Lösungen zu den Übungsaufgaben (zur Vorbereitung auf die Klausur am )

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1 Dr. Moritz Diehl Dr. Torsten Fischer Ileana Borja Tecuatl, Gerrit Schultz Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen (IWR) Zentrum für Molekulare Biologie (ZMBH) Mathematik B für die Molekulare Biotechnologie, SS 3 Lösungen zu den Übungsaufgaben (zur Vorbereitung auf die Klausur am 6.6.3) Aufgabe. Geben Sie zu jeder der folgenden Funktionen in der Variable x eine Stammfunktion an. Die Parameter α, ω sind positive reelle Zahlen. f (x) = sin(ωx), f (x) = x + x, f 3(x) = e αx cos(ωx), f 4 (x) = ex e x + 3, f 5 (x) = ln x für x >, f 6 (x) = 3 x für x >, f 7 (x) = tan x für x ] π, π [. sin(ωx) dx = ω cos(ωx).. x + x dx = x + x dx (Substitution v.l.n.r. y = + x ) = y dy y=+x = ln y y=+x = ln( + x ). 3. ) ( + ω α e αx cos(ωx) dx = α e αx cos(ωx) ω α e αx sin(ωx) dx = α e αx cos(ωx) ω [ α α e αx sin(ωx) + ω α = α e αx cos(ωx) + ω α e αx sin(ωx) ω α e αx cos(ωx) dx = α e αx cos(ωx) + ω α e αx sin(ωx) e αx cos(ωx) dx = ( α ) α + ω cos(ωx) + ω α + ω sin(ωx) e αx. ] e αx cos(ωx) dx e αx cos(ωx) dx

2 4. e x e x + 3 dx = y dx y=e x +3 (durch Substitution v.l.n.r. y = e x + 3) = ln y y=e x +3 = ln(e x + 3). 5. ln x dx = ln x dx (und jetzt partiell integrieren) = x ln x = x ln x x. x x dx 6. 3 x dx = 3 4 x tan x dx = = ( sin x) dx (Substitution v.l.n.r. y = cos x) cos x y dx = ln y y=cos x = ln(cos x). y=cos x Aufgabe.. Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale. x dx (Tipp: Substitution x = sin y), x sin x dx, 3 3 x dx.. Untersuchen Sie, ob das folgende uneigentliche Integral existert. x dx.

3 . (a) (b) = = x dx = = = = π π = π 4, π π π π cos ϕ (sin ϕ) dϕ cos ϕ dϕ cos ϕ dϕ + cos ϕ dϕ cos ϕ dϕ + π π π (cos ϕ + sin ϕ) dϕ }{{} = cos ϕ dϕ (. Summand: Substitution v.r.n.l. α = π ϕ) cos ( π α) dα (. Summand: Verwende (cos( π α) = sin α) sin α dα x sin x dx =, da der Integrand f(x) = x sin x punktsymmetrisch zum Ursprung ist, d.h. f(x) = f( x) und das Integrationsintervall symmetrisch um liegt. Hinweis: Diese Tatsache darf (in der Klausur) ohne Herleitung verwendet werden. Hier ist der kurze Beweis: Es gilt allgemein für integrierbare f mit f(x) = f( x): a a f(x) dx = = = =. a a a f(x) dx + a f( y) dy + f(y) dy + f(x) dx a a f(x) dx f(x) dx (. Summand: Substitution x = y) (c) x dx = 4 x =

