Übungen zur Stochastik, Blatt Nr. 1

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1 Prof. Dr. A. Stoffel SS 202 Übungen zur Stochastik, Blatt Nr. ) Zwei Würfel werden gleichzeitig oder nacheinander geworfen. a) Schreiben Sie alle Elemente des Grundraums in Form einer Matrix auf. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mit zwei Würfeln eine Augensumme von 2 erzielt wird? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Augensumme von erzielt wird? d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zweimal die Drei gewürfelt wurde, wenn die Augensumme 6 beträgt? 2) Als Grundraum für das Würfeln mit zwei nicht unterscheidbaren Würfeln könnte man auch die Menge aller der Größe nach geordneten Zahlenpaare Ω A := {(i, k) A i k 6} benutzen (d.h. die Augenpaare werden stets der Größe nach sortiert aufgeschrieben). Warum ist ein Laplace-Modell hierfür nicht sinnvoll? Warum sollte das Ereignis {(5, 6) A } und {(6, 6) A } unterschiedliche Wahrscheinlichkeit haben? 3) Es wird dreimal eine Münze geworfen. a) Geben Sie alle Elemente des Grundraums Ω an! b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zweimal Wappen und einmal Zahl (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge) geworfen wird? 4) Auf einer Geburtstagsparty werden 4 Lottozahlen aus insgesamt 2 gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Lottozahlen {, 3, 5, 7} sind? 5) Machen Sie sich mit Wahrheitstafeln nach Art der folgenden Beispiele klar, A B A und B w w w w f f f w f f f f A B A oder B w w w w f w f w w f f f dass tatsächlich für alle zugelassenen Ereignisse A, B Ω gilt, dass ω A B ω A c B c c 6) Für die Lebensdauer eines elektronischen Bauteils wählt man Ω = R + = ]0, [. Aufgrund von zahlreichen Untersuchungen geht man davon aus, dass P (]t 0, [) = c e t 0 τ eine sinnvolle Wahrscheinlichkeit dafür darstellt, dass die Lebensdauer T>t 0 erfüllt. Dabei hängt die Zeitkonstante τ von der Art des Bauteils ab. a) Welchen Wert muß die Konstante c haben, damit hierdurch ein Wahrscheinlichkeitsmaß definiert ist?

2 b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Lebensdauer T die Ungleichung t <T t 2 erfüllt (T also im Intervall ]t,t 2 ] liegt)? (Lösungshinweis: Benutzen Sie Axiom (c) für ]t,t 2 ] ]t 2, [.) c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P (]0,t ]) dafür, dass die Lebensdauer 0 <T t erfüllt! d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P (]0,t [) dafür, dass für die Lebensdauer 0 < T<t gilt. (Beachten Sie den Unterschied zu Teilaufgabe c)!) Benutzen Sie dabei das Ergebnis von Teilaufgabe b), das Ihnen die Wahrscheinlichkeit für Intervalle liefert, deren rechter Randpunkt dazugehört und verwenden Sie ]0,t [=]0, 2 t ] ] 2 t, 2 3 t ] ] 2 3 t, 3 4 t ] = k= k k t k, k+ t sowie die Grundregel (c). e) Welche Folgerung ergibt sich aus der Grundregel (c) sowie den Ergebnissen von Teilaufgabe c) und d) und der Darstellung ]0,t ]=]0,t [ {t } für die Wahrscheinlichkeit P ({t }), also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Lebensdauer T = t erfüllt? 7) Bei einer Spielshow soll ein Kandidat eines von drei aufgebauten Toren auswählen. Hinter einem verbirgt sich der Gewinn, ein Auto, hinter den anderen beiden jeweils eine Ziege, also Nieten. Der Spielablauf ist immer gleich: Der Kandidat wählt zufällig ein Tor aus. Daraufhin öffnet der Moderator, der die Position des Gewinns kennt, eines der beiden anderen Tore, hinter dem sich eine Ziege befindet. Der Moderator bietet dem Kandidaten an, seine Entscheidung zu überdenken und das andere Tor zu wählen. Wie soll der Kandidat sich entscheiden, um seine Gewinnchance zu maximieren? Soll er wechseln oder bei seiner ersten Entscheidung bleiben? Hinweis: Die Beschreibung des Spiels ist entnommen, dort finden Sie auch mathematische Hinweise zu diesem Spiel. Die Abbildung entstammt einer früheren Webseite der Universität Osnabrück zum,,ziegenproblem, die leider nicht mehr verfügbar ist.

