Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1

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1 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 Dr. Andreas Wünsche TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 9. April 2018 Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 1

2 Organisatorisches Vorlesung: Mo, 11:00-12:30, FOR Übungen: Di, 7:30-9:00, FOR-0270, Dipl.-Math. Markus Dietz, Di, 14:00-15:30, RAM-2220, Dr. Anna Chekhanova, Mi, 11:00-12:30, LED-1105, Dr. Andreas Wünsche. Selbststudium (Laut Modulbeschreibung zusammen für beide Semester 120h Präsenzzeit und 150h Selbststudium.) Information: Prüfung: Klausur 120 Minuten, zugelassen sind Taschenrechner, Bücher, Mitschriften; nicht zugelassen sind Laptops, Handys. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 2

3 Themen Wahrscheinlichkeitsrechnung (ca. 7 Vorlesungen). Zufällige Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten, bedingte Wahrscheinlichkeiten, Unabhängigkeit. Zufallsgrößen, Typen, Charakterisierung und Kenngrößen. Wichtige diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Wichtige stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Beschreibende (deskriptive) Statistik (ca. 3 Vorlesungen). Beispiele und Grundbegriffe. Eindimensionale Merkmale. Zweidimensionale Merkmale. Indexzahlen. Schließende (induktive) Statistik (ca. 3 Vorlesungen). Stichproben. Parameterschätzungen. Fortsetzung im folgenden Semester: Statistik für Betriebswirte II. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 3

4 1. Wahrscheinlichkeitsrechnung 1.1 Einleitung Im praktischen Leben, in den Wissenschaften, usw. hat man es oft mit Situationen, Versuchen, Beobachtungen, etc., zu tun, bei denen Ergebnisse nicht genau vorausberechnet werden können, eine Unsicherheit besteht, bei denen aber Aussagen und/oder Entscheidungen getroffen werden sollen. Beispiele: Versicherungswesen (Zeitpunkte von Schadensfällen, Höhe von Einbzw. Auszahlungen). (Statistische) Qualitätskontrolle (notwendige Änderungen von Produktionsparametern wegen zu mangelhafter Qualität der Erzeugnisse). Produktionsplanung (Entwicklung der Nachfrage). Finanzmärkte (Entwicklung von Aktienkursen, Wechselkursen). Wetter- und Klimavorhersagen. Physikalische Grundgesetze (statistische Physik, Quantenphysik). Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 4

5 1.2 Zufällige Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten Ideales Zufallsexperiment, zufälliger Versuch, Zufallssituation: Genau festgelegte Bedingungen. Ausgang bzw. Ergebnis des Experiments ist nicht vorhersehbar, die möglichen Ausgänge sind vor Durchführung des Experiments bekannt. Es ist zumindest gedanklich beliebig oft wiederholbar und eine statistische Regularität kann beobachtet oder angenommen werden. In einfachen Fällen: Menge aller möglicher Ergebnisse (Ergebnismenge, Grundmenge) Ω. Elemente ω 1, ω 2,... der Ergebnismenge sind die Elementarereignisse, Versuchsausgänge oder Grundrealisierungen. Die verfügbare Information spielt eine große Rolle. Beispiele: Würfeln mit einem oder mehreren Würfeln. Bildquelle: de.wikipedia.org/wiki/spielwürfel Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 5

6 Zufällige Ereignisse Zufälliges Ereignis oder kurz Ereignis A zu einem betrachteten Zufallsexperiment: nach Durchführung des Zufallsexperiments muss man mit Sicherheit sagen können, ob das Ereignis A eingetreten ist oder nicht. Im Sinne der (mathematischen) Logik: Das Ereignis A ist eingetreten. ist entweder eine wahre oder falsche Aussage. Im Fall einer Ergebnismenge Ω: Teilmenge A der Ergebnismenge Ω; das Ereignis A tritt ein, falls das realisierte Ergebnis des zufälligen Versuchs in der Menge A enthalten ist. Beispiele: Würfeln mit einem oder mehreren Würfeln. Tägliche DAX-Schlusskurse. Bildquelle: Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 6

7 Wahrscheinlichkeiten Jedem zufälligen Ereignis A zu einem betrachteten Zufallsexperiment wird eine Zahl zwischen 0 und 1 zugeordnet, die sogenannte Wahrscheinlichkeit (für das Eintreten) des Ereignisses P(A). P(A) ist ein quantitatives Maß für die Chancen, dass das zufällige Ereignis A bei einer Realisierung des Experiments eintritt, z.b. P(A) 0 sehr geringe; P(A) 1 sehr große Chancen. Hintergrund sind Eigenschaften von relativen Häufigkeiten h n (A) = H n(a) n P(A) (falls n groß) ; H n (A) Häufigkeit des Eintretens von A in n (unabhängigen) Realisierungen des Zufallsexperiments. Häufigkeitsinterpretation für P(A): bei n Realisierungen des Zufallsexperiments wird (oft) das zufällige Ereignis A ungefähr n P(A) mal eintreten und n (1 P(A)) mal nicht eintreten. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 7

