Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1

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1 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 Dr. Andreas Wünsche TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 1. April 2019 Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. März

2 Organisatorisches Vorlesung: Mo, 11:00-12:30, FOR Übungen: Di, 7:30-9:00, MIB-1113, Dr. Anna Chekhanova, Di, 9:15-10:45, PRÜ-1104, Dr. Felix Ballani, Fr, 7:30-9:00, MIB-1113, Dipl.-Math. Markus Dietz. Selbststudium (Laut Modulbeschreibung zusammen für beide Semester 120h Präsenzzeit und 150h Selbststudium.) Information: Prüfung: Klausur 120 Minuten, zugelassen sind Taschenrechner, Bücher, Mitschriften; nicht zugelassen sind Laptops, Handys. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. März

3 Themen Wahrscheinlichkeitsrechnung (ca. 6 Vorlesungen). Zufällige Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten, bedingte Wahrscheinlichkeiten, Unabhängigkeit. Zufallsgrößen, Typen, Charakterisierung und Kenngrößen. Wichtige diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Wichtige stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Beschreibende (deskriptive) Statistik (ca. 4 Vorlesungen). Grundbegriffe. Merkmale, Grafiken und Kenngrößen. Konzentrationsmaße. Indexzahlen. Schließende (induktive) Statistik (ca. 3 Vorlesungen). Stichproben. Parameterschätzungen. Fortsetzung im folgenden Semester: Statistik für Betriebswirte II. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. März

4 1. Wahrscheinlichkeitsrechnung 1.1 Einleitung Im praktischen Leben, in den Wissenschaften usw. hat man es oft mit Situationen, Versuchen, Beobachtungen etc. zu tun, bei denen Ergebnisse nicht genau vorausberechnet werden können, eine Unsicherheit besteht, bei denen aber Aussagen und/oder Entscheidungen getroffen werden sollen. Beispiele: Versicherungswesen (Zeitpunkte von Schadensfällen, Höhe von Einbzw. Auszahlungen). (Statistische) Qualitätskontrolle (notwendige Änderungen von Produktionsparametern wegen zu mangelhafter Qualität der Erzeugnisse). Produktionsplanung (Entwicklung der Nachfrage). Finanzmärkte (Entwicklung von Aktienkursen, Wechselkursen). Wetter- und Klimavorhersagen. Physikalische Grundgesetze (statistische Physik, Quantenphysik). Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. März

5 1.2 Zufällige Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten Ideales Zufallsexperiment, zufälliger Versuch, Zufallssituation: Genau festgelegte Bedingungen. Ausgang bzw. Ergebnis des Experiments ist nicht vorhersehbar, die möglichen Ausgänge sind vor Durchführung des Experiments bekannt. Es ist zumindest gedanklich beliebig oft wiederholbar und eine statistische Gesetzmäßigkeit kann beobachtet oder angenommen werden. Menge aller möglicher Ergebnisse (Ergebnismenge, Grundmenge) Ω. Elemente ω 1, ω 2,... der Ergebnismenge sind die Elementarereignisse, Versuchsausgänge oder Grundrealisierungen. Beispiele: Würfeln mit einem oder mehreren Würfeln. Bildquelle: de.wikipedia.org/wiki/spielwürfel Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. März

6 Zufällige Ereignisse Zufälliges Ereignis oder kurz Ereignis A zu einem betrachteten Zufallsexperiment: Nach Durchführung des Zufallsexperiments muss man mit Sicherheit sagen können, ob das Ereignis A eingetreten ist oder nicht. Im Sinne der (mathematischen) Logik: Das Ereignis A ist eingetreten. ist entweder eine wahre oder eine falsche Aussage. Im Fall einer Ergebnismenge Ω: Teilmenge A der Ergebnismenge Ω; das Ereignis A tritt ein, falls das realisierte Ergebnis des zufälligen Versuchs in der Menge A enthalten ist. Beispiele: Würfeln mit einem oder mehreren Würfeln. Tägliche DAX-Schlusskurse. Bildquelle: Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. März

7 Stabilisierung von relativen Häufigkeiten Beispiel Quelle: N. Henze, Stochastik für Einsteiger, 2013, 10. Auflage, Kap. 4. Ergebnisse von 300 Würfen einer Reißzwecke auf einen Steinboden mit den beiden möglichen Ergebnissen Spitze nach oben = 1 und Spitze schräg nach unten = 0. Fortlaufend notierte relative Häufigkeiten für 1 : Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. März

