang, d. h. das Ergebnis kann nicht vorhergesagt werden. 2 Ergebnis (auch Ausgang)

Mehr

Ereignis E: ist ein oder sind mehrere Ergebnisse zusammen genommen. Bsp. E = {2; 4; 6}

Ereignis E: ist ein oder sind mehrere Ergebnisse zusammen genommen. Bsp. E = {2; 4; 6} Laplace-Experimente Begriffsklärung am Beispiel eines Laplace-Würfel mit Augenzahlen (AZ) 1-6: Ergebnis: ist jeder Ausgang eines Zufallsexperimentes heißt ein Ergebnis ω dieses Zufallsexperimentes. Die

Mehr

Es werden 120 Schüler befragt, ob sie ein Handy besitzen. Das Ergebnis der Umfrage lautet: Von 120 Schülern besitzen 99 ein Handy.

Es werden 120 Schüler befragt, ob sie ein Handy besitzen. Das Ergebnis der Umfrage lautet: Von 120 Schülern besitzen 99 ein Handy. R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 08..2009 Von der relativen Häufigkeit zur Wahrscheinlichkeit Es werden 20 Schüler befragt, ob sie ein Handy besitzen. Das Ergebnis der Umfrage lautet: Von 20 Schülern

Mehr

2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit

2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit 2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit Literatur: [Papula Bd., Kap. II.2 und II.], [Benning, Kap. ], [Bronstein et al., Kap. 1.2.1] Def 1 [Benning] Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft wiederholbarer,

Mehr

Kapitel 6. Kapitel 6 Mehrstufige Zufallsexperimente

Kapitel 6. Kapitel 6 Mehrstufige Zufallsexperimente Mehrstufige Zufallsexperimente Inhalt 6.1 6.1 Mehrstufige Experimente 6.2 6.2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Seite 2 6.1 Mehrstufige Experimente Grundvorstellung: Viele Viele Experimente werden der der

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung für die Mittelstufe

Wahrscheinlichkeitsrechnung für die Mittelstufe Wahrscheinlichkeitsrechnung für die Mittelstufe Wir beginnen mit einem Beispiel, dem Münzwurf. Es wird eine faire Münze geworfen mit den Seiten K (für Kopf) und Z (für Zahl). Fair heißt, dass jede Seite

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung Abiturvorbereitung Wahrscheinlichkeitsrechnung S. 1 von 9 Wahrscheinlichkeitsrechnung Kombinatorik Formeln für Wahrscheinlichkeiten Bedingte Wahrscheinlichkeiten Zusammenfassung wichtiger Begriffe Übungsaufgaben

Mehr

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6 Inhaltsverzeichnis 1 Vorbemerkungen 1 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4 4 Laplace-Experimente 6 5 Hilfsmittel aus der Kombinatorik 7 1 Vorbemerkungen

Mehr

Vorlesung Statistik WING ASW Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 1

Vorlesung Statistik WING ASW Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 1 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 1 Aus diesen Eigenschaften lassen sich alle weiteren Eigenschaften ableiten: Beweis zu 1) Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 2 Aufgabe Die Wahrscheinlichkeit

Mehr

9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung

9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel (Einmaliges Würfeln): verbal mengentheoretisch I. Zufällige Ereignisse Beispiel (Einmaliges Würfeln): Alle möglichen Ausgänge 1,,, 6 des Experiments werden

Mehr

Wahrscheinlichkeit und Zufall

Wahrscheinlichkeit und Zufall Wahrscheinlichkeit und Zufall Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten 16. Juni 2009 Dr. Katja Krüger Universität Paderborn 1 Inhalt Ereignisse i und deren Wahrscheinlichkeit h hk i Laplace-Regel Baumdiagramm

Mehr

Zufallsprozesse, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten die Grundlagen

Zufallsprozesse, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten die Grundlagen Zufallsprozesse, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten die Grundlagen Wichtige Tatsachen und Formeln zur Vorlesung Mathematische Grundlagen für das Physikstudium 3 Franz Embacher http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/

Mehr

An die Zweige schreibt man jeweils die Wahrscheinlichkeit, die für dieses Ereignis gilt.

