A: Beispiele Beispiel 1: Zwei Zufallsvariablen X und Y besitzen die beiden folgenden Wahrscheinlichkeitsfunktionen:
|
|
- Axel Karl Fried
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 5 Diskrete Verteilungen 1 Kapitel 5: Diskrete Verteilungen A: Beispiele Beispiel 1: Zwei Zufallsvariablen X und Y besitzen die beiden folgenden Wahrscheinlichkeitsfunktionen: x x (i) P x (x) = x für x =... 0 sonst e 2y für y =... (ii) P y (y) = y! 0 sonst a) Wie heißen die Verteilungen der beiden Zufallsvariablen? Bestimmen Sie die Werte ihrer Parameter und geben Sie an, welche Werte X und Y mit positiver Wahrscheinlichkeit annehmen. Handelt es sich um stetige oder um diskrete Verteilungen? b) Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktionen graphisch dar. c) Geben Sie den Erwartungswert und die Varianz der Verteilungen an. d) Berechnen sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten: (i) P(X 1), (ii) P(X < 2), (iii) P(2 Y 3), (iv) P(Y > 2) Lösungen: a) (i) Binomialverteilung (diskret) n π x (1 π) n x b(x;n,π) = x für x = 0,1,...,n 0 sonst mit n = 5 ; π = 0.6 (ii) Poissonverteilung (diskret) e λ λ y für y = 0,1,2,... P(y) = y! 0 sonst mit λ = 2
2 5 Diskrete Verteilungen 2 b) (i) x P(x) P(x) x (ii) y P(y) P(y) y c) Binomialverteilung: EX = nπ = = 3, Var X = nπ(1 π) = = 1.2 Poissonverteilung: EX = λ = 2, Var X = λ = 2
3 5 Diskrete Verteilungen 3 d) (i) P(X 1) = 1 P(X = 0) = 1 = = (ii) P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) 5 = = = (iii) P(2 Y 3) = P(Y = 2) + P(Y = 3) = e e 2 2! 3! = = (iv) P(Y > 2) = 1 P(Y 2) = 1 e e 2 0! 1! = = e ! B: Übungsaufgaben [ 1 ] Sei X b(n,π) mit 0 < π < 1. Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) E X > Var X b) Var X = π (1 π) c) b(1,π) = Be(π) d) E (X/n) > 1 e) P(0 X n) = 1 [ 2 ] Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Die Poissonverteilung hat die Dichte λe λx für x 0. b) Man benutzt poissonverteilte Zufallsvariablen als Modell für die Wartezeiten zwischen dem Eintreten zweier Ereignisse. c) Die möglichen Werte einer poissonverteilten Zufallsvariablen sind 0, 1, 2,... d) Der Parameter λ einer Poissonverteilung ist immer kleiner als eins. e) Eine Zufallsvariable mit Poissonverteilung ist diskret.
4 5 Diskrete Verteilungen 4 [ 3 ] Ist X poissonverteilt mit Parameter λ. Welche Aussagen sind WAHR? a) P(0) = 0 b) P(0) = e λ c) P(0) = e λ X=1 d) P(0) = 1 P(X 1) e) E X = Var X λ x x! e λ [ 4 ] Die Anzahl der Unfälle in einem Monat in einer besonders gefährdeten Kurve einer Bundesstraße sei poissonverteilt mit dem Erwartungswert λ = 2.3. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in einem bestimmten Monat genau drei Unfälle ereignen? Wahrscheinlichkeit = b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in jedem Monat eines halben Jahres höchstens drei Unfälle ereignen? Wahrscheinlichkeit = [ 5 ] Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine poissonverteilte Zufallsvariable, mit Parameter λ = 2, einen Wert annimmt, der größer oder gleich eins ist. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist:
5 5 Diskrete Verteilungen 5 [ 6 ] Eine Urne enthält N = 5 Kugeln, von denen N e = 3 rot sind. Es werden a) 2 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. b) 2 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau eine rote Kugel zu ziehen? Fall a: P a (X = 1) = Fall b: P b (X = 1) = [ 7 ] Eine Statistik - Vorlesung des Hauptstudiums mit nur 5 anwesenden Hörern sei gerade beendet. Als die Studenten den Raum in zufälliger Reihenfolge verlassen, fällt dem Professor auf, dass die ersten zwei ausländische Gasthörer sind und er berechnet sich für dieses Ereignis eine Wahrscheinlichkeit von 3/5. Wieviele ausländische Gasthörer befanden sich unter den 5 anwesenden Hörern? Anzahl = [ 8 ] Von 6 Männern und 4 Frauen sollen 5 Personen an einer Tagung teilnehmen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden 3 Männer und 2 Frauen bei einem Losverfahren ausgewählt? Wahrscheinlichkeit =
6 5 Diskrete Verteilungen 6 [ 9 ] Ein Zufallsexperiment bestehe aus dem dreimaligen Werfen einer fairen Münze. Die Zufallsvariable X sei definiert als die Anzahl der dabei aufgetretenen Seite Kopf. Geben Sie die Formel der dazu gehörenden Wahrscheinlichkeitsfunktion P(x) an. P(x) = für Bestimmen Sie P(X 2). P(X 2) = Bestimmen Sie außerdem E X und Var X. E X = Var X = [ 10 ] Eine Bäckerei hat kurz vor Ladenschluß nur noch 5 Brote zum Verkauf übrig. 3 dieser Brote stammen vom vergangenen Wochenende und sind damit äußerst trocken. Zwei Kunden betreten gleichzeitig das Geschäft und verlangen jeweils ein Brot. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird höchstens einem dieser beiden Kunden ein altes verkauft, falls der Verkäufer die Brote zufällig auswählt? Wahrscheinlichkeit =
