Wahrscheinlichkeitsrechnung

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1 Wahrscheinlichkeitsrechnung. Semester Begleitendes Skriptum zur Vorlesung im FH-Masterstudiengang Technisches Management von Günther Karigl FH Campus Wien 206/7

2 Inhaltsverzeichnis. Semester: Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechung. Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten.2 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit 4 2 Zufallsvariable und Verteilungen 7 2. Diskrete Verteilungen Stetige Verteilungen 9 3 Spezielle Verteilungen und ihre Anwendungen 3 3. Alternativverteilung A(p) Binomialverteilung B(n,p) Hypergeometrische Verteilung Poisson-Verteilung Po(λ) Geometrische Verteilung Geo(p) Normalverteilung N(µ,σ 2 ) Logarithmische Normalverteilung LN(µ,σ 2 ) Lebensdauerverteilungen 26

3 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist einerseits ein eigenständiges Teilgebiet der Mathematik, anderseits kommt ihr aber auch eine wichtige Rolle als Bindeglied zwischen der deskriptiven und der induktiven Statistik zu. Aufgabe der induktiven Statistik ist es ja, Verfahren bereitzustellen, die Schlüsse von einer Stichprobe auf die zugehörige Grundgesamtheit ermöglichen. Typische Problemstellungen der technischen Statistik sind etwa die Kontrolle der Annahme bzw. der Auslieferung von Waren (Eingangs- bzw. Endkontrolle) in der statistischen Qualitätskontrolle, die laufende Überwachung eines Produktionsprozesses, die Untersuchung der Abhängigkeit der Qualität eines Produktes von bestimmten Produktionsfaktoren, oder die Untersuchung des zeitlichen Verhaltens z.b. von Luftschadstoffen, usw. Eine vollständige Überprüfung ist oft nicht möglich, z.b. dann, wenn es sich um eine zerstörende Kontrolle handelt oder wenn diese mit hohen Kosten verbunden ist. Zudem zeigt sich in der Praxis, dass oft auch infolge der Ermüdung des Kontrolleurs eine Überprüfung mittels Stichproben einer vollständigen Kontrolle vorzuziehen ist. Zur Beantwortung der eingangs gestellten Fragen wird man also in den allermeisten Fällen eine Stichprobe ziehen und von dieser auf die entsprechende Grundgesamtheit rückschließen. Hierzu muss allerdings erst ein geeignetes Modell für die Grundgesamtheit entwickelt werden. Anstelle der empirischen Verteilungen der deskriptiven Statistik haben wir es in der induktiven oder mathematischen Statistik mit theoretischen Verteilungen zu tun, die als mathematische Modelle der Grundgesamtheit aufgefasst werden können. Die Wahrscheinlichkeitstheorie stellt nun theoretische Modelle für Grundgesamtheiten und Verteilungen von Merkmalen bereit, sie liefert Verfahren zur Schätzung von charakteristischen Kenngrößen dieser Gesamtheiten und ermöglicht die Überprüfung von Annahmen über deren Eigenschaften.. Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten In der Praxis tritt häufig das Bedürfnis auf, gewissen Ereignissen Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen, so z.b. dem (i) (ii) Ereignis, mit einem Würfel die Zahl 6 zu würfeln, dem Ereignis, dass ein aus einer Warenlieferung herausgegriffenes Stück defekt im Sinn der Lieferbedingungen ist, oder etwa dem (iii) Ereignis, dass ein aus einer Produktion entnommenes Werkstück ein Bohrloch mit einem Durchmesser zwischen 4,5 und 5,0 mm aufweist. Dabei interessiert man sich stets für zufällige Ereignisse und nicht für deterministische Erscheinungen.