An die Zweige schreibt man jeweils die Wahrscheinlichkeit, die für dieses Ereignis gilt. . Mehrstufige Zufallsversuche und Baumdiagramme Entsprechend der Anmerkung in. wollen wir nun auf der Basis von bekannten Wahr- scheinlichkeiten weitere Schlüsse ziehen. Dabei gehen wir immer von einem

Mehr

D. Ulmet IT 4 Blatt 5 Stochastik I SS 2005

D. Ulmet IT 4 Blatt 5 Stochastik I SS 2005 D. Ulmet IT 4 Blatt 5 Stochastik I SS 2005 Aufgabe 1: Von den Ereignissen A, B und C trete a) nur A ein, b) genau eines ein, c) höchstens eines ein, d) mindestens eines ein, e) mindestens eines nicht ein,

Mehr

Aufgaben zum Wahrscheinlichkeitsrechnen

Aufgaben zum Wahrscheinlichkeitsrechnen 1.) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim einmaligen Werfen mit einem Würfel keine 4 zu werfen? % 2.) Wie groß ist beim einmaligen Werfen von zwei verschieden farbigen Würfeln die Wahrscheinlichkeit,...

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsrechnung Was du wissen musst: Die Begriffe Zufallsexperiment, Ereignisse, Gegenereignis, Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeit sind dir geläufig. Du kannst mehrstufige Zufallsversuche

Mehr

Aufgabe 1 (mdb632540): Murat hat zehn Spielkarten verdeckt auf den Tisch gelegt: Buben, Könige, Asse, Zehn.

Aufgabe 1 (mdb632540): Murat hat zehn Spielkarten verdeckt auf den Tisch gelegt: Buben, Könige, Asse, Zehn. Wahrscheinlichkeiten Aufgabe 1 (mdb632540): Murat hat zehn Spielkarten verdeckt auf den Tisch gelegt: Buben, Könige, Asse, Zehn. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass Anna a) ein Ass, b) einen Buben, c)

Mehr

Übungsaufgaben Wahrscheinlichkeit

Übungsaufgaben Wahrscheinlichkeit Übungsaufgaben Wahrscheinlichkeit Aufgabe 1 (mdb500405): In einer Urne befinden sich gelbe (g), rote (r), blaue (b) und weiße (w) Kugel (s. Bild). Ohne Hinsehen sollen aus der Urne in einem Zug Kugeln

Mehr

Level 1 Grundlagen Blatt 1. Dokument mit 19 Aufgaben

Level 1 Grundlagen Blatt 1. Dokument mit 19 Aufgaben Level 1 Grundlagen Blatt 1 Dokument mit 19 Aufgaben Aufgabe A1 Ein Glücksrad hat drei Sektoren mit den Farben Rot, Gelb und Grün. Das Rad bleibt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1 so stehen, dass der

Mehr

3 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsversuchen

3 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsversuchen Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsversuchen Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsversuchen.1 Pfadregeln.1.1 Pfadmultiplikationsregel Eine faire Münze und

Mehr

1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten Zufälliger Versuch: Vorgang, der (zumindest gedanklich) beliebig oft wiederholbar ist und dessen Ausgang innerhalb einer

Mehr

Kurs 2 Stochastik EBBR Vollzeit (1 von 2)

Kurs 2 Stochastik EBBR Vollzeit (1 von 2) Erwachsenenschule Bremen Abteilung I: Sekundarstufe Doventorscontrescarpe 172 A 281 Bremen Kurs 2 Stochastik EBBR Vollzeit (1 von 2) Name: Ich 1. 2. 3. 4.. 6. 7. So schätze ich meinen Lernzuwachs ein.

Mehr

Ergebnis Ergebnisraum Ω. Ereignis. Elementarereignis

Ergebnis Ergebnisraum Ω. Ereignis. Elementarereignis Stochastik Die Stochastik besteht aus zwei Teilgebieten, der Statistik und der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Die Statistik beschreibt die Vergangenheit und verwendet Informationen, die (in realen Versuchen)

Mehr

BSZ für Bau- und Oberflächentechnik des Landkreises Zwickau Außenstelle Limbach-Oberfrohna STOCHASTIK

BSZ für Bau- und Oberflächentechnik des Landkreises Zwickau Außenstelle Limbach-Oberfrohna STOCHASTIK . Ordnen Sie die in den folgenden Bildern dargestellten Wahrscheinlichkeitsfunktionen nach den Erwartungswerten ihrer Zufallsgröße X mit x, 2,, 4, 5 größten Erwartungswert. i. Beginnen Sie mit dem Bild

