Lösung Semesterendprüfung

Transkript

1 MAE4 Mathematik: Analysis für Ingenieure 4 Frühlingssemester 26 Dr. Christoph Kirsch ZHAW Winterthur Aufgabe : Lösung Semesterendprüfung Wir betrachten die Ergebnismenge Ω : {, 2,, 4, 5, 6} Elemente, also endlich und damit abzählbar und das Ereignisfeld Σ : PΩ 2 6 Elemente. Wir gehen nach dem Hinweis vor, und wir erhalten mit dem Multiplikationssatz die folgenden Wahrscheinlichkeiten für die Elementarereignisse {i, j} Σ: { P {i, j} 4, j 6 { , j 6, j 6 75, i, j {, 2,, 4, 5, 6}., j a Die Ereignisse A, B, A B Σ sind gegeben durch A {2, 6,, 5, 4, 4, 5,, 6, 2}, 2 B {, 6, 2, 6,, 6, 4, 6, 5, 6, 6,, 6, 2, 6,, 6, 4, 6, 5}. Mit dem Additionssatz und mit erhalten wir die Wahrscheinlichkeiten P A P {2, 6} + P {, 5} + P {4, 4} + P {5, } + P {6, 2} %, 4 5 P B %, 5 P A B P {2, 6, 6, 2} b Mit den Resultaten aus a berechnen wir das Produkt P AP B % %. 7 Ein Vergleich zeigt, dass P A B P AP B gilt. Damit sind die Ereignisse A, B nicht stochastisch unabhängig gemäss Def. 2 der Vorlesung. c Wir definieren das Ereignis C : {, 6, 2, 6,, 6, 4, 6, 5, 6, 6, 6} Σ 8 der manipulierte Würfel zeigt eine 6, und wir erhalten die bedingte Wahrscheinlichkeit Def. der Vorlesung P C A B P C A B P A B a P {2, 6} P A B %. 9 Bemerkung: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter der gleichen Bedingung der faire Würfel eine 6 zeigt, beträgt hingegen nur 4/9.

2 Aufgabe 2 : a Wir definieren die Zufallsvariable X : Anzahl der gezogenen roten Kugeln. X ist binomialverteilt, X B, 6/6 + 4 B, /, gemäss Kap...2 der Vorlesung. b Mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion Zähldichte k k 7 f X k, k {,, 2,..., } : Ω, k aus der Tabelle im Kap...2 der Vorlesung, sowie mit dem Additionssatz und mit der Gegenwahrscheinlichkeit erhalten wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit P X < 5 X 8 P X {,, 2,, 4} {8, 9, } 2 P X {5, 6, 7} f X 5 f X 6 f X %. c Das gesuchte 25 %-Quantil. Quartil der Verteilung von X ist gemäss Def. der Vorlesung gegeben durch Q X.25 inf {x R F X x.25}. 4 Mit der Definition der kumulativen Verteilungsfunktion Def. 4 der Vorlesung F X x xi Ω x i x erhalten wir die ersten paar Werte f X x i f X k, x R, 5 k k x x, [, [, 2 [2, F X x >.25 6 Weil F X gemäss Satz 5 der Vorlesung monoton wachsend ist, können wir an dieser Stelle aufhören, und wir erhalten das gesuchte. Quartil: Q X B,/.8.6 F X x 2

3 Aufgabe : a Gemäss Kap...4 der Vorlesung ist die kumulative Verteilungsfunktion einer stetigen reellen Zufallsvariablen gegeben durch die Flächenfunktion b {.e F X b f X x dx, f X x.x, x 7, x < Kap...5. Wir erhalten F X b für b <. Für b erhalten wir F X b b.e.x dx e.x b e.b, 8 also ist die kumulative Verteilungsfunktion von X gegeben durch { e F X x.x, x, x <. 9 b Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gegeben durch P X > 2 P X 2 F X 2 a e.6 e.6 55 %, 2 wobei wir im ersten Schritt die Gegenwahrscheinlichkeit verwendet haben. c Dies ist eine lineare Transformation der Zufallsvariablen X der Form Y a+bx mit a 2 und b. Gemäss Kap..5 der Vorlesung ist die kumulative Verteilungsfunktion der transformierten Zufallsvariablen gegeben durch y a y + 2 F Y y F X F X b { e. y+2,, a y+2 2 < { e.2 e.y, y 2, y < d Durch Ableiten von F Y erhalten wir die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion {.e f Y y F Y y.2 e.y, y 2, y < 2. 2 Dies ist keine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer exponentialverteilten Zufallsvariablen, also ist Y nicht exponentialverteilt. y+2.8 X Exp., Y X y F X x y F Y x y x