3 Prof. Dr. A. Stoffel SS 202 Übungen zur Stochastik, Blatt Nr. 2 8) Zwei Würfel werden gleichzeitig oder nacheinander geworfen. Die Zufallsvariable X(ω) ist die Augensumme. a) Welche Werte k kann diese Zufallsvariable annehmen? Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten p k = P {X = k} und stellen Sie diese in einem Balkendiagramm grafisch dar! Lösungshinweis: Benutzen Sie das Ergebnis von Aufgabe )a) und markieren Sie die Elemente mit derselben Augensumme. b) Berechnen Sie die Werte der Verteilungsfunktion zugehörigen Verteilungsfunktion F X (t), die notwendig sind, um diese für t 5 grafisch darzustellen, und stellen Sie dieses grafisch dar! c) Berechnen Sie mit einem Taschenrechner oder Computer den Erwartunswert und die Standardabweichung für diese Zufallsvariable. 9) Bei einem unzuverlässigen Übertragungskanal ist p =0, die Wahrscheinlichkeit, dass ein Übertragungsfehler auftritt bei der Übertragung eines Bits. Beschreiben Sie den Grundraum für die Übertragung eines Bits durch Ω 0 = {0, }, wobei A = {} das Ereignis darstellt, dass ein Fehler auftritt. Das Auftreten von Übertragungsfehlern bei der Übertragerung mehrer Bits soll voneinander unabhängig sein, also durch die Produktwahrscheinlichkeit beschrieben werden. a) Geben Sie den Grundraum Ω für die Übertragung von 4 Bits an! Wie viele Elemente hat er? b) Die Zufallsvariable X(ω) seidiesummederübertragungsfehler bei der Übertragung von 4 Bits. Welche Werte k kann diese Zufallsvariable annehmen? Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten p k = P {X = k} für k =0,, 2, 3, 4 und stellen Sie diese in einem Balkendiagramm grafisch dar (mit Benutzung eines Taschenrechners)! c) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung für diese Zufallsvariable. 0) Zur Produktion eines elektronischen Bauteils werden zwei Maschinen M und M 2 benutzt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig der Produktion entnommenes Bauteil von Maschine M stammt, sei p = 0, 6, dass es vom Maschine M 2 stammt, sei p 2 =0, 4. Wenn ein Bauteil von Maschine M produziert wurde, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass es defekt ist, q =0, 0, wenn es von M 2 stammt, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass es defekt ist, r = 0, 02. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebig der Produktion entnommenes Bauteil defekt ist? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei einem defekten Bauteil, dass es von der Maschine M produziert wurde? )a) Geben Sie ein Wahrscheinlichkeitsmaß P auf N 0 = N {0} an, das p k = P {k} =0 erfüllt für unendlich viele k N 0. (Beachten Sie die Bedingung P (N 0 ) = und die Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten, N bezeichne die Menge der natürlichen Zahlen.) b) Betrachten Sie die triviale Zufallsvariable X(n) =n für alle n N 0. Überlegen Sie, ob der Erwartungswert E(X) für Ihre Lösung von Teilaufgabe a) existiert. Können