8 Wahrscheinlichkeiten Jedem zufälligen Ereignis A zu einem betrachteten Zufallsexperiment wird eine Zahl P(A) zwischen 0 und 1 zugeordnet, die sogenannte Wahrscheinlichkeit (für das Eintreten) des Ereignisses A. P(A) ist ein quantitatives Maß für die Chancen, dass das zufällige Ereignis A bei einer Realisierung des Experiments eintritt, z.b. P(A) 0 sehr geringe; P(A) 1 sehr große Chancen. Hintergrund sind Eigenschaften von relativen Häufigkeiten h n (A) = H n(a) n P(A) (falls n groß) ; H n (A) Häufigkeit des Eintretens von A in n (unabhängigen) Realisierungen des Zufallsexperiments. Häufigkeitsinterpretation für P(A): bei n Realisierungen des Zufallsexperiments wird das zufällige Ereignis A ungefähr n P(A) mal eintreten und n (1 P(A)) mal nicht eintreten. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. März

9 Verknüpfungen von Ereignissen Geg.: Zufallsexperiment mit Ergebnismenge Ω und zufälligen Ereignissen A, B. Vereinigung A B : A oder B (oder beide) treten ein. Durchschnitt A B : A und B treten beide ein. Differenz A \ B : A tritt ein, aber B nicht. Das zu A komplementäre (entgegengesetzte) Ereignis A = A c = A : tritt genau dann ein, wenn A nicht eintritt; A = Ω \ A. Unmögliches Ereignis : tritt niemals ein. Sicheres Ereignis Ω : tritt immer ein (gleich Ergebnismenge). A und B sind unvereinbar (sind disjunkt, schließen einander aus) : sie können nicht gemeinsam eintreten, d.h. A B =. Das Ereignis A zieht das Ereignis B nach sich : A B (wenn A eintritt, dann tritt auch B ein). Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. März

10 Rechenregeln für Verknüpfungen von Ereignissen Geg.: Zufallsexperiment mit Ergebnismenge Ω und zufälligen Ereignissen A, B, C. Dann gelten wie allgemein für Teilmengen A, B, C einer Menge Ω die folgenden Rechenregeln. Kommutativität : A B = B A, A B = B A. Assoziativität : (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C). Distributivität : (A B) C = (A C) (B C), (A B) C = (A C) (B C). Regeln von de Morgan : A B = A B, A B = A B. ( ) A A = Ω, A A =, A \ B = A B, A = A, A = A, A =, A Ω = Ω, A Ω = A. Entsprechend können auch Vereinigungen und Durchschnitte von mehr als zwei Ereignissen definiert werden und auch die Rechenregeln können entsprechend verallgemeinert werden. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. März

11 Übungsbeispiel 1.1 Entwicklung von 3 konkreten Aktienkursen in einem festen Zeitraum an einer bestimmten Börse. S i = {Wert der Aktie i steigt}. Ges.: Darstellung der folgenden Ereignisse durch die Ereignisse S i. A = {Wert aller 3 Aktien steigt}. B = {Wert keiner der 3 Aktien steigt}. C = {Wert mindestens einer der 3 Aktien steigt}. D = {Wert genau einer der 3 Aktien steigt}. E = {Wert aller 3 Aktien fällt oder bleibt gleich}. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. März

12 Axiomatische Wahrscheinlichkeitsdefinition (Kolmogorow) Mathematisches Modell für ein Zufallsexperiment ist ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P). Ω ist eine nichtleere Menge (Grundraum, Ergebnismenge), sie wird in komplizierteren Situationen oft nicht explizit angegeben. A ist eine Menge von Teilmengen von Ω, so dass endlich viele oder abzählbar unendliche Verknüpfungen von Elementen aus A wieder zu einem Ergebnis in A führen (Ereignisalgebra, σ Algebra). Die Wahrscheinlichkeitsfunktion P ordnet jeder Menge A aus A die reelle Zahl P(A) zu, so dass die folgenden Axiome gelten: 1. 0 P(A) P(Ω) = P(A 1 A 2 = P(A 1 ) + P(A 2 ) falls A 1 A 2 =. ( ) 4. P A i = P(A i ) falls die Ereignisse A i paarweise unvereinbar i=1 i=1 sind, d.h. A i A j = (i j). Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. März

