Welche Axiome sind Grundlage der axiomatischen Wahrscheinlichkeitsdefinition von Kolmogoroff?

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1 2. Übung: Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgabe 1 Welche Axiome sind Grundlage der axiomatischen Wahrscheinlichkeitsdefinition von Kolmogoroff? a) P ist nichtnegativ. b) P ist additiv. c) P ist multiplikativ. d) P ist immer gleich 0. e) P ist normiert. Aufgabe 2 Nach welcher Wahrscheinlichkeitsdefinition entspricht die Wahrscheinlichkeit dem Quotienten aus der Anzahl der günstigen Ereignisse und der Anzahl der möglichen Ereignisse? a) Axiomatische Definition nach Kolmogoroff b) Wahrscheinlichkeitsdefinition nach Mises c) Subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff d) Wahrscheinlichkeitsdefinition nach Laplace e) Wahrscheinlichkeitsdefinition nach Venn

2 Aufgabe 3 Zwei Ereignisse sind disjunkt, wenn a) ein Ereignis Element des anderen ist b) die Ereignisse sich gegenseitig ausschließen c) die Ereignisse stochastisch unabhängig sind d) die Ereignisse Komplementäre sind e) der Durchschnitt beider Ereignisse eine leere Menge ist Aufgabe 4 Wenn zwei Ereignisse A und B komplementäre Ereignisse sind, dann a) sind sie stochastisch unabhängig b) sind sie disjunkt c) gilt: PP(AA BB) = 0 d) gilt: PP(AA BB) = 0 e) sind sie äquivalent

3 Aufgabe 5 Es sei PP(AA\BB) = PP(AA). Dann gilt für die Ereignisse A und B, dass a) A und B stochastisch unabhängig sind b) A und B disjunkt sind c) AA BB d) A und B nicht disjunkt sind e) PP(AA BB) = PP(AA BB) Aufgabe 6 Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von disjunkten Ereignissen wird durch a) Multiplikation der Einzelwahrscheinlichkeiten ermittelt b) Division der Einzelwahrscheinlichkeiten ermittelt c) Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten ermittelt d) Multiplikation der bedingten Wahrscheinlichkeiten ermittelt e) Addition der bedingten Wahrscheinlichkeiten ermittelt

4 Aufgabe 7 Beim Theorem des Bayes steht im Nenner: a) die totale Wahrscheinlichkeit b) 1 c) das Produkt der bedingten Wahrscheinlichkeiten d) die Summe aller Wahrscheinlichkeiten e) 0 Aufgabe 8 Zwei Würfel werden nacheinander geworfen. Betrachtet werden die beiden Ereignisse: A: die Augensumme ist größer als 10. B: die Augenzahl des ersten Würfels ist größer als 3, aber nicht 6. Welche Aussagen treffen zu? a) der Ereignisraum besteht aus 6 Elementarereignissen b) der Ereignisraum besteht aus 36 Elementarereignissen c) der Ereignisraum besteht aus 12 Elementarereignissen d) Die Ereignisse A und B sind disjunkt e) Die Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig

5 Aufgabe 9 Zwei Würfel werden nacheinander geworfen. Betrachtet werden die beiden Ereignisse: A: die Augensumme ist größer als 10. B: die Augenzahl des ersten Würfels ist größer als 3, aber nicht 6. Welche Aussagen treffen zu? a) PP(AA BB) = PP(BB AA) b) PP(AA BB) = 1 3 c) PP(AA BB) = 1 12 d) PP(BB AA) = 1 3 e) PP(BB AA) = 1 12 Aufgabe 10 Es sei PP(AA BB ) = 0,6. PP(AA BB) ist dann: a) PP(AA BB) = 0,6 b) PP(AA BB) = 0,4 c) PP(AA BB) = 0,36 d) PP(AA BB) = 0,2 e) nicht errechenbar