Mehr

Zusammengesetzte Zufallsexperimente - Baumdiagramme und Pfadregeln ==================================================================

Zusammengesetzte Zufallsexperimente - Baumdiagramme und Pfadregeln ================================================================== Zusammengesetzte Zufallsexperimente - Baumdiagramme und Pfadregeln ================================================================== Ein Zufallsexperiment heißt zusammegesetzt, wenn es es die Kombination

Mehr

Beispiele: Beim Zahlenlotto sollte jede Sechserserie von Zahlen mit derselben Wahrscheinlichkeit auftreten.

Beispiele: Beim Zahlenlotto sollte jede Sechserserie von Zahlen mit derselben Wahrscheinlichkeit auftreten. 3. Laplaceexperimente. Beispiele: Beim Zahlenlotto sollte jede Sechserserie von Zahlen mit derselben Wahrscheinlichkeit auftreten. Laplace-Münze: p(k) = p(z) = / Laplace-Würfel: p() =... = p(6) = / 6.

Mehr

Kontrolle. Themenübersicht

Kontrolle. Themenübersicht Themenübersicht Arbeitsblatt 1 Statistik Arbeitsblatt 2 Erheben und Auswerten von Daten Arbeitsblatt 3 Zufallsexperimente Arbeitsblatt 4 mehrstufige Zufallsexperimente Inhalt, Schwerpunkte des Themas Urliste,

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung [probability]

Wahrscheinlichkeitsrechnung [probability] Wahrscheinlichkeitsrechnung [probability] Hinweis: Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist nicht Gegenstand dieser Vorlesung. Es werden lediglich einige Begriffsbildungen bereitgestellt und an Beispielen erläutert,

Mehr

Pfadwahrscheinlichkeiten

Pfadwahrscheinlichkeiten Pfadwahrscheinlichkeiten Die Wahrscheinlichkeit, beim zweimaligen Würfeln eine Doppelsechs zu erzielen, beträgt 6. Das Ergebnis legt die Vermutung nahe, dass wir lediglich, also die Wahrscheinlichkeit,

Mehr

Pflichtteilaufgaben zu Stochastik (Pfadregeln, Erwartungswert, Binomialverteilung) Baden-Württemberg

Pflichtteilaufgaben zu Stochastik (Pfadregeln, Erwartungswert, Binomialverteilung) Baden-Württemberg Pflichtteilaufgaben zu Stochastik (Pfadregeln, Erwartungswert, Binomialverteilung) Baden-Württemberg Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com September 016

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil 1

Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil Einführung in die Grundbegriffe Sekundarstufe Datei Nr 30 Stand September 2009 Friedrich W Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK wwwmathe-cdde Inhalt Zufallsexperimente,

Mehr

Stochastik. Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard

Stochastik. Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard GRUNDWISSEN MATHEMATIK Stochastik Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard Basierend auf den Grundwissenskatalogen des Rhöngymnasiums Bad Neustadt und des Kurt-Huber-Gymnasiums Gräfelfing J O H A N N E

Mehr

Dr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK. Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren

Dr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK. Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren Dr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren ÜBUNG - LÖSUNGEN. Zweimaliges Werfen eines Würfels mit Berücksichtigung der Reihenfolge a. Ergebnismenge (Ereignisraum)

Mehr

( ) ( ) ( ) Mehrstufige Zufallsversuche

( ) ( ) ( ) Mehrstufige Zufallsversuche R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 19.11.2009 Mehrstufige Zufallsversuche Häufig müssen Zufallsversuche untersucht werden, die aus mehr als einem einzigen Experiment bestehen. Diese Versuche setzen

Mehr

Aufgabe A1 Ein Glücksrad hat vier Sektoren, wovon die ersten beiden die Winkelgröße 60 haben. Für die Winkelgrößen und des dritten und vierten Sektors

Aufgabe A1 Ein Glücksrad hat vier Sektoren, wovon die ersten beiden die Winkelgröße 60 haben. Für die Winkelgrößen und des dritten und vierten Sektors Level Grundlagen Blatt Dokument mit Aufgaben Aufgabe A Ein Glücksrad hat vier Sektoren, wovon die ersten beiden die Winkelgröße 60 haben. Für die Winkelgrößen und des dritten und vierten Sektors gilt.

