Kombinatorik. Kombinatorik ist die Lehre vom Bestimmen der Anzahlen

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1 Kombinatorik Kombinatorik ist die Lehre vom Bestimmen der Anzahlen 1

2 Man benötigt Kombinatorik, um z.b. bei Laplace-Experimenten die große Anzahl von Ergebnissen zu bestimmen. Bsp: Beim Lotto 6 aus 49 gibt es verschiedene Tipps. 2

3 Produktregel Anzahl möglicher Menüs bestimmen 4 Burger (Hamburger, Cheeseburger, McRib, BigMäc) 3 Beilagen (Pommes, Potatos, Salat) 3

4 Produktregel Urnenmodell: Urne 1: Hamburger (Kugel 1), Cheesburger (Kugel 2), McRib (Kugel 3), BigMäc (Kugel 4) Urne 2: Pommes (Kugel 1), Potatos (Kugel 2), Salat (Kugel 3) 4

5 Produktregel Urnenmodell LS S.186 Es gibt also 4 3 = 12 Möglichkeiten (Man multipliziert die Anzahl der Kugel aus den beiden Urnen miteinander) 5

6 Produktregel Zusätzliche Option: 5 Getränke (Cola, Fanta, Wasser, Apfelschorle oder Kaffee) 6

7 Produktregel Urne 1: Hamburger (Kugel 1), Cheesburger (Kugel 2), McRib (Kugel 3), BigMäc (Kugel 4) Urne 2: Pommes (Kugel 1), Potatos (Kugel 2), Salat (Kugel 3) Urne 3: Cola (Kugel 1), Wasser (Kugel 2), Apfelsaftschorle (Kugel 3), Fanta (Kugel 4), Kaffee (Kugel 5) 7

8 Produktregel Es gibt = 60 verschiedene Menus. Anzahl der Kugeln in Urne 1 Anzahl der Kugeln in Urne 2 Anzahl der Kugeln in Urne 3 8

9 Produktregel Satz 1 (Produktregel) Gegeben sind k Urnen (U 1, U 2,... U k ). In U 1 liegen n 1 Kugeln, in U 2 liegen n 2 Kugeln,..., in U k sind n k Kugeln. Dann gibt es n 1 n 2... n k Möglichkeiten aus jeder Urne genau eine Kugel zu ziehen. 9

10 Mit Zurücklegen, mit Fußball-Toto: HSV Frankfurt 3:1 Bochum Aachen 2:2 Mainz Nürnberg 2:1 Gladbach Bremen 1:2 1 (Heimsieg) 0 (Unentschieden) 1 (Heimsieg) 2 (Auswärtssieg) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man durch Raten diese vier Spiele richtig tippt, also den Tipp 1012 abgibt? 10

11 Mit Zurücklegen, mit Annahme (etwas realitätsfremd): Sieg, Unentschieden und Niederlage haben die gleiche Wahrscheinlichkeit (p = 1/3) Laplace-Experiment 11

12 Mit Zurücklegen, mit Anzahl günstiger Ereignisse = 1 (der Tipp 1012) LS 10 S

13 Mit Zurücklegen, mit Für jedes Spiel zieht man also einer Urne mit 3 Kugeln (0,1,2). Es gibt 4 Spiele = 4 Urnen. Also gibt es nach der Produktregel = 3 4 = 81 Möglichkeiten. P(1022) = 1/81 = 0,012 = 1,2% 13

14 Mit Zurücklegen, mit Es ist egal, ob man aus vier gleichen Urnen je einmal zieht, oder aus einer Urne viermal zieht, wenn man die Kugel nach dem Ziehen zurücklegt. 14

15 Mit Zurücklegen, mit Satz 2 (Mit Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge) Aus einer Urne mit n Kugeln wird k-mal mit Zurücklegen gezogen. Die gezogenen Kugeln werden in der Reihenfolge des Ziehens notiert.dann gibt es n k verschiedene Möglichkeiten. 15

16 Mit Zurücklegen, mit Wie viele verschiedene 3-stellige Zahlen kann man mit den Ziffern 1, 7, 5 und 3 bilden, wenn sich die Zahlen wiederholen dürfen? Bsp.: 175, 351, 117, 571,

17 Mit Zurücklegen, mit LS 10 S.187 n = 4 (Anzahl der Kugeln in der Urne) k = 3 (dreimal Ziehen) m.z. (mit Zurücklegen) m.b.d.r (mit ) Anzahl aller Möglichkeiten = 4 3 = 64 17

18 Ohne Zurücklegen, mit Wie viel verschiedene 4-stellige Zahlen kann man mit den Ziffern 1, 7, 5 und 3 bilden, wenn sich die Zahlen nicht wiederholen dürfen? Bsp.: 1753, 7351, 1175, 5713,

