1 Kap 12 Kombinatorik

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1 1 Kap 12 Kombinatorik 12 Kombinatorik Manchmal ist es schwierig, bei einstufigen Experimenten die für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit notwendige Anzahl der möglichen Fälle und der günstigenfälle zu ermitteln. Bei mehrstufigen Experimenten werden die Bäume oft unübersichtlich, wenn zu viele Möglichkeiten an den Verzweigungen untersucht oder wenn zu viele Stufen durchgeführt werden müssen Variationen mit Wiederholung Beispiel 1: Murat hat die Kombination auf seinem Zahlenschloss vergessen. Das Schloss hat 4 Ziffern von jeweils 0 9. Wie oft muss er höchstens probieren bis er die richtige Kombination gefunden hat? Lösen Sie die Aufgabe zunächst mit einem Baumdiagramm. Baum: Schrittweise: Möglichkeiten für die erste Ziffer: Möglichkeiten für die zweite Ziffer: Möglichkeiten für die dritte Ziffer: Möglichkeiten für die vierte Ziffer: Total:

2 Kap 12 Kombinatorik 2 Beispiel 2: Bei der Glücksspirale wird je eine der mit den Zahlen 1 bis 5 beschrifteten Kugeln aus einer von sieben Urnen gezogen. a) Wie viele Möglichkeiten, eine siebenstellige Zahl zu ziehen, gibt es? b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, die richtige Zahl zu erraten? Definition: Eine k Variation mit Wiederholung ist eine angeordnete Zusammenstellung von k reellen Zahlen, die alle aus einer Menge mit n verschiedenen Zahlen stammen. Welche Werte entsprechen k und n in den obigen Beispielen 1 und 2? Die Anzahl V aller k Variationen mit Wiederholung aus einer Menge mit (mw ) k Elementen beträgt n. k Es gilt also V n. ( mw ) n Beispiel 3: Beispiel 4: Beispiel 5: Fussball Lotto. Wieviele Tippmöglichkeiten gibt es bei 13 Spielen? Wieviele Zeichen lassen sich mit einem Byte darstellen? Wieviele Wörter à drei Buchstaben kann man mit dem deutschen Alphabet konstruieren, unabhängig von der Bedeutung?

3 3 Kap 12 Kombinatorik 12.2 Variation ohne Wiederholung Beispiel 6: Eine Urne enthält 9 Kugeln, die von 1 9 nummeriert sind. Man greift nacheinander 3 Kugeln heraus ohne zurückzulegen. Wieviele Möglichkeiten gibt es? Schrittweises Vorgehen: Anzahl Möglichkeiten für die 1. Kugel: 9 Anzahl Möglichkeiten für die 2. Kugel: 8 Anzahl Möglichkeiten für die 3. Kugel: 7 Beispiel 7: Schrittweises Vorgehen: Total: Ein Maler bietet einer Galerie 15 Bilder für eine Ausstellung an. An der dazu vorgesehenen Wand finden aber nur 4 Bilder gleichzeitig Platz. Wie viele verschiedene Möglichkeiten zur Hängung der Bilder gibt es? Anzahl Möglichkeiten für das 1. Bild: 15 Anzahl Möglichkeiten für das 2. Bild: 14 Anzahl Möglichkeiten für das 3. Bild: 13 Anzahl Möglichkeiten für das 4. Bild: 12 Total: Möglichkeiten Definition: Eine k Variation ohne Wiederholung ist eine angeordnete Zusammenstellung von k reellen Zahlen, die alle aus einer Menge mit n verschiedenen Zahlen stammen. Dabei darf jede Zahl nur einmal vorkommen und k n. ( ) n ( n 1) ( n 2)... ( n k + 1) V ow k Faktoren

4 Kap 12 Kombinatorik Permutationen ohne Wiederholungen Beispiel 8: Auf wie viele verschiedene Anordnungen können die 4 Schülerinnen Amela, Behice, Chris und Deirdre auf 4 Stühlen Platz nehmen? Schrittweises Vorgehen: Anzahl Sitzmöglichkeiten für Amela: Anzahl Sitzmöglichkeiten für Behice: Anzahl Sitzmöglichkeiten für Chris: Anzahl Sitzmöglichkeiten für Deirdre: Insgesamt: Definition Besteht eine Menge M aus n Elementen, so versteht man unter der Permutation ohne Wiederholung eine beliebige Anordnung dieser Elemente. Bei P ( n) P ( n) n n Es gilt ferner 0! 1 1! 1 Elementen gilt: ( n 1) ( n 2) man sagt" n Fakultät" Die Fakultäten der natürlichen Zahlen nehmen rasch grosse Werte an. Berechnen Sie die Fakultäten der Zahlen von 1 10.