7 5 Diskrete Verteilungen 7 [ 11 ] Welchen Wert hat der Parameter n einer binomialverteilten Zufallsvariablen X, die den Erwartungswert EX = 5 und die Varianz Var X = 2.5 hat? n = [ 12 ] Aus einer Urne mit 50 Kugeln wird eine Stichprobe von 3 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich in dieser Stichprobe eine rote Kugel befindet, beträgt 3/8 und sei gleich der Wahrscheinlichkeit, zwei rote Kugeln in der Stichprobe vorzufinden. Wieviele rote Kugeln befinden sich in der Urne? Anzahl der roten Kugeln in der Urne : [ 13 ] Bei der Durchsicht eines Buches stellt man fest, dass von den insgesamt 800 Seiten 160 Seiten nicht fehlerfrei sind. 10 Seiten des Buches wurden zufällig ausgewählt. Die Zufallsvariable X sei definiert als die Anzahl fehlerfreier Seiten. Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X: E X = Var X = [ 14 ] In einer Urne befinden sich 2 rote, 2 schwarze und 4 blaue Kugeln. Es werden n Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen blauen Kugeln an. Es gilt: Berechnen Sie die Varianz von X. (Hinweis: Berechnen Sie zunächst n.) P(X = n) = 1 8 Var X =
8 5 Diskrete Verteilungen 8 [ 15 ] Eine poissonverteilte Zufallsvariable X nimmt die Werte 5 und 6 mit derselben Wahrscheinlichkeit an. Wie groß sind E X und Var X? E X = Var X = [ 16 ] Ein fairer Würfel wird viermal ausgespielt. Die Zufallsvariable X zähle, wie oft eine gerade Augenzahl geworfen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau dreimal eine gerade Augenzahl geworfen wird? [ 17 ] In einer Lostrommel befinden sich 1000 Lose: 900 Nieten und 100 Gewinnlose. Der erste Käufer ersteht drei Lose. Die Zufallsvariable X bezeichne die Anzahl der Gewinnlose, die der erste Käufer erhält. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariablen X an, ohne eventuelle Approximationsmöglichkeiten zu berücksichtigen. P(x) = für Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Käufer beim Kauf von drei Losen mindestens ein Gewinnlos zieht. Greifen Sie dabei gegebenenfalls auf Approximationsmöglichkeiten zurück. P(X 1) = [ 18 ] Die Zufallsvariable X sei binomialverteilt mit n = 10 und π = Bestimmen Sie den Modalwert der Variablen. Modalwert =
9 5 Diskrete Verteilungen 9 [ 19 ] In einer Brauerei werden fehlerhaft abgefüllte Flaschen computergesteuert aussortiert. Aus Erfahrung sei bekannt, dass im Durchschnitt drei Flaschen pro Minute auf diese Art und Weise ausgesondert werden. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Minute zwei oder mehr Flaschen aus der Produktion genommen werden müssen P(X 2) [ 20 ] Die Zufallsvariable X sei binomialverteilt mit n = 45 und π = 0.5. round(dbinom(0:23,45,0.5),digits=3) [1] [13] Bestimmen Sie P(X < 23) und P(X < 22) exakt (ohne Verwendung von eventuellen Approximationsmöglichkeiten). (Hinweis: Da π = 0.5 ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion symmetrisch und die gesuchten Wahrscheinlichkeiten sind relativ einfach zu bestimmen; ansonsten können Sie die obige R Ausgabe zur Hilfe nehmen.) P(X < 23) = P(X < 22) = [ 21 ] Die Zufallsvariable X sei hypergeometrisch verteilt mit n = 20, N e = 12 und N = 120. Bestimmen Sie EX. E X =
10 5 Diskrete Verteilungen 10 [ 22 ] Die Anzahl der Fahrraddiebstähle im Stadtgebiet von Göttingen pro Stunde sei ein Poissonprozeß mit dem Erwartungwert von λ = 3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer bestimmten Stunde mehr als 2 Fahrräder in Göttingen gestohlen werden? Wahrscheinlichkeit = Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in zwei bestimmten Stunden weniger als 2 Fahrräder in Göttingen gestohlen werden? Wahrscheinlichkeit = [ 23 ] Eine Telephonistin bei der Telephonauskunft möchte gerne 5 Minuten Pause machen. Aus Erfahrung weiß sie, dass die Anzahl der auf ihrer Leitung in einer Stunde eingehenden Anrufe einem Poissonprozess folgt mit einem Erwartungswert von 36. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit WS dafür, dass innerhalb der 5 Minuten mehr als ein Anruf eingeht? Wahrscheinlichkeit = C: Klausuraufgaben [ 24 ] IV07S Sei X eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern n = 180 und π = Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P(2 < X 4). Geben Sie entweder einen R-Befehl für die Berechnung der exakten Wahrscheinlichkeit an oder berechnen Sie diese Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Approximation durch die Poissonverteilung. P(2 < X 4) =