4 . Das uneigentliche Integral existiert nicht, denn lim y y dx = lim x ln y x y = lim y ln y =. Aufgabe 3.. Definieren Sie das Standard-Skalarprodukt, die euklidische Norm und den Begriff der Orthogonalität von zwei Vektoren in R n (wobei n eine positive natürliche Zahl ist.). Seien folgende vier Vektoren des R 3 gegeben: 3 v =, v =, v 3 = 5, w = 7. Zeigen Sie, dass (v, v, v 3 ) eine Orthogonalbasis des R 3 ist (bzgl. des Standard- Skalarproduktes). Ist diese Basis auch orthonormal? 3. Berechnen Sie die Koeffizienten des Vektors w bzgl. dieser Basis. 4. Geben Sie das Proximum (bzgl. der euklidischen Norm) zu w in V = Spann(v, v ) an sowie den euklidischen Abstand von w zu V.. Das Standard-Skalarprodukt auf R n ist die durch x, y R n x, y = n x k y k k= definierte Abbildung, : R n R n R. Die euklidische Norm auf R n ist die durch x R n x = n definierte Abbildung : R n R. Zwei Vektoren x, y R n sind zueinander orthogonal (bzgl. des Standard-Skalarproduktes), wenn x, y =.. Nachweis der Orthogonalität: k= x k v, v = ( ) + + =, v, v 3 = ( ) =, v, v 3 = ( ) ( ) =. Drei paarweise orthogonale Vektoren des R 3 sind linear unabhängig und bilden eine Basis. Die vorliegende Basis ist nicht orthonormal, da z.b. v, v = 5. 4

5 3. Es gilt für den k-ten Koeffizienten von w also α k = v k, w v k, v k, α = 5 5 = 4. Das Proximum ist α = 6 = α 3 = 9 3 = 3. P V (w) = α v + α v 3 = 4. Der Abstand ist α 3 v 3 = Aufgabe 4. Sei V der reelle Vektorraum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen von R nach R. Auf V sind die beiden linearen Operatoren A, A : V V durch A (f) = f und A (f) = f definiert, wobei f die erste Ableitung von f ist und f die zweite. Überprüfen Sie zu jeder der folgenden Funktionen, zu welchen der beiden Operatoren sie ein Eigenvektor ist. Geben sie die entsprechenden Eigenwerte an: Es gilt Also ist f (x) = cos(ωx) mit ω, f (x) = e x, f 3 (x) = x. f = ω sin(ωx), f = ω cos(ωx) = ω f, f = e x = f, f = e x = f, f 3 =, f 3 = = f 3 f ein Eigenvektor von A zum Eigenwert ω, f ein Eigenvektor von A zum Eigenwert, f ein Eigenvektor von A zum Eigenwert, f 3 ein Eigenvektor von A zum Eigenwert. Dies sind die einzigen alle Fälle, in denen ein f i ein Eigenvektor eines A j ist. Den offensichtlichen Nachweis dafür, also dass es z.b. kein λ R gibt mit ω sin(ωx) = λ cos(ωx) für alle x 5

6 R erbringen wir hier nicht. (Man kann die letzte Tatsache zeigen, indem man die Gleichung ω sin(ωx) = λ cos(ωx) für die speziellen x-werte x = und x = π ω betrachtet.) Aufgabe 5. In einem Laden mit Alarmanlage wird nachts mit einer Wahrscheinlichkeit von 4 eingebrochen. Bei Einbruch wird der Alarm mit einer Wahrscheinlichkeit von.99 ausgelöst, aber auch bei Nichteinbruch kann er losgehen (falscher Alarm), und zwar mit einer Wahrscheinlichkeit von.5. Wenn der Alarm ausbricht, mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dann eingebrochen worden? Wir definieren mögliche Ereignisse der betrachteten Nacht: B : Einbruch, B = B C : kein Einbruch, A : Alarm. Nach der Formel von Bayes (die man vielleicht nicht auswendig weiss, sich aber leicht herleiten kann, z.b. mit Hilfe eines Diagramms) gilt P (B A ) = = P (B ) P (A B ) P (B ) P (A B ) + P (B ) P (A B ) ( 4 ).5.9. Die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit beträgt also etwa.9. Aufgabe 6. In einer Urne liegen vier Kugeln, drei weiße und eine schwarze. Peter und Paul ziehen abwechselnd jeweils eine Kugel aus der Urne, ohne Zurücklegen und solange bis alle Kugeln gezogen sind. Peter fängt an. Bei jeder einzelnen Ziehung werde jede sich in der Urne befindliche Kugel mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gezogen. Seien die drei Ereignisse A, B und C definiert als A : B : C : Peter zieht die schwarze Kugel (in einer seiner beiden Ziehungen). In den ersten beiden Ziehungen wird die schwarze Kugel nicht gezogen. Die als vierte gezogene Kugel ist weiß.. Definieren Sie einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P ) zur Beschreibung des Experiments.. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P (A), P (B) und P (C). Überprüfen die drei Ereignisse A, B und C auf paarweise Unabhängigkeit. (Es sind also insgesamt drei Paare zu überprüfen.) Wir beschreiben jede mögliche Ziehung durch ein Quadrupel, bestehend aus drei w (für je eine weiße Kugel) und einem s (für die schwarze Kugel). Dabei ist jede Reihenfolge möglich und jede hat nach Voraussetzung die gleiche Wahrscheinlichkeit. Also Ω = {(s, w, w, w), (w, s, w, w), (w, w, s, w), (w, w, w, s)} 6