4 Sie ihn berechnen? Können Sie eine Lösung von a) angeben, für das er leicht zu berechnen ist? Können Sie ein Wahrscheinlichkeitsmaß P auf N 0 angeben, für das der Erwarungswert E(X) nichtexistiert? 2) Für das Nadelexperiment von Buffon (siehe Skript, Abschnitt 4..) ist der Grundraum Ω =[0, [ ] π 2, +π 2 ] und das Ereignis Die Nadel trifft keine Parallele entspricht der Teilmenge A = {(a, ϕ) Ω a> 2 cos(ϕ) und( a) > 2 cos(ϕ)} Als Wahrscheinlichkeitsmaß war in der Vorlesung P (B) = F (B) π angegeben worden, wobei F (B) die Fläche der Teilmenge von Ω ist, die dem Ereignis B entspricht. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis Die Nadel trifft keine Parallele, indem Sie in der untenstehende Abbildung die Fläche A markieren und ihren Flächeninhalt durch eine Integration bestimmen. Die Beachtung von Symmetrien kann hierbei Arbeit ersparen.

5 Prof. Dr. A. Stoffel SS 202 Übungen zur Stochastik, Blatt Nr. 3 3) Zwei Würfel werden gleichzeitig oder nacheinander geworfen. Die Zufallsvariable X sei die Augenzahl des ersten, X 2 die des zweiten Würfels. Die Zufallsvariable X s := X + X 2 sei die Summe, X d := X X 2 die Differenz der Augenzahlen. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p, dass zweimal die Zwei gewürfelt wurde, wenn man weiß, dass die Augensumme X s =4erfüllt? b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten p 2 = P {X s =5} und p 3 = P {X d =3}. c) Sind die beiden Ereignisse {X s =5} und {X d =3} stochastisch unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort! 4) Auf einer Geburtstagsparty werden 5 Lottozahlen aus insgesamt gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Lottozahlen {3, 7, 8, 9, } sind? Die Wahrscheinlichkeit ist möglichst explizit als Bruch ganzer Zahlen auszurechnen. (Hinweis: Es kommt nur darauf an fünf Richtige zu haben, die Reihenfolge, in der die Zahlen gezogen wurden, hat keinen Einfluß auf die Gewinnentscheidung.) 5) Es werden digitale Signale über eine unzuverlässige Übertragungststrecke übertragen. Die Wahrscheinlichkeit q dafür, dass bei der Übertragung eines einzelnen Bits ein Übertragungsfehler auftritt, sei bekannt. Das Auftreten eines Fehlers beim Übertragen der nachfolgenden Bits wird als gleich wahrscheinlich und stochastisch unabhängig angenommen. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p k beim Übertragen von mehreren Bits, dass der erste Übertragungsfehler beim Übertragen des k. Bits auftritt (also vor der Übertragung des k. Bits kein Fehler auftritt, k N beliebig)? Die Wahrscheinlichkeit p k soll durch die Wahrscheinlichkeit q für das Auftreten eines Fehlers beim Übertragen eines einzelnen Bits ausgedrückt werden. Lösungshinweis: Berechnen Sie zunächst p, p 2, p 3, p 4. b) Es werden 5 Bits übertragen und die Wahrscheinlichkeit q dafür, dass bei der Übertragung eines einzelnen Bits ein Übertragungsfehler auftritt, sei q = 5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p dafür, dass insgesamt genau drei Übertragungsfehler auftreten? Diese Wahrscheinlichkeit p ist als Bruch ganzer Zahlen auszurechnen, dieser Bruch ist dabei so weit wie möglich zu kürzen! c) Die Zufallsvariable X sei die gesamte Anzahl der Übertragungsfehler beim Übertragen von 024 Bit. Berechnen Sie den Erwartungswert E(X), wenn die Wahrscheinlichkeit q dafür, dass bei der Übertragung eines einzelnen Bits ein Übertragungsfehler auftritt, q = 5 ist. Das Ergebnis ist als Bruch ganzer Zahlen oder als Dezimalbruch mit 2 Nachkommastellen anzugeben.