11 5 Diskrete Verteilungen 11 [ 25 ] II07S Sei X poissonverteilt mit dem Paramter λ = 4.5. Der R-Befehl round(dpois(0:13,4.5),digits =3) ergab den folgenden Ausdruck, wobei round(..., digits =3) die Rundung auf drei Stellen nach dem Dezimalpunkt bewirkt. [1] [10] a) Berechnen Sie mit Hilfe der obigen Ausgabe: P(X > 3) = b) Wie lautet der R-Befehl, der das Ergebnis aus a) berechnet? R-Befehl =
12 5 Diskrete Verteilungen 12 [ 26 ] IV07S Eine Lieferung von N = 80 Kisten, die mit Früchten gefüllt sind, enthalte N e = 40 Kisten mit verdorbenen Früchten. Da eine vollständige Prüfung der Lieferung zu aufwendig ist, haben Abnehmer und Lieferant vereinbart, dass eine Zufallsstichprobe von n = 10 Kisten der Lieferung entnommen und geprüft wird, um die Anzahl der Kisten mit verdorbenen Früchten zu bestimmen. Falls sich in dieser Stichprobe höchstens c schlechte Kisten befinden, wird die Lieferung vom Abnehmer angenommen, andernfalls wird die gesamte Lieferung abgelehnt. Sei X definiert als die Anzahl der Kisten mit verdorbenen Früchten in der Stichprobe. Laut Vorlesung ist X hypergeometrisch verteilt. Zur Beantwortung der Frage a) steht Ihnen folgende R Ausgabe zur Verfügung, wobei die Zahlen mit dem Befehl round(..., digits = 4) auf vier Stellen nach dem Dezimalpunkt gerundet wurden. > round(dhyper(0:5,40,40,10),digits = 4) [1] a) Wie viele Kisten mit verdorbenen Früchten dürfen sich höchstens in der Stichprobe befinden, damit der Abnehmer diese Lieferung nur mit höchstens 5%iger Wahrscheinlichkeit annehmen muss? Gesucht ist also das größte c mit P(X c) c = b) Geben Sie die Formel (nicht das Ergebnis) zur Berechnung von P(X = 2) an. Hinweis: Die Formel müsste mehrere Binomialkoeffizienten enthalten. Setzen Sie die numerischen Werte für die Parameter ein, rechnen Sie jedoch keinen Binomialkoeffizienten aus. P(X = 2) =
13 5 Diskrete Verteilungen 13 D: Lösungen 1) a, c, e 2) c, e 3) b, d, e 4) ; ) ) 0.48 ; 0.6 7) 4 8) ) P(x) = { (3 )1 x für x = 0,1,2,3 8 0 sonst ; 0.5 ; 1.5 ; ) ) 10 12) 25 13) 8 ; ) ) 6 ; 6 16) 1 4 ( 100 ) ( x 900 ) 3 x ( 17) P(x) = 1000 ) für x = 0,1,2,3 3 0 sonst ; ) 0 19) ) bzw. 0.5 ; bzw (0.499 und damit resultieren aus Rundungsungenauigkeiten und erhält man unter Verwendung der R Ausgabe) 21) 2 22) ; ) 0.8
14 5 Diskrete Verteilungen 14 24) pbinom(25,60,0.45) oder ) ; 1-ppois(3,4.5) ) ( 40 ) 8 26) 2 ; P(X = 2) = ( 40 2 ( 80 ) 10
0 für t < für 1 t < für 2 t < für 3 t < für 4 t < 5 1 für t 5
4 Verteilungen und ihre Kennzahlen 1 Kapitel 4: Verteilungen und ihre Kennzahlen A: Beispiele Beispiel 1: Eine diskrete Zufallsvariable X, die nur die Werte 1,, 3, 4, 5 mit positiver Wahrscheinlichkeit
MehrStetige Verteilungen. A: Beispiele Beispiel 1: a) In den folgenden Abbildungen sind die Dichtefunktionen von drei bekannten Verteilungen graphisch
6 Stetige Verteilungen 1 Kapitel 6: Stetige Verteilungen A: Beispiele Beispiel 1: a) In den folgenden Abbildungen sind die Dichtefunktionen von drei bekannten Verteilungen graphisch dargestellt. 0.2 6
Mehr5 Binomial- und Poissonverteilung
45 5 Binomial- und Poissonverteilung In diesem Kapitel untersuchen wir zwei wichtige diskrete Verteilungen d.h. Verteilungen von diskreten Zufallsvariablen): die Binomial- und die Poissonverteilung. 5.1
MehrAusgewählte spezielle Verteilungen
Ausgewählte spezielle Verteilungen In Anwendungen werden oft Zufallsvariablen betrachtet, deren Verteilung einem Standardmodell entspricht. Zu den wichtigsten dieser Modelle gehören: diskrete Verteilungen:
Mehr4.4 Punktschätzung. E(X 1 )+ +E(X n ) Var(ˆµ) = 1 n 2 ( Var(X1 )+ +Var(X n ) ) = 1 n 2nσ2 = σ2
4 4.4 Punktschätzung Wir betrachten eine endliche oder unendliche Grundgesamtheit, zum Beispiel alle Studierenden der Vorlesung Mathe II für Naturwissenschaften. Im endlichen Fall soll die Anzahl N ihrer
MehrMathematik 3 für Informatik
Gunter Ochs Wintersemester 20/6 Mathematik 3 für Informatik Lösungen zum Hausaufgabenblatt 4 Lösungshinweise (ohne Ganantie auf Fehlerfreiheit. Wenn man beim Roulette auf Rot oder Schwarz setzt, erhält
MehrWebinar Induktive Statistik. - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Stichprobentheorie
Webinar Induktive Statistik - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Stichprobentheorie Wahrscheinlichkeitstheorie Aufgabe : Zwei Lieferanten decken den Bedarf eines PKW-Herstellers von 00.000 Einheiten pro Monat.