4 Aufgabe 4 : a Die Bilder der Zufallsvariablen X, X 2 lesen wir ab: imx {,, 2}, imx 2 {, }. Mit den Bedingungen f X x, x 2 f X2 x 2, f X x, x 2 f X x, 24 x imx x imx f X x x 2 imx 2 vervollständigen wir die Tabelle: x 2 imx 2 f X2 x x f X 2 f X2 x f X b Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist mit dem Additionssatz gegeben durch P X < 2 X 2 > P X {,,, } f X, + f X, %. 26 c Wir berechnen zuerst die Erwartungswerte von X und X 2 Def. der Vorlesung: E[X ] x f X x , 27 E[X 2 ] x imx x 2 imx 2 x 2 f X2 x Mit Satz 9 und Def. 9 der Vorlesung erhalten wir die gesuchte Kovarianz: CovX, X 2 x E[X ]x 2 E[X 2 ]f X x, x 2 29 x,x 2 imx d Mit dem Multiplikationssatz für Erwartungswerte Satz der Vorlesung und den Resultaten aus c berechnen wir E[X X 2 ] E[X ]E[X 2 ] + CovX, X 2 c

5 Aufgabe 5 : a Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gegeben durch das zweidimensionale Integral p : P X 2, ], f X x, x 2 dx 2 dx. Mit der Definition von f X erhalten wir 2 p 4x e 2x x 2 dx 2 dx 4 x e 2x e x 2 dx 2 dx. 4 Wir berechnen zuerst das uneigentliche innere Integral } {{ } :I λ I e x 2 dx 2 lim e x 2 dx 2 lim e x 2 λ lim λ λ e e λ e. λ 5 Damit erhalten wir partielle Integration p 4e x e 2x dx 4e x 2 e 2x + e 2x dx 6 2 4e 2 e e 2x 4e 2 e e e 7 4 e 6 + 7e 7 + e 6 %. 7 4 b Die gesuchten Randdichten sind gemäss der Formel der Vorlesung gegeben durch f X x f X2 x 2 f X x, x 2 dx 2 x 4x e 2x e x 2 x f X x, x 2 dx 2 4x e 2x x 2 dx 2 4x e 2x e x 2 dx 2 4x e 2x, 8 4e x 2 x 2 e 2x + }{{} 2 4x e 2x x 2 dx 4e x 2 x e 2x dx e 2x dx 2e x 2 2 e 2x 2e x2 2 e x 2, 9 und es gilt natürlich f X x, x <, und f X2 x 2, x 2 <. 5

6 c Wir multiplizieren die Randdichten aus b und erhalten f X x f X2 x 2 { 4x e 2x e x 2, x, x 2 4, sonst { 4x e 2x x 2, x, x 2 f, sonst X x, x 2, 4 Aufgabe 6 : x, x 2 R. Gemäss Satz 8 der Vorlesung sind die Zufallsvariablen X und X 2 stochastisch unabhängig. a Aus Kap. 2.. der Vorlesung kennen wir das arithmetische Mittel x und die korrigierte Stichprobenvarianz s 2 als Punktschätzer für die wahren Werte der Parameter µ, σ 2. Für die gegebenen Daten erhalten wir die Schätzwerte ˆµ : x i x i.47, ˆσ 2 : s 2 i x i x b Gemäss Kap der Vorlesung ist ein 95 %-Konfidenzintervall Konfidenzniveau γ.95, Irrtumswahrscheinlichkeit α γ.5 für den wahren Wert von µ bei unbekanntem σ 2 gegeben durch s s x c.5, x + c.5, 4 wobei c das Quantil der t -Verteilung bezeichnet. Für die gegebenen Daten erhalten wir das Schätzintervall 2.66, c Gemäss Kap der Vorlesung ist ein 95 %-Konfidenzintervall für den wahren Wert von σ gegeben durch s, s, 45 c,.5 c 2,.5 wobei c, das quantil der 2 χ2 -Verteilung bezeichnet und c 2,.5.25 das.5.25-quantil der χ 2 2 -Verteilung. Für die gegebenen Daten erhalten wir das Schätzintervall.24,.. 46 Bemerkung: Die Daten wurden aus einer N, 4-Verteilung simuliert und gerundet. Beide Schätzintervalle enthalten also die wahren Werte der Parameter, µ bzw. σ 2. 6