Wie hoch ist das Risiko, dass ein System, das aus mehreren Komponenten besteht, ausfällt?

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1 In diesem Kapitel werden wir den egriff Wahrscheinlichkeit und die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung kennenlernen, um z.. folgende Fragestellungen zu beantworten. Wie hoch ist das Risiko, dass ein System, das aus mehreren Komponenten besteht, ausfällt? Wie hoch ist das Verlustsrisiko bei einer neuen Investition? Wie groß ist Wahrscheinlichkeit, dass man bei einem roduktionsverfahren defekte auteile erhält? Ferner werden aus den zusammengefassten Daten von Stichproben in der deskriptiven Statistik mit Hilfe der Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechung in der induktiven (schließenden) Statistik allgemeine Schlussfolgerungen für Grundgesamtheiten gezogen. Die Wahrscheinlichkeit ist ein Wert, der die Höhe der Chance für das Eintreten eines Ereignisses repräsentiert. Wahrscheinlichkeiten können Werte zwischen 0 und 1 annehmen. Ein Ereignis, das nicht eintreten kann (genannt unmögliches Ereignis) hat eine Wahrscheinlich der Größe 0. Und ein Ereignis, das mit Sicherheit eintritt (genannt sicheres Ereignis) hat eine Wahrscheinlichkeit 1. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung wird ein rozess, bei dem es mehrere Ergebnisse (usgänge) gibt, als ein Zufallsvorgang bezeichnet. Einige eispiele für Zufallsvorgänge und ihre Ergebnisse sind das Werfen einer Münze mit den Ergebnissen Wappen bzw. Zahl oder hergestellte auteile einer Serienproduktion mit den Ergebnissen defekt bzw. intakt. 1

2 Zufallsvorgang, Ereignis und Ergebnismenge Die usgangssituationen eines Zufallsvorgangs (auch bezeichnet als stochastischer Vorgang) sind mehrere, sich gegenseitig ausschließende Ergebnisse. Die einzelnen Ergebnisse heißen Elementarereignisse. Die Menge aller möglichen Elementarereignisse (usgänge) heißt Ergebnismenge und wird mit Ω bezeichnet. Eine beliebige Teilmenge von Ω heißt Ereignis. Ereignisse werden mit großen uchstaben z..,,... bezeichnet. Sind die rozesse eines Zufallsvorgangs bekannt und unter gleichen edingungen wiederholbar, so spricht man von einem Zufallsexperiment. Welche verschiedenen Ergebnisse oder usgänge sind beim Zufallsexperiment Wurf eines homogenen Würfels möglich? Ω { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } eschreiben Sie beim Zufallsexperiment Wurf eines homogenen Würfels durch ufzählung der Elementarereignisse (Versuchsausgänge) die Teilmenge für das Ereignis : gerade. ugenzahl { 2 ; 4 ; 6 } Laplace-Wahrscheinlichkeit Wenn alle möglichen usgänge in einem Zufallsexperiment mit der gleichen Chance eintreten, so ist die Wahrscheinlichkeit für ein beliebiges Ereignis E gegeben durch: ( E ) N Dabei sind: M : nzahl der für das Ereignis E günstigen Ergebnisse N : nzahl aller möglichen Ergebnisse (nzahl der Elementarereignisse in der Ergebnismenge Ω ) M 2

3 Geben Sie bei einmaligem Wurf eines homogenen Würfels die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des folgenden Ereignisses an. : ugenzahl gerade { 2 ; 4 ; 6 } M 3; Ω { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } N 6 ( ) N M 3 6 Geben Sie bei einmaligem Wurf eines homogenen Würfels die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des folgenden Ereignisses an. : ugenzahl durch 3 teilbar. { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } ; N 6 { 3 ; 6 } M 2 () M / N 2 / 6 In vielen roblemstellungen kennt man die rozesse der Zufallsvorgänge nicht. Somit können nicht die nzahl der günstigen Ergebnisse für ein Ereignis sowie die nzahl aller möglichen Ergebnisse angeben werden. Daher wird eine weitere Definition für den egriff Wahrscheinlichkeit eingeführt. Empirische Wahrscheinlichkeit Die pproximation (Näherung) der empirischen Wahrscheinlichkeit basiert auf der Häufigkeitsinterpretation der Wahrscheinlichkeit bei Datenerhebungen. So können für endliche Grundgesamtheiten die relativen Häufigkeiten für Ereignisse als Wahrscheinlichkeiten betrachtet werden. us längeren eobachtungen ist bekannt, dass der nteil von defekten auteilen einer Serienproduktion 2% beträgt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig aus der roduktion entnommener auteil defekt ist? dass ein zufällig aus der roduktion entnommener auteil intakt ist? Ereignis: D : auteil defekt Relative Häufigkeit: f 1 0,02 ( D ) f 1 0,02 Ereignis: : auteil intakt Relative Häufigkeit: f 2 0,98 ( ) f 2 0,98 3