6 Aufgabe 11 In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, die jeweils mit einer der Zahlen 1 bis 20 beschriftet sind. Es wird eine Kugel willkürlich gezogen. Wir betrachten folgende zufälligen Ereignisse: A) Die gezogene Zahl ist maximal gleich 13 B) Die gezogene Zahl ist mindestens gleich 10 C) Die gezogene Zahl ist ungerade D) Die gezogene Zahl ist ein Vielfaches von 4 a) Beschreiben Sie die Ereignisse AA CC BB DD BB CC BB CC DD (AA BB) DD (AA BB) CC DD mit Worten! b) Drücken Sie die folgenden zufälligen Ereignisse durch die Ereignisse A, B, C, D, (und ihre Komplemente) aus: F) Die gezogene Zahl ist eine aus der Menge {1, 3, 5, 7, 9} G) Die gezogene Zahl ist ungerade und größer als 13 H) Die gezogene Zahl ist ungerade und kleiner als 10, oder sie ist gerade und größer als 13 Aufgabe 12 Gegeben ist ein Ereignisraum Ω sowie ein Wahrscheinlichkeitsmaß P: P(Ω) [0,1]. C und D beschreiben zufällige Ereignisse auf Ω mit P(C) = 0,4, P(D) = 0,3 und P(C D) = 0,2. Berechnen Sie die folgenden zufälligen Ereignisse a) PP DD b) PP(CC) c) PP(CC DD) d) PP CC DD e) PP CC DD f) PP(CC\DD) g) PP(DD\CC) h) PP (CC DD) (CC DD)

7 Aufgabe 13 Es sei ein Ereignisfeld ε mit der Grundmenge Ω gegeben. a) Unter welchen Bedingungen gilt eine Menge an Ereignissen als vollständiges Ereignissystem in ε? b) Zeigen Sie, dass die zufälligen Ereignisse AA BB, AA BB, AA BB, und AA BB ein vollständiges System von Ereignissen bilden! Aufgabe 14 Eine Statistik bei einer Gruppe von Studenten hat folgende Ergebnisse gezeigt: 45% der Befragten sind weiblich. 3 % der Frauen und 15 % der Männer studieren Ingenieurwissenschaft. 20 % der Frauen und 30 % der Männer studieren Jura. Der jeweilige Rest studiert BWL. a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person in der Gruppe weiblich ist und Ingenieurwissenschaft studiert? b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person in der Gruppe Ingenieurwissenschaft studiert? c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person in der Gruppe weiblich ist, wenn Sie Ingenieurwissenschaft studiert? d) Untersuchen Sie die Abhängigkeit zwischen Auswahl des Studiums und Geschlecht. Aufgabe 15 Ein Unternehmen lässt seine Notebooks an drei unterschiedlichen Standorten produzieren. 40% der Produktion läuft an Standort A mit 4% defekte Teile. 25% der Produktion läuft an Standort B mit 2% defekte Teile. 35% der Produktion läuft an Standort C mit 1% defekte Teile. a) Wie groß ist der Gesamt Anteil an defekten Notebooks? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein defektes Notebook aus Standort A stammt? Aufgabe 16 Es sei Ω ein gegebener Ereignisraum. A und B stellen zwei zufällige, unvereinbare Ereignisse mit der Wahrscheinlichkeit P(A) > 0 und P(B) > 0 dar. Zeigen Sie, dass A und B zwei voneinander abhängige Ereignisse darstellen!

8 Aufgabe 17 Nach der Bestückung einer Platine werden folgende Fehler überprüft. E1:= Mindestens ein Bauteil fehlt E2:= Mindestens ein Bauteil ist nicht funktionsfähig Es ist bekannt, dass 2 % der Platinen mindestens einen der beiden Fehler beinhalten. Für den Fall, dass einer der beiden Fehler auftritt, wird die Platine als nicht funktionsfähig eingestuft. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein ausgewähltes Produkt funktionsfähig ist? Aufgabe 18 Gegeben ist ein Dreikomponentensystem L1, L2 und L3, die unabhängig voneinander arbeiten. Aus der Erfahrung sind die Wahrscheinlichkeiten P(L1) = 0.9, P(L2) = 0.8 und P(L3) = 0.7 für fehlerfreies Arbeiten der Komponenten L1, L2 und L3 bekannt. Das System fällt aus, wenn L1 und L3 oder L2 und L3 oder alle 3 Komponenten ausfallen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das System ausfallfrei funktioniert. Referenzen Die in der Übung aufgeführten Aufgaben wurden folgenden Lehr- und Arbeitsbüchern entnommen: Beyer, O.; Hackel, H.; Pieper, V.; Tiedge, J.: Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Ökonomen und Landwirte - Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik, Bd. 17, Leipzig: B.G. Teubner1985. Böhm, P.: Induktive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Arbeitsbuch II. Berlin: Studeo Verlag Gillert, H.; Nollau, V.; Pieper, V.; Tiedge, J.: Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Ökonomen und Landwirte Übungsaufgaben zur

9 Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik, Bd. Ü4, Leipzig: B.G. Teubner1989.