6 6) Die Zufallsvariable X hat die Verteilungsfunktion 0 falls t<2 2 5 falls 2 t<3 F X (t) = 2 falls 3 t<4 9 0 falls 4 t<5 falls 5 t a) Geben Sie alle Werte x k an, die diese Zufallsvariable annimmt. b) Geben Sie alle Wahrscheinlichkeiten p k = P {X = x k } an. c) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) (als Bruch ganzer Zahlen, der so weit wie möglich gekürzt ist, oder als Dezimalbruch mit mindestens drei Nachkommastellen). 7) Die Zufallsvariable X besitzt die Verteilungsfunktion. a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten F X (t) = tanh(t) p = P {X< }, p 2 = P {X>}, p 3 = P { <X<} möglichst explizit an (dabei dürfen nicht ausgerechnete Funktionswerte von tanh auftreten). b) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte f X (t) für diese Zufallsvariable an. 8) Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X ist 2 F X (t) = e t τ falls t<0 2 e t τ falls t 0 Dabei ist τ > 0 eine Konstante. a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten an. p = P {X< τ}, p 2 = P {X>τ}, p 3 = P { τ <X<τ} b) Geben Sie eine Wahrscheinlichkeitsdichte f X (t) für die Zufallsvariable X an. Lösungshinweis: Hierfür kann die Fallunterscheidung t < 0undt 0 nützlich sein, d.h. Sie können f X (t) in der Form... falls t<0 f X (t) =... falls t 0 angeben.

7 Prof. Dr. A. Stoffel SS 202 Übungen zur Stochastik, Blatt Nr. 4 9)a) Rechnen Sie für die Binomialverteilung mit den Parametern n =5undp = 2 die Wahrscheinlichkeiten p k = P {X = k} für k =0,, 2, 3, 4, 5 aus und stellen Sie sie grafisch als Balkendiagramm dar. Stellen Sie auch die zugehörige Verteilungsfunktion F X (t) grafisch dar für t [, 6]. b) Führen Sie mit Hilfe eines Taschenrechners oder Computers dasselbe durch für die Parameter n = 0 und p = 4. 20) Berechnen Sie für die Wahrscheinlichkeiten p k = P {X = k} für die Binomialverteilung mit beliebigen Parametern n N und 0 <p< die Summe n k=0 wobei p k = P {X = k}. Welches Ergebnis erwarten Sie? Lösungshinweis: Schreiben Sie den binomischen Lehrsatz auf und vergleichen Sie mit n p k. k=0 2) Zeigen Sie durch eine explizite Rechnung, dass bei der Binomialverteilung p k Var(X) =n p ( p) und vervollständigen Sie damit den Beweis von Satz 4.4. im Skript. Lösungshinweis: Berechnen Sie zunächst E(X 2 ). Gehen Sie dabei völlig analog zur Berechnung von E(X) im Skript vor (beim Beweis von E(X) = n p). Vereinfachen Sie (siehe Satz 4.3.6) Var(X) =E(X 2 ) E(X) 2 = E(X 2 ) n 2 p 2 und vergleichen Sie mit n p ( p). 22) Berechnen Sie für die Poisson-Verteilung mit beliebigem Parameter µ>0 mit den Wahrscheinlichkeiten p k = P {X = k} den Grenzwert der Reihe Welches Ergebnis erwarten Sie? k=0 23)a) Wie müssen Sie den Parameter µ wählen, um mit einer Poissonverteilung die Binomialverteilung von Aufgabe 9)a) zu approximieren? Berechnen Sie mit einem Taschenrechner oder Computer die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten p k der zugehörigen Poisson-Verteilung für k =0,, 2, 3,...5 und vergleichen Sie diese mit den entsprechenden Werten der Binomialverteilung. b) Führen Sie dasselbe durch, um die Werte von Aufgabe 9)b) zu approximieren. Berechnen Sie die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten p k für die Poissonverteilung für k =0,, 2,...0. Stellen Sie fest, ob die Poisson-Verteilung in diesem Fall eine bessere Näherung für die Binomialverteilung ist als im Fall a). p k

8 24)a) Berechnen Sie durch eine Substitution im Integral für die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung Φ(t) = 2π t e 2 x2 dx den Grenzwert lim Φ(t). Welches Ergebnis erwarten Sie? Dabei dürfen Sie selbstverständlich das Ergebnis e x2 dx = π t + benutzen. b) Berechnen Sie durch eine ähnliche Rechnung für die Verteilungsfunktion F X (t) der Normalverteilung (also (X N (µ, σ 2 )) mit der Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) = σ 2π (x µ) 2 e 2σ 2 den Grenzwert lim t F X (t). Welches Ergebnis erwarten Sie hier?