7 und ω Ω P (ω) = 4. Damit gilt A = {(s, w, w, w), (w, w, s, w)}, B = {(w, w, s, w), (w, w, w, s)}, C = {(s, w, w, w), (w, s, w, w), (w, w, s, w)}, A B = {(w, w, s, w)}, A C = {(s, w, w, w), (w, w, s, w)} = A, B C = {(w, w, s, w)}, und somit für die Wahrscheinlichkeiten P (A) =, P (B) =, P (C) = 3 4, P (A B) = 4, P (A C) =, P (B C) = 4. Wegen P (A B) = 4 = P (A) P (B), P (A C) = 3 8 P (B C) = = P (A) P (C), = P (B) P (C). sind A und B voneinander unabhängig, während C weder von A noch von B unabhängig ist. Aufgabe 7. Mit einem Laplace-Würfel (Augenzahlen bis 6) wird zweimal hintereinander gewürfelt, wobei die beiden Würfe voneinander unabhängig sind.. Definieren Sie einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P ) zur Beschreibung des Experiments (zweimalies Würfeln).. Die Zufallsvariable X gebe die Summe der zwei gewürfelten Augenzahlen an. Welchen Wertebereich χ hat X, d.h. welche Werte nimmt X mit einer positiven Wahrscheinlichkeit an? Geben Sie (ohne Herleitung) das Verteilungsmaß von X an. 3. Seien die beiden Ereignisse A, B, C Ω definiert als A : B : C : Der Wert von X ist durch teilbar. Der Wert von X ist durch 3 teilbar. Der Wert von X ist durch 6 teilbar. Dabei ist ganzzahlige Teilbarkeit ohne Rest gemeint. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P (A), P (B) und P (C) sowie die bedingten Wahrscheinlichkeiten P (A B), P (A C), P (C A).. Wir defineren Ω = {,... 6} = {(ω, ω ) ω, ω {,... 6}}. 7

8 Dann gilt nach Voraussetzung und wegen Ω = 36: ω Ω P ({ω}) = 36. (Auch eine Schreibweise P (ω) anstatt P ({ω}) wird akzeptiert. In der ersten Schreibweise ist P die so genannte Wahrscheinlichkeitsfunktion, die sehr eng mit dem Wahrscheinlichkeitsmaß zusammenhängt. Sie wurde in der Vorlesung nicht eingeführt. S. Skript.). Die Zufallsvariable X kann Werte in {,..., } annehmen. Die Verteilung (das Verteilungsmaß) P X von X ist also ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf {,..., }. Wir berechnen dieses gemäß den allgemeinen Formeln (wir schreiben hier P X (x) anstatt P X ({x})): P X (x) = P (X = x) und erhalten durch einfaches Abzählen = P ({ω Ω X(ω) = x}) = ω Ω, X(ω)=x P ({ω}). P X () = P X () = 36, P X(3) = P X () = 8,, P X(4) = P X () =, P X (5) = P X (9) = 9, P X (6) = P X (8) = 5 36, P X(7) = 6. Das Maß P X ist durch seine Werte für Elementarereignisse vollständig festgelegt. 3. Es gilt P (A) = P X ({, 4, 6, 8,, }) = P (B) = P X ({3, 6, 9, }) = 3, P (C) = P X ({6, }) = 6, P (A B) = P (C) = 6, P (A C) = P X ({6, }) = =, Diese Ergebnis erhält man auch sehr leicht durch folgende Überlegung, bei der wir nicht P X, sondern das Produktmaß P auf Ω benutzen. Z.B. für P (B): Egal zu welcher Augenzahl der erste Wurf führt, es gibt jeweils genau zwei Möglichkeiten für die Augenzahl des zweiten Wurfes, mit der die Summe der beiden Augenzahlen durch 3 teilbar ist. Also P (B) = 6 = 3. Für die bedingten Wahrscheinlichkeiten erhalten wir P (A B) = P (A C) = P (C A) = P (A B) = P (B), P (A C) =, P (C) P (A C) = P (A) 3. 8

