Klausur zur Vorlesung Stochastik II

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1 Institut für Stochastik WS 007/008 Universität Karlsruhe r. B. Klar Klausur zur Vorlesung Stochastik II Muster-Lösung auer: 90 Minuten Name: Vorname: Matrikelnummer: iese Klausur hat bestanden, wer mindestens 8 Punkte erreicht. Hilfsmittel sind nicht zugelassen! Aufgabe (7) (9) (9) 4 (8) 5 (9) 6 (8) (50) Punkte Korrektor Gesamtpunktzahl Note

2 Aufgabe (7 Punkte) a) Auf dem Messraum (N, P(N)) seien die Mengenfunktionen µ n für n N definiert durch µ n (A) A {,..., n}, A P(N). n Zeigen Sie, dass µ n ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist. b) µ und ν seien Wahrscheinlichkeitsmaße auf einem Messraum (Ω, A). Es gelte µ ν und ν µ. Zeigen Sie: Für die Radon-Nikodym-ichte von µ bzgl. ν gilt > 0 µ-f.s.; weiter gilt / µ-f.s.. Lösung zu Aufgabe a) Offenbar gilt µ n ( ) 0 und µ : P(N) [0, ]. Wegen ( ) ( µ n A i ) A i {,..., n} n i i (A i {,..., n}) n i A i {,..., n} n i µ n (A i ) i ist µ n σ-additiv, also ein Wahrscheinlichkeitsmaß. b) Wegen µ ν gilt µ(a) A 0 für alle A A. ann gilt ({ }) { 0} µ 0, d.h. > 0 µ-f.s.. Weiter gilt wegen µ ν für jede µ-integrierbare Abbildung h: ν(a) ν µ A / A ν-f.s. (µ-f.s.) µ-f.s. h h A A

3 Aufgabe (9 Punkte) Es sei (Ω, A, P ) ( ) [0, ], B [0,], λ [0,] und, 0 ω < /4; X(ω) 4ω, /4 ω < /4; ω, /4 ω. a) Begründen Sie, warum X eine Zufallsvariable ist. b) Bestimmen Sie P (X [0, ]) und P ( X [ 4, )). c) Bestimmen Sie Erwartungswert und Verteilungsfunktion von Y X. Hinweis: Skizzieren Sie Y. Lösung zu Aufgabe a) Für alle a R ist {X a} eine endliche Vereinigung von Intervallen, und somit in B [0,]. Somit ist X messbar, also eine Zufallsvariable. b) P (X [0, ]) P ({ω Ω : 0 X(ω) }) P P ([ 0, 4 ( [ )) ([ ) [ )) X 4, P 4,, 4 ) [ 4, ] 4. [ ]) 4, 4, c) EY Ω, 0 ω < /4; Y (ω) ω, /4 ω < /4; ω, /4 ω. Y dp {Y y} /4 0 dω + /4 /4 ω dω + /4, y < [, ] y 4, y < 4 [, ] [ y 4 +, y], y < 4 4 [ [ 0, 4) +, [ y 4 ] +, ], y < 4 [0, ], y 0, y < F Y (t) y 4, y < 4 y, 4 y < y + 4, y <, y ω dω.

4 Aufgabe (9 Punkte) Es seienx, X, X,... reelle Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ). Zeigen Sie: a) X n L EX n EX (n ). b) X n L X n L. c) (EX ) / (E(X n X) ) / + (EX n) /, (EX n) / (E(X n X) ) / + (EX ) /. d) X n L EX n EX (n ). e) X n L V (X n ) V (X) (n ). Lösung zu Aufgabe a) Es gilt EX n EX E(X n X) E X n X 0 für n nach Voraussetzung. b) Nach Voraussetzung und Cauchy-Schwarz-Ungleichung gilt E X n X X n X dp X n X dp ( ) / ( (X n X) dp ) / dp ( E(X n X) ) / n 0. Alternative Lösung: a die Funktion g(x) x konkav ist, gilt nach Jensensche Ungleichung [ ] E X n X E (Xn X) E [(X n X) ] n 0. c) ie Minkowski- (reiecks-)ungleichung liefert ie. Ungleichung gilt analog. (EX ) / X (X X n ) + X n X n X + X n (E(X n X) ) / + (EX n) /. d) X n L c) (EX ) / lim inf n (EX n) /, lim n EX n EX. lim sup(exn) / (EX ) / n e) X n L X n L b) X n L d) EX n EX (n ). a) EX n EX (n ), Zusammen gilt V (X n ) EX n (EX n ) n EX (EX) V (X).