4 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 Physikalische Prozesse sind in der Regel, zumindest aus makroskopischer Sicht, in ihrem Ablauf determiniert, d.h. vorhersagbar. Auch oftmalige Wiederholungen eines Experiments führen innerhalb der Messgenauigkeit immer zum selben Ergebnis (z.b. für die Spannung U = I R im Gleichstromkreis). Im Gegensatz dazu besitzen Vorgänge im Bereich der Bio-, Sozialoder Wirtschaftswissenschaften häufig den Charakter von Zufallsexperimenten, d.h., ihr Ausgang ist nicht vorhersehbar. Typische Beispiele von Zufallsexperimenten sind das Werfen einer Münze oder eines Würfels, das Ziehen einer Spielkarte, das zufällige Auswählen einer Person und Feststellen ihrer Körpergröße, ihres Blutdrucks oder ihres täglichen Zigarettenverbrauchs, u.v.a.m. Jede einzelne Durchführung eines Zufallsexperiments heißt ein Versuch, sein Ergebnis ein Versuchsausgang oder Elementarereignis. Alle Elementarereignisse eines Experiments bilden zusammen den sogenannten Ereignisraum oder Stichprobenraum Ω. So gilt etwa für die drei oben angegebenen Beispiele: (i) Ω = {,2,3,4,5,6} (ii) Ω 2 = {0,,2,3,...,n}, wo n den Umfang des Prüfloses bezeichnet (iii) Ω 3 = + = {x x > 0} Wie die Beispiele zeigen, gibt es Experimente mit endlichem oder unendlichem Stichprobenraum. Bei Größen- und Gewichtsmessungen beispielsweise sind die möglichen Ausgänge zumeist beliebige positive Zahlen, also ist Ω = + die Menge aller positiven reellen Zahlen oder Ω = [a, b] ein reelles Intervall. Allgemein entspricht bei einem Zufallsexperiment einem Ereignis A eine Teilmenge A Ω und man sagt, A tritt genau dann ein, wenn eines der in A enthaltenen Elementarereignisse eintritt. Enthält A dabei mehr als ein Elementarereignis, so heißt es zusammengesetzt. So ist z.b. das Würfeln einer geraden Augenzahl ein zusammengesetztes Ereignis, nämlich zusammengesetzt aus den Elementarereignissen, die den Augenzahlen 2, 4 und 6 entsprechen: A = {2,4,6}. Insbesondere ist auch Ω selbst ein Ereignis, welches bei jeder Versuchsausführung eines Zufallsexperiments eintritt und deshalb das sichere Ereignis genannt wird. Ferner ist es zweckmäßig, die leere Menge als Ereignis zuzulassen, das keinem möglichen Ausgang entspricht und daher auch unmögliches Ereignis heißt. Ereignisse können zu neuen Ereignissen kombiniert werden. Sind A,B Ω Ereignisse, so erhält man durch Anwendung der mengentheoretischen Operationen der Durchschnitts-, Vereinigungs- und Differenzenbildung die weiteren Ereignisse A B, A B und A \ B, welche als A und B, A oder B bzw. A aber nicht gleichzeitig B bezeichnet werden. Zu jedem A kann daher insbesondere auch A = Ω \ A, das komplementäre Ereignis zu A, gebildet werden. Ferner heißen zwei Ereignisse A und B unvereinbar (oder disjunkt), wenn A B = gilt. Alle Ereignisse eines Zufallsexperiments bilden eine so genannte Ereignisalgebra oder σ- Algebra, das ist ein nicht leeres System Σ von Teilmengen A, B, C,... von Ω mit den Eigenschaften A Σ A Σ, A, A,... Σ A A... Σ. 2 2 D.h., Σ ist gegenüber der Komplementbildung sowie der Vereinigung von endlich oder abzählbar unendlich vielen Ereignissen abgeschlossen.