5 5 Kap 12 Kombinatorik Vergleich von Permutation und Variation ohne Wiederholung. ( ) n ( n 1) ( n 2)... ( n k + 1) V ow P( n ) k Faktoren ( n 1) ( n 2) n n Faktoren (ow ) P (n ) Wieviel Faktoren mehr als V hat? Es gilt daher : P n V ( ) ( ow ) P( n) V Zählformel für Variation ohne Wiederholung ( ow ) Beispiel 9: Beim 100 m Lauf werden 8 Bahnen unter den 8 Läufern ausgelost. Wieviele verschiedene Startaufstellungen sind möglich? Beispiel 10 Wie Beispiel 9, aber 3 Läufer haben sich abgemeldet! 12.4 Permutationen mit Wiederholung Mit den Buchstaben des Namens MARIE kann man P 5! 120 Permutationen bilden. ( 5) Wieviel verschiedene Anagramme (Permutationen) gibt es vom Wort MAMMA? Es handelt sich wieder um eine Permutation, allerdings kommt der Buchstabe A zweimal und der Buchstabe M gar dreimal vor! Schreiben Sie alle voneinander verschiedenen Anagramma auf. Wieviele sind es?

6 Kap 12 Kombinatorik 6 Man kann die 3 M auf 3! Arten und die 2! Arten vertauschen, ohne dass sich das Wort ändert! Es gilt: P 5! 120 3!2! 6 2 ( 5)(3,2) 10 Allgemein Die Anzahl der Permutationen mit Wiederholung aus einer Menge mit n Elementen beträgt P n( p, q, r) n : p! q! r! Anzahl Elemente p, q, r : je Anzahl gleiche Elemente 12.5 Aufgaben 1 Wieviele Melodien mit 5 verschiedenen Tönen kann man spielen? 2 Ein sehr simpler Geheimcode tauscht einfach die Stellung der Buchstaben in einem Wort aus. Wieviele verschiedene Worte können mit HYIPKS gemeint sein? 3 Wieviele fünfstellige Zahlen mit voneinander verschiedenen ungeraden Ziffern gibt es? 4 Johann will endlich seine 3 verschiedenen Bibeln, 5 verschiedene Kochbücher, 4 Globibücher und 3 Mathebücher ordnen. a) Auf wieviele Arten kann er seine Bücher auf ein Regal ordnen, wenn ihm die Reihenfolge egal ist? b) Auf wieviele Arten kann er seine Bücher sinnvoll ordnen? 5 Auf wieviele Arten kann man die Buchstaben des Wortes MISSISSIPPI falsch anordnen? 6 Auf wieviele Arten können im Kühlschrank vier identische weisse Eier, drei braune und eines mit einem Sprung nebeneinander liegen? 7 Wieviele vierstellige Zahlen können mit den Ziffern 0,1,1,2 durch verschiedene Reihenfolgen gebildet werden? 8 Wieviele siebenstellige Zahlen kann man mit den Ziffern 0,1,1,1,2,2,3 bilden, wenn die erste Ziffer eine Drei oder eine Zwei sein soll? 9 Auf wieviele Arten kann man 9 verschiedene Geschenke an 4 Kinder verteilen, wenn das jüngste Kind 3 und die andern jeweils 2 Geschenke erhalten sollen?

