Wahrscheinlichkeitstheorie Klausurvorbereitung Lösungen

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1 Wahrscheinlichkeitstheorie Klausurvorbereitung Lösungen 1.) a) Ein Skatblatt besteht aus 32 Karten. Wieviele mögliche Anordnungen gibt es für den Kartenstapel nach dem Mischen? b) Jede Karte der 8 Symbole(7,8,9,10,B,D,K,A) ist in 4 Farben vorhanden (Pik, Kreuz, Herz und Karo). Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn wir uns nur für die möglichen Anordnungen der Symbole interessieren und nicht für die Farben? c) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn wir uns nun ausschließlich für die möglichen Anordnungen der Farben interessieren und nicht für die Symbole? 1.a) 32 b) c) 2.) a)an einem Turnier nehmen 20 Mannschaften teil. Wieviele Möglichkeiten gibt es für die Platzierung der Top 5? b) Ein fairer, 10-seitiger Würfel wird 3 mal nacheinander geworfen. Wie viele Wurfkombinationen gibt es? c) Drei faire, 10-seitige Würfel werden geworfen. Wie viele Wurfkombinationen gibt es? d) Bei einer Verlosung nehmen 100 Menschen teil. Es werden 4 Gewinner gezogen. Wie viele mögliche Ziehungsergebnisse gibt es? 2. a) b) c) 220 d) ) In einer Urne befinden sich nummerierte Kugeln von a) Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es 6 auf einmal davon zu ziehen? b) Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es 6 mal nacheinander eine zu ziehen ohne sie wieder reinzulegen? c) bzw. wenn man die Kugel nach jeder Ziehung wieder reinlegt? d) Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, wenn man 6 mal mit Zurücklegen zieht und einen nur interessiert, welche Zahl wie oft gezogen wurde? 3. a) b) c d) ) a) Gib die Potenzmenge der Menge ",$,%& sowohl in beschreibender als auch aufzählender Darstellung an. b) Wie viele Elemente hat die Potenzmenge der Menge 0,1,2,,12&? 4. a) ( )*+* ",$,%&-),"&,$&,%&,",$&,",%&,$,%&,",$,%&- b) ( ) Zeige, dass die folgenden Mengen gleichmächtig sind, indem du eine Bijektion zwischen den Mengen angibst: a) 1,,8& und (",$,%& b) 0 N & und 0 N & 5.a) 8:1,,8& ;",$,%& mit 1, 2 "&, 3 $&, 4 %&, 5 ",$&, 6 ",%&, 7 $,%&, 8 ",$,%& b) : mit 0 0 1

2 6.) Berechne: a) c) d.) Multipliziere mithilfe des Binomischen Lehrsatzes und dem Pascalschen Dreieck aus: A+C D 6.a) 10 b) c) 0, da F? F? +F?? d) A+C D D?@ D? A? C F? A D +7A C+21A C +35A C +35A C +21A C +7AC +C D 7.) Sei Ω",$,%& und ;: (Ω [0,1] eine Abbildung mit ;J&0,25 J Ω. a) Kann ; ein Wahrscheinlichkeitsmaß sein? b) Wenn nicht, dann gib ein geeignetes Wahrscheinlichkeitsmaß ; auf (Ω an. 7.a) Nein, da M Ω ;J&1 b) Sei J Ω: ;J& und * Ω: ;* ;J& M N 8.) In einer Urne befinden sich 4 rote, 5 blaue und eine gelbe Kugel. a) Zeichne die beiden Baumdiagramme für 2 mal Ziehen mit Zurücklegen bzw. ohne Zurücklegen. b) In welchem Fall ist es wahrscheinlicher 2 mal die gleiche Farbe zu ziehen? 8. b) ; OO,$$ + ; OO,$$ + 0,36 0,41 mit Zurücklegen wahrscheinlicher als ohne Zurücklegen 9.) Ein fairer, 10-seitiger Würfel wird zweimal geworfen. a) Gib die Ergebnismenge Ω, die Ereignismenge, sowie die dazugehörige Gewichtsfunktion und Verteilung an. Um welchen Wahrscheinlichkeitsraum handelt es sich? b) Berechne die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse (stelle sie dazu als Teilmenge von Ω dar) P Ein Pasch wird geworfen P Die Augensumme ist kleiner als 4 P Die zweite Augenzahl ist größer als die erste P Es wird keine 10 geworfen c) Gibt es von den Ereignissen P,P,P,P welche, die paarweise stochastisch unabhängig sind? 9.a) Basismenge/Ergebnismenge: Ω",$ ",$ 1,2,,10&&1,,10&² Ereignismenge: (Ω* * Ω& Gewichtsfunktion: J Ω: RJ Verteilung: Gleichverteilung S Ω Der Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Laplaceraum Ω, (Ω,S Ω