MehrZufallsvariablen. Diskret. Stetig. Verteilung der Stichprobenkennzahlen. Binomial Hypergeometrisch Poisson. Normal Lognormal Exponential
Zufallsvariablen Diskret Binomial Hypergeometrisch Poisson Stetig Normal Lognormal Exponential Verteilung der Stichprobenkennzahlen Zufallsvariable Erinnerung: Merkmal, Merkmalsausprägung Deskriptive Statistik:
MehrModellanpassung und Parameterschätzung. A: Übungsaufgaben
7 Modellanpassung und Parameterschätzung 1 Kapitel 7: Modellanpassung und Parameterschätzung A: Übungsaufgaben [ 1 ] Bei n unabhängigen Wiederholungen eines Bernoulli-Experiments sei π die Wahrscheinlichkeit
MehrProgramm. Wiederholung. Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung. Binomialverteilung. Hypergeometrische Verteilung
Programm Wiederholung Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung Binomialverteilung Hypergeometrische Verteilung Wiederholung verschiedene Mittelwerte für verschiedene Skalenniveaus
MehrWillkommen zur Vorlesung Statistik (Master)
Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Thema dieser Vorlesung: Verteilung diskreter Zufallsvariablen Prof. Dr. Wolfgang Ludwig-Mayerhofer Universität Siegen Philosophische Fakultät, Seminar für Sozialwissenschaften
MehrStatistik I für Betriebswirte Vorlesung 4
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 4 Dr. Andreas Wünsche TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 30. April 2018 Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 4 Version: 24.
MehrTU DORTMUND Sommersemester 2018
Fakultät Statistik. April 08 Blatt Aufgabe.: Wir betrachten das Zufallsexperiment gleichzeitiges Werfen zweier nicht unterscheidbarer Würfel. Sei A das Ereignis, dass die Augensumme beider Würfel ungerade
MehrDr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK. Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren
Dr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren ÜBUNG 7.2 - LÖSUNGEN POISSONVERTEILUNG. Fahrzeuge, die eine Brücke passieren Zufallsexperiment: Zeitpunkt des
MehrWillkommen zur Vorlesung Statistik (Master)
Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Thema dieser Vorlesung: Verteilung diskreter Zufallsvariablen Prof. Dr. Wolfgang Ludwig-Mayerhofer Universität Siegen Philosophische Fakultät, Seminar für Sozialwissenschaften
MehrWirtschaftsmathematik
Einführung in einige Teilbereiche der Wintersemester 206 Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA Unabhängigkeit von Ereignissen A, B unabhängig: Eintreten von A liefert keine Information über P(B). Formal: P(A
MehrVorlesung 3a. Der Erwartungswert. von diskreten reellwertigen Zufallsvariablen
Vorlesung 3a Der Erwartungswert von diskreten reellwertigen Zufallsvariablen 0. Diskrete reellwertige Zufallsvariable X sei eine Zufallsvariable, deren Zielbereich R (die Menge der reellen Zahlen) oder
MehrAufgabe A1 Ein Glücksrad hat vier Sektoren, wovon die ersten beiden die Winkelgröße 60 haben. Für die Winkelgrößen und des dritten und vierten Sektors
Level Grundlagen Blatt Dokument mit Aufgaben Aufgabe A Ein Glücksrad hat vier Sektoren, wovon die ersten beiden die Winkelgröße 60 haben. Für die Winkelgrößen und des dritten und vierten Sektors gilt.
Mehr1,00 2,00 3,00 4,00 Bestimme den Gewinnerwartungswert. Entscheide, ob das Spiel fair ist.
Level Grundlagen Blatt Dokument mit 3 Aufgaben Aufgabe A Ein Glücksrad hat vier Sektoren, wovon die ersten beiden die Winkelgröße 60 haben. Für die Winkelgrößen und des dritten und vierten Sektors gilt.
MehrVorlesung 3. Der Erwartungswert. von diskreten reellwertigen Zufallsvariablen
Vorlesung 3 Der Erwartungswert von diskreten reellwertigen Zufallsvariablen 0. Diskrete reellwertige Zufallsvariable X sei eine Zufallsvariable, deren Zielbereich R (die Menge der reellen Zahlen) oder
MehrProf. Dr. Christoph Karg Hochschule Aalen. Klausur zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Wintersemester 2017/2018
Prof. Dr. Christoph Karg 31.1.2018 Hochschule Aalen Klausur zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Wintersemester 2017/2018 Unterschrift: Klausurergebnis Aufgabe 1 (10 Punkte) Aufgabe 3
MehrModelle diskreter Zufallsvariablen
Statistik 2 für SoziologInnen Modelle diskreter Zufallsvariablen Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Zufallsvariable Eine Variable (Merkmal) X, deren numerische Werte als Ergebnisse eines Zufallsvorgangs aufgefasst
MehrÜbungsrunde 6, Gruppe 2 LVA , Übungsrunde 5, Gruppe 2, Markus Nemetz, TU Wien, 11/2006
1 3.20 1.1 Angabe Übungsrunde 6, Gruppe 2 LVA 107.369, Übungsrunde 5, Gruppe 2, 21.11. Markus Nemetz, markus.nemetz@tuwien.ac.at, TU Wien, 11/2006 Ein Los aus elektronischen Bauteilen des Umfangs N = 400
MehrKAPITEL 5. Erwartungswert
KAPITEL 5 Erwartungswert Wir betrachten einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P) und eine Zufallsvariable X : Ω R auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum. Die Grundmenge Ω hat also nur endlich oder abzählbar
MehrStatistik. Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg
für Betriebswirtschaft, Internationales Management, Wirtschaftsinformatik und Informatik Sommersemester 2016 Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Zufallsvariablen Beschreibung von Ereignissen
MehrÜbung Zeigen Sie, dass dies als Grenzwert der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung mit
Übung 2 24..23 Ü b u n g 2 Aufgabe Die Poissonverteilung P(λ) hat die Wahrscheinlichkeitsfunktion p(x) = λx e λ (x ) x! Zeigen Sie, dass dies als Grenzwert der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung
MehrFit for Abi & Study Stochastik
Fit for Abi & Study Stochastik Prof. Dr. Tilla Schade Hochschule Harz 15. und 16. April 2014 No. 1 Stochastik besteht aus: Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik No. 2 Gliederung Grundlagen Zufallsgrößen
Mehrfalls rote Kugel im 1. Zug gezogen Die Ziehungen sind daher nicht unabhängig voneinander. Damit liegt kein Bernoulli-Prozess
6.4 Hypergeometrische Verteilung Gegeben ist eine Urne, die mit N Kugeln gefüllt ist. Es seien M dieser Kugeln rot und N-M Kugeln sind nicht rot. Wir entnehmen n Kugeln, d.h. Stichproben vom Umfang n.