13 Bemerkungen zu und Folgerungen aus den Axiomen Man benutzt oft weiter die Wahrscheinlichkeitsterminologie (z.b. Ereignis statt Teilmenge ). Axiome spiegeln Eigenschaften der relativen Häufigkeiten wider. Alle Zuordnungen von Wahrscheinlichkeiten, die den Axiomen genügen, sind mathematisch gesehen erst einmal korrekt (insbesondere auch subjektive Zuordnungen). P( ) = 0. P(A 1 A 2... A n ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) P(A n ) falls die Ereignisse A i paarweise unvereinbar sind. P(A) = 1 P(A), P(A) = 1 P(A). (Oft sehr nützlich!) A B P(A) P(B), P(B \ A) = P(B) P(A). Additionsgesetz: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Siebformel: P(A B C) = P(A)+P(B)+P(C) P(A B) P(A C) P(B C)+P(A B C). Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. März

14 Übungsbeispiel 1.2 Für die Ereignisse A und B zu einem Zufallsexperiment seien folgende Wahrscheinlichkeiten bekannt: P(A) = 0.25, P(B) = 0.45, P(A B) = 0.5. Berechnen Sie P(A B), P(A B) und P((A B) (A B))! Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. März

15 Klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition (Laplace-Modell) Gilt für Zufallsversuche mit endlich vielen möglichen Versuchsergebnissen (n elementare Versuchsausgänge oder Elementarereignisse), die alle gleichwahrscheinlich sind (keines wird bevorzugt, alle haben dieselbe Chance einzutreten). Beispiele: Würfeln mit einem fairen oder gerechten Würfel, n = 6, Elementarereignisse sind 1, 2, 3, 4, 5, 6. Zahlenlotto 6 aus 49, n = Anzahl der möglichen Tipps mit 6 aus 49 Zahlen. Aus den Axiomen für Wahrscheinlichkeiten folgt dann die einzige mögliche Definition von Wahrscheinlichkeiten in dieser Situation (die sogenannte klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition). Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. März

16 Klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition Für jedes der n Elementarereignisse gilt unter obigen Bedingungen: P(Elementarereignis) = 1 n. Für ein beliebiges Ereignis A gilt unter obigen Bedingungen: P(A) = Anzahl der Elementarereignisse in A n bzw. P(A) = Anzahl der für A günstigen Fälle Anzahl aller möglichen gleichwahrscheinlichen Fälle. Bei Wahrscheinlichkeitsberechnungen im Zusammenhang mit der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition werden oft kombinatorische Formeln genutzt. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. März

17 Kombinatorische Formeln I Geg.: n Objekte, z.b. {1, 2,..., n}. Die Anzahl aller möglichen Reihenfolgen beträgt n! = n ( n Fakultät ). Geg.: n Objekte, die in k unterschiedlichen Sorten vorliegen, bestehend jeweils aus n i, i = 1,..., k, nicht unterscheidbaren Objekten (2 k n und n n k = n). Die Anzahl aller möglichen Reihenfolgen beträgt ( ) n = n 1, n 2,..., n k n! n 1! n 2!... n k! ( Multinomialkoffizien ). Im Spezialfall k = 2, d.h. gegeben sind n Objekte, jedes gehört zu einer von zwei Sorten (z.b. Erfolg, Misserfolg ), gilt n 1 = m, n 2 = n m und die Anzahl aller möglichen Reihenfolgen beträgt ( ) n = m n! m!(n m)! ( Binomialkoeffizient ). Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. März

18 Kombinatorische Formeln II Nun seien n Objekte gegeben. Dann ist eine Frage, wie viele Möglichkeiten es gibt, um daraus k Objekte auszuwählen? Die Antwort ist abhängig davon, ob sich in der Auswahl Objekte wiederholen dürfen (m.w.) oder nicht (o.w.) o.r. m.r. ob es auf die Reihenfolge der Auswahl (oder eine zusätzliche Anordnung) ankommt (m.r.) oder nicht (o.r.). ( o.w. ) n ( m.w. ) n + k 1 k k Kombinationen ( ) n k! k n k Variationen Beispiel: n = 4, k = 2. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. März

19 Übungsbeispiel 1.3 Eine Seminargruppe von 21 Studenten hat ihr Statistikseminar in einem Raum mit 25 Plätzen. Wieviele Anordnungsmöglichkeiten gibt es für die vier freien Plätze? Wieviele verschiedene Sitzordnungen gibt es? Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. März