3 b) P ",$ Ω "$} P 10 ;P P {",$ Ω "+$<4} P 3 ;P P {",$ Ω "<$} P 45 ;P P {",$ Ω ",$10} P 81 ;P c) ;P P ;P ;P P 0 ;P ;P P ;P ;P P ;P ;P P ;P ;P P ;P Alle Ereignisse sind stochastisch abhängig. 10.) Beweise mittels Vollständiger Induktion: 0 N gilt 0 +0 ist eine gerade Zahl. Induktionsanfang: Sei 01, dann ist 0²+01²+12 ist eine gerade Zahl Induktionsvoraussetzung: Unter der Voraussetzung, dass eine natürliche Zahl 0 existiert, für die gilt, dass 0 +0 eine gerade Zahl ist, also X N:2X0 +0 Induktionsbehauptung: dann gilt auch für 0+1 gilt: ist gerade Beweis: X+20+2 nach IV 2X+0+1 ist eine gerade Zahl 11.) Stelle die folgenden Zufallsgrößen als Abbildungen dar und gib die entsprechende Verteilung an: a) Eine Frau bittet ihren Freund ihr 5 Paar Schuhe mitzubringen. Von den 50 Schuhpaaren hat sie 4 Lieblingspaare. Sei Y Z die Anzahl der Lieblingspaare, die bei den 5 mitgebrachten dabei sind. b) Ein 10-seitiger Würfel wird solange geworfen, bis das erste Mal die 10 kommt. Sei Y [ der Wurf in dem die 10 gewürfelt wird. c) Ein Mann kauft ein Los mit einer Gewinnchance von 30%. Sei Y \ die Anzahl der Gewinnlose. d) Er kauft beim nächsten Mal 10 dieser Lose. Sei Y ] die Anzahl der Gewinnlose. e) Ein Fischer fängt Fische. Er hat durchschnittlich 5 Fische im Netz. Manchmal keinen, aber es waren auch schon mal über Sei Y^ die Anzahl der Fische im Netz. f) Ein Spieler hat 25 nummerierte Spiele. Er greift wahllos ein Spiel aus dem Regal. Sei Y _ die Nummer des gewählten Spiels. 11.a) Ω Z {J,,J {1,,50} J < <J }, * Ω Z mit * 4 Y Z : Ω Z {0,1,,4} Y Z ~H,, J,,J?@ c N J? ;Y Z X d fgd e fh f

4 b) Ω [ {1,,10} N Y [ : Ω [ N J,J, min m N {5 J m 10} Y [ ~i. ;Y [ X0,1 0,9? c) Ω \ {n,o}, GGewinnlos, NNiete Y \ : Ω \ {0,1} J c {q} J Y \ ~B. ;Y \ X0,3 r 0,7 r d) Ω ] {n,o}, GGewinnlos, NNiete Y ] : Ω ] {0,1,,10} Y ] ~B,. J,,J?@ c {q} J? ;Y ] X? 0,3r 0,7 r e) Ω^ Netzinhalt Y^: Ω^ N Y^~( * M N c {smt\u} J ;Y^ X d? ^f f) Ω _ {1,,25} Spielnummern Y _ : Ω _ {1,,25} J J Y _ ~S Ωv ;Y _ X 12.) Berechne: a) ;Y Z 3 b) ;Y [ 20 c) ;Y \ 0 d) ;Y ] 2 e) ;Y^ 0 f) ;Y _ a) ;Y Z 3 y z e 0,2% fh f b) ;Y [ 200,1 0,9 0,01351,3% c) ;Y \ 00,3 0,7 0,770% d) ;Y ] 2 0,7 + 0,3 0,7 + 0,3 0,7 0,38278 e) ;Y^ 0 h ^f ^f0,00670,7% f) ;Y _ 18 8 }0,3232%