Mehr

Wie hoch ist das Risiko, dass ein System, das aus mehreren Komponenten besteht, ausfällt?

Wie hoch ist das Risiko, dass ein System, das aus mehreren Komponenten besteht, ausfällt? In diesem Kapitel werden wir den egriff Wahrscheinlichkeit und die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung kennenlernen, um z.. folgende Fragestellungen zu beantworten. Wie hoch ist das Risiko, dass

Mehr

Discrete Probability - Übungen (SS5) Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 5: 2. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 7:

Discrete Probability - Übungen (SS5) Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 5: 2. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 7: Discrete Probability - Übungen (SS5) Felix Rohrer Wahrscheinlichkeitstheorie 1. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 5: Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme von zwei geworfenen Würfeln

Mehr

Wahrscheinlichkeitsräume (Teschl/Teschl 2, Kap. 26)

Wahrscheinlichkeitsräume (Teschl/Teschl 2, Kap. 26) Wahrscheinlichkeitsräume (Teschl/Teschl 2, Kap. 26 Ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P ist eine Menge Ω (Menge aller möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments: Ergebnismenge versehen mit einer Abbildung

Mehr

Übungen zur Kombinatorik (Laplace)

Übungen zur Kombinatorik (Laplace) 1. In einem Beutel sind 10 Spielmarken enthalten, die von 0 bis 9 nummeriert sind. X sei das Ereignis, dass man zufällig die Marke 5 oder 8 herausholt, Y das Ereignis, dass eine größere Zahl als 5 gezogen

Mehr

9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung

9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung I. Zufällige Ereignisse Beispiel (Einmaliges Würfeln): Alle möglichen Ausgänge 1, 2,, 6 des Experiments werden zur Ergebnismenge Ω ( Ergebnisraum ) zusammengefasst.

Mehr

3. Anwendungen aus der Kombinatorik

3. Anwendungen aus der Kombinatorik 3. Anwendungen aus der Kombinatorik 3.1. Ziehen mit Zurücklegen 1) Würfeln Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für genau 2 Sechser in 7 Würfen? 2) Glücksrad Ein Glücksrad zeigt "1" mit Wahrscheinlichkeit

Mehr

Aufgabe 1. Übung Wahrscheinlichkeitsrechnung Markus Kessler Seite 1 von 8. Die Ereignisse A, B und C erfüllen die Bedingungen

Aufgabe 1. Übung Wahrscheinlichkeitsrechnung Markus Kessler Seite 1 von 8. Die Ereignisse A, B und C erfüllen die Bedingungen Ü b u n g 1 Aufgabe 1 Die Ereignisse A, B und C erfüllen die Bedingungen P(A) = 0. 7, P(B) = 0. 6, P(C) = 0. 5 P(A B) = 0. 4, P(A C) = 0. 3, P(B C) = 0. 2, P(A B C) = 0. 1 Bestimmen Sie P(A B), P(A C),

Mehr

Statistik Einführung // Wahrscheinlichkeitstheorie 3 p.2/58

Statistik Einführung // Wahrscheinlichkeitstheorie 3 p.2/58 Statistik Einführung Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel 3 Statistik WU Wien Gerhard Derflinger Michael Hauser Jörg Lenneis Josef Leydold Günter Tirler Rosmarie Wakolbinger Statistik Einführung // Wahrscheinlichkeitstheorie

Mehr

Laplace-Formel. Übungsaufgaben

Laplace-Formel. Übungsaufgaben Laplace-Formel Übungsaufgaben Spielwürfel oder Münzen werden ideal (oder fair) genannt, wenn jedes Einzelereignis mit gleicher Wahrscheinlichkeit erwartet werden kann. 1. Ein idealer Spielwürfel wird einmal

Mehr

Übungen zur Kombinatorik

Übungen zur Kombinatorik 1. Das Paradoxon des Chevalier de Méré: De Méré fand es paradox, dass beim Würfeln mit drei Würfeln die Augenzahlsumme 11 häufiger zustande kam als die Augenzahlsumme 12. Wie lauten die tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten

