Sachrechnen/Größen WS 14/15-

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Martin Hochberg
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1 Kapitel Daten & Wahrscheinlichkeit 3.1 Kombinatorische Grundlagen 3.2 Kombinatorik & Wahrscheinlichkeit in der Grundschule 3.3 Daten Darstellen

2 3.1 Kombinatorische Grundlagen

3 Verschiedene Bereiche der Mathematik befassen sich mit den Fragestellungen rund um die Themen Möglichkeiten, Anordnungen, Kombinationen, Anzahlen, Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten, etc BSP: Würfeln mit mehreren Würfeln Welche Augenzahlen sind möglich? Wie viele Kombinationen gibt es für jede mögliche Augenzahl? Kombinatorik Wie wahrscheinlich ist eine bestimmte Augenzahl? Welche Augenzahl kann ich erwarten? Stichprobe -> Ergebnisse -> Darstellung der Ergebnisse (deskriptive Statistik) -> allgemeine Eigenschaften werden abgeleitet (induktive Statistik) Wahrscheinlichkeitstheorie Statistik 3

4 Verschiedene Bereiche der Mathematik befassen sich mit den Fragestellungen rund um die Themen Möglichkeiten, Anordnungen, Kombinationen, Anzahlen, Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten, etc abzählbare diskrete Strukturen & Berechnungen von Anzahlen. Beispiele: Parkettierungen, Permutationen, Partitionen, lateinische Quadrate, Graphentheorie Kombinatorik Man untersucht, modelliert und formalisiert Strukturen hinter Zufallsgeschehen (z.b. Glücksspiel). Endliche, diskrete Wahrscheinlichkeiten hängen immer eng mit der Anzahl der Möglichkeiten (Kombinatorik) zusammen Wahrscheinlichkeitstheorie Methoden zum Umgang mit quantitativen Informationen. Diese Daten werden erhoben, dargestellt und analysiert um Prognosen zu erstellen Statistik

5 Wahrscheinlichkeit Wir wollen verschiedenen Ereignissen einen Grad der Gewissheit zuordnen Alltagssprache & Mathematik: Das wird hundertprozentig passieren! P 1 = 100% = 1 Die Chancen dafür liegen bei 0%! P 2 = 0% = 0 Die Chancen sind fifty-fifty! P 3 = 50% = 0,5 Wahrscheinlichkeiten werden nicht in %, sondern als Werte zwischen 0 und 1 angegeben. 5

6 Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt P(Ereignis) P steht für probability (Wahrscheinlichkeit) Grundvorstellung für ein zufälliges Ereignis: ein Wert wird zufällig bestimmt P(X = x) Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X den Wert x annimmt 6

7 Wahrscheinlichkeit P(X = x) Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X den Wert x annimmt Bsp: Würfel (Hexaeder) Menge aller möglichen Ergebnisse Ω = {1,2,3,4,5,6} Zufallsvariable X: Augenzahl Es gilt immer P(Ω) = P( X=1 v X=2 v X=3 v X=4 v X=5 v X=6 ) = 1 Bei einem fairen Würfel gilt P(X=1) = P(X=2) = = P(X=6) Aus diesen beiden Beobachtungen folgt P(X=1) = = P(X=6) = 1/6 (LaGrange) 7

8 Wahrscheinlichkeit Definitionen Zufallsexperiment Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment mit folgenden Eigenschaften: Das Experiment wird unter genau festgelegten Bedingungen durchgeführt und kann unter diesen beliebig oft wiederholt werden Alle möglichen Ergebnisse des Experiments sind vorab bekannt Das Ergebnis eines einzelnen Experiments kann nicht vorhergesagt werden Ergebnismenge Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments. Genauer: Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge, wenn jedes Element aus Ω ein Ergebnis des Experiments bezeichnet und wenn jedem Ergebnis des Experiments genau ein Element aus Ω entspricht. Ereignis Ist Ω eine Ergebnismenge, dann heißt jede Teilmenge A Ω ein Ereignis. Ω heißt sicheres Ereignis (Nullmenge) heißt unmögliches Ereignis die einelementigen Teilmengen von Ω heißen Elementarereignisse. 8

