Kursthemen 11. Sitzung. Spezielle diskrete Verteilungen: Auswahlexperimente. Spezielle diskrete Verteilungen: Auswahlexperimente

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1 Kursthemen 11. Sitzung Folie I Spezielle diskrete Verteilungen: Auswahlexperimente Spezielle diskrete Verteilungen: Auswahlexperimente A) Kombinatorik (Folien bis 5) A) Kombinatorik (Folien bis 5) B) Die diskrete Gleichverteilung (Folie 6) B) Die diskrete Gleichverteilung (Folie 6) C) Die Bernoulliverteilung (Folien 7 bis 9) C) Die Bernoulliverteilung (Folien 7 bis 9) D) Die Binomialverteilung (Folien 10 bis 19) D) Die Binomialverteilung (Folien 10 bis 19) E) Die Hypergeometrische Verteilung (Folien 0 bis 3)

2 Kombinatorik 1 / Folie I Gänsemarschproblem I: Wie viele Möglichkeiten gibt es, n Gänse in verschiedener Reihenfolge anzuordnen? Es gibt n! Möglichkeiten, n Gänse in verschiedener Reihenfolge anzuordnen. Definition: n! = 1... n, n N und 0! = 1 (sprich: "n Fakultät")

3 Kombinatorik 1 / Folie I Gänsemarschproblem II: Wie viele Möglichkeiten gibt es, n Gänse in verschiedener Reihenfolge anzuordnen, wenn jeweils n 1, n,..., n k nicht unterscheidbar sind (bzw. es auf ihre Reihenfolge nicht ankommt)? Nun gibt es nur noch n! n! n!... n! 1 k unterscheidbare Anordnungen.

4 Kombinatorik / Abgeleitete Regeln Folie I Es werden n Elemente aus N gezogen. Wie viele mögliche Ergebnisse kann dieser Auswahlprozess haben? Wenn es auf die Auswahlreihenfolge ankommt: - mit Zurücklegen (Bsp.: Lotto Super 6, Spiel 77): - ohne Zurücklegen (Bsp.: Platzwette, Toto): N n N! ( N n)! Wenn es auf die Auswahlreihenfolge nicht ankommt: - mit Zurücklegen: ( + ) n ( N 1) N + n 1! ( N + n 1) = :!! n - ohne Zurücklegen (Bsp.: Lotto 6 aus 49): N! n!( N n)! N = : n

5 Definition: Binomialkoeffizient Folie I n n! n ( n 1)... ( n k + 1) k = = ( n k)! k! 1... k (sprich: "n über k")

6 Die Gleichverteilung Folie I Ausgangssituation: Sie ziehen zufällig ein Objekte aus 1 bis n durchgehend numerierten Objekten heraus. Dann ist die Zufallsvariable X = "Nummer des gezogenen Objektes" gleichverteilt mit dem Parameter Mögliche Werte von X: k = 1,,..., n n, d. h. sie folgt der Verteilung GLV n. Häufigkeitsfunktion: Wie groß ist die Varianz von 1 Y? f ( k) = P( X = k) = n ( ) Erwartungswert von X: Varianz von X: n 1 Wie groß ist die Varianz + n 1 von Y? E( X ) = Var( X ) = 1

7 Das Urnenmodell 1 / 4 Folie I In einer Urne liegen: - 0 (N) Kugeln; - ein Anteil von 5% (p) ist schwarz, - ein Anteil von 75% (1-p) ist weiß. Die Urne enthält somit 5 (N p) schwarze und 15 (N (1-p)) weiße Kugeln Nehmen wir an, man zieht blind eine Kugel aus der Urne. Dann ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl der schwarzen Kugeln: 0,75 1-p=0,75 0,5 p=0,5 0 1 Anzahl schwarze Kugeln

8 Das Urnenmodell 1 / 4 Folie I ,75 1-p=0,75 0,5 p=0,5 0 1 Anzahl schwarze Kugeln Die Verteilung heißt Zweipunktverteilung mit dem Parameter p=0,5 oder Binomialverteilung B(n, p) mit den Parametern n=1 und p=0,5. Erwartungswert: Standardabweichung: µ = p = 0, 5 σ = p ( 1 p) = 0, 43