Mehr

Station Ziegenproblem. Hilfestellungen

Station Ziegenproblem. Hilfestellungen Station Ziegenproblem Hilfestellungen Liebe Schülerinnen und Schüler! Dies ist das Hilfestellungsheft zur Station Ziegenproblem. Ihr könnt es nutzen, wenn ihr bei einer Aufgabe Schwierigkeiten habt. Falls

Mehr

Ein Würfel wird geworfen. Einsatz: Fr Gewinn: Fr. 6.--

Ein Würfel wird geworfen. Einsatz: Fr Gewinn: Fr. 6.-- 1 Ein Würfel wird geworfen. : Fr. 1.-- : Fr. 6.-- Der Spieler hat gewonnen falls eine 6 erscheint. 2 Zwei Würfel werden geworfen. : Fr. 1.-- : Fr. 7.-- Der Spieler hat gewonnen falls die Augensumme gleich

Mehr

Download. Hausaufgaben: Statistik und Wahrscheinlichkeit. Üben in drei Differenzierungsstufen. Otto Mayr. Downloadauszug aus dem Originaltitel:

Download. Hausaufgaben: Statistik und Wahrscheinlichkeit. Üben in drei Differenzierungsstufen. Otto Mayr. Downloadauszug aus dem Originaltitel: Download Otto Mayr Hausaufgaben: Statistik und Wahrscheinlichkeit Üben in drei Differenzierungsstufen Downloadauszug aus dem Originaltitel: Hausaufgaben: Statistik und Wahrscheinlichkeit Üben in drei Differenzierungsstufen

Mehr

Übungsaufgaben zum Kapitel Baumdiagramme - Bernoulli

Übungsaufgaben zum Kapitel Baumdiagramme - Bernoulli BOS 98 S I Im ahmen einer statistischen Erhebung wurden 5 repräsentative Haushalte ausgewählt und im Hinblick auf ihre Ausstattung mit Fernsehern, adiorecordern sowie Homecomputern untersucht. Dabei gaben

Mehr

Spielgeräte: Von Wahrscheinlichkeiten bis Binomialverteilung

Spielgeräte: Von Wahrscheinlichkeiten bis Binomialverteilung Bernoulli-Kette, und hypergeometrische Verteilung: F. 2. 32 Spielgeräte: Von Wahrscheinlichkeiten bis Die folgende Stationenarbeit dient dazu, die Begriffe der Oberstufenstochastik (Wahrscheinlichkeit;

Mehr

1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung 4 1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung 1.1 Grundlegende Begriffe Der Begriff wahrscheinlich wird im Alltag in verschiedenen Situationen verwendet, hat dabei auch unterschiedliche Bedeutung.

Mehr

KAPITEL 2. Kombinatorik

KAPITEL 2. Kombinatorik KAPITEL 2 Kombinatori In der Kombinatori geht es um das Abzählen von Kombinationen 21 Geburtstagsproblem Beispiel 211 (Geburtstagsproblem In einem Raum befinden sich 200 Studenten Wie groß ist die Wahrscheinlicheit,

Mehr

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Universität Duisburg-Essen Essen, den 12.02.2010 Fakultät für Mathematik Prof. Dr. M. Winkler C. Stinner Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Lösung Die Klausur gilt als bestanden,

Mehr

Mathematik 31 Wahrscheinlichkeit 01 Name: Vorname: Datum:

Mathematik 31 Wahrscheinlichkeit 01 Name: Vorname: Datum: Mathematik Wahrscheinlichkeit 0 Name: Vorname: Datum: Aufgabe : In einer Urne liegen Kugeln mit den Nummern,,,,. Für den Einsatz von Fr. kann man zwei Zahlen nennen und danach zwei Kugeln ziehen. Zieht

Mehr

Stochastik Lehr-und Aufgabenbuch. Skriptum zum Vorbereitungskurs

Stochastik Lehr-und Aufgabenbuch. Skriptum zum Vorbereitungskurs Stochastik Lehr-und Aufgabenbuch Skriptum zum Vorbereitungskurs 1 WICHTIGER HINWEIS: Ich bitte den Eigentümer dieses Skriptes, weder das gesamte Skript noch Teilauszüge daraus zu kopieren, einzuscannen

Mehr

Begleitbuch für Mathematik Oberstufe für die Abiturprüfung 2018 Baden-Württemberg - allg. Gymnasium. Teilgebiet Stochastik

