Korrektur, Änderungen sowie Ergänzungen zu den Vorlesungsskripten: Statistik-I SS-2015

Transkript

1 Korrektur, Änderungen sowie Ergänzungen zu den Vorlesungsskripten: Statistik-I SS-05!"!## x , 0, 3 0 0, 05 $ $ % 3, 75 $ Geben Sie für das vorige Beispiel. (Bsp. ) die Anteile der jeweiligen Fachrichtungen unter den jeweiligen Geschlechtern an. Erstellen Sie dafür eine Kontingenztabelle der relativen Häufigkeiten, bei der die Merkmalausprägungen der Spalten (Wirtsch.-Psycho. ; Wirtsch.-Info.) bedingt durch die Merkmalausprägungen der Zeilen (Frau ; Mann) ausgedruckt werden. Schwerpunkt der Fachrichtung P : Wirtsch.- Psycho. : Wirtsch.- Info. Randhäufigkeiten Geschlecht F : Frau M : Mann 85 0,7 75 0, ,4 95 0,6 55 &'() & '!*!, (! Aus den beiden obigen Sätzen (bzw. efinitionen) kann man leicht folgern, dass im Falle der Unabhängigkeit zweier Ereignisse A und B auch folgende Beziehungen gelten: P ( B A ) P ( B ) P ( A B ) P ( A )

2 - A B A B ( A B ) U ( A B ) %. ) /!% $, 0!-a Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die Aufg. 6 mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poisson-Verteilung. $& Geometrische Verteilung Seien p bzw. q mit q p die Wahrscheinlichkeiten für einen Erfolg (Treffer) bzw. einen Misserfolg der unabhängigen Versuchen (Stufen) in einem Bernouli-Experiment. ann ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsvariable X für die Anzahl der Versuche bis zum Eintreten des ersten Erfolgs gegeben durch die Wahrscheinlichfunktion der geometrischen Verteilung: f k ( x ) P ( X k ) f ( k ) q p k mit X x k k ; ;.... er Erwartungswert dieser Verteilung ist: µ p ie Varianz dieser Verteilung ist: σ p p $ 0! Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Zählgerät beim radioaktiven Zerfall des speziellen Präparats aus dem vorigen Beispiel (Bsp. 8) 5 Zerfälle in Minuten zu registrieren?

3 -. 3 (. % Linearitätssatz der Normalverteilung Sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit dem Erwartungswert µ X und der Varianz σ ² X sowie der ichtefunktion: x µ x f ( x ) exp π σ σ x x Und seien a und b beliebige reelle Zahlen. ann ist die linear transformierte Zufallsvariable V a X b ebenfalls normalverteilt mit der ichtefunktion f ( v ) π σ v µ v exp, σ v v wobei der Erwartungswert µ v a µ X b und die Varianz σ ² v a ² σ ² X sind. 4! 5 Satz Seien X und Y unabhängige Zufallsvariablen. ann gilt für die Varianz der Summe bzw. ifferenz von zwei Zufallsvariablen X und Y : Var [ X ± Y ] Var [ X ] Var [ Y ] σ ² X ± Y σ ² X σ ² Y (! Für die Standardabweichung gilt: σ ( Var [ X ] Var [ Y ] ) X ± Y 3

4 Korrektur, Änderungen sowie Ergänzungen zu den Übungen: Statistik-I SS-05 6!,( $ 6!&/##) $3 $8% 4! $ Untersuchungen zur Planmäßigkeit der Flüge der Airline T&W über einen längeren Zeitraum ergaben, dass ein Flug dieser Airline mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,55 beim Abflug (Start) pünktlich ist dass ein Flug dieser Airline mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,60 bei der Ankunft (Landung) pünktlich ist. dass ein Flug dieser Airline mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,3 beim Abflug (Start) und bei der Ankunft (Landung) pünktlich ist. efinieren Sie die Ereignisse A bzw. B und tragen Sie die Werte für die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse in das folgende Venn-iagramm A ( A B ) B 0,3 4

5 Ein Passagier fliegt mit einem Flugzeug dieser Gesellschaft. er Abflug (Start) ist pünktlich. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann er erwarten, dass auch die Ankunft (Landung) pünktlich ist? Lösung: 0,58 Alice fliegt mit einem Flugzeug dieser Airline. Bob möchte sie im Flughafen abholen. Aus den Infoscreens des Flughafens erfährt er, dass die Ankunft (Landung) pünktlich ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit war auch der Abflug (Start) pünktlich? Lösung: 0,53 & 0& Satz der totalen Wahrscheinlichkeit: Satz von Bayes: G: Verbotener Gegenstand. S : G : S : P ( G ) P ( S G ) P ( G ) P ( S G ) 6!% )!53 $8% '!*! $ Eine Produktionsanlage in einem Elektronikkonzern stellt Mikrochips mit einem Ausschuss von 0% her. ie Chips werden unabhängig voneinander produziert. '!*!4! & Aus Erfahrung weiss die Airline AL, dass für Flüge auf einer bestimmten Kurzstrecke im urchschnitt nur 70% aller Passagiere den von ihnen gebuchten Flug antreten. ie Fluggesellschaft möchte für diese Strecke 00 Tickets verkaufen aber ein Flugzeug eines Herstellers einsetzen, das eine geringere Kapazität als 00 Sitzplätze besitzt. Folgende 3 Maschinen stehen zur Auswahl. CJ-I: 70 Sitzplätze CJ-II: 78 Sitzplätze CJ-III: 86 Sitzplätze 5

6 Wenn die Gesellschaft die Maschine vom Typ CJ-I mit 70 Sitzplätzen einsetzen würde, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit (das Risiko) Passagiere nicht mitnehmen zu können? ie Gesellschaft möchte eine Maschine einsetzen, so dass das Risiko Passagiere nicht mitnehmen zu können höchstens % (d.h. % oder unter % ) bleibt. Wie viele Sitzplätze muss diese Maschine mindestens haben? Kann sie eine der obigen Flugzeuge dafür einsetzen? Lösg: a) 0,46 b) k C 80 (mindestens 80 Sitzplätze) Also Maschine CJ-III 6!09 ( ( / :(/ ;!77$,< $8% '!*!4! $ ie Airline aus der vorigen Aufgabe möchte für diese Strecke 00 Tickets verkaufen aber ein Flugzeug einsetzen, das eine geringere Kapazität als 00 Sitzplätze besitzt. Wie viele Sitzplätze muss diese Maschine mindestens haben, damit das Risiko, Passagiere nicht mitnehmen zu können, höchstens % (d.h. % oder unter %) bleibt? 6!5!! abei sind k und q Konstanten, die vom Plattenabstand d, von der Fläche A der jeweiligen Platten, der elektrischen Feldkonstante ε 0 8, [F/m] sowie von der ielektrizitätszahl ε r > des ielektrikums bei einer bestimmten Temperatur abhängen. 6