Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen

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Matthias Fromm
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1 Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen 6. Juli 2010

2 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 3 Lindeberg-Bedingung Interpretation

3 Definition Motivation (Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen) Sind P n, n N und P Wahrscheinlichkeitsmaße über (R k, B k ), so wäre es naheliegend, eine P n P durch die Eigenschaft lim n P n(b) = P(B) B B k. zu definieren.

4 Definition Beispiel (Dirac-Verteilung) Gelte für n N P n (B) = 1 B (1/n), B B 1. 1 Dann gilt P n δ 0 auf dem Punkt 0. 2 Es gilt aber NICHT P n (B) δ 0 (B) B B 1

5 Definition Beispiel (Dirac-Verteilung) Gelte für n N P n (B) = 1 B (1/n), B B 1. 1 Dann gilt P n δ 0 auf dem Punkt 0. 2 Es gilt aber NICHT P n (B) δ 0 (B) B B 1 3 beispielsweise erhält man für B = ( ; 0]: P n (( ; 0]) = 0 n N, aber δ 0 (( ; 0]) = 1

6 Definition Beispiel (Dirac-Verteilung) Gelte für n N P n (B) = 1 B (1/n), B B 1. 1 Dann gilt P n δ 0 auf dem Punkt 0. 2 Es gilt aber NICHT P n (B) δ 0 (B) B B 1 3 beispielsweise erhält man für B = ( ; 0]: P n (( ; 0]) = 0 n N, aber δ 0 (( ; 0]) = 1

7 Definition Definition der schwachen Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen Definition (Schwache Konvergenz (2.Definition)) Es seien P, P n, n N, Wahrscheinlichkeitsmaße über (R k, B k ) mit Verteilungsfunktionen F, F n, n N. F heißt Limesverteilung der Folge F n, n N, wenn gilt lim F n(x) = F (x) x C(F ). n

8 Definition Definition der schwachen Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen Definition (Schwache Konvergenz (1.Definition)) Eine Folge P n, n N von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf (R k, B k ) konvergiert schwach gegen ein Wahrscheinlichkeitsmaß P auf (R k, B k w ), kurz P n P, wenn lim n f dp n = f dp f C(R k ).

9 Definition Definition () Es seien X, X n, n N, k-dimensionale Zufallsvektoren mit den Verteilungsfunktionen F X, F Xn. Die X n heißen d verteilungskonvergent gegen X (kurz: X n X ), wenn gilt P Xn P X.

10 Beispiel Beispiel (Poissonscher Grenzwertsatz) Es gelte X n Bin(n, p n ) mit p n = a/n + o(1/n), a > 0, d.h., lim np n = a und n X 0 Poi(a). Dann sind die X n verteilungskonvergent gegen X 0, d.h.,. Bin(n, p n ) Poi(a)

11 Konvergenzarten Es seien X, X 1, X 2,... : Ω R beliebige Zufallsvariablen. Dann gilt: X n fs X P(ω Ω : lim n X n(ω) = X (ω)) = 1 X n P X lim n P( X n X > ɛ) = 0

12 Konvergenzarten Es seien X, X 1, X 2,... : Ω R beliebige Zufallsvariablen. Dann gilt: X n fs X P(ω Ω : lim n X n(ω) = X (ω)) = 1 X n P X lim n P( X n X > ɛ) = 0 X n L r X lim E X n X r = 0 r 1 n

13 Konvergenzarten Es seien X, X 1, X 2,... : Ω R beliebige Zufallsvariablen. Dann gilt: X n fs X P(ω Ω : lim n X n(ω) = X (ω)) = 1 X n P X lim n P( X n X > ɛ) = 0 X n L r X lim E X n X r = 0 r 1 n X n d X lim n F Xn (x) = F X (x) x C(F X )

14 Konvergenzarten Es seien X, X 1, X 2,... : Ω R beliebige Zufallsvariablen. Dann gilt: X n fs X P(ω Ω : lim n X n(ω) = X (ω)) = 1 X n P X lim n P( X n X > ɛ) = 0 X n L r X lim E X n X r = 0 r 1 n X n d X lim n F Xn (x) = F X (x) x C(F X )

15 Zusammenhang der Konvergenzarten L s fs s>r 1 Lr P d

16 Satz (Zusammenhang der Konvergenzarten) Aus X n P X folgt Xn d X. Ist X const f.s., so gilt auch die Umkehrung.

17 Beispiel Beispiel (Gegenbeispiel) Es seien (X n ) n 1 iid Zufallsvariablen mit X n Bin(1, 1/2), n N. d Dann gilt X n X1, aber P( X n X 1 > ɛ) = P(X n X 1 ) = 1/2 ɛ (0, 1] und n 2 nicht die stochastische Konvergenz.

