11 Wahrscheinlichkeitsrechnung

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1 1 Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung 11.1 Zufallsexperimente Beispiele Definition: Vorgänge bei denen man das Ergebnis noch nicht kennt, heissen Zufallsexperimente. Sämtliche möglichen Ergebnisse eine Zufallsxperimentes werden zu einer Menge zusammengefasst. Diese Menge heisst Ergebnismenge S = e e, e,...,. (Ergebnisraum) { } 1, 2 3 e n Vor der Durchführung eines Zufallsexperimentes muss die Ergebnismenge festgelegt werden: Beispiele: 1) Würfeln S = { Definition 2) Man zieht eine Kugel aus einer Urne mit roten, grünen und blauen Kugeln. S = { 3) Die Religionszugehörigkeit der Schü der Klasse H3c S = { Eine Teilmenge einer Ergebnismenge heisst Ereignis. Aufgaben: 1 Man würfelt mit zwei Würfeln. Als Ergebnis wird die Augensumme der beiden Würfel betrachtet. a) Wie lautet die Ergebnismenge? b) Ereignis A: Die Augensumme ist gerade. c) Ereignis B: Die Augensumme ist kleiner als 6. d) Ereignis C: Das Gegenereignis zu A. e) Ereignis D: Die Augensumme ist eine durch 4 teilbare Zahl. f) A D g) C D h) B D i) A D

2 Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 2 In einer Schulklasse soll ein(e) Klassenchef(in) und ein(e) Stellvertreter(in) gewählt werden. Martin, Thomas, Julia und Claudia sind bereit, sich wählenzu lassen. Wie lautet die Ergebnismenge? Geben Sie S als Menge von geordneten Paaren an. S = { Die Anzahl der möglichen Ergebnisse beträgt S = 4 3 = In einer Urne befinden sich 3 Kugeln (je eine rote, blaue und grüne) a Man zieht nacheinander 2 Kugeln, ohne sie zurückzulegen. Wie lautet die Ergebnismenge? b Man zieht 2 Kugeln, wobei die erste jeweils wieder zurückgelegt wird. Die Reihenfolge spielt keine Rolle. Bestimme S.

3 3 Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung 11.2 Mehrstufige Zufallsexperimente Beispiel Eine Basketballmannschaft wählt in einem ersten Wahlgang ihren Captain und in einem zweiten Wahlgang ihren Mannschaftssprecher. Drei Spieler Adi, Bobby und Chris stehen für diese Aufgaben zur Verfügung. Es ist möglich, dass ein Spieler beide Aufgaben übernimmt. Stellen Sie das Wahlprozedere graphisch dar! A B C Ergebnismenge S = { AA, Zufallsexperimente, die sich in 2 oder mehr Stufen durchführen lassen, kann man durch ein Baumdiagramm veranschaulichen, falls in jeder Stufe nur endlich viele (nicht zuviele!!) Ergebnisse möglich sind. Man kann zweistufige Zufallsexpermente auch als ein einziges Zufallsexperiment auffassen. Man kann die Ergebnisse als geordnete Paare angeben. In einem dreistufigen Z. heissen die Ergebnisse Tripel. Allgemein nennt man Ergebnisse bei einem n-stufigen Z. n-tupel.