5 Aufgabe 4 (8 Punkte) a) X und Z seien unabhängige Zufallsvariablen, wobei X N (0, ) und P (Z ) P (Z ). (i) Zeigen Sie: Y Z X ist standardnormalverteilt. (ii) Bestimmen Sie die Kovarianz zwischen X und Y. (iii) Begründen Sie, warum X und Y nicht unabhängig sind. b) Es seien X n N (µ n, ), Y n N (ν n, ) mit C(X n, Y n ) 0, n,,.... Weiter gelte µ n 0, ν n 0 für n. Beweisen oder widerlegen Sie: (i) X n konvergiert in Verteilung gegen eine Normalverteilung. (ii) (X n, Y n ) konvergiert in Verteilung gegen eine bivariate Normalverteilung. Lösung zu Aufgabe 4 a) (i) P (Y y) P (Z X y) (ii) Wegen EZ 0 gilt P (Z X y, Z ) + P (Z X y, Z ) P (X y, Z ) + P (X y, Z ) P (X y) + P (X y) X,Z unabh. (iii) Nein, da X Y ist. Z.B. ist Φ(y) + ( Φ( y)) Φ(y), (y R). C(X, Y ) C(X, Z X) E(XZX) EX E(ZX) E(X ) EZ (EX) EZ 0. P ( X >, Y < ) 0 P ( X > ) P ( Y < ). b) (i) Sei F n die Verteilungsfunktion von X n. Wegen X n N (µ n, ) gilt X n N (0, ). Alternative Lösung: F n (t) Φ(t µ n ) Φ(t) (n ), da µ n 0. ϕ Xn (t) e itµn e t / e t / : ϕ(t) für n. a ϕ(t) die charakteristische Funktion der Standardnormalverteilung ist, folgt N (0, ). X n (ii) Setzt man X n : X, Y n : Y mit X, Y aus a), so sind die Voraussetzungen in b) erfüllt (mit µ n ν n 0 für alle n), und (X n, Y n ) (X, Y ), aber (X, Y ) ist nicht bivariat normalverteilt (da unabhängig, aber unkorreliert). ie zweite Behauptung in b) ist also falsch. 4

6 Aufgabe 5 (9 Punkte) Es seien X k, k N, unabhängige Zufallsvariablen mit P (X k k) P (X k k). Sei ( n ) σ n : V (X k ). a) Zeigen Sie: Hinweis: σ n X k N (0, ) k n(n + )(n + )/6. und ( ) n X k N (0, ) (n ). b) Geben Sie die charakteristischen Funktionen von X k und von S n n X k an. c) Zeigen Sie mit Hilfe von a) und b): ( ) k cos e. n / Lösung zu Aufgabe 5 a) Es gelten EX k 0, V (X k ) k für k N und somit σn k n(n + )(n + ) 6 ( ) / für n N. Sei ε > 0 und n > ε n. ann folgt k n ε εσn für k n und hieraus E X k { Xk >εσ n} E X k {k>εσn} 0. amit ist insbesondere lim n σ n E X k EX k { Xk EX k >εσ n } 0. ie Lindeberg-Bedingung ist somit erfüllt und die erste Behauptung folgt aus dem zentralen Grenzwertsatz. Wegen σ n/n (n ) folgt auch die. Behauptung. b) ϕ Xk (t) E ( ) e itx ( k e itk + e itk) cos(tk), k N. n a X,..., X n unabhängig sind, gilt ϕ Sn (t) ϕ Xk (t) n cos(tk). c) Nach a) gilt S n / n N (0, ). ie charakteristische Funktion ϕ n von S n /n / ist ( ) ( ) ϕ n (t) ϕ Sn n t b) n kt cos ; / n / die charakteristische Funktion von N (0, ) ist ϕ(t) e t /. Aus dem Stetigkeitssatz für charakteristische Funktionen folgt ϕ n (t) n ϕ(t) für alle t R und somit für t die Behauptung. 5

7 Aufgabe 6 (8 Punkte) Ein Stab der Länge werde rein zufällig (Gleichverteilung!) in zwei Stücke zerbrochen. X sei die Länge des größeren Stücks. as größere Stück wird nochmals rein zufällig in zwei Stücke zerbrochen. Y sei die Länge des größeren Stücks beim zweiten Zerbrechen. a) Geben Sie die Verteilung und ichte von X an. Hinweis: X max(u, U), wobei U U(0, ). b) Geben Sie die bedingte Verteilung von Y unter der Bedingung X x und die zugehörige bedingte ichte an. c) Bestimmen Sie E[Y X x]. d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gilt Y >? Lösung zu Aufgabe 6 a) Es gilt P (X x) P (U x, U x) P ( x U x) x x (/, ), f X (x) (,)(x). X ist also gleichverteilt auf (/, x). b) Unter der Bedingung X x ist Y max(v, X V ), wobei P V ( X x) U(0, x) a) P Y ( X x) U( x, x) mit ichte f(y x) x ( x,x) (y). c) E[Y X x] y f(y x) dy x x/ y ( ) x x dy x 8 x 4 x. d) P ( Y > ) ( P Y > ) X x P X (dx) {y> } P Y (dy X x) P X (dx) ( {y> } ) x { x <y<x} dy { <x<} dx ( 4 x ) ( dy dx 4 ) dx / x / / x 4x log x / 4 + log log ( log ) ( 0, 64 ). 6