4 Stabilisierung der Häufigkeiten bei großem Stichprobenumfang ei sehr vielen Wiederholungen eines Zufallsexperiments stabilisiert sich die relative Häufigkeit für ein Ereignis, so dass diese als Wert für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses angesehen werden kann. h k lim f k ( E k ) S S Dabei sind: h k : die absolute Häufigkeit für das uftreten des Ereignisses E k. S : die nzahl der Versuche f k : die relative Häufigkeit für das uftreten des Ereignisses E k. ei einem wiederholten Wurf von S 1000 Würfe einer homogenen Münze traten für die beiden verschiedenen Ereignisse E 1 : Wappen, E 2 : Zahl folgende absolute bzw. relative Häufigkeiten auf. k Ereignis: E k bsolute Häufigkeit: h k Relative Häufigkeit: f k Wahrscheinlichkeit (E k ) für das uftreten eines Ereignisses E k 1 E 1 : Wappen 510 0,51 (E 1 ) ½ 0,5 2 E 2 : Zahl 490 0,49 (E 2 ) ½ 0,5 ei 1000 Würfen liegt unsere Erwartung, dass jedes der beiden Ereignisse je 500-mal vorkommt, d.h., dass jedes Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit (E k ) ½ 0,5 auftritt.! eschreiben Sie beim Zufallsexperiment Wurf eines homogenen Würfels durch ufzählung der Elementarereignisse: Die Teilmenge für das Ereignis : gerade ugenzahl Die Teilmenge für das Ereignis : ugenzahl durch 3 teilbar Die Ergebnismenge Die Teilmenge für das Ereignis : ugenzahl gerade und teilbar durch 3 Die Teilmenge für das Ereignis U : ugenzahl gerade oder teilbar durch 3 Die Teilmenge für das Ereignis : ugenzahl gerade aber nicht durch 3 teilbar Die Teilmenge für das Ereignis ( c ) : ugenzahl nicht gerade { 2 ; 4 ; 6 }, { 3 ; 6 }, { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }, { 6 }, U { 2 ; 3 ; 4 ; 6 }, { 2 ; 4 }, { 1 ; 3 ; 5 } 4

5 Da Ereignisse Teilmengen von der Ergebnismenge sind, lassen sie sich daher wie Mengen verknüpfen. Venn-Diagramm ezeichnung Schreibweise edeutung rodukt von lle Elemente von, Ereignissen die zu und gehören. U Summe von Ereignissen U lle Elemente von, die zu oder gehören. Differenz von Ereignissen ( \ ) lle Elemente von, die zu aber nicht zu gehören. Komplement eines Ereignisses ( c ) lle Elemente von, die nicht zu gehören. Rechengesetze für Ereignisse Leere Menge: Ø Ø Ø U Ø nalogien und Unterschiede zu Rechengesetze der Zahlen a 0 0 a + 0 a Kommutativgesetze ssoziativgesetze Distributivgesetze Regeln von de Morgan U U ( C ) ( ) C U ( U C ) ( U ) U C ( U C ) ( ) U ( C ) U ( C ) ( U ) ( U C ) a b b a a + b b + a a ( b c ) ( a b ) c a + ( b + c ) ( a + b ) + c a ( b + c ) ( a b ) + ( a c ) a + ( b c ) ( a + b ) ( a + c ) 5