9 Prof. Dr. A. Stoffel SS 202 Übungen zur Stochastik, Blatt Nr. 5 25) Die Verteilung der Zufallsvariable besitzt die Dichtefunktion f(x) = wobei λ > 0 eine Konstante ist. 0 falls x<0 λ e λx falls x 0 a) Berechnen Sie die zugehörige Verteilungsfunktion F X (t). Bei welchem Anwendungsbeispiel ist Ihnen diese Verteilungsfunktion oder das zugehörige Wahrscheinlichkeitsmaß schon begegnet? Wodurch ist der Parameter λ in diesem Anwendungsbeispiel festgelegt? b) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) sowie die Varianz Var(X) für diese Verteilung. Lösungshinweis: Benutzen Sie Var(X) =E(X 2 ) E(X) 2 (siehe Satz 4.3.6). c) Vergleichen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit P {X > s + t} {X > t} mit der Wahrscheinlichkeit P {X>s} für s>0undt>0. Hat das Ergebnis Ihres Vergleichs eine Interpretation in der Praxis (in dem Anwendungsbeispiel, das schon behandelt wurde)? Hinweis: Diese Verteilung heißt Exponentialverteilung mit Parameter λ. 26) Bei vielen Anwendungen legen Experimente nahe, dass eine Zufallsvariable X eine Verteilung mit einer Wahrscheinlichkeitsdichte der Form mit c>0undb>0 besitzt. f(x) =c e x µ b a) Wie groß ist der Parameter c, wenn man b aus den Daten bestimmt bzw. kennt? b) Berechnen Sie die zugehörige Verteilungsfunktion F X (t). Lösungshinweis: Unterscheiden Sie die Fälle t µ und t < µ. c) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) sowie die Varianz Var(X) für diese Verteilung. Sie können Rechenarbeit sparen, indem Sie Zwischenergebnisse von Aufgabe 25) benutzen. Hinweis: Diese Verteilung heißt Laplaceverteilung. 27) Eine Zufallsvariable besitzt die Wahrscheinlichleitsdichte mit dem Parameter λ > 0. f(x) = λ2 x e λx falls x 0 0 falls x<0 a) Berechnen Sie die zugehörige Verteilungsfunktion F X (t). b) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) sowie die Varianz Var(X) für diese Verteilung. Sie können Rechenarbeit sparen, indem Sie Zwischenergebnisse von Aufgabe 25) benutzen. Hinweis: Diese Verteilung ist ein Spezialfall der Gammaverteilung.

10 28) Für die diskrete Zufallsvariable sind die Wahrscheinlichkeiten durch p k = {X = k} = 6 π 2 k 2, k N gegeben. a) Ist hierdurch tatsächlich eine Zufallsvariable definiert? Welchen Bedingungen müssen die Wahrscheinlichkeiten p k genügen, damit durch die Vorgabe von Zahlenwerten für p k eine Zufallsvariable definiert wird? Sind diese Bedingungen hier erfüllt? Lösungshinweis: Man kennt den Grenzwert k= k 2 = π2 6. b) Existiert der Erwartungswert E(X) für die so definierte Zufallsvariable? Wenn ja, berechnen Sie ihn!