7 7 Kap 12 Kombinatorik 12.6 Kombinationen ohne Wiederholung Beispiel 11: Wie gross muss der Einsatz sein, damit man im Zahlenlotto 6 aus 49 einen 6er hat? (Ein Tipp kostet CHF 2. ) Betrachten wir zunächst die Situation, wenn die Reihenfolge berücksichtigt wird: In diesem Fall handelt es sich um eine Variation mit Wiederholung. V Möglichkeiten (ow ) Beim Zahlenlotto spielt aber die Reihenfolge keine Rolle. Die 6 richtigen Zahlen können auf 6! verschiedene Arten angeordnet werden. Die oben berechnete V ist also um den Faktor 6! zu gross. ( ow ) Die Anzahl Möglichkeiten bei 6 aus 49 beträgt somit 49! 6!6! ( 49 ) 49 dafür schreibt man und man liest 6 aus 49 oder 49 über Der Einsatz muss somit mindestens CHF 2 27'967' 632 also 6! etwa CHF 28 Millionen betragen (der höchste Gewinn in den letzten Jahren betrug ein paar Millione!)

8 Kap 12 Kombinatorik 8 Allgemein Die Anzahl der k-kombinationen ohne Wiederholung aus einer Menge mit n Elementen ist n ( ) für 0 k n. k K ow Dabei gilt: ( n 1) ( n 2)... ( n k 1) n n + K( ow ) k ( n k)! k! k! n man liest k aus n (Lottoprinzip) k Regeln: n 1) 1 0 0! 2) n 1 n 1!1! ( n ) ( 0! 1 gemäss Definition) Beispiele Aus den Buchstaben des Wortes BAUERNHOF sollen 3 verschiedene Buchstaben ausgewählt werden. Aud wieviele Arten ist dies möglich, wenn a) die Buchstaben Konsonanten sein sollen, b) die Buchstaben Vokale sein sollen, c) 2 Buchstaben Konsonanten, 1 B. Vokal sein soll? 14 Wieviele Dreiecke sind durch 5 Punkte in allgemeiner Lage bestimmt? 15 Ein Kartenspiel hat 36 Karten. 4 Spieler erhalten je 9 Karten. a) Wieviele verschiedene Blätter gibt es für den ersten Spieler? (1 Blatt ist z.b. Herz As, Herz König, Schaufel Bauer,..., Kreuz 9) b) Auf wieviele Arten kann ein Spieler 4 Bauern weisen? c) Auf wieviele Arten kann ein Spieler genau ein As haben? d) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler 4 Asse hat?

9 9 Kap 12 Kombinatorik 12.7 Kombination mit Wiederholung Beispiel 16 Ein Flaschenträger hat für 3 Flaschen Platz und soll mit Cola, Fanta, Rivella und Sprite gefüllt werden. Wieviele verschiedene Füllungen gibt es? (Die Reihenfolge spielt keine Rolle) Von einer Sorte können mehrere Flaschen ausgewählt werden. Es folgende Fälle möglich: 1 Man wählt 3 gleiche Sorten CCC, FFF, RRR, SSS Anzahl: 4 2 Man wählt von einer Sorte 2: CCF,... 3 Der Flaschenhalter enthält 3 verschiedene Sorten: Anzahl: Anzahl: Insgesamt: Das gleiche Problem findet sich im folgenden Beispiel: Beispiel 17 Wieviele 3er Kombinationen mit Wiederholung kann man mit den Ziffern 1, 2, 3, 4 bilden, wenn Ziffern mehr als einmal vorkommen dürfen? Die Elemente sind der Grösse nach geordnet. Es handelt sich um Kombinationen mit Wiederholung. Wir machen nun folgendes. Wir ordnen jeder Zahl eine neue 3er Gruppe zu mit folgender Vorschrift: das erste Element bleibt unverändert das zweite Element wird um 1 erhöht das dritte Element wird um 2 erhöht. Füllen Sie also folgende Tabelle aus:

10 Kap 12 Kombinatorik 10 Was stellen Sie nun fest? Worum handelt es sich bei diesen so erhaltenen Kombinationen? Allgemein Die Anzahl der k-kombinationen mit Wiederholung aus einer Menge mit n Elementen ist n + k 1 K( mw ) k (Flaschenhalterprinzip)