4 Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung 4 Beispiele: 1 Gegeben sind 2 Urnen U 1 und U 2.U 1 enthält schwarze und rote Kugeln, U 2 weisse und schwarze. Zunächst wird aus U 1, dann aus U 2 eine Kugel gezogen. Wie lautet die Ergebnismenge? 2 Von vier Sportlern Artest, Bryant, Carter und Duncan sollen 2 zur Doping Kontrolle ausgelost werden. (Reihenfolge spielt keine Rolle). Bestimmen Sie S = { 11.3 Ereignisse Beispiel: Beim Monopoly möchte Reto den Paradeplatz (ZH) kaufen. Er steht 10 Felder davor. Laut Spielregeln darf er mit zwei Würfeln werfen. Mit welcher Kombination von Augenzahlen der beiden Würfel erreicht er sein Ziel? Hier nochmals die Definition Eine Teilmenge einer Ergebnismenge heisst Ereignis. Hinweis 1 Auch die Ergebnismenge S und die leere Menge { } sind Ereignisse! 2 Das Ereignis S tritt bei jeder Durchführung ein und heisst daher sicheres Ereignis. 3 Das Ereignis {} tritt niemals ein und heisst daher unmögliches Ereignis. 4 Ist ein Ergebnis keine Element eines Ereignisses A, so ist das Gegenereignis A ( A quer ) eingetroffen.

5 5 Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung 11.4 Aufgaben 1 Bei den Grand Slam Tennisturnieren wird solange gespielt, bis einer der beiden Spieler A oder B 3 Sätze gewonnen hat. (3 Gewinnsätze) a) Wie lautet die Ergebnismenge S? b) Bestimmen Sie das Ereignis Ein Spieler gewinnt in 3 Sätzen. c) Bestimmen Sie das Ereignis Ein Spieler gewinnt in 4 Sätzen. d) Bestimmen Sie das Ereignis B gewinnt. e) Bestimmen Sie das Ereignis A gewinnt in 3 Sätzen. 2 Pierre hat in seiner Geldbörse 7 Münzen: zwei 5-Rp-Stücke ein 10-Rp-Stück zwei 50-Rp-Stücke ein 1-Fr-Stück ein 2-Fr-Stücke Wie lautet das Ereignis, dass drei zufällig herausgenommene Münzen genau den Wert von CHF 1.10 haben? 3 Pasqualina würfelt mit einem Würfel. Bestimmen Sie folgende Ereignisse: A: Eine Zahl grösser als 3 wird geworfen B: Eine gerade Zahl C: Eine gerade Zahl grösser als 3 4 Eine Münze wird dreimal geworfen. Jedes Mal wird notiert, ob Kopf oder Zahl oben liegt. Geben Sie die Ergebnismenge sowie folgende Ereignisse an: A: genau zweimal Zahl B: höchstens einmal Zahl C: Immer Zahl D: Gegenereignis von B 5 In einer Wunderkiste liegen Süssigkeiten, Spiele und Farbstifte. a) Wie lautet die Ergebnismenge, wenn man dreimal nacheinander in die Kiste greifen darf und von jeder Sorte mehr als drei Dinge liegen? b) Ereignis P: Man darf dreimal nacheinander in die Kiste greifen und es sollen zwei Spiele dabei sein. 6 In einer Schachtel liegen drei Karten mit den Buchstaben A, B, und C. Man zieht dreimal eine Karte ohne zurück zu legen. Geben Sie die Ergebnismenge an. 7 Aus vier Sportlern a, b, c und d sollen zwei zur Dopingkontrolle ausgelost werden. Wie lautet die Ereignismenge? Spielt die Reihenfolge eine Rolle? 8 Beim Zahlenlotto 3 aus 5 werden drei Zahlen aus den Zahlen 1 bis 5 ausgewählt. Wie lautet die Ergebnismenge?