9 Aufgabe 8. Sei (Ω, P ) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum.. Definieren Sie die Begriffe Elementarereignis und Ereignis. Seien A und B zwei Ereignisse in diesem Wahrscheinlichkeitsraum. Definieren Sie den Begriff der Unabhängigkeit von A und B und (P (B) > vorausgesetzt) die bedingte Wahrscheinlichkeit von A bei gegebenem B. Definieren Sie die Begriffe reelle Zufallsvariable X (definiert auf Ω) sowie Verteilung, Erwartungswert, zweites Moment, Varianz, und Streuung von X. 3. Sei Y eine weitere reelle Zufallsvariable auf Ω. Definieren Sie die Begriffe Kovarianz von X und Y, Korrelationskoeffizient von X und Y (vorausgesetzt, dass σ X, σ Y > ), Unkorreliertheit von X und Y und gemeinsame Verteilung von X und Y. 4. Geben Sie die Binomialverteilung zu den Parametern n und p an sowie deren Erwartungswert und Varianz (ohne Beweis).. Ein Elementarereignis ist eine einelementige Teilmenge von Ω, also eine Menge {ω} mit ω Ω. (Nicht ganz korrekt im Sinne der Definition aus der Vorlesung, aber großzügigerweise akzeptiert wäre die Antwort, daß jedes ω Ω ein Elementarereignis ist.) Ein Ereignis ist eine Teilmenge von Omega, also A Ω. Zwei Ereignisse A, B Ω heißen voneinander unabhängig, wenn die folgende Produktformel für sie gilt: P (A B) = P (A) P (B). Wenn P (B) >, dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von A bei gegebenem B definiert als P (A B) := P (A B). P (B). Eine reelle Zufallsvariable X auf Ω ist eine Funktion X : Ω R. Sei χ R die (endliche) Wertemenge von X. Dann ist die Verteilung von X das wie folgt definierte Wahrscheinlichkeitsmaß P X auf χ (also eine Funktion auf der Potenzmenge P(χ)): P X : P(χ) R, A P X (A) := P ({ω Ω X(ω) A}). Der Erwartungswert E(X), die Varianz σ X = Var(X) und die Streuung σ X von X sind wie 9

10 folgt definiert. (Wir geben verschiedene Dartstellungen an.) E(X) := x χ x P X ({x}) = ω Ω X(ω) P ({ω}) (alternative Darstellung), Var(X) := E((X E(X)) ) = x χ(x E(X)) P X ({x}) (. alternative Darstellung) = ω Ω(X(ω) E(X)) P ({ω}) (. alternative Darstellung), σ X = Var(X). Das zweite Moment von X ist E(X ) = x χ x P X ({x}) = ω Ω(X(ω)) P ({ω}). 3. Die Kovarianz von X und Y ist Cov(X, Y ) := E((X E(X)) (Y E(Y ))). Falls σ X, σ Y >, dann ist der Korrelationskoeffizient von X und Y definiert als ρ X,Y := Cov(X, Y ) σ X σ Y. Wenn ρ X,Y =, dann heißen X und Y unkorreliert (Also das Paar (X, Y ) von Zufallsvariablen ist unkorreliert.) Sei χ die Wertemenge von X und χ die Wertemenge von Y. Die gemeinsame Verteilung von X und Y ist die Verteilung (s.o.) der Zufallsvariablen also das durch X Y : Ω χ χ R, P X Y : P(χ χ ) R, Wahrscheinlichkeitsmaß auf χ χ. ω (X Y )(ω) = (X(ω), Y (ω)), A P X Y (A) := P ({ω Ω X Y (ω) A}) 4. Die Binomialverteilung zu den Parametern n und p ist die Verteilung auf der Menge {,,..., n}, die wie folgt durch die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse definiert ist. ( ) n P ({k}) := p k ( p) n k. k Es gilt für ihren Erwartungswert µ und ihre Varianz σ µ = n p, σ = n p ( p).