Begleitbuch für Mathematik Oberstufe für die Abiturprüfung 2018 Baden-Württemberg - allg. Gymnasium. Teilgebiet Stochastik Begleitbuch für Mathematik Oberstufe für die Abiturprüfung 2018 Baden-Württemberg - allg. Gymnasium Teilgebiet Stochastik Dipl.-Math. Alexander Schwarz E-Mail: aschwarz@mathe-aufgaben.com Homepage: www.mathe-aufgaben.com

Mehr

Statistik Übungen WS 2017/18

Statistik Übungen WS 2017/18 Statistik Übungen WS 2017/18 Blatt 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung 1. Die nach dem französischen Mathematiker Pierre-Simon de Laplace benannten Laplace- Experimente beruhen auf der Annahme, dass bei einem

Mehr

C : Genau ein Wurf ergibt Augenzahl D:.Wenigstens ein Wurf ergibt Augenzahl 2

C : Genau ein Wurf ergibt Augenzahl D:.Wenigstens ein Wurf ergibt Augenzahl 2 Lapace-Experimente ================================================================== 1. a) Wie groß ist die W'keit, beim Werfen eines Laplace-Würfels eine Sechs zu erhalten? b) Wie groß ist die W'keit,

Mehr

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung. In einer Urne befinden sich 3 schwarze und weiße Kugel. Wir entnehmen der Urne eine Kugel, notieren die Farbe und legen die Kugel in die Urne zurück. Dieses

Mehr

Bestimmen der Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Zählstrategien

Bestimmen der Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Zählstrategien R. Brinmann http://brinmann-du.de Seite 4.0.2007 Bestimmen der Wahrscheinlicheiten mithilfe von Zählstrategien Die bisherigen Aufgaben zur Wahrscheinlicheitsrechnung onnten im Wesentlichen mit übersichtlichen

Mehr

Unabhängigkeit KAPITEL 4

Unabhängigkeit KAPITEL 4 KAPITEL 4 Unabhängigkeit 4.1. Unabhängigkeit von Ereignissen Wir stellen uns vor, dass zwei Personen jeweils eine Münze werfen. In vielen Fällen kann man annehmen, dass die eine Münze die andere nicht

Mehr

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc.

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc. Abiturvorbereitung Stochastik neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB 21.02.2014 Holger Wuschke B.Sc. Glücksspiel auf der Buchmesse Leipzig, 2013 Organisatorisches 1. Begriffe in der Stochastik (1)

Mehr

A Grundlegende Begriffe

A Grundlegende Begriffe Grundlegende egriffe 1 Zufallsexperimente und Ereignisse Ein Zufallsexperiment besteht aus der wiederholten Durchführung eines Zufallsversuchs. ei einem Zufallsversuch können verschiedene Ergebnisse (chreibweise:

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil V Wahrscheinlichkeitsrechnung Inhaltsangabe 6 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 125 6.1 Kombinatorik......................... 125 6.2 Grundbegri e......................... 129 6.3 Wahrscheinlichkeiten.....................

Mehr

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung lausthal Begriffe Informatik II rundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de Definition: Unter einem Zufallsexperiment versteht man einen,

Mehr

P X =3 = 2 36 P X =5 = 4 P X =6 = 5 36 P X =8 = 5 36 P X =9 = 4 P X =10 = 3 36 P X =11 = 2 36 P X =12 = 1

P X =3 = 2 36 P X =5 = 4 P X =6 = 5 36 P X =8 = 5 36 P X =9 = 4 P X =10 = 3 36 P X =11 = 2 36 P X =12 = 1 Übungen zur Stochastik - Lösungen 1. Ein Glücksrad ist in 3 kongruente Segmente aufgeteilt. Jedes Segment wird mit genau einer Zahl beschriftet, zwei Segmente mit der Zahl 0 und ein Segment mit der Zahl

Mehr

Aufgabe 2.1. Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis

Aufgabe 2.1. Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis Aufgabe 2. Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis Ergebnis und Ergebnismenge Vorgänge mit zufälligem Ergebnis, oft Zufallsexperiment genannt Bei der Beschreibung der Ergebnisse wird stets ein bestimmtes Merkmal

