Eine Zufallsvariable wird als diskret bezeichnet, wenn sie nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte annimmt.

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1 Statistik I Sommersemester 009 Aufgabenlösung Übung 4: Diskrete Zufallsvariablen Aufgabe 5.. (Blatt ) ine Zufallsvariable bildet den reignisraum eines Zufallsvorgangs ab. Dieser bestimmt den Definitionsbereich der Zufallsvariablen. Der Wertebereich der Zufallsvariablen ist die Menge der reellen Zahlen, die bei den möglichen Realisationen vorkommen können. X : Ω R w X(w) ine Zufallsvariable wird als diskret bezeichnet, wenn sie nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte annimmt. Das Attribut stetig wird für mehrere unterschiedliche igenschaften verwendet: ine Zufallsvariable wird als stetig bezeichnet, wenn sie selbst als Funktion stetig ist. ine Zufallsvariable wird als stetig bezeichnet, wenn sie eine stetige Verteilungsfunktion besitzt. (a) Diskret (b) Diskret (c) Stetig (d) Stetig (e) Diskret

2 Aufgabe 5.. (Blatt ) Wahrscheinlichkeitsfunktion (nur für diskrete Zufallsvariablen) f : R [0,] f() ) igenschaften: f() 0 i f() f () 0,5 (0,5) für 0, 0 für andere i 0 (Zahl) (Wappen) f( i ) 0,5 0,5

3 Aufgabe 5..4 (Blatt ) 4 Farben: Karo, Herz, Pik, Kreuz 6 Bilder: 9, 0, Bube, Dame, König, As alle Karten doppelt: Karten N(.) Anzahl der Fälle (a) reignis A: "beide Karten sind Asse" W(A) N(A) N(S) 0, !! 6! 48!! 46! oder: reignis K i : "i-te Karte ist ein As", i, W(K W(K W(A) ) K 8 48 ) W(K K ) 0,048 W(K ) W(K K ) 3

4 Aufgabe 5..4 (Blatt ) (b) reignis B: "beide Karten sind schwarz" W(B) N(B) N(S) 0, !!! 48!! 46! oder: reignis K i : "i-te Karte ist schwarz", i, W(K W(K W(B) ) K) 47 W(K 3 47 K ) 0,447 W(K ) W(K K ) 4

5 Aufgabe 5..4 (Blatt 3) (c) reignis C: "mindestens eine Herz 0 dabei" W(C) oder: N(C) 0 N(S) ,084 48! 48 47! 46! reignis K i : "i-te Karte ist keine Herz 0", i, W(K W(K W(C) ) K ) 47 W(K K ) 0,084 W(K ) W(K K ) Aufgabe 5..5 (Blatt ) 5

6 U : die Übung endet pünktlich U : die Übung endet unpünktlich V : die Vorlesung beginnt pünktlich V : die Vorlesung beginnt nicht pünktlich W(U) 0,80 W(U) 0,0 W(U V) 0,0 W(V / U) 0,75 W(U V) W(V / U) W(U) 0,75 0,80 U U V 0, 0, 0,3 V 0,6 0, 0,7 0,60 0,8 0,,0 6

7 Aufgabe 5..5 (Blatt ) (a) die Übung endet nicht pünktlich und die Vorlesung beginnt pünktlich: W(U) W(U V) + W(U V) W(U V) 0, 0, 0, (b) die Übung endet pünktlich und die Vorlesung beginnt pünktlich: W(U) W(U V) + W(U V) W(U V) 0,8 0,6 0, (c) die Übung endet nicht pünktlich, wenn die Vorlesung pünktlich beginnt: W(V) W(U V) + W(U V) 0, + 0, 0,3 W(U / V) W(U V) W(V) 0, 0,3 0,33 7

8 Aufgabe 5..6 (a) lementarereignisse: G T i, i, K j, j,, 3 Zusammengesetzte reignisse: K T A (b) K K K K3 T T T T T (c) A 3 3 [(K K K ) (K K K ) ( K K K3) (K K K3)] ( T T ) G 8

9 Aufgabe 5..7 Männlich Weiblich Σ M: Männlich VWL W: Weiblich BWL 3 45 V: VWL Σ B: BWL 40 (a) W (M) 0, (b) W (W) 0, 60 (c) W (M V) 0, 7 (d) W(M V) W(M) + W(V) W(M V) oder: 0,40 + 0,55 0,7 0,78 W(M V) W(M V) W(M V) W(W B) 0, 0,78 9

