Spielgeräte: Von Wahrscheinlichkeiten bis Binomialverteilung

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1 Bernoulli-Kette, und hypergeometrische Verteilung: F Spielgeräte: Von Wahrscheinlichkeiten bis Die folgende Stationenarbeit dient dazu, die Begriffe der Oberstufenstochastik (Wahrscheinlichkeit; Baumdiagramm; ; Erwartungswert; Hypothesentest) anhand diverser Spielgeräte wie Würfel und Urnen für das Abitur einzuüben. 1 In einer Urne liegen eine rote, eine gelbe und eine schwarze Kugel. Es wird aus dieser Urne so lange ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen, bis die schwarze Kugel erscheint. Wird die schwarze Kugel im ersten Zug gezogen, so beträgt die Auszahlung 10, beim zweiten Zug 5 und beim dritten Zug 0. Ermitteln Sie, bei welchem Einsatz dieses Spiel fair ist. 2 In einer Urne befinden sich acht Kugeln, fünf rote und drei schwarze. Bei einem Glücksspiel wird eine Kugel gezogen, dann diese und zwei weitere der gleichen Farbe wieder in die Urne zurückgelegt. Nach drei Zügen hat man gewonnen, wenn mehr schwarze Kugeln in der Urne sind als rote. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt man bei diesem Spiel? 6051 Unterrichts-Materialien Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Stark Verlag 1

2 F Bernoulli-Kette, und hypergeometrische Verteilung: 1 Jeder Spieler wählt zuerst eine der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 oder 6. Anschließend wirft er einmal mit drei Würfeln. Fällt die gewählte Zahl gar nicht, ist sein Einsatz von 10 verloren, fällt sie einmal, erhält er seinen Einsatz zurück, fällt sie zwei- oder dreimal, so bekommt er das Zwei- bzw. Dreifache seines Einsatzes ausgezahlt. Beurteilen Sie die Gewinnchancen bei diesem Spiel. 2 Ein ideales Tetraeder trägt auf seinen vier Flächen die Ziffern 1, 2, 3, 4. Als geworfen gilt die Augenzahl auf der Grundfläche. Robert wirft das Tetraeder zweimal und gewinnt einen Betrag b, wenn die Augensumme 7 oder 8 beträgt. Bei den Augensummen 6, 5, 4 oder 3 muss er 1, bei der Augensumme 2 sogar 3 bezahlen. 2.1 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der man bei diesem Spiel gewinnt. 2.2 Ermitteln Sie die Höhe des Betrags b, damit das Spiel fair ist. 2.3 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der man bei drei Spielen dreimal hintereinander gewinnt. 2.4 Bestimmen Sie, wie oft man das Spiel mindestens spielen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 95 % wenigstens einmal zu gewinnen Unterrichts-Materialien Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Stark Verlag

3 Bernoulli-Kette, und hypergeometrische Verteilung: F Ein Glücksspielautomat wird durch den Einwurf einer 2- -Münze in Gang gesetzt. Jede der beiden sich unabhängig voneinander drehenden Walzen besitzt 10 gleich große Felder. Die 1. Walze trägt einmal die Ziffer 1, dreimal die 2 und sechsmal die 3, die 2. Walze zweimal die 1, dreimal die 2 und fünfmal die 6. Kommen die Walzen zum Stehen, ist das Ergebnis eine zweistellige Zahl, wobei von der 1. Walze die Zehnerziffer stammt. Der Automat zahlt beim Erscheinen von zwei gleichen Ziffern 10, ansonsten verliert man den Einsatz von 2. 1 Bestimmen Sie den Betrag, den man mit zwei Spielen gewinnen kann, und die Wahrscheinlichkeit für den Gewinn. 2 Bestimmen Sie den Gewinn, den man im Mittel in Aufgabe 1 erwartet. Stefan vermutet, dass die 1. Walze die Ziffer 1 wegen einer Unwucht mit einer größeren Wahrscheinlichkeit als 0,1 anzeigt. Er möchte diese Vermutung annehmen, wenn bei 100 Drehungen mehr als k-mal die 1 auftritt. 3 Wie muss k gewählt werden, wenn er sich mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 5 % irren möchte? 4 Die Wahrscheinlichkeit für die Ziffer 1 ist auf 20 % gestiegen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erkennt Stefan dies bei obiger Entscheidungsregel nicht? 6051 Unterrichts-Materialien Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Stark Verlag 3