6 Zerlegung von Die Ereignisse E 1 ; E 2 ;..... ; E n bilden eine Zerlegung von wenn: E 1 U E 2 U... U E n gilt und diese Ereignisse aarweise disjunkt sind (sich gegenseitig ausschließende Ereignisse) E i E j Ø für alle i j E 1 E 2 E 1 E 2 E 3 E 4 E 5 E 3 E 4 E 5 " Zeigen Sie für das Zufallsexperiment Wurf eines homogenen Würfels, dass folgende drei Ereignisse eine Zerlegung der Ergebnismenge bilden. : gerade ugenzahl : ugenzahl ungerade größer als 1 C: ugenzahl gleich 1 { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }, { 2 ; 4 ; 6 }, { 3 ; 5 }, C { 1 } U U C { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } Ø, C Ø, C Ø, lso bilden, und C eine Zerlegung von. Zeigen Sie, dass für das Zufallsexperiment Wurf eines homogenen Würfels folgende drei Ereignisse keine Zerlegung der Ergebnismenge bilden. : gerade ugenzahl : ugenzahl größer als 2 C: ugenzahl gleich 1 { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }, { 2 ; 4 ; 6 }, { 3 ; 4 ; 5 ; 6 }, C { 1 } U U C { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } { 4 ; 6 }, C Ø, C Ø, Die erste edingung ist erfüllt aber nicht die zweite. lso bilden, und C keine Zerlegung von. 6

7 #$% $ #$% Wahrscheinlichkeitsaxiome von Kolmogorov Für die Wahrscheinlichkeit jedes beliebigen Ereignisses E k gilt: 0 ( E k ) 1 Die gesamte Ergebnismenge hat die Wahrscheinlichkeit 1: ( ) 1 Für disjunkte (d.h. sich gegenseitig ausschließende) Ereignisse E 1 ; E 2 ;..... gilt: ( E 1 U E 2 U... ) ( E 1 ) + ( E 2 ) Zwei oder mehr Ereignisse schließen sich gegenseitig aus, wenn das Eintreten eines von ihnen das Eintreten der anderen ausschließt. Eigenschaften der Wahrscheinlichkeiten Für das unmögliche Ereignis Ø gilt: ( Ø ) 0 Für das zu komplementären Ereignisses ( c ) gilt: ( ) 1 ( ) Geben Sie bei einmaligem Wurf eines homogenen Würfels die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des folgenden Ereignisses an. c : ugenzahl nicht durch 3 teilbar 7

8 $ Satz: dditionssatz für beliebige d.h. nicht notwendig sich ausschließenden Ereignisse ( U ) ( ) + ( ) ( ) Wenn und sich gegenseitig ausschließen, so gilt: ( ) 0 U U + + % Für drei Ereignisse, und C erhält man analog zum obigen dditionssatz die folgende dditionsregel ( U U C ) ( ) + ( ) + ( C ) ( ) ( C ) ( C ) + ( C ) & Geben Sie bei einmaligem Wurf eines homogenen Würfels die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass man eine gerade ugenzahl oder eine durch 3 teilbare ugenzahl erhält. Es sind: : Gerade ugenzahl bzw. : ugenzahl durch 3 teilbar. Dabei ist: () 36 bzw. () 26 Gesucht ist: ( U ) Da und sich nicht gegenseitig ausschließen, gilt: ( ) 16. Somit ist: ( U ) () + () ( ) Geben Sie bei einmaligem Wurf eines homogenen Würfels die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass man eine gerade ugenzahl oder eine durch 5 teilbare ugenzahl erhält. 8

9 ' sei das Ereignis Ziehen eines ss aus einem Satz Spielkarten. K sei das Ereignis Ziehen eines Königs aus einem Satz Spielkarten Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mit einer einzelnen Ziehung ein ss oder eine König zu erhalten? () 4 52 (K) 4 52 Da ss und König nicht bei einer einzelnen Karte gezogen werden können, schließen sich beide Ereignisse und K aus. Somit ist ( K ) 0. K Ø K Ø 44 K Ø 44/ /52 4/52 K K K lso ist die Wahrscheinlich mit einer Ziehung eine ss oder König zu erhalten. ( U K ) ( ) + ( K ) ( K ) ' sei das Ereignis Ziehen eines ss aus einem Satz Spielkarten. H sei das Ereignis Ziehen eines Herzen aus einem Satz Spielkarten Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mit einer einzelnen Ziehung entweder einen ss oder ein Herz oder ein ss-herz zu erhalten? () 4 52 (H) Da ss und Herz bei einer einzelnen Karte gezogen werden können, schließen sich beide Ereignisse und H nicht aus. Somit ist die Wahrscheinlichkeit ein ss-herz zu erhalten: ( H ) 1 52 H H 36 H 36/ /52 1/52 12/52 H H H lso ist die Wahrscheinlich mit einer einzelnen Ziehung entweder einen ss oder ein Herz oder ein ss-herz zu erhalten. ( U H ) ( ) + ( H ) ( H )