8 Stabilisierung von relativen Häufigkeiten Beispiel Quelle: N.Henze, Stochastik für Einsteiger, 2013, 10.Auflage, Kap.4. Ergebnisse von 300 Würfen einer Reißzwecke auf einen Steinboden mit den beiden möglichen Ergebnissen Spitze nach oben = 1 und Spitze schräg nach unten = 0. Fortlaufend notierte relative Häufigkeiten für 1 : Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 8

9 Verknüpfungen von Ereignissen Geg.: Zufallsexperiment mit Ergebnismenge Ω und zufälligen Ereignissen A, B. Vereinigung A B : A oder B (oder beide) treten ein. Durchschnitt A B : A und B treten beide ein. Differenz A \ B : A tritt ein, aber B nicht. Das zu A komplementäre (entgegengesetzte) Ereignis A = A c = A : tritt genau dann ein, wenn A nicht eintritt; A = Ω \ A. Unmögliches Ereignis : tritt niemals ein. Sicheres Ereignis Ω : tritt immer ein (gleich Ergebnismenge). A und B sind unvereinbar (sind disjunkt, schließen einander aus) : sie können nicht gemeinsam eintreten, d.h. A B =. Das Ereignis A zieht das Ereignis B nach sich : A B (wenn A eintritt, dann tritt auch B ein). Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 9

10 Rechenregeln für Verknüpfungen von Ereignissen Geg.: Zufallsexperiment mit Ergebnismenge Ω und zufälligen Ereignissen A, B, C. Dann gelten wie allgemein für Teilmengen A, B, C einer Menge Ω die folgenden Rechenregeln. Kommutativität : A B = B A, A B = B A. Assoziativität : (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C). Distributivität : (A B) C = (A C) (B C), (A B) C = (A C) (B C). Regeln von de Morgan : A B = A B, A B = A B. ( ) A A = Ω, A A =, A \ B = A B, A = A, A = A, A =, A Ω = Ω, A Ω = A. Entsprechend können auch Vereinigungen und Durchschnitte von mehr als zwei Ereignissen definiert werden und auch die Rechenregeln können entsprechend verallgemeinert werden. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 10

11 Übungsbeispiel 1.1 Entwicklung von 3 konkreten Aktienkursen in einem festen Zeitraum an einer bestimmten Börse. S i = {Wert der Aktie i steigt}. Ges.: Darstellung der folgenden Ereignisse durch die Ereignisse S i. A = {Wert aller 3 Aktien steigt}. B = {Wert keiner der 3 Aktien steigt}. C = {Wert mindestens einer der 3 Aktien steigt}. D = {Wert genau einer der 3 Aktien steigt}. E = {Wert aller 3 Aktien fällt oder bleibt gleich}. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 11

12 Axiomatische Wahrscheinlichkeitsdefinition (Kolmogorow) Mathematisches Modell für ein Zufallsexperiment ist ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P). Ω ist eine nichtleere Menge (Grundraum, Ergebnismenge), sie wird in komplizierteren Situationen oft nicht explizit angegeben. A ist eine Menge von Teilmengen von Ω, so dass endlich viele oder abzählbar unendliche Verknüpfungen von Elementen aus A wieder zu einem Ergebnis in A führen (Ereignisalgebra, σ Algebra). Die Wahrscheinlichkeitsfunktion P ordnet jeder Menge A aus A die reelle Zahl P(A) zu, so dass die folgenden Axiome gelten: 1. 0 P(A) P(Ω) = P(A 1 A 2 = P(A 1 ) + P(A 2 ) falls A 1 A 2 =. ( ) 4. P A i = P(A i ) falls die Ereignisse A i paarweise unvereinbar i=1 i=1 sind, d.h. A i A j = (i j). Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 12

13 Bemerkungen zu und Folgerungen aus den Axiomen Man benutzt oft weiter die Wahrscheinlichkeitsterminologie (z.b. Ereignis statt Teilmenge ). Axiome spiegeln Eigenschaften der relativen Häufigkeiten wider. Alle Zuordnungen von Wahrscheinlichkeiten die den Axiomen genügen sind mathematisch gesehen erst einmal korrekt (insbesondere auch subjektive Zuordnungen). P( ) = 0. P(A 1 A 2... A n ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) P(A n ) falls die Ereignisse A i paarweise unvereinbar sind. P(A) = 1 P(A), P(A) = 1 P(A). (Oft sehr nützlich!) A B P(A) P(B), P(B \ A) = P(B) P(A). Additionsgesetz: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Siebformel: P(A B C) = P(A)+P(B)+P(C) P(A B) P(A C) P(B C)+P(A B C). Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 13