9 Der Erwartungswert Sachrechnen/Größen WS 14/15- Der Erwartungswert E einer Zufallsvariablen beschreibt die Zahl, die die Zufallsvariable im Mittel annimmt. Er ist gleich dem Durchschnitt aller Ergebnisse eines unbegrenzt wiederholten Experiments. Im diskreten Fall errechnet sich der Erwartungswert als Summe der Produkte aus den Wahrscheinlichkeiten jedes möglichen Ergebnisses des Experiments und den Werten dieser Ergebnisse. In unserem Beispiel (einmal Würfeln) gilt also für unsere Zufallsvariable X E(X) = 1/ / /6 6 = 1/6 ( ) = 3,5 Der Erwartungswert für die Augenzahl eines Würfels beträgt 3,5. 9

10 Kombinatorik Sachrechnen/Größen WS 14/15- Überblick Parkettierungen 10

11 Kombinatorik Überblick Partitionen Partition einer Menge M: eine Menge P, deren Elemente nichtleere Teilmengen von M sind, sodass jedes Element von M in genau einem Element von P enthalten ist Die Partitionen von {1,2,3} sind {{1,2,3}}, {{1,2},{3}}, {{1},{2,3}}, {{1,3},{2}}, {{1}, {2}, {3}} 11

12 Kombinatorik Sachrechnen/Größen WS 14/15- Überblick Lateinische Quadrate ein quadratisches Schema mit n Reihen und n Spalten. In jedem Feld ist genau eines von n verschiedenen Symbolen enthalten, so dass jedes Symbol in jeder Zeile und in jeder Spalte jeweils genau einmal auftritt. Ein Sudoku ist ein Lateinisches Quadrat der Ordnung 9 mit einer zusätzlichen Eigenschaft: in den neun 3x3-Quadraten kommt jede Zahl genau einmal vor. 12

13 Kombinatorik Sachrechnen/Größen WS 14/15- Überblick Graphen Ein Graph besteht aus Knoten und Kanten (die paarweisen Verbindungen zwischen Knoten) ein leichter Beweis aus der Graphentheorie: das Haus vom Nikolaus kann nur gezeichnet werden, wenn man in einer der beiden unteren Ecken beginnt Vollständige Graphen haben wir schon zur Lösung eines Problems genutzt 13

Permutationen eine Permutation ist eine Anordnung von Objekten in einer bestimmten Reihenfolge. Interessant ist bei einer gegebenen Menge von Objekten die Anzahl der möglichen Permutationen.

14 Permutationen eine Permutation ist eine Anordnung von Objekten in einer bestimmten Reihenfolge. Interessant ist bei einer gegebenen Menge von Objekten die Anzahl der möglichen Permutationen. Dabei kann zugelassen werden, dass Objekte mehrfach auftreten dürfen, oder nicht Permutation ohne Wiederholung gegeben: n paarweise verschiedene Objekte. Dann ist die Anzahl der möglichen Permutationen n! = 1 2 n 14

15 Permutation mit Wiederholung n Anzahl Objekte r Anzahl Rote y Anzahl Gelbe b Anzahl Blaue g Anzahl Grüne Anzahl der Permutationen: n! r! y! b! g! 15

16 Problemaufgabe (Kombinatorik) für die 1. und 2. Klasse: Stelle dir vor, du willst verschiedene Türme aus drei Bausteinen bauen. In jedem Turm soll ein roter, ein gelber und ein blauer Stein sein. Wie viele verschiedene Türme könntest du mit diesen drei Steinen bauen? 16