6 Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung 6 9 Eine Urne enthält 10 Kugeln mit den Zahlen 0 bis 9. Eine Kugel wird gezogen. a) Geben Sie die Ereignisse in aufzählender Schreibweise an: A: Primzahl B: Zahl durch 5 teilbar C: Ungerade Zahl D: Zahl grösser als 8 E: Zahl kleiner als 4 F: Quadratzahl 10 Die drei Triebwerke eines Flugzeugs werden getestet; es interessiert, ob diese einwandfrei arbeiten (1) oder nicht (0). a) Geben Sie die Ergebnismenge mit Tripeln an. b) Geben Sie folgende Ereignisse in aufzählender Schreibweise an: A: Genau ein Triebwerk ist schadhaft B: Höchstens ein Triebwerk ist schadhaft C: Mindestens ein Triebwerk ist schadhaft. 11 Wieviele Ereignisse gehören zu einem Zufallsexperiment mit a) 2 Ergebnissen b) 3 Ergebnissen c) n Ergebnissen 12 Beim Werfen eines Würfels sei X eine Zufallsvariable für das Quadrat der gefallenen Augenzahlen. Welche Werte kann X annehmen? Welche Ereignisse (in aufzählender Schreibweise) werden beschrieben durch: a) X < 9 b) X < 36 c) X = 16 d) 4 X 25 e) 1 < X 25

7 7 Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung 11.5 Absolute und relative Häufigkeit Die folgende Liste enthält die Ergebnisse von 60 Würfen mit einem Würfel Die Augenzahl 3 kommt bei den 60 Würfen insgesamt 12-mal vor, die der Zahl 3 ist 12. Bestimmen Sie die übrigen absoluten Häufigkeiten: Augenzahl absolute Häufigkeit Die der Zahl 3 ist 12 von 60, also = = 0.2 = 20% Entsprechend erhält man die folgende Häufigkeitstabelle für die relativen Häufigkeiten. Augenzahl relative Häufigkeit Für das Ereignis A: Gerade Augenzahl ergibt sich die relative Häufigkeit = =. Hierfür schreibt man h ( A) = 43.3% Definition: Ein Zufallsexperiment werde Ist ein Ereignis A dabei n mal durchgeführt. H Häufigkeit, die relative Häufigkeit von A. n H -mal eingetreten, so nennt man H die absolute Man schreibt H h ( A) = (lies: h von A ) n

8 Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung 8 Relative Häufigkeiten haben folgende Eigenschaften: h (A) h( S) = 1, wenn S { } Für das Ereignis A = e1, e2, e3,..., e r gilt h ( A) = h( e1 ) + h( e2) h( er ), d.h. relative Häufigkeit eines Ereignisses A erhält man durch Addition der relativen Häufigkeiten der Ergebnisse, aus denen sich A zusammensetzt Aufgaben 1 Unter den nach Arbeitern, Angestellten, Beamten und Selbstständigen gegliederten Berufstätigen einer Stadtbevölkerung verhalten sich die Anteile bei der angegebenen Reihenfolge wie 7:5:3:4. Wie lautet die relaitve Häufigkeit jeder Berufsgruppe? 2 Die wiederholte Durchführung eines Zufallsexperimentes erbrachte die Zahlen: 1,4,5,6,3,2,7,7,9,8,0,0,3,7,6,6,1,5,7,4,3,7,1,5. Bestimme die relative Häufigkeit des Ereignisses A: Die Zahl ist gerade. 3 Jeder 15. Angestellte einer Firma kommt zu Fuss; 7 von 10 mit MIV, 8 von 100 mit dem Fahrrad; die übrigen benutzen ÖV. Geben Sie die relativen Häufigkeiten auf dem Weg zur Arbeit in Prozent an. 4 Um beim Fernsehen die Einschaltquoten zu ermitteln, befragt die Gesellschaft für Konsumforschung (GfK) rund 6000 Personen und rechnet dann hoch auf 6 Millionen Personen ab 3 Jahren in Fernsehhaushalten. a) Die GfK gibt für das Fussballspiel Schweiz Türkei 18% an. Wieviele Personen in der Schweiz haben das Spiel gesehen? b) Das Rückspiel Türkei Schweiz haben 2.5 Millionen gesehen. wie hoch war die Einschaltquote? 5 Eine Telekom-Firma untersucht die Gesprächsdauer bei Ferngesprächen. Sie ermittelt dazu bei 270 Gesprächen die Gesprächsdauer (in Gebühreneinheiten). Dauer des Gesprächs über 10 Anzahl Gespräche Wie gross ist die relative Häufigkeit für eine Gesprächsdauer X mit a) X < 3 b) X < 5 c) X 9 d) 4 < X < 10 e) X > 5 6 Ein Zufallsexperiment hat die Ergebnismenge { e, e e } S =. Bei , Durchführungen trat 18-mal das Ergebnis e1 und 42-mal das Ergebnis e 2. Geben Sie alle Ereignisse an und bestimmen Sie für jedes Ereignis die relative Häufigkeit. 3