4 F Bernoulli-Kette, und hypergeometrische Verteilung: 1 Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: E 1 = {25; 26; ; 36} letztes Dutzend E 2 = {1; 3; 5, ; 35} ungerade Zahlen; Impair E 3 = {i} mit i {0; 1; ; 36} einzelne Zahl E 4 = E 1 E 2 2 Stefan bevorzugt das Ereignis E 1 (letztes Dutzend) und setzt pro Runde Er setzt so lange auf dieses Ereignis E 1, bis er erstmals gewinnt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Stefan beim 6. Spiel frühestens beim 4. Spiel spätestens beim 5. Spiel erstmals gewinnt. 2.2 Stefan möchte nur 100 verlieren. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er diese verliert, ohne auch nur einmal zwischendrin etwas gewonnen zu haben Unterrichts-Materialien Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Stark Verlag

5 Bernoulli-Kette, und hypergeometrische Verteilung: F Stefan hat bereits sechsmal verloren. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er auch noch die nächsten vier Spiele verliert. 2.4 Wenn Stefan auf das letzte Dutzend setzt und keine seiner Zahlen gedreht wird, verliert er seinen Einsatz, ansonsten bekommt er den dreifachen Einsatz ausgezahlt. Berechnen Sie den mittleren Gewinn pro Spiel. 2.5 Jetzt setzt Stefan zusätzlich 10 auf das Ereignis E 2, d. h. auf ungerade Zahlen. Fällt eine ungerade Zahl, bekommt er 20 ausbezahlt, sonst verliert er seinen Einsatz. Berechnen Sie den mittleren Gewinn für diesen zusätzlichen Einsatz pro Spiel. 3 Robert setzt immer 10 gleichzeitig auf i = 3 Zahlen. Im Falle eines Gewinnes erhält Robert das 36 = 36 =12-Fache des Einsatzes ausgezahlt. i Geben Sie den mittleren Gewinn an, den Robert erwartet. 3.2 Robert setzt so lange, bis er erstmals gewinnt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der Robert höchstens zehn Einsätze benötigt Unterrichts-Materialien Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Stark Verlag 5

6 F Bernoulli-Kette, und hypergeometrische Verteilung: Kompetenzprofil Niveau: Klasse; weiterführend Fachlicher Bezug: Kommunikation: argumentieren; bewerten; begründen Problemlösen: Probleme erkunden und zerlegen; Lösungsstrategie entwickeln Modellierung: Medien: Methode: Einzelarbeit; Stationenarbeit Inhalt in Stichworten: Ereigniswahrscheinlichkeiten; Erwartungswert; Baumdiagramm; Pfadregeln; Bernoulli-Kette; ; Hypothesentest Autor: Alfred Müller Bildnachweis Würfel: Roby Mikic sxc.hu; Einmachglas: m-produktfotos.de Fotolia.com; Spielautomat: Joanne Zh / Dreamstime.com; Roulette: Elke Hannmann / PIXELIO Lösung Station 1: Urnen 1 Das Spiel ist fair, wenn der Gewinn auf lange Sicht null ist, der Einsatz also der Auszahlung entspricht. Zuerst wird die Situation im Baumdiagramm betrachtet, dabei stehe s für Schwarz, g für Gelb und r für Rot Unterrichts-Materialien Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Stark Verlag

7 Bernoulli-Kette, und hypergeometrische Verteilung: F Erwartungswert der Auszahlung: E(Auszahlung) = 10 E+ 5 E+ 5 E= 5 E Das Spiel ist fair, wenn der Einsatz 5 beträgt. 2 Das Spiel kann mithilfe eines dreistufigen Baumdiagramms veranschaulicht werden. In diesem ist zu beachten, dass sich der Urneninhalt pro Zug ändert, da immer 2 neue Kugeln (in der Farbe der gezogenen Kugel) hinzukommen. s stehe im Folgenden für Schwarz und r für Rot. Der Urneninhalt steht in Klammern, wobei links immer die Anzahl der schwarzen Kugeln und rechts die Anzahl der roten Kugeln steht. (3 5) bedeutet also 3 schwarze und 5 rote Kugeln. Die Urneninhalte zeigen, dass man nur gewonnen hat, wenn man dreimal eine schwarze Kugel gezogen hat P(Gewinn) = P(sss) = = 0,1094 = 10, 94 % Man gewinnt bei diesem Spiel mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 10,94 % Unterrichts-Materialien Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Stark Verlag 7