Mehr

Arbeitsblatt Wahrscheinlichkeit

Arbeitsblatt Wahrscheinlichkeit EI 8a 2010-11 MATHEMATIK Arbeitsblatt Wahrscheinlichkeit gelöst! 1. Aufgabe Wahrscheinlichkeit (hier wird dann auch mal gerundet!) a) Merksatz: Wahrscheinlichkeiten kann man immer (nicht ganz. dann, wenn

Mehr

Erfolg im Mathe-Abi 2013

Erfolg im Mathe-Abi 2013 Gruber I Neumann Erfolg im Mathe-Abi 2013 Vorabdruck Pflichtteil Stochastik für das Abitur ab 2013 zum Übungsbuch für den Pflichtteil Baden-Württemberg mit Tipps und Lösungen Vorwort Vorwort Erfolg von

Mehr

Übersicht Wahrscheinlichkeitsrechnung EF

Übersicht Wahrscheinlichkeitsrechnung EF Übersicht Wahrscheinlichkeitsrechnung EF. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (eite ). Regeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten (eite ). Bedingte Wahrscheinlichkeit und Vierfeldertafel

Mehr

Stochastik - Kapitel 2

Stochastik - Kapitel 2 Aufgaben ab Seite 7 2. Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten und Laplace-Experimente 2.1 Die absolute und die relative Häufigkeit 1. Beispiel: Ich werfe mal einen Würfel und möchte herausfinden, wie oft jeweils

Mehr

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung lausthal Informatik II rundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de Begriffe Definition: Unter einem Zufallsexperiment versteht man einen,

Mehr

Beschreibende Statistik

Beschreibende Statistik Beschreibende Aufgaben der beschreibenden : Erhebung von Daten Auswertung von Daten Darstellung von Daten Erhebung von Daten Bei der Erhebung von Daten geht es um die Erfassung von Merkmalen (Variablen)

Mehr

Station 1 Das Galtonbrett, Realmodelle

Station 1 Das Galtonbrett, Realmodelle Station 1 Das Galtonbrett, Realmodelle Zeit zur Bearbeitung: 10 Minuten 1.1 Versuch:. Münzwurf mit dem Galtonbrett Betrachtet wird folgendes Zufallsexperiment: Fünf identische Münzen werden zehn-mal geworfen.

Mehr

Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 12. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 12. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt 7-7. Semester ARBEITSBLATT Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Die Begriffe Varianz und Standardabweichung sind uns bereits aus der Statistik bekannt

Mehr

Wahrscheinlichkeiten mit Flächenbildern und Baumdiagrammen bestimmen

Wahrscheinlichkeiten mit Flächenbildern und Baumdiagrammen bestimmen 1 Vertiefen 2 Wahrscheinlichkeiten mit Flächenbildern und Baumdiagrammen bestimmen zu Aufgabe 4 Schulbuch, Seite 141 4 Mit Flächenbildern Wahrscheinlichkeiten bestimmen zu Aufgabe 6 Schulbuch, Seite 142

Mehr

Vorbereitung für die Arbeit: Satz des Pythagoras

Vorbereitung für die Arbeit: Satz des Pythagoras Vorbereitung für die Arbeit: Satz des Pythagoras Satz des Pythagoras: 1. Die Dreiecke sind nicht im Richtigen Maßstab gezeichnet. Welcher der Dreiecke ist rechtwinklig. 2. Berechne die Längen der fehlenden

Mehr

Bei 10 dieser Würfe wurde gleichzeitig eine 1 gewürfelt. Bei 25 dieser Würfe wurde gleichzeitig eine Augenzahl größer als 2 gewürfelt.

Bei 10 dieser Würfe wurde gleichzeitig eine 1 gewürfelt. Bei 25 dieser Würfe wurde gleichzeitig eine Augenzahl größer als 2 gewürfelt. 3 Wahrscheinlichkeiten 1 Kapitel 3: Wahrscheinlichkeiten A: Beispiele Beispiel 1: Ein Experiment besteht aus dem gleichzeitigen Werfen einer Münze und eines Würfels. Nach 100 Wiederholungen dieses Experiments

Mehr

WAHRSCHEINLICHKEIT. Erinnere dich

WAHRSCHEINLICHKEIT. Erinnere dich Thema Nr.9 WAHRSCHEINLICHKEIT Erinnere dich Zufallsexperiment Ein Experiment, bei dem verschiedene Ergebnisse möglich sind und bei dem das Ergebnis nur vom Zufall abhängt heißt Zufallsexperiment. Beispiele