10 () * +$ () Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis, falls ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist und wir über diese Information verfügen?, Falls beim Experiment Wurf eines homogenen Würfels bereits eine gerade Zahl (Ereignis ) eingetreten ist, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese ugenzahl zwei ist? (Ereignis )? () 3 6 ; ( ) 1 6 ( ) edingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängige Ereignisse Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses unter der edingung, dass das Ereignis bereits eingetreten ist, wird gekennzeichnet durch: ( ) und wird definiert durch: ( ) ( ) ( ) Zwei Ereignisse und sind unabhängig, falls: ( ) ( ) ( ) 10

11 +$ Viele roblemstellungen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung können durch Wahrscheinlichkeitsbäume (Ereignisbäume) übersichtlich und graphisch dargestellt werden. Folgende eispiele werden mit Hilfe dieser äume gelöst. - In einer Lieferung befinden sich 12 Dioden, von denen 4 defekt sind. Es werden 2 Dioden nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Ergebnisse an? ( ) ()( ) ( ) ()( ) ( ) ()( ) ( ) ()( ) % Die Ziehung von 2 Dioden kann durch die 2-fache Ziehung einer Diode in einem Ereignisbaum dargestellt werden. Die Ereignisse und sowie ihre jeweiligen disjunkten (sich gegen gegenseitig ausschließenden) Ereignisse und werden wie folgt definiert: : Eine defekte Diode bei der 1. Ziehung, : Eine defekte Diode bei der 2. Ziehung, : Keine defekte Diode bei der 1. Ziehung, : Keine defekte Diode bei der 2. Ziehung Da die Ereignisse bei der 2-ten Ziehung abhängig von den Ereignissen in der 1-ten Ziehung sind, ergibt sich für die Wahrscheinlichkeiten: ( ) ( ) ( ) ( 4 12). ( 3 11 ) 12 / 132 ( ) ( ) ( ) ( 4 12). ( 8 11 ) 32 / 132 ( ) ( ) ( ) ( 8 12). ( 4 11 ) 32 / 132 ( ) ( ) ( ) ( 8 12). ( 7 11 ) 56 /

12 - In einer Urne befinden sich 12 Kugeln, von denen 4 blau sind. Es werden 2 Kugeln mit Zurücklegen gezogen, d.h. erst wird eine Kugel gezogen, ihre Farbe wir notiert, dann wird sie zurückgelegt und dann wird die nächste Kugel gezogen. Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Ergebnisse an? ( ) ()() ( ) ()() ( ) ()() ( ) ()() % Die Ziehung von 2 Kugeln kann durch die 2-fache Ziehung einer Kugel in einem Ereignisbaum dargestellt werden. Die Ereignisse und sowie ihre jeweiligen disjunkten (sich gegen gegenseitig ausschließenden) Ereignisse und werden wie folgt definiert: : Eine blaue Kugel bei der 1. Ziehung, : Eine blaue Kugel bei der 2. Ziehung, : Keine blaue Kugel bei der 1. Ziehung, : Keine blaue Kugel bei der 2. Ziehung Da die Ereignisse bei der 2-ten Ziehung unabhängig von den Ereignissen in der 1-ten Ziehung sind, ergibt sich für die Wahrscheinlichkeiten: ( ) ( ) ( ) ( 4 12). ( 4 12 ) ( ) ( ) ( ) ( 4 12). ( 8 12 ) ( ) ( ) ( ) ( 8 12). ( 4 12 ) ( ) ( ) ( ) ( 8 12). ( 8 12 )