9 9 Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung 11.7 Mathematische Wahrscheinlichkeit Das Gesetz der grossen Zahlen Bis jetzt haben wir Zufallsexperimente nach der der Durchführung beschrieben. Es bleibt die Frage, ob wir auch vor der Durchführung eines Zufallsexperimentes etwas über den Ausgang sagen können. Wir wollen uns jetzt mit der Frage beschäftigen, wie wahrscheinlich ein bestimmtes Ergebnis oder Ereignis eintritt. Beispiel: Münzwurf Das Zufallsexperiment: Eine Münze wird geworfen hat die S = Kopf, Zahl Ergebnismenge { } K = {Kopf } und Z = { Zahl} sind Elementarereignisse (d.h. Ereignisse mit nur einem Element) Das Experiment werde m-mal durchgeführt. Wir stellen den Ausgang des Zufallexperimentes in der folgenden Tabelle dar: m Kopf Zahl relative Häufigkeit für K relative Häufigkeit für Z Anfänglich gibt es grosse Schwankungen, aber wenn immer mehr Experimente (=Würfe) durchgeführt worden sind, stabilisieren sich die relativen Häufigkeiten. Dies geschieht nach dem so genannten. In unserem Beispiel stabilisiert sich die relative Häufigkeit bei 0.5 (=50%) ein. Den Wert, auf den sich die Häufigkeitswerte für immer grösser werdende m hin stabilisieren, bezeichnet man als Wahrscheinlichkeit des beobachteten Ereignisses. Damit haben wir eine statistische Definition der Wahrscheinlichkeit gegeben. Aufgrund von vielen Beobachtungen haben wir festlegen können, wie häufig ein Elementarereignis erwartet werden kann, wie wahrscheinlich es ist. Beachte: Das Gesetz der grossen Zahl besagt nicht, dass nach einer langen Serie Kopf im obigen Beispiel eine Zahl beim nächsten Wurf kommen muss!

10 Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung 10 Die Wahrscheinlichkeit für ein Elementarereignis kann auch durch Vorgaben und Überlegungen festgelegt werden. Beispiel: Würfel mit einem Wurf S = { 1,2,3,4,5,6 } Wir können eine Serie von m Zufallsexperimenten durchführen. Dabei wird sich die 1 Wahrscheinlichkeit bei einem fairen Würfel für ein Elementarereignis bei 6 stabilisieren. Würde sich die relative Häufigkeit bei einem andern Wert stabilisieren, wär dies kein fairer Würfel. Somit kann man auch festlegen: Ein Würfel ist nur dann ein fairer Würfel, bei dem jedes Ergebnis gleichwahrscheinlich ist. Dieser zweite Weg zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit wird oft bei Spielen beschritten. Der erste Weg über eine grosse Anzahl hintereinander ausgeführten Zufallsexperimenten muss beschritten werden, wenn für Alltagssituatioinen Wahrscheinlichkeiten erklärt werden müssen (z.b. Bekleidungsindustrie) Der Begriff der mathematischen Wahrscheinlichkeit Axiome (Forderungen) Für Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen soll gelten: 1 P( E) 0 Für jedes Ereignis ist die Wahrscheinlichkeit grösser oder gleich Null. 2 P( S) = 1 Die Wahrscheinlichkeit für das sichere Ereignis S ist gleich 1. 3 P ( A B) = P( A) + P( B) falls A und B unvereinbare Ereignisse sind, d.h. A B = {} ist.