MehrEinführung in Quantitative Methoden
Einführung in Quantitative Methoden Karin Waldherr & Pantelis Christodoulides 11. Mai 2011 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 1/40 Poisson-Verteilung Diese Verteilung
MehrDiskrete Strukturen I
Universität Kassel Fachbereich 10/1 PD Dr. Sebastian Petersen 14.09.2017 Klausur zur Vorlesung Diskrete Strukturen I Es können maximal 40 Punkte erreicht werden. Version mit Lösungsskizze Zur Notation:
MehrVorlesung 3a. Der Erwartungswert. von diskreten reellwertigen Zufallsvariablen
Vorlesung 3a Der Erwartungswert von diskreten reellwertigen Zufallsvariablen X sei eine diskrete reellwertige Zufallsvariable, d.h. eine ZV e mit Wertebereich R (oder einer Teilmenge davon), sodass eine
MehrVorlesung 3a. Der Erwartungswert. von diskreten reellwertigen Zufallsvariablen
Vorlesung 3a Der Erwartungswert von diskreten reellwertigen Zufallsvariablen X sei eine Zufallsvariable, deren Zielbereich R (die Menge der reellen Zahlen) (oder eine Teilmenge davon) ist. Es existiere
MehrWoche 2: Zufallsvariablen
Woche 2: Zufallsvariablen Patric Müller ETHZ WBL 19/21, 29.04.2019 Wahrscheinlichkeit und Statistik Patric Müller WBL 2019 Teil III Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeit
MehrAnliegen: Beschreibung von Versuchsergebnissen mit Zahlen, um mit Zahlen bzw. bekannten Funktionen rechnen zu können.
2 Zufallsvariable 2.1 Einführung Anliegen: Beschreibung von Versuchsergebnissen mit Zahlen, um mit Zahlen bzw. bekannten Funktionen rechnen zu können. Eine Zufallsvariable X ordnet jedem elementaren Versuchsausgang
MehrSS 2017 Torsten Schreiber
173 Diese Lücken sollten nicht auch bei Ihnen vorhanden sein: Wird die Anordnung von unterschiedlichen Objekten eines Experiments untersucht, so handelt es sich um eine. Möchte man die Anzahl der möglichen
MehrKlausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende
Universität Duisburg-Essen Essen, den 12.02.2010 Fakultät für Mathematik Prof. Dr. M. Winkler C. Stinner Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Lösung Die Klausur gilt als bestanden,
MehrBiostatistik, Sommer 2017
1/52 Biostatistik, Sommer 2017 Prof. Dr. Achim Klenke http://www.aklenke.de 7. Vorlesung: 02.06.2017 2/52 Inhalt 1 Wahrscheinlichkeit Bayes sche Formel 2 Diskrete Stetige 3/52 Wahrscheinlichkeit Bayes
MehrStochastik und Statistik für Ingenieure Vorlesung 4
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Stochastik und Statistik für Ingenieure Vorlesung 4 30. Oktober 2012 Quantile einer stetigen Zufallsgröße Die reelle Zahl
MehrWoche 2: Zufallsvariablen
Woche 2: Zufallsvariablen Patric Müller ETHZ WBL 17/19, 24.04.2017 Wahrscheinlichkeit und Statistik Patric Müller WBL 2017 Teil III Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeit
MehrStatistik Übungen Sommeruni 2018
Statistik Übungen Sommeruni 2018 Blatt 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung 1. Die nach dem französischen Mathematiker Pierre-Simon de Laplace benannten Laplace- Experimente beruhen auf der Annahme, dass bei
MehrÜbungsaufgaben, Statistik 1
Übungsaufgaben, Statistik 1 Kapitel 3: Wahrscheinlichkeiten [ 4 ] 3. Übungswoche Der Spiegel berichtet in Heft 29/2007 von folgender Umfrage vom 3. und 4. Juli 2007:,, Immer wieder werden der Dalai Lama
MehrPflichtteilaufgaben zu Stochastik (Pfadregeln, Erwartungswert, Binomialverteilung) Baden-Württemberg
Pflichtteilaufgaben zu Stochastik (Pfadregeln, Erwartungswert, Binomialverteilung) Baden-Württemberg Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com September 016
MehrBiostatistik, Winter 2011/12
Biostatistik, Winter 2011/12 Wahrscheinlichkeitstheorie:, Unabhängigkeit Prof. Dr. Achim Klenke http://www.aklenke.de 6. Vorlesung: 02.12.2011 1/30 Inhalt 1 Wahrscheinlichkeit 2 2/30 Wahrscheinlichkeit
MehrStatistik 1 Beispiele zum Üben
Statistik 1 Beispiele zum Üben 1. Ein Kühlschrank beinhaltet 10 Eier, 4 davon sind faul. Wir nehmen 3 Eier aus dem Kühlschrank heraus. (a Bezeichne die Zufallsvariable X die Anzahl der frischen herausgenommenen
Mehr7.7 Spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
7.7 Spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 7.7.1 Die Laplace-Verteilung Sei X eine gleich verteilte Zufallsvariable mit den Werten in der Menge Ω X = {x i R : i = 1,...,n}, d.h. f (x i = 1
MehrLevel 1 Grundlagen Blatt 1. Dokument mit 19 Aufgaben