13 Satz: Multiplikationssatz für beliebige Ereignisse Die Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Eintreten zweier Ereignisse und mit ( ) > 0 und ( ) > 0 ist: ( ) ( ) ( ) Es gilt auch: ( ) ( ) ( ) Weiterhin kann der Satz verallgemeinert werden, so gilt für drei gleichzeitig eintretenden Ereignisse, und C: ( C ) ( ) ( ) ( C ( ) ) % ( ) ( ) ( ) ( ) Satz: Spezieller Multiplikationssatz (Multiplikationsregel) Sind die Ereignisse und unabhängig, so gilt: ( ) ( ) ( ) % Diese Regel wird häufig zur Definition der Unabhängigkeit von 2 Ereignissen benutzt.! Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass bei zweimaligem Wurf eines homogenen Würfels beide ugenzahlen 4 sind?./ Die beiden Ereignisse lauten: : ugenzahlen 4 bei ersten Wurf. : ugenzahlen 4 bei zweiten Wurf. 13

14 " 0 Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass bei zweimaligem Wurf eines homogenen Würfels beide ugenzahlen 4 sind. beide ugenzahlen nicht 4 sind. beim ersten Wurf eine 4 fällt. beim zweiten Wurf eine 4 fällt../ Die beiden Ereignisse lauten: : ugenzahlen 4 bei ersten Wurf. : ugenzahlen 4 bei zweiten Wurf. 00 Ergänzen Sie für dieses Zufallsexperiment den folgenden Wahrscheinlichkeitsbaum (Ereignissbaum), indem Sie die Ereignisse und die Werte für das Eintreten der jeweiligen Ereignisse eintragen. %12 : : : ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) () () : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 () ( ) ( ) () () Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Verzweigungen in jeder Stufe des aumdiagrams sind gleich 1. Denn in solchen äumen stellen zwei verschiede fade immer disjunkte Ereignisse dar. Ebenso gilt: ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 1 Sind die Ereignisse und unabhängig voneinander, so werden im Wahrscheinlichkeitsbaum die jeweiligen bedingten Wahrscheinlichkeiten in der 2-ten Stufe durch ersetzt. ( ( ) ( ) ) 14

15 !1$%$ $ +$ Wenn ein Ereignis aus mehreren Ergebnissen eines Experiments besteht, so erfolgt die erechnung der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses wie folgt: Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten entlang eines fades, der zu einem Ergebnis führt, aus dem das Ereignis teilweise besteht. ddition der Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen fade, die zu Ergebnissen führen, aus denen das Ereignis besteht. - In einer Warenlieferung sind 12 Dioden, davon sind 4 defekt. Es wird eine Stichprobe vom Umfang 2 ohne Zurücklegen gezogen. Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine defekte Diode gezogen wird. lso gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis: E 1 : Genau eine defekte Diode in der Stichprobe ( ) ()( ) ( ) ()( ) % : Eine defekte Diode bei der 1. Ziehung, : Eine defekte Diode bei der 2. Ziehung, : Keine defekte Diode bei der 1. Ziehung, : Keine defekte Diode bei der 2. Ziehung E 1 ( ) U ( ) ( E 1 ) ( ) + ( ) 0 ( ) ( ) + ( ) ( ) 0 (4 12) (8 11) + (8 12) (4 11)

16 & Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass bei zweimaligem Wurf eines homogenen Würfels die ugenzahlen 4 mindestens 1-mal fällt (D.h. die ugenzahl 4 fällt beim ersten Wurf oder bei zweitem Wurf oder bei beiden Würfen.)!3$ Im folgendem wird untersucht wie groß die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist, wenn alle sich gegenseitig ausschließende Ereignisse des Ergebnisraumes mit bekannten Wahrscheinlichkeiten auftreten und die edingten Wahrscheinlichkeiten gegeben sind

17 Satz: Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Sei ein Ereignis und seien und eine disjunkte Zerlegung von, so gilt: ( ) U ( ) ( ) ( ) ( ) U ( ) ( ) ( ) + ( ) 0 ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) 0 Sei ein Ereignis und seien 1 ; 2 ;..... ; n eine disjunkte Zerlegung von, so gilt: ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) + + ( ) ( ) n k 1 1 ( ) ( ) k 1 k 2 2 n n () () ( ) ( ) ( ) ( ) () () () () () () ( ) ( ) () () ( ) () () ( ) ( ) ( ) U ( ) ( ) 17