9 Die Zweipunktverteilung (Bernoulliverteilung) Folie I Ausgangssituation: Sie ziehen zufällig ein Objekt aus N Objekten heraus, die sich in bezug auf ein Merkmal mit zwei Ausprägungen A und A unterscheiden. Dann ist die ZV X = "Anzahl der gezogenen Objekte mit A" N A bernoulliverteilt mit dem Parameter p =, wobei N A die Anzahl der Objekte N mit A ist. D. h. die ZV folgt der Verteilung ZPV ( p). Mögliche Werte von X: k = 0, 1 Häufigkeitsfunktion: Wie groß ist die Varianz von Y? 1 ( ) ( ) k k f k = P X = k = p ( 1 p) = = = Erwartungswert von X: Varianz von X: Wie groß ist die Varianz von Y? E( X ) = p Var( X ) = p( 1 p)

10 Das Urnenmodell / 4 Folie I Nehmen wir an, man zieht blind eine Kugel, notiert die Farbe, legt die Kugel zurück, mischt und zieht ein zweites Mal. Mögliche Ergebnisse W-keit Anzahl schwarze K. WW (1 p) = 0,565 0 WS (1 p) p = 0, SW p (1 p) = 0, SS p = 0,065 W-keit (1 p) = 0,565 (1 p) p = 0,3750 p = 0,065

11 Das Urnenmodell / 4 Folie I Mögliche Ergebnisse W-keit Anzahl schwarze K. WW (1 p) = 0,565 0 WS (1 p) p = 0, SW p (1 p) = 0, SS p = 0,065 W-keit (1 p) = 0,565 (1 p) p = 0,3750 p = 0,065 0,75 ( 1 p) 0,5 p ( 1 p) p 0 1 Anzahl schwarze Kugeln µ = p = 0, 5 σ = p ( 1 p) = 0, 61

12 Das Urnenmodell 3 / 4 Folie I Nun wird dreimal mit Zurücklegen gezogen. Mögliche Ergebnisse W-keit Anzahl schwarze K. WWW 3 (1 p) = 0,40 0 WWS (1 p) p = 0,140 1 WSW (1 p) p = 0,140 1 SWW (1 p) p = 0,140 1 WSS (1 p) p = 0,047 SWS (1 p) p = 0,047 SSW (1 p) p = 0,047 SSS 3 3 p = 0,016 W-kei 3 (1 p) = 0,4 3 (1 p) p = 0,4 3 (1 p) p = 0,14 3 p = 0,0

13 Das Urnenmodell 3 / 4 Folie I Anzahl schwarze K. W-keit (1 p) = 0,4 3 (1 p) p = 0,4 3 (1 p) p = 0,14 3 p = 0,0 0,75 0,5 ( 1 ) 3 p 3 p ( 1 p) p 1 ( p) 3 p 3 Anzahl schwarze Kugeln µ = 3 p = 0, 75 σ = 3 p ( 1 p) = 0, 75

14 Das Urnenmodell 4 / 4 Die Binomialverteilung Folie I Verallgemeinerung: Es wird n-mal gezogen. Allgemeine Binomialverteilung: B(n,p) n k P( k) = p ( 1 p) k n k n n! n ( n 1)... ( n k + 1) mit (Binomialkoeffizient) k = = ( n k)! k! 1... k Erwartungswert: Standardabweichung: µ = n p σ = n p ( 1 p)

15 Die Binomialverteilung Folie I Ausgangssituation: Sie ziehen nacheinander zufällig n Objekte aus N Objekten heraus, die sich in bezug auf ein Merkmal mit zwei Ausprägungen A und A unterscheiden. Die Objekte werden zurückgelegt. Dann ist die ZV X = "Anzahl der gezogenen Objekte mit A" N A binomialverteilt mit den Parametern n und p =, wobei N A die N Anzahl der Objekte mit A ist. D. h. die ZV folgt der Verteilung BV n p. Mögliche Werte von X: Wie Häufigkeitsfunktion: groß ist die Varianz von Y? n k k = 0, 1,..., n P( k) = f ( k) = p ( 1 p) k Erwartungswert von X: Varianz Wie großvon ist X: die Varianz von Y? E( X ) = n p = Var( X ) = n p ( 1 p) (, ) n k

16 Aufgaben zur Binomialverteilung 1 / 4 Die Lostrommel Folie I Die Lostrommel... In einem Behälter befinden sich 0 Lose, von denen 5 Gewinne sind. Nach gutem Mischen wird ein Los gezogen, angeschaut und wieder zurückgelegt. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen Gewinn zu ziehen? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass drei nacheinander gezogene Lose Gewinne sind? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass drei nacheinander gezogene Lose Nieten sind?