5 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 3 Wir greifen nochmals auf das einfache Zufallsexperiment Werfen eines Würfels zurück und stellen uns die Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein bestimmtes Ereignis, z.b. eine gerade Augenzahl auftritt? Um die Wahrscheinlichkeit P(A) eines Ereignisses A festzulegen, gab es historisch gesehen verschiedene Zugänge: Wir betrachten unter allen möglichen Ausgängen des Experiments diejenigen, bei denen das Ereignis A eintritt. Je größer die Anzahl dieser für A günstigen Fälle ist, desto wahrscheinlicher wird A eintreten. Es ist daher naheliegend, den Anteil der für A günstigen Ausgänge an allen insgesamt möglichen Ausgängen des Zufallsexperiments als die Wahrscheinlichkeit P(A) des Ereignisses A zu bezeichnen. Die so genannte klassische Definition der Wahrscheinlichkeit P(A) eines Ereignisses A für ein Zufallsexperiment mit endlich vielen gleichwahrscheinlichen Ausgängen (ein so genanntes Laplace-Experiment) lautet dann Anzahl der für A günstigen Ausgänge P (A) =. Anzahl der insgesamt möglichen Ausgänge Aus dieser Definition folgt übrigens sofort, dass stets 0 P(A) gilt. Insbesondere ist P( ) = 0 und P(Ω) =. Die Antwort auf die oben gestellte Frage nach der Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim Ausspielen eines Würfels eine gerade Augenzahl auftritt, ist nun leicht zu finden: Von den sechs möglichen Augenzahlen sind drei, nämlich eben die geraden Zahlen, für das betrachtete Ereignis A günstig, d.h. P(A) = 3/6 = /2. Sind die Voraussetzungen für ein Laplace-Experiment nicht erfüllt, so kann man die Wahrscheinlichkeit P(A) eines Ereignisses A so festlegen, dass man das Zufallsexperiment n-mal durchführt und die relative Häufigkeit h n (A) für das Auftreten von A betrachtet. Strebt die Folge h n (A) für n =,2,3,... dann einem festem Wert zu, wählt man in naheliegender Weise P(A) = lim h n bzw. in der Praxis P(A) h n (A) für großes n. (Tatsächlich gilt nach dem so genannten Gesetz der großen Zahlen von Bernoulli, dass h n (A) fast sicher gegen P(A) konvergiert.) Sind etwa laut Geburtenstatistik unter 4255 Neugeborenen eines Jahres in einer Geburtsklinik 283 Knaben und 2072 Mädchen, wird man die Wahrscheinlichkeit für die Geburt eines Knaben mit P(K) = 283/4255 = 0,53 und für die Geburt eines Mädchens mit P(M) = 2072/4255 = 0,487 festsetzen. Heute ist es allerdings üblich, den Begriff der Wahrscheinlichkeit rein axiomatisch festzulegen. Eine Wahrscheinlichkeit ist demnach eine Funktion P: Σ, die jedem Ereignis A aus einer Ereignisalgebra Σ über dem Ereignisraum Ω eine reelle Zahl P(A) zuordnet, wobei folgende Bedingungen erfüllt sind: n (A). 0 P(A) für alle Ereignisse A 2. P(Ω) = 3. P(A B) = P(A) + P(B) für disjunkte Ereignisse A und B bzw. P(A A 2...) = P(A ) + P(A 2 ) +... falls die Ereignisse A i paarweise disjunkt sind

6 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 4 Das sind die Wahrscheinlichkeitsaxiome von Kolmogoroff. Das dritte Axiom wird auch als Additionssatz für disjunkte Ereignisse bezeichnet. Jede Funktion P, die diese Axiome erfüllt, heißt ein Wahrscheinlichkeitsmaß oder kurz Wahrscheinlichkeit. Aus den Axiomen lassen sich für das praktische Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten sofort einige einfache Folgerungen ableiten, die wir im Folgenden zusammenfassen. 4. P( ) = 0 5. P( A ) = P(A) 6. A B P(A) P(B) 7. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Additionssatz für zwei beliebige Ereignisse Der zuletzt angeführte Additionssatz gilt für beliebige Ereignisse A und B im Gegensatz zum Additionssatz in Axiom 3., welches nur für disjunkte Ereignisse gültig ist. Im Übrigen kann man zeigen, dass der klassische Wahrscheinlichkeitsbegriff als Spezialfall für ein Zufallsexperiment mit endlich vielen gleichwahrscheinlichen Ausgängen im Axiomensystem von Kolmogoroff enthalten ist, so dass sich der axiomatische Wahrscheinlichkeitsbegriff als eine echte Verallgemeinerung des klassischen erweist..2 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit In vielen Fällen wird die Wahrscheinlichkeit P(A) für das Eintreten eines Ereignisses A dadurch verändert, dass ein anderes Ereignis B bereits eingetreten ist. Diese neue Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A unter der Bedingung B wird dann die durch B bedingte Wahrscheinlichkeit von A genannt und mit P(A B) bezeichnet. Ist P(B) = 0, so gilt dann klarerweise auch P(A B) = 0, für P(B) 0 dagegen ergibt sich ihr Wert aus der Formel P(A B) = P(A B). P(B) Aus dieser Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit folgt sofort der Multiplikationssatz für zwei beliebige Ereignisse A und B: P(A B) = P(A B) P(B) = P(A) P(B A), Der Multiplikationssatz kann von zwei Ereignissen auf n 2 Ereignisse wie folgt verallgemeinert werden (der Beweis erfolgt durch vollständige Induktion): P(A A 2 A 3... A n ) = P(A ) P(A 2 A ) P(A 3 A A 2 )... P(A n A... A n ). Mit dem Multiplikationssatz verbunden ist der Begriff der Unabhängigkeit von Ereignissen: Die beiden Ereignisse A und B heißen unabhängig, falls P(A B) = P(A) P(B)