11 Aufgabe 9. Seien die Zufallsvariablen X, X,..., X n paarweise voneinander unabhängig und identisch verteilt, und zwar mit der Laplace-Verteilung auf {,..., 6}.. Geben sie die gemeinsame Verteilung von X und X an.. Geben sie die Verteilung von X + X, X X und von X E(X ) Var(X ) zu jeder dieser Verteilungen den Erwartungswert und die Varianz. an und berechnen Sie 3. Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Streuung der Zufallsvariablen X (n) = n (X X n ). 4. Geben Sie die Streuung der Zufallsvariablen Z (n) = X(n) E(X (n) ) Var(X (n) ) an.. Die Zufallsvariable X X ist wegen der Unabhängigkeit von X und X gleichverteilt auf {,..., 6}. Für jedes Elementarereignis {x} = {(x, x )} dieser Menge gilt P X X (x) = P X (x ) P X (x ) = 6 6 = 36. Dadurch ist die Verteilung vollständig festgelegt.. Vorbemerkung: Es gilt E(X i ) = 6 i= i 6 E(X i ) = = 7, 6 i= i 6 = 9 6, Var(X i ) = E(X i ) (E(X i )) = 35.

12 Die Verteilung P X +X von X + X ist in der Lösung zu Aufgabe 7 dargestellt. Es gilt E(X + X ) = E(X ) + E(X ) = 7 = 7, Var(X + X ) = Var(X ) + Var(X ) (wegen der Unabhängigkeit) = 35 = Die Zufallsvariable X X kann Werte in { -5,4,...,5} annehmen. Wir erhalten ihre Verteilung P X X ebenso durch einfaches Abzählen Es gilt P X X ( 5) = P X X (5) = 36, P X X ( 4) = P X X (4) = 8, P X X ( 3) = P X (3) =, P X X ( ) = P X X () = 9, P X X ( ) = P X X () = 5 36, P X X () = 6. E(X X ) = E(X ) E(X ) =, Var(X X ) = Var(X ) + Var( X ) (wegen der Unabhängigkeit) = 35 = Die Zufallsvariable ( X E(X ) Var(X ) = X 7 ) 35 ist offensichtlich gleichverteilt auf der sechselementigen Menge { ( i 7 35 ) } i =, Jedes Elementarereignis hat die Wahrscheinlichkeit 6. Es gilt ( E ) X E(X ) Var(X ) = Var(X ) (E(X ) E(X )) Var ( ) X E(X ) Var(X ) = ( = Var(X ) Var(X )) =.

13 3. E(X (n) ) = n (E(X ) E(X n )) = E(X ) = 7, Var(X (n) ) = n (Var(X ) Var(X n )) = n Var(X ) = σ X (n) = 35 n, 35 n. 4. Mit der gleichen Rechnung wie zu X E(X ) folgt Var(X ) σ Z (n) =. Aufgabe. Seien X und X Zufallsvariablen mit Werten in {, }. Die Produktzufallsvariable X X nehme die Werte (, ), (, ) und (, ) mit den Wahrscheinlichkeiten, 5, 3, respektive, an.. Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt X X den Wert (, ) an? Berechnen Sie die Verteilung von X und von X und jeweils den Erwartungswert, die Varianz und die Streuung.. Berechnen Sie die Kovarianz von X und X sowie den entsprechenden Korrelationskoeffizienten. Sind X und X voneinander unabhängig? 3. Geben Sie die Verteilung von X + X an und berechnen sie deren Erwartungswert und Varianz.. Notationshinweis: Wir schreiben abkürzend P X X (, ) statt P X X ({(, )}) etc. P X X (, ) = ( ) = 5. P X () = P X X (, ) + P X X (, ) = + 3 = 5, P X () = P X X (, ) + P X X (, ) = = 3 5, 3