11 Prof. Dr. A. Stoffel SS 202 Übungen zur Stochastik, Blatt Nr. 6 29) Zwei Würfel werden geworfen. X sei die Augenzahl des ersten, X 2 die Augenzahl des zweiten Würfels. Wir betrachten die Summe und die Differenz der Augenzahlen: a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten X s := X + X 2, X d := X X 2 P {X s = } {X d =} und P {X s = } sowie P {X d =} Welche Antwort erhält man daraus auf die Frage, ob X s und X d stochastisch unabhängig sind? b) Berechnen Sie die Kovarianz Cov(X s,x d )=Cov(X + X 2,X X 2 ) Folgt aus Cov(X, Y ) = 0, dass X und Y stochastisch unabhängig sind? Lösungshinweis: Benutzen Sie die Gleichung (65) nach der Definition der Kovarianz sowie die in Satz zusammengefassten Rechenregeln für Erwartungswerte. Beachten Sie auch Satz c) Berechnen Sie die gemeinsame Verteilung von X s und X d sowie die beiden Randverteilungen, indem Sie die entsprechenden Zahlen in die folgende Tabelle eintragen. Benutzen Sie dazu eine Darstellung des Grundraums Ω = {, 2, 3...6} 2,wiesiebeim Ergebnis von Aufgabe 8) angegeben wurde d) Berechnen Sie die Erwartungswerte E(X s )unde(x d ) sowie die Varianzen Var(X s ) und Var(X d ). Können Sie die Erwartungswerte aus anschaulichen Überlegungen vorhersagen? Überprüfen Sie die Vorhersage durch eine Rechnung! 30) Wir betrachten zwei auf demselben Grundraum definierte diskrete Zufallsvariable X mit den Funktionswerten x,x 2,...x m und Y mit den Funktionswerten y,y 2,...y n. Durch die Wahrscheinlichkeiten q ik := P X = x i } {Y = y i } wird eine (m n)- Matrix Q, die gemeinsame Verteilung von X und Y, definiert (deren Matrixelemente die Zahlen q ik sind). Berechnen Sie die beiden Randverteilungen p X i := P {X = x i } und p Y k := P {Y = y k }

12 wenn die Matrizen Q gegeben sind durch a) Q = b) Q = 0, 40 0, 24 0, 6 0, 0 0, 06 0, 04 c) Ermitteln Sie aus diesen Matrizen (in den beiden Fällen a) und b)), ob die Zufallsvariablen X und Y stochastisch unabhängig sind. d) Betrachten Sie die Zufallsvariablen X und Y, die durch die gemeinsame Verteilung der Matrix Q von Teilaufgabe a) festgelegt sind. Nehmen Sie an, dass die Funktionswerte x k = y k = k für k =, 2, 3 erfüllen. Man wählt beispielsweise als gemeinsamen Grundraum Ω = {, 2, 3}, und die Zufallsvariablen (als Funktionen Ω R) erfüllen X(k) = Y (k) = k. Berechnen Sie hierfür die Erwartungswerte E(X) und E(Y ), die Varianzen Var(X) und Var(Y ) sowie die Kovarianz Cov(X, Y ). e) Berechnen Sie den Rang der beiden Matrizen und vergleichen Sie das Ergebnis mit den Ergebnissen von Teilaufgabe c). f) Was können Sie im allgemeinen Fall über den Rang dieser Matrix Q der gemeinsamen Verteilung zweier Zufallsvariabler sagen, wenn die beiden Zufallsvariablen X und Y stochastisch unabhängig sind? Lösungshinweis: Drücken Sie die Bedingung, dass X und Y stochastisch unabhängig sind, formelmäßig durch die eingeführten Schreibabkürzungen q ik sowie p X i und p Y k aus. Betrachten Sie dann die Komponenten des k. Spaltenvekors von Q q k,q 2k,q 3k,...q mk Was können Sie im Fall der stochastischen Unabhängigkeit zur Frage sagen, ob die Spaltenvektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind? zu Aufgabe 26) (von distribution) links die Wahrscheinlichkeitsdichte f(x), rechts die Verteilungsfunktion F X (t) der Laplaceverteilung für verschiedene Werte der Parameter µ und b