5 13.) Gib die Erwartungswerte, Varianzen und Standardabweichungen von Y Z,Y [,,Y _ an. 13.a) Y Z ~H,, ist hypergeometrisch verteilt, daher gilt: ~Y Z 0,4 Y Z 1 } } 0,338 0,58 b) Y [ ~i. ist geometrisch verteilt: ~Y [ 10 Y,, [,z90 9,49 c) Y \ ~B. ist bernoulliverteilt: ~Y \ 0,3 Y \ 0,3 0,70,21 0,46 d) Y ] ~B,. ist binomialverteilt: ~Y ] 10 0,33 Y ] 10 0,3 0,72,1 1,45 e) Y^~( ist poissonverteilt: ~Y^5 Y^5 2,24 f) Y _ ~S Ωv ist gleichverteilt: ~Y _ X?@ 13 Y _ z 52 7,21 14.) Gib die gemeinsame Verteilung für Y Z,Y ] und Y^ an unter der Annahme, dass sie als Familie stochastisch unabhängig sind. 14.) ;,, ƒ, :{0,1,,4} {0,1,,10} N [0,1] ;Y Z,Y ],Y^",$,% fg e fh f [ 0,3 0,7 15.) Ein Restaurant serviert Pizza und Nudeln. 40% der Kunden bestellen Pizza, die anderen Nudelgerichte. Bei den Pizzen sind nur 20% mit Fleisch, bei den Nudeln 70% mit Fleisch. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Kunde eine Pizza bestellt hat, wenn es ein vegetarisches Gericht ist? (Welche Formeln vereinfachen die Berechnung?) 15.) ; Pizza, o Nudeln, ˆ fleischhaltig, vegetarisch ;;0,4 ;o0,6 ;ˆ ;0,2 ;ˆ o0,7 daraus folgt: ; ;0,8 ; o0,3 \ ^f ;; Š Š ŠŠ Š Š Š ŠŠ Š Š ŠŠŠ Œ ŠŒ,,,,,, 0,64 nach dem Satz von Bayes Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit

6 16.) Wir haben eine Zufallsvariable Y~ ;, a) Wie sind der Erwartungswert und die Varianz von Y? b) Wie ist der Mittelwert Y definiert, wenn wir das Experiment 1000 mal wiederholen? c) Finde eine untere Schranke für die Wahrscheinlichkeit, dass der Mittelwert um weniger als 10% vom Erwartungswert abweicht. 16.)a) ~Y20 0,255 Y20 0,25 0,753,75 b) Mittelwert Y Y m@ m wobei Y m der i-te Versuch ist, mit Y m ~ ;, c) ~Y ~ Y m@ m} ~ Y m@ m ~Y m@ m Y y y Y m m@ } m@ e 3,75 y} m@ Y m e m@ Y m e ,750,00375 ² ; Y 5 <5 0,11 ; Y 5 0,5 1 mit Tschebyscheff-Ungleichung, z 1,D, 55 0, ) Sei Ω 1,0,1& und folgende Zufallsgrößen auf dem W-Raum Ω,(Ω,S Ω gegeben: Y:Ω {0,1} :Ω {-2,2} :Ω {0} 2 8üO J1 J J J w Sind die ZV paarweise unkorreliert? 17.) ~Y ~ ~ 0 ~Y 0~Y ~ Y 0 X,Y sind negativ korreliert Y 0 00 X,Z sind unkorreliert 0 00 Y,Z sind unkorreliert ZV \ Ω X Y Z XY XZ YZ a) Finde die kleinste -Algebra, die auf Ω[0,1 von der Menge n, & mit [0,0.5 und [0.5,0.75 erzeugt wird. b) Sei ;: n [0,1] ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Ist YJJ eine reelle Zufallsgröße auf Ω, n,;? 18.a) n, [0,1,,, [0.75,1, [0.5,1, [0,0.75, [0,0.5 [0.75,1& b) Sei A Dann ist J Ω YJ 0,25&[0,0.25] n Also ist Y keine reelle ZV auf diesem W-Raum.