11 11 Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung Damit sind die wichtigsten Eigenschaften der mathematischen Wahrscheinlichkeit festgelegt. Beispiel: Wurf mit einem Würfel Wie wir schon festgelegt haben, sind die Wahrscheinlichkeiten für die Elementarereignisse {} 1 ) = P( {} 2 ) = P( {} 3 ) = P( {} 4 ) = P( {} 5 ) = P( {} 6 P ( ) = Nach den Axiomen für die Wahrscheinlichkeit kann man auch die Wahrscheinlichkeit anderer Ereignisse berechnen. Beispiele: 1 Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine 3 oder eine 5 zu würfeln? Welches Axiom kommt zur Anwendung? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine 1 oder eine 3 oder eine 5 zu würfeln? Welches Axiom kommt zur Anwendung? 3 Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine 1, 2, 3, 4, 5 oder eine 6 zu würfeln? Welches Axiom kommt zur Anwendung? 4 Berechne folgende Wahrscheinlichkeitswerte: P ( 4,5,6 ); P( 3,4 ); P( 2,4,6, ); P( 1,2,3,4,5. { } { } { } { }) Die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignis, des unmöglichen Ereignis und des Gegenereignis Die Wahrscheinlichkeit für das sichere Ereignis und ist gleich 1: P( S) = 1 S wurde schon in Axiom 2 festgelegt Aus den oben geforderten Eigenschaften für die mathematische Wahrscheinlichkeit folgen sofort weitere: 1 Jede Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E ist kleiner oder gleich 1: P ( E) 1 2 Die Wahrscheinlichkeit für das unmögliche Ereignis ist Null: P ( ) = {} 0 3 Die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis E ist P( E) = 1 P( E) bzw. P ( E) = 1 P( E) 4 P( A) P( B), falls A notwendig B nach sich zieht, d.h. A B.

12 Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung Gleichwahrscheinliche Ereignisse Beispiel: Jassen mit 36 Karten Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, Herz Ass zu ziehen? Herz Ass ist eine beliebige der 36 Karten. Wenn alle Karten zur Auswahl stehen, ist die Wahrscheinlichkeit, gezogen zu werden, für jede gleich gross. p + p + p p = 36 p = 1 p = 1 36 Wie gross ist Wahrscheinlichkeit, eine rote Zehn zu ziehen? Ereignis RZ = { Herz Zehn, Karo Zehn} = { Herz Zehn} { Karo Zehn} Nach Axiom 3 gilt 1 1 P ( RZ) = + = Allgemein gilt: Besteht bei einem Zufallsexperiment die Ergebnismenge aus m Elementen und ist jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich, so berechnet sich die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis E, das aus k Elementen besteht, wie folgt: P ( E) = = m m m oder als Merkregel: k m Die Anzahl der günstigen Fälle durch die Anzahl der möglichen Fälle.

13 13 Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel: Urne mit 12 Kugeln 6 der 12 Kugeln sind weiss, 4 rot und 2 blau. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: W= {weisse Kugeln} R= {rote Kugeln} B= {blaue Kugeln} NW= {nicht weisse Kugeln} NR= {nicht rote Kugeln} RW= {rote oder weisse Kugeln} P (W ) = P (R) = P (B) = P (W ) = P (R) = P (RW ) = Beispiel: Geburtstagsmonat Zwei Frauen Sandra und Rebecca sind in der gleichen Klasse. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide im Januar Geburtstag haben? Wie lautet die Ergebnismenge S? S = {( Jan / Jan),( Jan / Feb)... Wieviele Elemente enthält S? Somit ist P ( Jan / Jan) =

14 Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung 14 Aufgaben: 1 Mit welcher Wahrscheinlichlkeit haben beide im gleichen Monat Geburtstag? 2 Mit welcher Wahrscheinlichlkeit hat mindestens eine im Februar Geburtstag? 3 Mit welcher Wahrscheinlichlkeit hat keine im Februar Geburtstag? 4 Mit welcher Wahrscheinlichlkeit haben beide im 4. Quartal Geburtstag?