10 Aufgabe 5..8 Klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff: Anzahl der günstigen Fälle W (A) Anzahl der möglichen Fälle N(A) 36 (a) A: Augensumme ist 6, 7 bzw. 8 ( Σ 6) : A ( Σ 7) : ( Σ 8) : 5 6 6,,, ,,, W (A) 0, ,,, ,,, 5 5 6, 6 (b) B: Augensumme ist höchstens 0 ( Σ ) : B ( Σ ) : 56, W (B) W(B) ,967 (c) C: Augensumme ist W (C) 0 (nicht möglich) 0

11 Aufgabe 5.. (Blatt ) X: Anzahl der roten Kugeln unter 4 gezogenen (a) Verteilungsmodell: Hypergeometrische Verteilung mit N ; M 3; n 4 rwartungswert und Varianz: M 3 (X) n 4 N Var(X) M N M N n n N N N ,5455 Wahrscheinlichkeitsfunktion: M N M f () n 0 N n für sonst 0,,...,n f() 0,545 0,509 0,8 0,08 0 F() 0,545 0,7636 0,988,0000,0000

12 Aufgabe 5.. (Blatt ) Darstellung der Wahrscheinlichkeitsfunktion: 0,6 f() 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0, X (b) W (X ) f () 0, 509 ) F() f (0) + f () 0,7636 ) f (0) f () + f () + f (3) 0,7455 5) f (5) 0

13 Aufgabe 5.. (Blatt ) X: Anzahl der schwarzen Kugeln unter 4 gezogenen (a) Verteilungsmodell: Binomialverteilung mit n 4 und θ 0, 5 (wegen Ziehen ohne Zurücklegen eigentlich hypergeometrische Verteilung, aber N ist sehr groß und M ist unbekannt) rwartungswert und Varianz: (X) n θ 4 0,5 Var (X) n θ ( θ) 4 0,5 ( 0,5) 0,75 Wahrscheinlichkeitsfunktion: f () n θ ( θ) 0 n für sonst 0,,...,n f() 0,364 0,49 0,09 0,0469 0,0039 F() 0,364 0,7383 0,949 0,996,0000 3

14 Aufgabe 5.. (Blatt ) Darstellung der Wahrscheinlichkeitsfunktion: 0,5 f() 0,4 0,3 0, 0, 0, X (b) W (X 0) 0, 364 ) 0,09 ) F() f (0) + f () + f () 0,949 ) (f (0) + f ()) f () + f (3) + f (4) F() 0,67 W((X ) (X 3)) ) + 3) f () + f (3) 0,578 4

15 Aufgabe 5..3 (Blatt ) (b) Verteilungsmodell: Die Zufallsvariable X: Anzahl der Kunden, die einen Anzug kaufen ist binomialverteilt mit n 5 und θ 0,. Wahrscheinlichkeitsfunktion: f () n θ ( θ) 0 n 5 0) f (0) 0, 0 5 ) f () 0, für sonst 0 0,8 0, ,,...,n 0,377 0,4096 W (X ) ( 0) + )) 0,67 (c) rwartungswert und Varianz: (X) n θ 5 0,0 Var (X) n θ ( θ) 5 0,0 ( 0,0) 0,80 σ ( X) Var(X) 0,80 0,8944 5

16 Aufgabe 5..3 (Blatt ) (c) Wahrscheinlichkeitsfunktion: f() 0,377 0,4096 0,048 0,05 0,0064 0,0003 f() 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0, X 6

17 Aufgabe 5..4 (Blatt ) f () für für alle 0,,,3, 4 anderen f() 0,08 0,0 0,6 0,6 0,40 F() 0,08 0,8 0,34 0,60,00 (a) W (X ) f () 0, 6 < ) f () + f (0) 0,8 ) f () + f () + f (0) F() 0,34 > 3) f (4) 0,40 (b) W (X ) 0,08 0 Jeder Wert 3 erfüllt ) 0, 5. 7

18 Aufgabe 5..4 (Blatt ) (c) (X) f () 0 0,08 + 0,0 + 0, , ,40,80 Var(X) (X ) Var() [ ] ] X (X) f () 0,08 + 0,40 9,48 9,48,80 (d) Verteilungsfunktion 0,0 +,64 (X ) (X) 0, ,6 0,8 0,6 0,4 0,