8 F Bernoulli-Kette, und hypergeometrische Verteilung: Station 2: Würfel 1 Es liegt ein dreistufiges Zufallsexperiment vor. Jeder Würfel entspricht einer Stufe. Steht G für Gewinn, so ergibt sich folgendes Baumdiagramm: Um die Gewinnchancen des Spiels beurteilen zu können, wird der Erwartungswert betrachtet: E(G) = 20 E E 10 E = 5 E Da man bei diesem Spiel im Mittel einen Verlust von 5 hat, ist es nicht attraktiv. 2.1 Beim idealen Tetraeder tritt jede Augenzahl mit der Wahrscheinlichkeit p = 1 auf. 4 Die Augensumme 7 erhält man, wenn man eine 3 und eine 4 bzw. eine 4 und eine 3 würfelt. Die Augensumme 8 ergibt sich, wenn man zweimal eine 4 wirft. Die Gewinnwahrscheinlichkeit ergibt sich zu: P(Gewinn) = P(34) + P(43) + P(44) = + + = = 18, 75 % Unterrichts-Materialien Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Stark Verlag

9 Bernoulli-Kette, und hypergeometrische Verteilung: F Das Spiel ist fair, wenn die Gewinnerwartung auf lange Sicht null ist. Die Augensumme 2 erhält man, wenn man zweimal eine 1 wirft. Die Wahrscheinlichkeit für den Verlust von 1 erhält man über die Gegenwahrscheinlichkeit. 3 Gewinn von b mit der Wahrscheinlichkeit: 16 Verlust von 3 mit der Wahrscheinlichkeit: = Verlust von 1 mit der Wahrscheinlichkeit: 1 = b errechnet sich nun über die Gewinnerwartung ( 3 E) + ( 1E) + b = E E+ b = E + b = b = E b = 15 E b = 5E Bei einer Gewinnauszahlung von b = 5 ist das Spiel fair. 2.3 Gesucht ist nach der Wahrscheinlichkeit, dreimal hintereinander zu gewinnen, also dreimal hintereinander die Augensumme 7 oder 8 zu werfen P(3-mal Gewinn hintereinander) = = 0, 0066 = 0, 66 % Die Wahrscheinlichkeit, dreimal hintereinander zu gewinnen, ist mit 0,66 % sehr gering Unterrichts-Materialien Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Stark Verlag 9

10 F Bernoulli-Kette, und hypergeometrische Verteilung: 2.4 Es liegt eine sogenannte Drei-Mindestens-Aufgabe vor. Die Zufallsgröße Z gebe die Anzahl der Gewinne an. Es liegt eine mit der Trefferwahrscheinlichkeit p = 3 und der unbekannten Länge n vor. 16 B n (Z 1) > 0, B n (Z= 0) > 0, B (Z= 0) < 0, n < 0,05 13 n ln < ln0,05 16 ln 0,05 n > ln 13 ( 16 ) n > 14,43 Man muss mindestens 15-mal spielen. 13 Vorsicht: ln < 0 16 Station 3: Spielautomat 1 Am besten eignet sich ein Baumdiagramm, um die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten bei einem Spieldurchgang zu bestimmen. In der 1. Stufe steht hierbei das Ergebnis der 1. Walze und in der 2. Stufe das Ergebnis der 2. Walze Unterrichts-Materialien Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Stark Verlag

11 Bernoulli-Kette, und hypergeometrische Verteilung: F Die beiden Pfade, bei denen man 1 Spiel gewinnt (gleiche Ziffer), sind mit einem Stern gekennzeichnet: P(Gewinn von 1Spiel) = P(11) + P(22) = 0,02 + 0,09 = 0,11 2 Spiele gewinnt man also mit der Wahrscheinlichkeit: P(Gewinn von 2 Spielen) = 0,11 0,11 = 0, 0121 Da man pro Spiel 2 e einsetzt und 10 e ausgezahlt bekommt, beträgt der Gewinn pro Spiel 8 e bei einer Wahrscheinlichkeit von 0,11. Bei 2 Spielen gewinnt man also mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,0121 einen Betrag von 16 e. 2 Zunächst wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße G (Gewinn) ermittelt: Gewinn von 2 Spielen Gewinn von 1 Spiel Gewinn von 0 Spielen g P(G = g) 0, ,11 0,89 0,89 2 Der erwartete Gewinn ergibt sich zu: E(G) = 16 0, ,11 0,89 4 0,89 2 = 1,80 Man verliert 1,80 im Mittel pro 2 Spieldurchgänge. 3 Z gebe die Anzahl der Ziffer 1 auf der 1. Walze an. Es liegt eine mit n = 100 und p = 0,1 vor. Die Nullhypothese H 0 : p 0 0,1 wird im Bereich A = {k + 1; ;100} abgelehnt. Es soll gelten: B 100 0,1 (Z k+ 1) 0,05 1 B 100 0,1 (Z k) 0,05 B 100 0,1 (Z k) 0,95 Aus der Tabelle liest man k = 15 ab. Der Ablehnungsbereich ergibt sich zu A = {16; ;100}. Man verwirft die Nullhypothese H 0 : p 0 0,1 mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 5 %, wenn man H 0 beim Auftreten von 16 oder mehr Einsern ablehnt Unterrichts-Materialien Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Stark Verlag 11