14 Übungsbeispiel 1.2 Für die Ereignisse A und B zu einem Zufallsexperiment seien folgende Wahrscheinlichkeiten bekannt: P(A) = 0.25, P(B) = 0.45, P(A B) = 0, 5. Berechnen Sie P ( A B ), P ( A B ) und P (( A B ) ( A B ))! Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 14

15 Klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition (Laplace-Modell) Gilt für Zufallsversuche mit endlich vielen möglichen Versuchsergebnissen (n elementare Versuchsausgänge oder Elementarereignisse), die alle gleichwahrscheinlich sind (keines wird bevorzugt, alle haben dieselbe Chance einzutreten). Beispiele: Würfeln mit einem fairen oder gerechten Würfel, n = 6, Elementarereignisse sind 1, 2, 3, 4, 5, 6. Zahlenlotto 6 aus 49, n = Anzahl der möglichen Tipps mit 6 aus 49 Zahlen. Aus den Axiomen für Wahrscheinlichkeiten folgt dann die einzige mögliche Definition von Wahrscheinlichkeiten in dieser Situation (die sogenannte klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition). Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 15

16 Klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition Für jedes der n Elementarereignisse gilt unter obigen Bedingungen: P(Elementarereignis) = 1 n. Für ein beliebiges Ereignis A gilt unter obigen Bedingungen: P(A) = Anzahl der Elementarereignisse in A n bzw. P(A) = Anzahl der für A günstigen Fälle Anzahl aller möglichen gleichwahrscheinlichen Fälle. Bei Wahrscheinlichkeitsberechnungen im Zusammenhang mit der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition werden oft kombinatorische Formeln genutzt. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 16

17 Kombinatorische Formeln I Geg.: n Objekte, z.b. {1, 2,..., n}. Die Anzahl aller möglichen Reihenfolgen beträgt n! = n ( n Fakultät ). Geg.: n Objekte, die in k unterschiedlichen Sorten vorliegen, bestehend jeweils aus n i, i = 1,..., k, nicht unterscheidbaren Objekten (2 k n und n n k = n). Die Anzahl aller möglichen Reihenfolgen beträgt ( ) n = n 1, n 2,..., n k n! n 1! n 2!... n k! ( Polynomialkoeffizient ). Im Spezialfall k = 2, d.h. gegeben sind n Objekte, jedes gehört zu einer von zwei Sorten (z.b. Erfolg, Misserfolg ), gilt n 1 = m, n 2 = n m und die Anzahl aller möglichen Reihenfolgen beträgt ( ) n = m n! m!(n m)! ( Binomialkoeffizient ). Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 17

18 Kombinatorische Formeln II Nun seien n Objekte gegeben. Dann ist eine Frage, wie viele Möglichkeiten es gibt, um daraus k Objekte auszuwählen? Die Antwort ist abhängig davon, ob sich in der Auswahl Objekte wiederholen dürfen (m.w.) oder nicht (o.w.) o.r. m.r. ob es auf die Reihenfolge der Auswahl (oder eine zusätzliche Anordnung) ankommt (m.r.) oder nicht (o.r.). ( o.w. ) n ( m.w. ) n + k 1 k k Kombinationen ( ) n k! k n k Variationen Beispiel: n = 4, k = 2. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 18

19 Übungsbeispiel 1.3 Eine Seminargruppe von 21 Studenten hat ihr Statistikseminar in einem Raum mit 25 Plätzen. Wieviele Anordnungsmöglichkeiten gibt es für die vier freien Plätze? Wieviele verschiedene Sitzordnungen gibt es? Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 19

20 1.3 Stochastische Unabhängigkeit Definition: Zwei zufällige Ereignisse A und B zu einem Zufallsversuch heißen (stochastisch) unabhängig, wenn gilt P(A B) = P(A) P(B). Beispiel: (Zweifacher Münzwurf mit symmetrischer Münze) A = {1. Wurf Zahl}, B = {2. Wurf Zahl}. P(A) = 1 2, P(B) = 1 2, P(A B) = 1 4 = Satz: A und B seien unabhängige Ereignisse zu einem zufälligen Versuch. Dann sind auch die zufälligen Ereignisse A und das Komplement von B, also B, unabhängig. Ebenso sind in diesem Fall A und B sowie auch A und B jeweils unabhängige Ereignisse. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 20