17 Folie I Aufgaben zur Binomialverteilung / 4 Mensch ärgere Dich nicht und Therapieversager Mensch ärgere Dich nicht... Sie würfeln 6 mal hintereinander mit einem fairen Würfel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine 6 dabei ist? Therapieversager... Sie behandeln 95 Patienten mit einem zu 95% sicheren Medikament. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, keinen Therapieversager zu erleben?

18 Aufgaben zur Binomialverteilung 3 / 4 In der Manege Folie I Manege frei! Sie verteilen Handzettel an auf der Straße spielende Kinder, die zum Besuch Ihres Wanderzirkusses einladen. Aus Erfahrung wissen Sie, dass jedes 5. Kind kommt. Sie verteilen zufällig 50 Handzettel. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als drei Kinder kommen (dann fällt die Vorstellung aus)? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 46 Kinder kommen (dann bricht das Zelt zusammen)? c) Wieviele Kinder werden im Schnitt zu erwarten sein?

19 Aufgaben zur Binomialverteilung 4 / 4 Die Schraubenfabrik Folie I In der Schraubenfabrik... Bei der Massenproduktion von Schrauben eines bestimmten Typs sei die Ausschussquote 10%. a) Wieviele defekte Schrauben sind in einem 50er-Pack zu erwarten? b) Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass in einem 4er-Pack i. keine defekte Schraube ist? ii. iii. eine defekte Schraube ist? zwei defekte Schrauben sind? c) Wieviele Schrauben muß man sicherheitshalber zum 4er-Pack dazugeben, damit die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 4 Schrauben in Ordnung sind, mehr als 95% beträgt?

20 Die hypergeometrische Verteilung Folie I Ausgangssituation: Sie ziehen nacheinander zufällig n Objekte aus N Objekten heraus, die sich in bezug auf ein Merkmal mit zwei Ausprägungen A und A unterscheiden. Die Objekte werden nicht zurückgelegt. Dann ist die ZV X = "Anzahl der Objekte mit A" ( ) hypergeometrisch verteilt mit den Parametern N, N A, n, wobei N A die Anzahl der Objekte mit A ist. D. h. die ZV folgt der Verteilung HV N N n. (,, ) A Mögliche Werte von X: ( ) k = 0, 1,...,min N, n A Wie Häufigkeitsfunktion: A groß ist die Varianz von Y? N N N k n k f ( k) = N n A Erwartungswert von X: Varianz Wie großvon ist X: die Varianz von Y? N N A N A N n A ( ) = Var( X ) = n 1 N N N 1 E X n N

21 Aufgabe zur hypergeometrischen Verteilung: Das Skat-Turnier Folie I Auf dem Skat-Turnier... Sie spielen Skat. Nach dem Geben haben Sie zwei Buben auf der Hand. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ihr Mitspieler zur Linken zwei Buben dagegen hat? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass einer Ihrer beiden Mitspieler zwei Buben dagegen hat?

22 Aufgabe: Das Capture-Recapture-Problem Folie I Um den Bestand in einem Fischteich zu schätzen, wurden außerhalb der Laichzeit 100 Fische gefangen und markiert (capture). Nach drei Tagen wurden wieder 100 Fische gefangen (recapture). Y sei die ZV Zahl der markierten Fische unter den wiedergefangenen Fischen. a) Welche Verteilung kann man für Y ansetzen, wenn in dem Teich 000 Fische leben und welche impliziten Annahmen trifft man dabei? b) Wieviele markierte Fische sind im zweiten Fang zu erwarten? c) Wie groß würden Sie den Fischbestand schätzen, wenn Sie im zweiten Fang markierte Fische finden?

23 Übersicht: Wichtige diskrete Verteilungen für Auswahlexperimente Folie I Gleichverteilung GLV ( n), n N Bernoulliverteilung (=Zweipunktverteilung) [ 0 1] ZPV ( p), p, Binomialverteilung [ 0 1] BV ( n, p), n N, p, Hypergeometrische Verteilung HV ( N, M, n), N, M, n N