19 Aufgabe 5..5 (Blatt ) (a) Ziehen der Stichprobe ohne Zurücklegen Hypergeometrische Verteilung mit den Parametern N 00; n 0 und 00 M 5 (erwartet) 0 X: Anzahl defekter Teile in der Stichprobe vom Umfang 0 M 5 (X) n 0 N 00 Wahrscheinlichkeitsfunktion: ) M N M n f () N n 0 für sonst 0,,..., n W (X ) f () 0,073 3) f (0) + f () + f () + f (3) 0, ,40+ 0, ,0478 0,9945 9

20 Aufgabe 5..5 (Blatt ) (b) Ziehen der Stichprobe mit Zurücklegen Binomialverteilung mit den Parametern θ 0,05 und n 0 (X) n θ 0 0,05 (c) Approimation der Hypergeometrischen Verteilung (Ziehen ohne Zurücklegen) durch Binomialverteilung, weil ntnahme aus der laufenden Produktion, also N unendlich n Approimationsregel : 0, 05 N Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung: ) f () n θ ( θ) 0 n für sonst 0,,..., n 0) 0,3585 ) 0,887 3) 0,984 3) ) 0,945 0,0755 0

21 Aufgabe 5..5 (Blatt 3) (d) Approimation der hypergeometrischen Verteilung durch die Binomialverteilung, weil N 000 ; n 00 ; n / N < 0, 05 oder Approimation der hypergeometrischen Verteilung durch die Poissonverteilung, da n 0 ; θ 0, 05 und n / N < 0, 05 mit θ 0,0 Ausschussanteil also µ n θ 00 0,0 Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poissonverteilung: ) f () µ 0 e! µ für sonst 0,,... > ) f (0) f () f () 0,353 0,707 0,707 0,333 oder W (X > ) ) 0,6767 0,333 W(3 < X 5) f (4) + f (5) 0, ,036 0,63

22 Aufgabe 5..6 (a) Die Zufallsvariable X: Anzahl der 35-jährigen, die das Rentenalter von 65 Jahren erreichen ist binomialverteilt mit den Parametern θ 0, 8 und n 5. Wahrscheinlichkeitsfunktion: n n θ ( θ) für 0,,..., n f () 0 sonst f() 0,0003 0,0064 0,05 0,048 0,4096 0,377 F() 0,0003 0,0067 0,0579 0,67 0,673,0000 5) 0,377 0) 4) f (5) 4) 0,0003 f (4) + f (5) 0,673 0,7373 (b) Darstellung der Wahrscheinlichkeitsfunktion: 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0, X

23 Aufgabe 5..7 (Blatt ) Die Zufallsvariable X: Anzahl der innerhalb einer Minute eintreffenden Gespräche ist poissonverteilt mit dem Parameter µ. µ mittlere Anzahl der eintreffenden Gespräche je Minute µ 50 60,5 (a) Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poissonverteilung: f () µ 0 e! µ für sonst 0,,... 0) 0,08 ) f (0) + f () + f () 0,5438 4) (f (0) + f () + f () + f (3)) 0,44 3

24 Aufgabe 5..7 (Blatt ) (b) Darstellung der Wahrscheinlichkeitsfunktion: f() 0,30 f() 0 0,08 0,05 0, ,38 4 0, , , , , , ,000 0,0000 0,5 0,0 0,5 0,0 0,05 0, X 4

25 Aufgabe 5..8 (Blatt ) Die Zufallsvariable X: Anzahl nicht angetretener Flüge bei 00 Buchungen ist eigentlich binomialverteilt mit n 00 und θ 0,0. Wegen n > 0 und θ < 0, 05 kann X auch durch die Poissonverteilung mit µ n θ approimiert werden. (a) Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poissonverteilung: f () µ 0 e! µ für sonst 0,,... 0) 0,353 ) 0,707 ) F() f (0) + f () + f () 0,6767 4) F(3) (f (0) + f () + f () + f (3)) 0,49 5

26 Aufgabe 5..8 (Blatt ) (b) Darstellung der Wahrscheinlichkeitsfunktion: f() 0 0,353 0,707 0, , , , ,00 7 0, , ,000 f() 0,30 0,5 0,0 0,5 0,0 0,05 0, X 6