13 Prof. Dr. A. Stoffel SS 202 Übungen zur Stochastik, Blatt Nr. 7 3) Zwei Würfel werden gleichzeitig geworfen, ω sei die Augenzahl des ersten, ω 2 die des zweiten Würfels, X d = ω ω 2 sei der Betrag der Differenz der beiden Augenzahlen. a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeit p an, dass der Betrag der Differenz der beiden Augenzahlen gleich 4 ist, d.h. geben Sie p = P {X d =4} an. Ein im Ergebnis auftretender Bruch ist so weit wie möglich zu kürzen. b) Geben Sie die Wahrscheinlichkeit p 2 dafür an, dass mindestens ein Würfel eine zeigt, wenn man weiß, dass der Betrag der Differenz der beiden Augenzahlen gleich 4 ist, also X d = 4 erfüllt ist. Ein im Ergebnis auftretender Bruch ist so weit wie möglich zu kürzen. 32) Es werden digitale Signale über eine unzuverlässige Übertragungststrecke übertragen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei der Übertragung eines einzelnen Bits ein Übertragungsfehler auftritt, sei q = 5. Das Auftreten eines Fehlers beim Übertragen der nachfolgenden Bits wird als gleich wahrscheinlich und stochastisch unabhängig angenommen. a) Es werden 4 Bits übertragen. Die Zufallsvariable X sei die gesamte Anzahl der Übertragungsfehler. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p a dafür, dass insgesamt genau 2 Übertragungsfehler auftreten? Diese Wahrscheinlichkeit p a ist als Bruch ganzer Zahlen auszurechnen, dieser Bruch ist dabei so weit wie möglich zu kürzen! b) Es werden 4 Bits übertragen. Die Zufallsvariable X sei die gesamte Anzahl der Übertragungsfehler. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p b dafür, dass insgesamt maximal 2 Übertragungsfehler auftreten? Diese Wahrscheinlichkeit p b ist als Bruch ganzer Zahlen auszurechnen, dieser Bruch ist dabei so weit wie möglich zu kürzen! c) Die Zufallsvariable X sei die gesamte Anzahl der Übertragungsfehler beim Übertragen von 4096 Bit. Berechnen Sie den Erwartungswert E(X), wenn die Wahrscheinlichkeit q dafür, dass bei der Übertragung eines einzelnen Bits ein Übertragungsfehler auftritt, q = 5 ist. Das Ergebnis ist als Bruch ganzer Zahlen oder als Dezimalbruch mit 2 Nachkommastellen anzugeben. 33) Die Zufallsvariable X hat die Verteilungsfunktion 0 falls t< 5 falls t<2 2 5 falls 2 t<3 F X (t) = 3 5 falls 3 t<4 4 5 falls 4 t<5 falls 5 t a) Geben Sie alle Werte x k an, die diese Zufallsvariable annimmt. b) Geben Sie alle Wahrscheinlichkeiten p k = P {X = x k } an.

14 c) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) und die Varianz Var(X) (als Bruch ganzer Zahlen, der so weit wie möglich gekürzt ist, oder als Dezimalbruch mit mindestens 3 Nachkommastellen). 34) Die Zufallsvariable X besitzt die Verteilungsfunktion 0 falls t<0 F X (t) = 5 t falls 0 t 5 falls 5 <t a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit p = P { X 4}. Ein im Ergebnis auftretender Bruch ist so weit wie möglich zu kürzen. b) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte f X (t) für diese Zufallsvariable an. c) Berechnen Sie Erwartungswert µ = E(X) undσ 2 = Var(X) für diese Verteilung. 35) Die Zufallsvariable X besitzt die Verteilungsfunktion. a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten F X (t) = tanh(t) p = P {X< }, p 2 = P {X>}, p 3 = P { <X<} möglichst explizit an (dabei dürfen nicht ausgerechnete Funktionswerte von tanh auftreten). b) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte f X (t) für diese Zufallsvariable an. c) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X). 36) Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X ist F X (t) = 2 e t τ falls t<0 2 e t τ falls t 0 Dabei ist τ > 0 eine Konstante. a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten p = P {X< τ}, p 2 = P {X>τ}, p 3 = P { τ <X<τ} an. b) Geben Sie eine Wahrscheinlichkeitsdichte f X (t) für die Zufallsvariable X an. Lösungshinweis: Hierfür kann die Fallunterscheidung t < 0undt 0 nützlich sein, d.h. Sie können f X (t) in der Form... falls t<0 f X (t) =... falls t 0 angeben. c) Was ist der Erwartungswert µ = E(X) und die Varianz σ 2 = Var(X) für diese Verteilung?