14 E(X ) = = 3 5, E(X ) = 3 5, Var(X ) = 3 5 ( 3 5 ) σ X = = 6 5, P X () = P X X (, ) + P X X (, ) = + 5 = 3, P X () = P X X (, ) + P X X (, ) = = 7. E(X ) = 7, E(X) = 7, Var(X ) = 7 ( 7 =, σ X =.46. ). E(X X ) = 5, Cov(X, X ) = E(X X ) E(X ) E(X ) = = 5, 7 4

15 ρ X,X = Die Zufallsvariabeln X und X sind nicht voneinander unabhängig, da Ihre Kovarianz ungleich ist. (Es gilt nämlich: Unabhängigkeit Kovarianz gleich.) 3. Die Zufallsvariable X + X nimmt Werte in der Menge {,,, 3} an, und zwar mit den Wahrscheinlichkeiten Somit gilt P X +X () =, P X +X () = 5, P X +X () = 3, P X +X (, ) = 5. E(X + X ) = E(X ) + E(X ) = =, Var(X + X ) = Var(X ) + 4 Var(X ) + Cov(X, X ) = =. Aufgabe.. Zeigen Sie, dass durch λt (λt )k P (k) = e k! mit λ, T > eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf der Menge N = {,,,...} der natürlichen Zahlen gegeben ist. (Zeigen sie also, dass P (k) für alle k N und k= P (k) =.) Berechnen den Erwartungswert der Verteilung.. Zeigen Sie, dass durch f(x) = λ e λx mit λ > eine Wahrscheinlichkeitsdichte auf [, [ gegeben ist. Berechnen Sie den Erwartungswert, das zweite Moment, die Varianz, die Standardabweichung und den Median m dieser Verteilung. (Hinweis: Es muss P ([, m] = gelten). 3. Für welche α > hat die Zufallsvariable X α (x) = e αx einen endlichen Erwartungswert bzgl. der Wahrscheinlichkeitsverteilung aus Teilaufgabe, und für welche eine endliche Varianz? 5

16 . Offensichtlich sind alle P (k), da die Exponentialfunktion für reelle Argumente keine negativen Werte annimmt und auch λt positiv ist. Zur Normiertheit: Der Erwartungswert ist P λ (X = k) = k= µ = = k= λt (λt )k e k! = e λt (λt ) k k! k= = e λt e λt =. k P λ (X = k) k= k= λt (λt )k k e k! = λt e λt k= (λt ) k (k )! = λt e λt (λt ) l l= = λt e λt e λt = λt. l!. Die Funktion f nimmt offensichtlich nur positive Werte an und ist wegen λ e λx dx = e λx = normiert, also eine Wahrscheinlichkeitsdichte. Der Erwartungswert ist µ = x λ e λx dx = xe λx + }{{} = = λ e λx = λ. (partielle Integration) e λx dx 6

17 Das zweite Moment der Verteilung ist x λ e λx dx = x e λx + }{{} = = λ λ xe λx dx (durch partielle Integration) Also ist die Varianz gleich = λ. ) σ = λ ( λ = λ. Zum Median: m λ e λx dx = e λx = e λm. m Also ist m der Median wenn folgendes gilt. 3. Es gilt E(X α ) = e λm = m = ln λ. = λ e αx λ e λx dx e (α λ)x dx, und das letzte Integral ist nur endlich, wenn α λ <. Also haben nur die Zufallsvariablen X α mit α < λ einen endlichen Erwartungswert bzgl. der Exponentialverteilung. Die Varianz existiert genau dann, wenn der Erwartungswert und das zweite Moment existieren, und dieses existiert für X α wegen E(X α) = = λ e αx λ e λx dx e (α λ)x dx nur für α < λ. Also haben nur die Zufallsvariablen X α mit α < λ bzgl. der Exponentialverteilung. eine (endliche) Varianz 7