12 F Bernoulli-Kette, und hypergeometrische Verteilung: 4 Jetzt gilt p = 0,2. Diese Wahrscheinlichkeit wird nicht erkannt, wenn sich ein Ergebnis aus dem Annahmebereich A = {0; ; 15} der Nullhypothese einstellt. Es gilt: B 100 0,2 (Z 15) = 0, ,85 % (Tabelle) Die Wahrscheinlichkeit von 20 % für das Auftreten der Ziffer 1 wird in 12,85 % der Fälle nicht erkannt. Station 4: Roulette 1 Da jedes Ergebnis aus Ω gleich wahrscheinlich ist, können die gesuchten Wahrscheinlichkeiten als Laplace-Wahrscheinlichkeiten berechnet werden. Der Ergebnisraum besteht aus Elementen, also gilt Ω =. In E 1 liegen 12 Elemente, also E 1 = P(E 1) = 32,43 % In E 2 liegen alle ungeraden Zahlen von 1 bis 36, also E 2 = P(E 2 ) = 48,65 % E 3 beinhaltet stets 1 Element aus Ω, also E 3 = 1. 1 P(E 3) = 2,70 % E 4 ist der Schnitt von E 1 und E 2. E 4 = E 1 E 2 = {25; 27; 29; 31; 33; 35}, also E 4 = 6. 6 P(E 4 ) = 16,22 % 2.1 Nach Aufgabe 1 gewinnt Stefan ein Spiel mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 12 und mit 1 p= 25 nicht. Beim 6. Spiel Wenn er erstmals beim 6. Spiel gewinnt, dann hat er 5-mal nicht gewonnen, d. h., für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt: P(beim 6. Spiel erstmals gewinnen) = 0, 0457 = 4, 57 % Unterrichts-Materialien Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Stark Verlag

13 Bernoulli-Kette, und hypergeometrische Verteilung: F Frühestens beim 4. Spiel Wenn er frühestens beim 4. Spiel gewinnt, dann hat er sicher 3-mal nicht gewonnen P(frühestens beim 4. Spiel gewinnen) = 0, 3085 = 30,85 % Spätestens beim 5. Spiel Wenn er spätestens beim 5. Spiel gewinnt, dann darf nicht auftreten, dass er 5-mal nicht gewinnt P(spätestens beim 5. Spiel gewinnen) = 1 0,8592 = 85, 92 % 2.2 Wenn er nur 100 ohne Zwischengewinn verliert, dann kann er 10-mal auf E 1 setzen und spielen P(10-mal in Folge verlieren) = 0,0198 = 1,98 % 2.3 Die ersten sechs Spiele sind Vergangenheit (das Ergebnis ist klar) und es müssen nur noch die vier kommenden betrachtet werden. Alle vier Spiele sollen verloren werden, also: 4 25 P(4-mal in Folge verlieren) = 0, 2084 = 20,84 % 2.4 Falls das Ereignis E 1 eintritt, gewinnt Stefan = 20, ansonsten verliert er seinen Einsatz von E(Gewinn) = 20 E 10 E = E 0, 27 E Er verliert pro Spiel im Mittel 27 Cent. 2.5 Wenn eine ungerade Zahl fällt (P(E 18 2 ) =, siehe Aufgabe 1), gewinnt Stefan = 10, ansonsten verliert er seinen Einsatz von E(Gewinn) = 10 E 10 E = E 0, 27 E Auch hier verliert er pro Spiel im Mittel 27 Cent Unterrichts-Materialien Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Stark Verlag 13

14 F Bernoulli-Kette, und hypergeometrische Verteilung: 3.1 Falls eine der drei Zahlen gedreht wird, erhält Robert = 120 ausbezahlt. Somit erzielt er einen Gewinn von = 110. Fällt keine der drei Zahlen, verliert er seinen Einsatz von 10. Da jede Zahl mit der Wahrscheinlichkeit 1 fällt, gewinnt Robert mit einer Wahrscheinlichkeit von 3 1 = 3. Der erwartete Gewinn pro Spiel ergibt sich zu: E(Gewinn) = 110 E 10 E = E 0, 27 E Bei diesem Spiel verliert Robert im Mittel 27 Cent pro Spiel. 3.2 Robert benötigt höchstens zehn Einsätze bis zum ersten Gewinn, wenn er nicht 10-mal hintereinander verliert P(höchstens 10 Einsätze) = 1 0,5707 = 57,07 % Unterrichts-Materialien Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Stark Verlag