15 Prof. Dr. A. Stoffel SS 202 Übungen zur Stochastik, Blatt Nr. 8 37) Die gemeinsame Dichtefunktion der (auf demselben Grundraum definierten) Zufallsvariablen X und Y ist f(x, y) = falls x [0, ] und y [0, ] 0 sonst a) Berechnen Sie die Covarianz Cov(X, Y ). b) Berechnen Sie die gemeinsame Verteilungsfunktion F (x, y) sowie die Verteilungsfunktionen der einzelnen Zufallsvariablen F X (t) sowief Y (t). Berechnen Sie auch die zugehörigen Dichtefunktionen. c) Sind die beiden Zufallsvariablen stochastisch unabhängig? Warum? 38) Die gemeinsame Dichtefunktion der (auf demselben Grundraum definierten) Zufallsvariablen X und Y ist f(x, y) = 4xy falls x [0, ] und y [0, ] 0 sonst a) Berechnen Sie die Covarianz Cov(X, Y ). b) Berechnen Sie die gemeinsame Verteilungsfunktion F (x, y) sowie die Verteilungsfunktionen der einzelnen Zufallsvariablen F X (t) sowief Y (t). Berechnen Sie auch die zugehörigen Dichtefunktionen. c) Sind die beiden Zufallsvariablen stochastisch unabhängig? Warum? 39) Die gemeinsame Dichtefunktion der (auf demselben Grundraum definierten) Zufallsvariablen X und Y ist mit ρ [0, [. f(x, y) = 2π x 2 2ρxy+y 2 ρ 2 e 2 ρ 2 a) Berechnen Sie die Dichtefunktionen f X (t) undf Y (t) der einzelnen Zufallsvariablen. b) Für welche Werte des Parameters ρ sind die Zufallsvariablen stochastisch unabhängig? 40) Die Zufallsvariablen X und Y seien stochastisch unabhängig und auf [ 2, 2 ] gleichverteilt, d.h. ihre Wahrscheinlichkeitsdichte erfüllt f X (t) =f Y (t) = falls t [ 2, 2 ] 0 sonst Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte f Z (t) der Zufallsvariablen Z = X + Y.

16 4) Die Zufallsvariable X sei standardnormalterteilt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsvariablen Y = X 2. 42) Die Zufallsvariable X sei standardnormaltverteilt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsvariablen Y = X. 43) Die Zufallsvariablen X und Y seien stochastisch unabhängig und auf [0, ] gleichverteilt, d.h. ihre Wahrscheinlichkeitsdichte erfüllt f X (t) =f Y (t) = falls t [0, ] 0 sonst Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von XY. 44) Die gemeinsame Dichtefunktion der (auf demselben Grundraum definierten) Zufallsvariablen X und Y ist f(x, y) = π falls x 2 + y 2 0 sonst a) Berechnen Sie die Verteilungsdichten der einzelnen Zufallsvariablen f X (t) sowie f Y (t) (also die Randverteilungen oder die Randdichten). b) Sind die Zufallsvariablen X und Y stochastisch unabhängig? Lösungshinweis: Es kann hilfreich sein, die Wahrscheinlichkeiten P {X [ 9 9 0, ]} {Y [ 0, ]} und zu vergleichen. P {X [ 9 0, ]} sowie P {X [ 9 0, ]}