18 Beweis der Hinrichtung Beweis der Hinrichtung. Aus X n P X folgt f (Xn ) P f (X ) f C(R). Dann gilt mit der. Supremumsnorm auf C(R): E(f (X n ) E(f (X )) E f (X n ) f (X ) ɛ + 2 f P( f (X n ) f (X ) > ɛ) ɛ > 0

19 Definition der Straffheit von Maßen Definition (Straffheit von Maßen) Eine Familie (P i ) i I von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf (R k, B k ) heißt straff oder auch masseerhaltend, wenn für jedes ɛ > 0 ein Kompaktum K R k existiert mit sup P i (K c ) < ɛ i I

20 Definition der gleichgradigen Integrierbarkeit Definition (Gleichgradige Integrierbarkeit) Eine Familie (X i ) i I ist genau dann gleichgradig integrierbar, wenn die durch Q i (B) = x P X i (dx), B B definierte Maßfamilie straff ist. B

21 Satz (von Slutsky) Aus X n d X und Yn P c folgt f (X n, Y n ) d f (X, c) messbaren Funktionen f : R 2 R f : R (c η, c + η) C(f ) für ein η > 0.

22 Insbesondere gilt: d X n + Y n X + c d X n Y n XY d X n /Y n X /c : c 0, Yn 0 f.s. n 1

23 Theorem () Für Wahrscheinlichkeitsmaße P, P 1, P 2,... auf (R k, B k ) gilt äquivalent: 1 P n w P 2 lim P n(r k ) = P(R k ) und lim inf P n(a) P(A) n n A R k offen

24 Theorem () Für Wahrscheinlichkeitsmaße P, P 1, P 2,... auf (R k, B k ) gilt äquivalent: 1 P n w P 2 lim P n(r k ) = P(R k ) und lim inf P n(a) P(A) n n A R k offen 3 lim P n(r k ) = P(R k ) und lim sup P n (F ) P(F ) n n F R k geschlossen

25 Theorem () Für Wahrscheinlichkeitsmaße P, P 1, P 2,... auf (R k, B k ) gilt äquivalent: 1 P n w P 2 lim P n(r k ) = P(R k ) und lim inf P n(a) P(A) n n A R k offen 3 lim P n(r k ) = P(R k ) und lim sup P n (F ) P(F ) n n F R k geschlossen 4 lim n P n(c) = P(C) P-stetige Mengen C B k

26 Theorem () Für Wahrscheinlichkeitsmaße P, P 1, P 2,... auf (R k, B k ) gilt äquivalent: 1 P n w P 2 lim P n(r k ) = P(R k ) und lim inf P n(a) P(A) n n A R k offen 3 lim P n(r k ) = P(R k ) und lim sup P n (F ) P(F ) n n F R k geschlossen 4 lim n P n(c) = P(C) P-stetige Mengen C B k

27 Beweisidee zum

28 Weitere Sätze zur Konvergenz in Verteilung Satz Es seien zwei Folgen X n, Y n : Ω R k und eine Metrik p gegeben. Dann gilt: X n d X und p(xn, Y n ) P 0 Y n d X.

29 Motivation Lindeberg-Bedingung Interpretation Einer der fundamentalsten Aussagen der Wahrscheinlichkeitstheorie Kernaussage: Die Summe von iid verteilten Zufallsvariablen konvergiert mit wachsendem Umfang gegen die Standardnormalverteilung und ist unabhängig von der konkreten Verteilung der Zufallsvariablen. Frage: Lässt sich die Bedingung der identischen Verteilung der Zufallsvariablen auch abschwächen?

30 Definition Lindeberg-Bedingung Interpretation Definition (Lindeberg-Bedingung) X n, n N, seien unabhängige Zufallsvariablen mit den induzierten Wahrscheinlichkeitsmaßen P n = P Xn. Die Folge (X n ) n N erfüllt die Lindeberg-Bedingung, wenn für jedes δ > 0 gilt lim n 1 τ 2 n n (x µ j ) 2 dp j (x) = 0 x µ j δτ n j=1

31 Lindeberg-Bedingung Interpretation Interpretation der Lindeberg-Bedingung I Sei Dann gilt P(A i ) = { Xi µ i A i := σ n df Xi (x) } > ɛ X i µ i >σ nɛ 1 ɛ 2 σn 2 X i µ i >σ nɛ (x µ i ) 2 df Xi (x)

32 Lindeberg-Bedingung Interpretation Interpretation der Lindeberg-Bedingung II ( P sup X i µ i σ n ( n ) = P A i i=1 n P(A i ) i=1 1 ɛ 2 σ 2 n n ) > ɛ i=1 X i µ i >σ nɛ (x µ i ) 2 df Xi (x) n 0

33 Lindeberg-Bedingung Interpretation Satz () (X n ) n N sei eine Folge unabhängiger Zufallsvarablen mit σ 2 n <, die der Lindeberg-Bedingung genügt. Dann konvergiert die Folge der Verteilungen der standardisierten Summen S n = 1 τ n n (X j µ j ) j=1 in Verteilung gegen die N(0,1)-Verteilung: P Sn d N(0, 1)

34 Lindeberg-Bedingung Interpretation Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

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