7 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 5 bzw. gleichwertig dazu, falls P(A B) = P(A) oder (wegen der Symmetrie der Unabhängigkeitsbedingung in A und B) auch falls P(B A) = P(B). Beispiel: Werfen eines Würfels, Ω = {,2,3,4,5,6} A = {6} (Würfeln eines Sechsers), B = {2,4,6} (gerade Zahl) P(A) = /6, P(B) = /2, P(A B) = /3, A und B sind abhängig A = {,2} (Augenzahl höchsten 2), B = {2,4,6} w.o. P(A) = /3, P(B) = /2, P(A B) = /6 = P(A) P(B), A und B sind unabhängig In der Praxis hat man zur Ermittlung der Wahrscheinlichkeit P(A) sehr oft eine Fallunterscheidung durchzuführen, welche einer disjunkten Zerlegung Ω = B B 2... B n des Ereignisraums entspricht. Sind die Wahrscheinlichkeiten P(B i ) und die bedingten Wahrscheinlichkeiten P(A B i ) für alle i bekannt, dann kann P(A) wie folgt ermittelt werden: also A = A Ω = (A B )... (A B ) n P(A) = P(A B ) P(A B ) n = P(A B )P(B ) P(A B )P(B ), n n n = i i, i= P(A) P(A B )P(B ) was auch der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit genannt wird. Beispiel: Zur Chipproduktion werden drei Maschinen eingesetzt. Die Maschine M deckt 50% der Gesamtproduktion ab und liefert 3% Ausschuss. Auf die Maschine M 2 entfallen 30% der Produktion bei einem Ausschussanteil von %, während die Maschine M 3 20% der Produktion bei einem Ausschussanteil von 2% bestreitet. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig der Produktion entnommenes Stück defekt ist. Bezeichnen wir mit A das Ereignis, dass ein fehlerhaftes Stück produziert wurde und mit M i das Ereignis, dass ein beliebig ausgewähltes Stück aus der Produktion der Maschine M i stammt (für i =,2,3). Dann gilt P(A) = P(A M )P(M ) + P(A M )P(M ) + P(A M )P(M ) = 0,03 0,5 + 0,0 0,3 + 0,02 0,2 = 0,022. Somit beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit, also der Ausschussanteil insgesamt 2,2%. Ein einfache Folgerung aus dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit ist die so genannte Bayes sche Formel: Ist Ω = B B 2... B n eine disjunkte Zerlegung des Ereignisraums und A ein beliebiges Ereignis, so gilt nach Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit P(B A) P(A B )P(B ) P(A B )P(B ) P(B A) = = =, n P(A) P(A) P(A B )P(B ) j= j j

8 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 6 bzw. allgemein für alle i =,...,n P(B A) = i P(A B i)p(b i). P(A B )P(B ) n j= j j Von der Aufgabenstellung her kann man dabei die Ereignisse B, B 2,...,B n oft als mögliche Ursachen für das Ereignis A deuten. Ist nun das Ereignis A tatsächlich eingetreten, so lässt dies dann Rückschlüsse auf die möglichen Ursachen zu, indem deren a priori Wahrscheinlichkeiten P(B i ) sich damit a posteriori (nämlich durch das Eintreten von A) zu P(Bi A) ändern. Beispiel: Wir betrachten nochmals den Produktionsprozess auf den drei Maschinen M, M 2 und M 3 des vorhergehenden Beispiels. Unter der Annahme, dass ein produziertes Stück fehlerhaft ist, wie groß ist dann nachträglich die Wahrscheinlichkeit, dass es von einer der Maschinen M i, i =,2,3, stammt? Zur Beantwortung dieser Frage verwenden wir die Bayes sche Formel und erhalten P(M P(M P(M P(A M )P(M ) 0,03 0,5 A) = = 0,68, P(A) 0,022 = P(A M 2 )P(M 2 ) 0,0 0,3 A) = = 0,4, P(A) 0,022 2 = P(A M 3 )P(M 3 ) 0,02 0,2 A) = = 0,8. P(A) 0,022 3 = Wie nicht anders zu erwarten, hat sich diese Wahrscheinlichkeit für die Maschine M mit einem relativ hohen Ausschussanteil gegenüber der a priori Wahrscheinlichkeit von 0,5 erhöht, dagegen sind die Wahrscheinlichkeiten für die Maschinen M 2 und M 3 als mögliche Ursachen für den Fehler jeweils zurückgegangen. a priori a posteriori M 50% 68% M 2 30% 4% M 3 20% 8% 00% 00%