Level 1 Grundlagen Blatt 1 Dokument mit 19 Aufgaben Aufgabe A1 Ein Glücksrad hat drei Sektoren mit den Farben Rot, Gelb und Grün. Das Rad bleibt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1 so stehen, dass der
MehrHypergeometrische Verteilung
Hypergeometrische Verteilung Typischer Anwendungsfall: Ziehen ohne Zurücklegen Durch den Ziehungsprozess wird die Wahrscheinlichkeit des auch hier zu Grunde liegenden Bernoulli-Experimentes verändert.
MehrSozialwissenschaftlerInnen II
Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II Henning Best best@wiso.uni-koeln.de Universität zu Köln Forschungsinstitut für Soziologie Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.1 Wahrscheinlichkeitsfunktionen
MehrEinführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management
Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management Sommersemester 2013 Hochschule Augsburg Unabhängigkeit von Ereignissen A, B unabhängig:
MehrBeispiel 37. Wir werfen eine Münze so lange, bis zum ersten Mal
Beispiel 37 Wir werfen eine Münze so lange, bis zum ersten Mal Kopf erscheint. Dies geschehe in jedem Wurf unabhängig mit Wahrscheinlichkeit p. Wir definieren dazu die Zufallsvariable X := Anzahl der Würfe.
MehrStatistik für Ingenieure Vorlesung 4
Statistik für Ingenieure Vorlesung 4 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 21. November 2017 3.3 Wichtige diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 3.3.1 Diskrete
MehrKlausur: Diskrete Strukturen I
Universität Kassel Fachbereich 10/1 13.03.2013 Klausur: Diskrete Strukturen I Name: Vorname: Matrikelnummer: Versuch: Unterschrift: Bitte fangen Sie für jede Aufgabe ein neues Blatt an. Beschreiben Sie
Mehr4. Schularbeit/7C/2-stündig Schularbeit. 7C am
4. Schularbeit 7C am 24.5.2017 Name: Note: Beispiel-Nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AP Teil 1: Teil 2: Punkte Teil 1 (inkl. AP) Punkte Teil 2 Gesamtpunkte Notenschlüssel: 0 7 P von Teil 1 (inkl. Anrechnungspunkte
Mehr3. Lösungen weitere Übungsaufgaben Statistik für Ingenieure WiSe 16/17
3. Lösungen weitere Übungsaufgaben Statistik für Ingenieure WiSe 6/7. Aufgabe: 0 Bauteile gleicher Bauart werden vor der Weiterverarbeitung einer Materialprüfung unterzogen. 7 bestanden diese Prüfung,
MehrDiskrete Zufallsvariable*
Diskrete Zufallsvariable* Aufgabennummer: 1_37 Aufgabentyp: Aufgabenformat: Multiple Choice (1 aus 6) Grundkompetenz: WS 3.1 Typ 1 T Typ Die unten stehende Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung
MehrZufallsvariable X. 30 e. 40 e = 33,33...% 6
Zufallsvariable Wir führen ein Zufallsexperiment mit Ergebnisraum Ω durch. Eine Zufallsvariable X ordnet jedem möglichen Ergebnis einen Zahlenwert zu. Eine Zufallsvariable ist also eine Funktion X : Ω
MehrPrüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3
Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3 Stochastik Marco Boßle Jörg Hörner Mathematik Online Frühjahr 2011 PV-Kurs HM 3 Stochastik 1-1 Zusammenfassung Wahrscheinlichkeitsraum (WR): Menge der Elementarereignisse
Mehr1. Ziehg.: N M. falls nicht-rote K. in 1. Ziehg. gezogen
6.4 Hyergeometrische Verteilung Gegeben ist eine Urne, die mit N Kugeln gefüllt ist. Es seien M dieser Kugeln rot und N-M Kugeln nicht rot. Wir entnehmen n Kugeln, d.h. eine Stichrobe des Umfangs n. Dabei
Mehr1 Grundlagen Wahrscheinlichkeitsrechung
1 Grundlagen Wahrscheinlichkeitsrechung 1.1 Grundbegriffe Alle möglichen Ereignisse eines Zufallsexperiments fassen wir in einer Ereignismenge Ω zusammen. Ereignisse sind Teilmengen von Ω. Umfasst das
MehrStatistik Übungen WS 2016
Statistik Übungen WS 2016 Blatt 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung 1. Die nach dem französischen Mathematiker Pierre-Simon de Laplace benannten Laplace- Experimente beruhen auf der Annahme, dass bei einem
Mehr(8 + 2 Punkte) = = 0.75
Aufgabe 1 (8 + 2 Punkte) Von 20 Teilnehmern einer Bergwanderung geben 8 Personen an Knieschmerzen zu haben. 6 Teilnehmer leiden an Sonnenbrand. 8 Teilnehmer blieben unversehrt. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
Mehr1.3 Zufallsgrößen und Verteilungsfunktionen
.3 Zufallsgrößen und Verteilungsfunktionen.3. Einführung Vielfach sind die Ergebnisse von Zufallsversuchen Zahlenwerte. Häufig möchte man aber auch in den Fällen, wo dies nicht so ist, Zahlenwerte zur
MehrWahrscheinlichkeitsrechnung