17 Problemaufgabe (Kombinatorik) für die 1. und 2. Klasse: Stelle dir vor, du willst verschiedene Türme aus drei Bausteinen bauen. In jedem Turm soll ein roter, ein gelber und ein blauer Stein sein. Wie viele verschiedene Türme könntest du mit diesen drei Steinen bauen? 17

18 Problemaufgabe (Kombinatorik) für die 1. und 2. Klasse: Binomialkoeffizient Sachrechnen/Größen WS 14/15- Jetzt hast du einen roten, einen blauen, einen grünen, einen gelben und einen blauen Stein. Es soll trotzdem nur ein dreistöckiger Turm gebaut werden. Wie viele verschiedene Türme könntest du jetzt bauen? Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der i-elementigen Teilmengen einer Menge mit n Elementen an. Es gilt: 18

19 Das Pascalsche Dreieck n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 k=0 k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 k=7 19

20 Das Pascalsche Dreieck n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 k=0 k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 k=7 20

21 21

22 Die sechs kombinatorische Grundaufgaben Sachrechnen/Größen WS 14/15- alle Objekte, Beachtung der Reihenfolge Auswahl, ohne Beachtung der Reihenfolge Auswahl, mit Beachtung der Reihenfolge ohne Wiederholung Permutation Ohne Wiederholung Kombination ohne Wiederholung Variation ohne Wiederholung mit Wiederholung Permutation mit Wiederholung Kombination mit Wiederholung Variation mit Wiederholung 22

23 Die sechs kombinatorische Grundaufgaben URNENMODELLE Eine Kombination ohne Wiederholung ist eine Zusammenstellung/Auswahl von k Elementen aus n unterscheidbaren Elementen, bei der die Reihenfolge der Elemente keine Rolle spielt und ein Element nur einmal ausgewählt werden darf. Dabei ist k n. Sachrechnen/Größen WS 14/15- Eine Kombination mit Wiederholung ist eine Zusammenstellung/Auswahl von k Elementen aus n unterscheidbaren Elementen, bei der die Reihenfolge der Elemente keine Rolle spielt und ein Element mehrmals ausgewählt werden darf. Dabei ist k>n erlaubt. 23

24 Die sechs kombinatorische Grundaufgaben URNENMODELLE Sachrechnen/Größen WS 14/15- Eine Variation ohne Wiederholung ist eine Auswahl von k Elementen aus n unterscheidbaren Elementen, bei der die Reihenfolge der Elemente berücksichtigt wird und ein Element nur einmal ausgewählt werden darf. Dabei ist k n Eine Variation mit Wiederholung ist eine Auswahl von k Elementen aus n unterscheidbaren Elementen, bei der die Reihenfolge der Elemente berücksichtigt wird. Dabei ist k>n erlaubt

25 Die sechs kombinatorische Grundaufgaben Sachrechnen/Größen WS 14/15- Die Variation mit Wiederholung ist das k-fache kartesische Produkt der Menge mit sich selbst Anzahl Möglichkeiten: n k n n n n n 25

26 Die sechs kombinatorische Grundaufgaben Sachrechnen/Größen WS 14/15- Die Variation mit Wiederholung ist das k-fache kartesische Produkt der Menge mit sich selbst Variante (kartesisches Produkt von 4 verschiedenen Menge): Hans hat 4 Pullover und 3 Hosen. Außerdem 2 Hüte und 3 Paar Schuhe. Auf wie viele Arten kann er sich damit anziehen? 26

27 Die sechs kombinatorische Grundaufgaben Sachrechnen/Größen WS 14/15- ohne Wiederholung mit Wiederholung Permutation ohne Wiederholung n! Permutation mit Wiederholung* n! a!b!... Kombination ohne Wiederholung n k Kombination mit Wiederholung n+k-1 k Variation ohne Wiederholung n! (n-k)! Variation mit Wiederholung n k Anzahl möglicher Ergebnisse, n=anzahl Objekte, k=anzahl gezogene Objekte 27

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