19 Ohne Zurücklegen, mit U 1 : enthält alle 4 Zahlen (Kugeln) n 1 = 4 U 2 : enthält nur noch 3 Zahlen (Kugeln) n 2 = 3 U 3 : enthält nur noch 2 Zahlen (Kugeln) n 3 = 2 U 4 : enthält nur noch 1 Zahl (Kugel) n 4 = 1 19

20 Ohne Zurücklegen, mit Nach der Produktregel gibt es also = 24 Möglichkeiten. Fakultät: = 4! (gelesen: 4 Fakultät) = 5! (5 Fakultät) = 6! (6 Fakultät) 0! = 1 20

21 Ohne Zurücklegen, mit Es ist egal, ob man aus vier Urnen je einmal zieht, in denen jeweils eine Kugel weniger liegt oder ob man aus einer Urne viermal zieht, wenn man die Kugel nach dem Ziehen nicht zurücklegt. 21

22 Ohne Zurücklegen, mit Wenn man aus einer Urne mit n Kugeln alle Kugeln ohne Zurücklegen zieht (k=n) und die Reihenfolge beachtet, dann gibt es n! Möglichkeiten. 22

23 Mehrfaches Ziehen aus einer Urne Wie viel verschiedene 2-stellige Zahlen kann man mit den Ziffern 1, 7, 5 und 3 bilden, wenn sich die Zahlen nicht wiederholen dürfen? Urne 1 enthält 4 Kugeln, Urne 2 enthält 3 Kugeln, also gibt es 4 3=12 Möglichkeiten 23

24 Ohne Zurücklegen, mit Anzahl der Kugeln ! 4! ! (4 2)! Anzahl der Ziehungen 24

25 Ohne Zurücklegen, mit Es ist wieder egal ob man aus 2 Urnen mit 4 bzw. 3 Kugeln einmal zieht, oder aus einer Urne mit 4 Kugeln ohne Zurücklegen zweimal zieht. 25

26 Ohne Zurücklegen, mit Satz 3 (Ohne Zurücklegen, mit ) Aus einer Urne mit n Kugeln wird k-mal ohne Zurücklegen gezogen. Die gezogenen Kugeln werden in der Reihenfolge des Ziehens notiert. Dann gibt es n!/(n-k)! verschiedene Möglichkeiten. 26

27 Ohne Zurücklegen, ohne Wie viele Möglichkeiten zum Ankreuzen der Lottozahlen gibt es beim Mini-Lotto 3 aus 7? Bsp. (2, 3, 5) (1, 4, 7) (2, 6, 3) Problem: (2, 3, 5), (2, 5, 3), (3, 5, 2) (3, 2, 5), (5, 2, 3), (5, 3, 2) sind die gleichen Tipps. D.h. man beachtet die Reihenfolge nicht. 27

28 Ohne Zurücklgen, ohne Wie viele gleiche Möglichkeiten gibt es, wenn man k Kugeln zieht? k=3: 3 2 1=3! Möglichkeiten k=4: =4! Möglichkeiten Allgemein: k! Möglichkeiten 28

29 Ohne Zurücklgen, ohne Alle Möglichkeiten mit Beachtung der Reihenfolge Teilen durch die Anzahl der gleichen Tipps (3!) 7! (7 3)! (7 3)! 3! 210 Anzahl der Kugeln 7! 35 Anzahl der Ziehungen 29

30 Ohne Zurücklgen, ohne n! n (n k)! k! k Binomialkoeffizient Lies: n über k 30

31 Satz 4: Aus einer Urne mit n Kugeln werden k Kugeln gezogen, wobei die Reihenfolge nicht beachtet wird. Dann gibt es n! n (n k)! k! k Möglichkeiten. 31

32 Ohne Zurücklgen, ohne Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat man 3 Richtige beim Lotto 5 aus 12? Urne 1: 5 Kugeln für die 5 richtigen Zahlen Urne 2: 7 Kugeln für die 7 falschen Zahlen 32

33 Ohne Zurücklgen, ohne Urne 1: n = 5 (Anzahl der Kugeln) k = 3 (Ziehungen aus Urne 1) ohne Zurücklegen (o. Z.) ohne (o.b.d.r.) 5 5! #AM= ! 3! 33

34 Ohne Zurücklgen, ohne Urne 2: n = 7 (Anzahl der Kugeln) k = 2 (Ziehungen aus Urne 2) ohne Zurücklegen (o. Z.) ohne (o.b.d.r.) 7 7! #AM= ! 2! 34

35 Ohne Zurücklgen, ohne Nach der Produktregel gibt es günstige Möglichkeiten. 3 2 und Möglichkeiten insgesamt. 35

36 Ohne Zurücklgen, ohne Also ist P(3Richtige) = 0,

37 Was muss ich wissen? n: Wie viele Kugeln sind in der Urne? k: Wie oft wird gezogen? Mit (ohne) Zurücklegen? Mit (ohne)? 37

38 m.b.d.r o.z. n! (n k)! m.z. n k o.b.d.r n n! k (n k)! k! 38