Wahrscheinlichkeitsrechnung Was du wissen musst: Die Begriffe Zufallsexperiment, Ereignisse, Gegenereignis, Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeit sind dir geläufig. Du kannst mehrstufige Zufallsversuche
MehrAufgabe 1. Übung Wahrscheinlichkeitsrechnung Markus Kessler Seite 1 von 8. Die Ereignisse A, B und C erfüllen die Bedingungen
Ü b u n g 1 Aufgabe 1 Die Ereignisse A, B und C erfüllen die Bedingungen P(A) = 0. 7, P(B) = 0. 6, P(C) = 0. 5 P(A B) = 0. 4, P(A C) = 0. 3, P(B C) = 0. 2, P(A B C) = 0. 1 Bestimmen Sie P(A B), P(A C),
MehrAufgabe Punkte
Institut für Mathematik Freie Universität Berlin Carsten Hartmann, Stefanie Winkelmann Musterlösung für die Nachklausur zur Vorlesung Stochastik I im WiSe 20/202 Name: Matr.-Nr.: Studiengang: Mathematik
MehrAufgabe 4 Ein fairer Würfel wird 36-mal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augenzahl 6 in der erwarteten Anzahl eintritt.
Dokument mit 26 Aufgaben Aufgabe 1 Ein Jäger trifft sein Ziel mit einer Wahrscheinlichkeit 40 %. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt er bei zehn Schüssen a) genau sechs Treffer b) mehr als sechs Treffer?
MehrPrüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3
Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3 Stochastik Marco Boßle Jörg Hörner Marcel Thoms Mathematik Online Herbst 211 PV-Kurs HM 3 Stochastik 1-1 Zusammenfassung Wahrscheinlichkeitsraum (WR): Menge
MehrWahrscheinlichkeitsrechnung Übung Aufgabe 2.b und 3
Wahrscheinlichkeitsrechnung Übung Aufgabe 2.b und 3 B I N O M I A L V E R T E I L U N G, B I N O M I A L T A B E L L E, U N A B H Ä N G I G E E R E I G N I S S E Zentrale Methodenlehre, Europa Universität
MehrEine Zufallsvariable wird als diskret bezeichnet, wenn sie nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte annimmt.
Statistik I Sommersemester 009 Aufgabenlösung Übung 4: Diskrete Zufallsvariablen Aufgabe 5.. (Blatt ) ine Zufallsvariable bildet den reignisraum eines Zufallsvorgangs ab. Dieser bestimmt den Definitionsbereich
MehrAufgabe 1 Wir werfen einen fairen Würfel einmal und ordnen den Augenzahlen Zufallsgrössen X und Y wie folgt zu:
Mathematik II für Naturwissenschaften Dr. Christine Zehrt 21.03.19 Übung 4 (für Pharma/Geo/Bio/Stat) Uni Basel Besprechung der Lösungen: 26./27. März 2019 in den Übungsstunden Die Geo-Übungsstunde von
MehrZufallsvariablen [random variable]
Zufallsvariablen [random variable] Eine Zufallsvariable (Zufallsgröße) X beschreibt (kodiert) die Versuchsausgänge ω Ω mit Hilfe von Zahlen, d.h. X ist eine Funktion X : Ω R ω X(ω) Zufallsvariablen werden
MehrBeurteilende Statistik
Beurteilende Statistik Wahrscheinlichkeitsrechnung und Beurteilende Statistik was ist der Unterschied zwischen den beiden Bereichen? In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden aus gegebenen Wahrscheinlichkeiten
MehrLösungsskizzen zur Präsenzübung 09
Lösungsskizzen zur Präsenzübung 09 Hilfestellung zur Vorlesung Anwendungen der Mathematik im Wintersemester 2015/2016 Fakultät für Mathematik Universität Bielefeld Veröffentlicht am 07. Februar 2016 von:
MehrStatistik I für Betriebswirte Vorlesung 2
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 2 Dr. Andreas Wünsche TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 16. April 2018 Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 2 Version: 9. April
MehrLösungen zu Übungsblatt 9 Höhere Mathematik2/Stochastik 2 Master KI/PI
Lösungen zu Übungsblatt 9 Höhere Mathematik/Stochastik Anpassung von Verteilungen Zu Aufgabe ) a) Zeichnen des Histogranmmes: Um das Histogramm zu zeichnen, benötigen wir die Höhe der Balken. Die Höhe
MehrStatistik im Versicherungs- und Finanzwesen
Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler Grimmer Statistik im Versicherungs- und Finanzwesen Eine anwendungsorientierte Einführung 2014 1. Auflage Übungsaufgaben zu Kapitel
MehrKapitel IV - Spezielle Verteilungen: Diskrete Verteilungen
Universität Karlsruhe (TH) Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel IV - Spezielle Verteilungen: Diskrete Verteilungen Markus Höchstötter Lehrstuhl
MehrVorlesung 4b. Die Varianz
Vorlesung 4b Die Varianz 1 X sei reellwertige Zufallsvariable mit endlichem Erwartungswert µ Die Varianz von X ist definiert als Var[X] := E[(X µ) 2 ], die erwartete quadratische Abweichung der Zufallsvariablen
MehrStatistik Übungen WS 2017/18