20 1.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Formel von Bayes Sind zusätzliche Informationen zu einem Zufallsexperiment verfügbar (oder werden diese hypothetisch angenommen), können sich die Wahrscheinlichkeiten für die zufälligen Ereignisse ändern. Geg.: Zufallsexperiment mit Ereignissen A, B, wobei P(B) > 0. Es sei jetzt zusätzlich bekannt, dass B eingetreten ist. Def.: Bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B: P(A B) = P(A B) P(B). Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit für ein gewisses Bauteil, sechs Monate funktionstüchtig zu sein, betrage Diejenige, zwei Jahre zu funktionieren, sei Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für ein sechs Monate altes funktionstüchtiges Bauteil, nach weiteren eineinhalb Jahren immer noch zu funktionieren? Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. März

21 Eigenschaften bedingter Wahrscheinlichkeiten Im Allgemeinen gilt P(A B) P(B A)! Bei fester Bedingung B kann man wie mit (unbedingten) Wahrscheinlichkeiten rechnen, z.b. P(A B) = 1 P(A B) ; P(A 1 A 2 B) = P(A 1 B) + P(A 2 B) P(A 1 A 2 B). Multiplikationsregeln Es gilt P(A B) = P(A B) P(B) = P(B A) P(A). Sind A1,..., A n zufällige Ereignisse mit P(A 1... A n 1 ) > 0, dann gilt P(A 1 A 2... A n ) = P(A 1 ) P(A 2 A 1 ) P(A 3 A 1 A 2 )... P(A n A 1 A 2... A n 1 ). Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. März

22 Übungsbeispiel 1.4 In einer Urne befinden sich 10 Kugeln (7 rote und 3 schwarze). Es werden 4 Kugeln rein zufällig ohne Zurücklegen entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A, dass alle 4 gezogenen Kugeln rot sind? Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. März

23 Stochastische Unabhängigkeit Es kann vorkommen (und tut es in wichtigen Situationen auch), dass das Eintreten des Ereignisses B nichts an der Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses A ändert, d.h. es gilt P(A B) = P(A). Dass A und B in diesem Fall stochastisch unabhängig sind, lässt sich mit der Multiplikationsregel leicht zeigen: P(A B) = P(A B) P(B) = P(A) P(B). Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. März

24 Formel der totalen Wahrscheinlichkeit Berechnung der totalen (unbedingten) Wahrscheinlichkeit aus den bedingten Wahrscheinlichkeiten: als gewichtetes Mittel. ( Sei B 1,..., B n eine Zerlegung von Ω mit P(B i ) 0, i = 1,..., n ein vollständiges Ereignissystem, eine Fallunterscheidung, d.h. n ) B i = Ω, B i B j = für i j. i=1 Dann lautet die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit: für ein beliebiges zufälliges Ereignis A Ω gilt P(A) = = n P(A B i ) i=1 n P(A B i )P(B i ). i=1 Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. März

25 Formel von Bayes Unter den Bedingungen des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit gilt die Formel von Bayes P(B i A) = P(A B i) = P(A B i)p(b i ) P(A) P(A) P(A B i )P(B i ) =. n P(A B j )P(B j ) j=1 P(B i ) heißen auch a-priori -Wahrscheinlichkeiten. P(B i A) heißen auch a-posteriori -Wahrscheinlichkeiten, sie liefern eine Korrektur der ursprünglichen Wahrscheinlichkeiten, wenn bekannt ist, dass das zufällige Ereignis A eingetreten ist. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. März

26 Übungsbeispiel 1.5 Drei Zulieferer liefern eine Komponente zur Produktion eines Erzeugnisses im Anzahlverhältnis 5 : 3 : 2. Die Fehlerquote betrage bei Komponenten der 1. Zulieferfirma 7%, bei Komponenten der 2. Zulieferfirma 4% und bei Komponenten der 3. Zulieferfirma 2%. 1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine aus der Gesamtliefermenge rein zufällig ausgewählte Komponente defekt ist? 2. Es werde eine Komponente aus der Gesamtzuliefermenge rein zufällig ausgewählt und überprüft. Dabei stellt man fest, dass die Komponente defekt ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wurde diese Komponente von der 1., 2. bzw. 3. Zulieferfirma geliefert? Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. März