Mehr

1 Das Phänomen Zufall

1 Das Phänomen Zufall 1 Das Phänomen Zufall Im täglichen Leben werden wir oft mit Vorgängen konfrontiert, bei denen der Zufall eine Rolle spielt. Bereits als Kind lernt man die Tücken des Zufalls kennen, wenn man beim Spiel

Mehr

Vorbereitung für die Arbeit

Vorbereitung für die Arbeit Vorbereitung für die Arbeit Trigonometrie: 1. Eine 8 m hohe Fahnenstange wirft einen 13 m langen Schatten. Was ist der Winkel mit dem die Sonne die Fahnenstange trifft? 2. Ein U-Boot wird mit Sonar aufgespürt.

Mehr

Begleitbuch für Mathematik Oberstufe für die Abiturprüfung 2017 Baden-Württemberg - berufliche Gymnasien. Stochastik

Begleitbuch für Mathematik Oberstufe für die Abiturprüfung 2017 Baden-Württemberg - berufliche Gymnasien. Stochastik mathe-aufgaben.com Begleitbuch für Mathematik Oberstufe für die Abiturprüfung 2017 Baden-Württemberg - berufliche Gymnasien Stochastik Dipl.-Math. Alexander Schwarz E-Mail: aschwarz@mathe-aufgaben.com

Mehr

Laplace und Gleichverteilung

Laplace und Gleichverteilung Laplace und Gleichverteilung Aufgaben Aufgabe 1 An einem Computer, dessen Tastatur die 26 Tasten für die kleinen Buchstaben (a,b,c... z) hat, sitzt ein Nutzer (User) und tippt zufällige auf den Tasten

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung Absolute und relative Häufigkeiten Wenn man mit Reißzwecken würfelt, dann können sie auf den Kopf oder auf die Spitze fallen. Was ist wahrscheinlicher? Ein Versuch schafft Klarheit. Um nicht immer wieder

Mehr

Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem

Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem Wahrscheinlichkeitsrechnung Theorie Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem Ziegenproblem,

Mehr

Kombinatorik. 1. Beispiel: Wie viele fünfstellige Zahlen lassen sich aus den fünf Ziffern in M = {1;2;3;4;5} erstellen?

Kombinatorik. 1. Beispiel: Wie viele fünfstellige Zahlen lassen sich aus den fünf Ziffern in M = {1;2;3;4;5} erstellen? 1 Kombinatorik Aus einer Grundgesamtheit mit n Elementen wird eine Stichprobe k Elementen entnommen. Dabei kann die Stichprobe geordnet oder ungeordnet sein. "Geordnet" bedeutet, dass die Reihenfolge der

Mehr

= 7! = 6! = 0, 00612,

= 7! = 6! = 0, 00612, Die Wahrscheinlichkeit, dass Prof. L. die Wette verliert, lässt sich wie folgt berechnen: Ω = {(i 1,..., i 7 ) : i j {1... 7}, j = 1... 7}, wobei i, j für den Wochentag steht, an dem die Person j geboren

Mehr

Beispiel 37. Wir werfen eine Münze so lange, bis zum ersten Mal

Beispiel 37. Wir werfen eine Münze so lange, bis zum ersten Mal Beispiel 37 Wir werfen eine Münze so lange, bis zum ersten Mal Kopf erscheint. Dies geschehe in jedem Wurf unabhängig mit Wahrscheinlichkeit p. Wir definieren dazu die Zufallsvariable X := Anzahl der Würfe.

Mehr

8. Wahrscheinlichkeitsrechnung

8. Wahrscheinlichkeitsrechnung Didaktik der Geometrie und Stochastik WS 09/10 Bürker 27. 1. 11 8. Wahrscheinlichkeitsrechnung 8.1 Begriffe 8.1.1 Zufallsexperiment Was ist ein Zufallsexperiment? a) Mehrere Ergebnisse möglich b) Ergebnis

Mehr

Kapitel I Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume

Kapitel I Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Kapitel I Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume 1. Grundlagen Definition 1 1 Ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum ist durch eine Ergebnismenge Ω = {ω 1, ω 2,...} von Elementarereignissen gegeben. 2 Jedem

Mehr