Statistik Übungen WS 2017/18 Blatt 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung 1. Die nach dem französischen Mathematiker Pierre-Simon de Laplace benannten Laplace- Experimente beruhen auf der Annahme, dass bei einem
MehrStatistik für Ingenieure Vorlesung 2
Statistik für Ingenieure Vorlesung 2 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 24. Oktober 2016 2.4 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Häufig ist es nützlich, Bedingungen
MehrAbitur 2015 Mathematik Stochastik IV
Seite 1 http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 201 Mathematik Stochastik IV In einer Urne befinden sich vier rote und sechs blaue Kugeln. Aus dieser wird achtmal eine Kugel zufällig gezogen, die Farbe
MehrKlausur zu Methoden der Statistik II (mit Kurzlösung) Sommersemester Aufgabe 1
Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie der Otto-Friedrich-Universität Bamberg Prof. Dr. Susanne Rässler Klausur zu Methoden der Statistik II (mit Kurzlösung) Sommersemester 2013 Aufgabe 1 In einer Urne
Mehr[ 2 ] Die Zufallsvariablen X und Y haben die in der Tabelle gegebene gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion
Paare von Zufallsvariablen Kapitel : Paare von Zufallsvariablen A: Übungsaufgaben: [ ] Die Zufallsvariable X kann die Werte, 2 und die Zufallsvariable Y die Werte 0,, 2 annehmen. Die gemeinsame Verteilungsfunktion
MehrInhaltsverzeichnis: Lösungen zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 1 von 19 Prof. Dr. Karin Melzer, Fakultät Grundlagen
Inhaltsverzeichnis: Aufgabenlösungen zu Kapitel 4 3 Lösung zu Aufgabe 3 Lösung zu Aufgabe 9 3 Lösung zu Aufgabe 30 3 Lösung zu Aufgabe 3 3 Lösung zu Aufgabe 3 3 Lösung zu Aufgabe 33 3 Lösung zu Aufgabe
MehrTeil A hilfsmittelfreier Teil
Klassenarbeit GYM Klasse 0 Seite Datum: Thema: Name: Zeit: Erreichte Punkte: Note: Hilfsmittel: keine Teil A hilfsmittelfreier Teil Aufgabe : (4 Punkte) Entscheide, ob das Zufallsexperiment eine Bernoulli-Kette
MehrÜbung zur Vorlesung Statistik I WS Übungsblatt 12
Übung zur Vorlesung Statistik I WS 2013-2014 Übungsblatt 12 20. Januar 2014 Die folgenden ufgaben sind aus ehemaligen Klausuren! ufgabe 38.1 (1 Punkt: In einer Studie werden 10 Patienten therapiert. Die
MehrStatistik Übungen SS 2018
Statistik Übungen SS 2018 Blatt 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung 1. Die nach dem französischen Mathematiker Pierre-Simon de Laplace benannten Laplace- Experimente beruhen auf der Annahme, dass bei einem
Mehr7.5 Erwartungswert, Varianz
7.5 Erwartungswert, Varianz Beispiel 7.5.1: Es werden drei ideale Münzen geworfen, und der Gewinn sei X := Anzahl von W. In Beispiel 7.4.1 hatten wir dazu eine Wahrscheinlichkeitverteilung ermittelt: X
Mehr2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung
2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung Die einfachste Verteilung ist die Gleichverteilung, bei der P(X = x i ) = 1/N gilt, wenn N die Anzahl möglicher Realisierungen von
MehrStatistik Übungen SS 2017
Statistik Übungen SS 2017 Blatt 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung 1. Die nach dem französischen Mathematiker Pierre-Simon de Laplace benannten Laplace- Experimente beruhen auf der Annahme, dass bei einem
MehrPsychologische Methodenlehre und Statistik I
Psychologische Methodenlehre und Statistik I Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr SS 2013 Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 1/61 Zufallsexperiment
MehrSei X eine auf dem Intervall [2, 6] (stetig) gleichverteilte Zufallsvariable.
Aufgabe 1 (5 + 2 + 1 Punkte) Sei X eine auf dem Intervall [2, 6] (stetig) gleichverteilte Zufallsvariable. a) Wie lautet die Verteilungsfunktion von X? Zeichnen Sie diese! 0 x < 2 1 F (x) = x 0.5 2 x 6
MehrJe größer n und je näher p bei 0,5 liegt, desto besser wird i. A. die Näherung. Als Faustregel gilt, dass die Näherung geeignet ist, wenn.
1. Sigma-Regeln / Sigma-Umgebungen Die Sigma-Regeln geben an: - mit welcher Wahrscheinlichkeit die Werte einer binomialverteilten Zufallsgröße in bestimmten Intervallen um den Erwartungswert liegen. (also
MehrWahrscheinlichkeitsverteilungen
Universität Bielefeld 3. Mai 2005 Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsrechnung Das Ziehen einer Stichprobe ist die Realisierung eines Zufallsexperimentes. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung betrachtet
Mehr