15 15 Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung Pfadregeln Manche Zufallsexperimente werden in mehreren Stufen ausgeführt. Das folgende Beispiel dient als Modell, auf das viele Anwendungen übertragen werden können. Beispiel: Ziehen von Kugeln mit Zurücklegen In einer Urne sind 4 weisse und drei blaue Kugeln. Für die Ergebnismenge gilt also S = 7 Wir ziehen zunächst eine Kugel. Es sei Ereignis W eine weisse Kugel wird gezogen und B eine blaue Kugel wird gezogen: W = { weisse Kugel } B = { blaue Kugel} Es ist P (W ) = und P (B) = b Wir ziehen nun zweimal eine Kugel und legen nach dem 1. Ziehen die gezogene Kugel wieder zurück in die Urne, bevor wir erneut eine Kugel ziehen. 1 Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, in beiden Zügen eine blaue Kugel zu ziehen? 2 Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, in beiden Zügen eine gleichfarbige Kugel zu ziehen? Baumdiagramm: b w In 3 von 7 Fällen ziehen wir beim ersten Ziehen eine blaue Kugel und davon in 3 von 7 Fällen beim zwieten Ziehen wieder ein blaue, also P ( b / b) = = b w b w {( b / b), ( w w) } = + = P /

16 Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung 16 Wie lauten nun also die Pfadregeln? 1. Wahrscheinlichkeit entlang eines Pfades 2. Wahrscheinlichkeit mehrer Pfade Beispiel: Ziehen von Kugeln ohne Zurücklegen 1 Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, in beiden Zügen eine blaue Kugel zu ziehen? 2 Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, in beiden Zügen eine gleichfarbige Kugel zu ziehen? 3 Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, zwei verschieden farbige Kugeln zu ziehen? Wie sieht das Baumdiagramm aus? b w b w b w

17 17 Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung 11.8 Aufgaben 1 a) Man würfelt mit zwei Würfeln. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass man zwei 6 würfelt? b) Wie heisst dieses Ereignis? 2 Die Anzahl Schüler und Schülerinnen einer Schule beträgt s. Die Anzahl der Mädchen sei w. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei Auslosung ein Knabe ausgelost wird. 3 a) Wie gross ist Wahrscheinlichkeit, dass man mit einem Würfel eine Zahl zwischen 1 und 6 würfelt? b) Man würfelt mit einem Würfel zweimal hintereinander. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Augenzahl grösser als 12 ist? 4 Aus einer Urne mit 9 blauen, 6 grünen und 3 schwarzen Kugeln werden nacheinder 3 Kugeln gezogen, wobei die gezogene Kugel immer wieder zurückgelegt wird. Geben Sie folgende Wahrscheinlichkeiten an: a) 3 blaue Kugeln b) Reihenfolge blau, grün, schwarz c) drei verschiedene Kugeln d) zuerst 2 grüne dann eine blaue Kugel 5 Wie Aufgabe 4 aber ohne Zurücklegen! 6 Mindestensaufgabe. Beispiel mit Lösung: Wie oft muss man aus einem gut gemischten Jasskartenspiel eine Karte mit Zurücklegen ziehen, damit mit 95% Wahrscheinlichkeit mindestens einmal einen Bauern zieht? Wir nennen das Ereignis E, wenn man mindestens einen Bauern bei n Versuchen bekommt, und E (Gegenereignis von E ) wenn man bei n Versuchen keinen Bauern zieht. Für die Wahrscheinlichkeit dieser Ereignisse gilt dann: P E 0,95 ( ) ( E) 0, 95 1 P Nun enthält ein Jasskartenspiel neben den 4 Bauern noch 32 weitere Karten; Die Wahrscheinlichkeit, bei einem beliebigen Zug keinen Bauern zu ziehen beträgt also 32 8 =. Soll dieses Gegenereignis E (bei n Ziehungen 36 9 nacheinander) eintreten, ist die Wahrscheinlichkeit dafür gemäss der 1. Pfadregel P ( E) n 8 =. 9 8 Wir erhalten somit die Ungleichung 1 0, 95, deren Lösung n wir 9 bestimmen müssen: n