21 Unabhängigkeit von mehr als 2 Ereignissen Zufällige Ereignisse A 1,..., A n zu einem Zufallsversuch heißen paarweise unabhängig, falls alle Paare von ausgewählten Ereignissen unabhängig sind, d.h. P(A i A j ) = P(A i ) P(A j ) für alle i j. Diese Ereignisse heißen in Gesamtheit oder total oder vollständig (stochastisch) unabhängig, falls eine entsprechende Formel für alle möglichen Auswahlen (nicht nur von Paaren) gilt, d.h. für alle 2 k n, 1 i 1 <... < i k n gilt P(A i1... A ik ) = P(A i1 )... P(A ik ). Aus der totalen Unabhängigkeit der Ereignisse A 1,..., A n folgt die paarweise Unabhängigkeit der Ereignisse, aber die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 21

22 Summenformel Summenformel für unabhängige Ereignisse A 1,..., A n : P(A 1... A n ) = 1 (1 P(A 1 ))... (1 P(A n )). Die Unabhängigkeit von Ereignissen wird der Einfachheit halber häufig vorausgesetzt, oft auch dann, wenn sie sachlich schwer begründbar ist. Oft beziehen sich unabhängige Ereignisse auf Versuchswiederholungen etc., die sich (scheinbar) nicht gegenseitig beeinflussen. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 22

23 Anwendung in Zuverlässigkeitstheorie Betrachten die Serien- und Parallelschaltung von Bauteilen, Teilsystemen (z.b. in Produktionslinien) etc., die unabhängig voneinander ausfallen oder funktionstüchtig sind. 2 Bauteile T 1, T 2, F i = {Bauteil T i funktioniert}, P(F i ) = p i, F i stochastisch unabhängig (i = 1, 2). Serien- oder Reihenschaltung funktioniert, wenn sowohl T 1 als auch T 2 funktionieren: P(F 1 F 2 ) = P(F 1 )P(F 2 ) = p 1 p 2. Parallelschaltung funktioniert, wenn T 1 oder T 2 oder beide Bauteile funktionieren (also mindestens eines der Bauteile funktioniert): P(F 1 F 2 ) = P(F 1 ) + P(F 2 ) P(F 1 F 2 ) = p 1 + p 2 p 1 p 2. n Bauteile T 1,..., T n, F i = {Bauteil T i funktioniert} F i vollständig stochastisch unabhängig (i = 1,..., n). Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 23

24 Serien- oder Reihenschaltung Serien- oder Reihenschaltung funktioniert (Ereignis S), wenn alle Bauteile T 1, T 2,..., T n funktionieren: S = F 1 F 2... F n = P(S) = P(F 1 ) P(F 2 )... P(F n ). Serien- oder Reihenschaltung funktioniert nicht, wenn mindestens eines der Bauteile T 1, T 2,..., T n nicht funktioniert: S = F 1 F 2... F n P(S) = 1 P(S) = 1 P(F 1 ) P(F 2 )... P(F n ) = 1 ( (1 P(F 1 )) (1 P(F 2 ))... (1 P(F n )) ). Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 24

25 Parallelschaltung Parallelschaltung funktioniert (Ereignis S), wenn mindestens ein Bauteil T 1, T 2,..., T n funktioniert: S = F 1 F 2... F n = P(S) = 1 ((1 P(F 1 )) (1 P(F 2 ))... (1 P(F n ))). Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 25

26 Parallelschaltung Parallelschaltung funktioniert nicht, wenn alle Bauteile T 1, T 2,..., T n nicht funktionieren: S = F 1 F 2... F n = P(S) = P(F 1 ) P(F 2 )... P(F n ) = (1 P(F 1 )) (1 P(F 2 ))... (1 P(F n )). Bei komplizierteren Schaltungen Zerlegung in einfachere Teilsysteme (reine Serien- und Parallelschaltungen). Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 26

27 Übungsbeispiel 1.4 Ein System besteht aus vier Komponenten. Dabei sei F i (i = 1,..., 4) das Ereignis, dass die i-te Komponente des Systems nicht ausfällt. Diese Ereignisse sind vollständig unabhängig und haben folgende Wahrscheinlichkeiten: P(F 1 ) = 0.95, P(F 2 ) = 0.85, P(F 3 ) = 0.9 und P(F 4 ) = 0.9. Das System funktioniert, falls von den Komponenten 1 und 2 und von den Komponenten 3 und 4 mindestens jeweils eine Komponente funktioniert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das System funktioniert? Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 27