18 Eine Warenlieferung besteht aus 2 ackungen zweier unterschiedlichen Lieferanten von Dioden. Die kleinere ackung von einem Lieferanten enthält 10 Dioden und die größere ackung von dem anderen Lieferanten enthält 20 Dioden. Dabei sind von den 10 Dioden in der kleineren ackung 2 defekt und von den 20 in der größeren ackung sind 6 defekt. Es wird zufällig eine ackung ausgewählt und aus dieser wird dann wieder zufällig eine Diode entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Diode defekt ist? ( ) ( ) ( ) (12) (210) 0, ( ) ( ) ( (12) (620) 0,15 ) Folgende Ereignisse werden definiert: : kleine ackung : Diode defekt : große ackung : Diode intakt Die Wahrscheinlichkeiten sind laut ufgabe: ( ) ½ 0,5 ( ) ½ 0,5 ( ) 210 0,2 ( ) 620 0,3 Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gezogene Diode defekt ist, lautet: ( ) ( ) + ( ) 0 ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) 0 0,5 0,2 + 0,5 0,3 0,25 18

19 !425$6 us der Definition der edingten Wahrscheinlichkeit und dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit kann eine neue Formel erstellt werden, mit deren Hilfe man die Reihenfolge der bedingten Wahrscheinlichkeit umkehren kann. Satz: Satz von ayes Seien und zwei Ereignisse mit ( ) > 0 und ( ) > 0, und bilden und eine disjunkte Zerlegung von, dann gilt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( )! Ein rüfer hat beim zufälligen Entnehmen von Dioden im vorigen eispiel eine defekte Diode erhalten. Er weiß aber nicht mehr aus welcher ackung diese entstammt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese aus der kleineren ackung stammt. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 5 0, 2 0, 25 0, 4 ' Ein rüfer hat beim zufälligen Entnehmen von Dioden im vorigen eispiel (sp. 11-a) eine defekte Diode erhalten. Er weiß aber nicht mehr aus welcher ackung diese entstammt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese aus der größeren ackung stammt. 19

20 Drei Maschinen M 1 ; M 2 ; M 3 produzieren den selben rtikel. Die nteile der 3 Maschinen an der Gesamtproduktion betragen: 30%, 50% bzw. 20%. Die usschlussanteile der Maschinen (roduktion von unbrauchbaren rtikeln) sind der Reihe nach: 2%, 10% und 4%. us der Gesamtproduktion wird zufällig ein rtikel ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser rtikel unbrauchbar ist? Folgende Ereignisse werden definiert: D: rtikel unbrauchbar D : rtikel brauchbar M 1 : rtikel kommt von Maschine 1 M 2 : rtikel kommt von Maschine 2 M 3 : rtikel kommt von Maschine 3 die Wahrscheinlichkeiten sind laut ufgabe: ( D M 1 ) 0,02 ( D M 2 ) 0,1 ( D M 3 ) 0,04 ( M 1 ) 0,3 ( M 2 ) 0,5 ( M 3 ) 0,2 M 1 0,02 D (M 1 D) M 1 0,02 0,3 0,5 M 2 0,98 0,1 D D (M 2 D) 0,3 0,5 0,1 M 2 D 0,2 0,9 D 0,2 M 3 0,04 D (M 3 D) M 3 0,04 0,96 D Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Gesamtproduktion ein rtikel unbrauchbar ist: ( D ) ( D M 1 ) + ( D M 2 ) + ( D M 3 ) 0 ( D ) ( M 1 ) ( D M 1 ) + ( M 2 ) ( D M 2 ) + ( M 3 ) ( D M 3 ) 0,3 0,02 + 0,5 0,1 + 0,2 0,04 0,064 52ba us den rtikeln des vorigen eispiels wird einer zufällig ausgewählt. Er sei unbrauchbar. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er von Maschine 1 stammt. ( M D ) 1 ( M D ) ( D ) ( M ) ( D M ) , 3 0, 02 0, 064 ( D ) 0,