18 Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung n n n 0,95 8 0, n lg lg 0,05 9 lg 0,05 n 8 lg 9 n 25, ,05 1 log 8 lg 9 ( 1) ( ist kleiner als 0! ) Es sind also mindestens 26 Versuche nötig, damit man mit 95% Wahrscheinlichkeit mindestens einen Bauern zieht. 7 Carlo geht oft mit seinen Freunden zum Kegeln. Seine Wahrscheinlichkeit alle neune zu treffen beträgt 25%. Kegeln macht durstig, Carlo trinkt daher gerne ein Glas Bier. Allerdings verringert sich dadurch bei den folgenden Würfen 1 seine Treffsicherheit um pro Glas Bier. 3 a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, fünfmal alle neune zu treffen, wenn er nach dem 3, und 4. Wurf ein Bier trinkt? b) Heute trinkt Carlo nur Mineralwasser. Wie oft muss er mindestens kegeln, wenn er mit 95 % Wahrscheinlichkeit mindestens einmal alle neune treffen will? 8 Eine Firma beschäftigt 60% Männer und 40% Frauen. 75% der Männer und 35% der Frauen rauchen. Einer der Beschäftigten dieser Firma wird zufällig ausgewählt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass es a) um einen männlichen Raucher b) um eine(n) Raucher(in) handelt 9 In einer Urne sind 4 rote, 3 schwarze und 2 weisse Kugeln. Man zieht zweimal hintereinander ohne Zurücklegen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse: A: Beide Kugeln sind gleichfarbig. B: Genau eine Kugel ist weiss. C: Keine der Kugeln ist schwarz.

19 19 Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung 10 Eine Lostrommel enthält 400 Lose. Die Hälfte davon sind Nieten, 80% des Restes ergeben Trostpreise, die übrigen Lose sind Gewinne. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das erste gezogene Los a) ein Gewinnlos b) ein Trostpreis c) eine Niete d) keine Niete? 11 Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist beim Samstags-Lotto 6 aus 49 die erste gezogene Zahl gerade? 12 Eine Urne enthält 11 Kugeln, welche die Zahlen tragen. Das Zufallsexperiment besteht im Ziehen einer Kugel und Feststellen ihrer Nummer. Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an: A: Die Quersumme der Kugelnummer ist gerade. B: Die Quersumme der Kugelnummer ist grösser als 6 C: Die Anzahl der echten Teiler der Kugelnummer beträgt mindestens 4. D: Die Kugelnummer ist eine Primzahl. E: Die Kugelnummer ist nicht gerade aber durch 3 teilbar. 13 Ein idealer Würfel wird zweimal hintereinander geworfen. a) Nach jedem Wurf wird die geworfene Augenzahl festgestellt. Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an: A: Die erste Augenzahl ist grösser als die zweite. B: Das Produkt beider Augenzahlen ist grösser als 9. C: Die erste Augenzahl ist gerade. b) Es interessiert nur die Augensumme. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Augensumme grösser als 8? 14 Aus einem Jassspiel mit 36 Karten wird eine Karte gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die gezogene Karte a) ein Ass b) eine Schaufel-Karte c) das Schaufelass d) eine Schaufelkarte, aber nicht das Ass e) weder eine Schaufel-Karte noch ein Ass f) eine Schaufel-Karte oder ein Ass g) ein Ass, aber keine Schaufel-Karte?