11 11 Kap 12 Kombinatorik 12.8 Zusammenfassung Bezeichnung Eigenschaften Formel Beispiel k Variation mit Wiederholung k Variation ohne Wiederholung Permutation ohne Wiederholung Permutation mit Wiederholung mit Anordnung k beliebig k, n V ( ) n Fussballtoto mw mit Anordnung k < n V( ow ) ( n k)! Mit Anordnung, jedes Element wird benutzt Mit Anordnung, jedes Element wird benutzt n > p n n n p Parkplatzbelegung, 15 Autos, 6 Plätze n 15, k 6 P( n ) 8 Läufer mit 8 Bahnen P ( mw ) n!... n 1 p! Anagramm: MAMMA n 5, p 2 n M 3, n A 2 k Kombination ohne Wiederholung k Kombination mit Wiederholung ohne Anordnung n K ow n k < ( ) k ( n k)! k! ohne Anordnung n + k 1 k, n beliebig K( mw ) k Zahlenlotto 6 aus 49 n 49, k 6 Flaschenträger 6 Flaschen aus 3 Sorten n 3, k 6

12 Kap 12 Kombinatorik Aufgaben 1 Auf einer Parteiversammlung, an der 11 Mitglieder teilnehmen, soll ein Wahlausschuss bestehend aus 4 Mitgliedern gebildet werden. Wieviele Möglichkeiten gibt es? 2 15 Lehrerinnen kommen täglich mit dem Velo zur Schule, es gibt aber nur 6 gedeckte Veloabstellplätze. Wieviele Belegungen sind theoretisch möglich? 3 5 verschiedene Würfel werden gleichzeitig geworfen. Wieviel Wurfbilder kann es geben? 4 In einem Ferienort will eine Gruppe von 7 Personen einen Ausflug machen. Glücklicherweise hat der Verleih gerade noch 7 (verschieden farbige) Fahrräder. 5 3 rote und 5 grüne Kugeln werden in 8 Schubladen gelegt, sodass in jeder Schublade genau eine Kugel liegt. 6 Ein Kunde möchte im Supermarkt einen Träger mit 6 Mineralwasserflaschen kaufen. Er kann auswählen aus Fanta, Sprite und Cola. Wieviele Wahlmöglichkeiten hat er, wenn er auf die Anordnung im Träger keinen Wert legt? 7 Beschreibe bei den folgenden Aufgaben zunächst ein Urnenmodell (Ziehen von Kugeln). a) Wieviele dreistellige Zahlen kann man mit den Ziffern 4,5,6,7,8 schreiben, wenn keine Ziffer wiederholt auftreten darf? b) Wieviele Möglichkeiten gibt es, die Farben rot, grün, schwarz, gelb und braun auf 5 verschiedene Felder zu verteilen? c) An einem Pferderennen nehmen 6 Pferde teil, die nacheinander durchs Ziel gehen. Wie viele mögliche Reihenfolgen gibt es für die ersten 3 Plätze? 8 Beschreibe bei den folgenden Aufgaben zunächst ein Urnenmodell (Ziehen von Kugeln). a) Für ein Zeichen braucht es den Speicherplatz von 1 Byte. Ein Byte besteht aus 8 Bits; jedes Bit kann den Wert 0 oder 1 annehmen. Wie viele Zeichen sind möglich? b) Für die Namensschilder am Eingang eine Sechsfamilienhauses stehen 4 Schrifttypen zur Verfügung. Wie viele Möglichkeiten der Beschriftung gibt es? c) Ein Test besteht aus 10 Fragen. Zu jeder Frage sind 3 Antworten vorgegeben, von denen genau eine richtig ist. Wieviele Möglichkeiten zum Ankreuzen hat der Test. 9 Wie viele verschiedene siebenstellige Telephonnummern gibt es, wenn die Null als erste Ziffer nicht erlaubt ist? 10 6 Personen besteigen einen Zug mit 4 Wagen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die 6 Personen auf die 4 Wagen zu verteilen? 11 Wie viele verschiedene Würfe kann man mit drei verschieden farbigen Würfeln ausführen, wenn bei jedem Wurf alle Würfel verschiedene Augenzahlen aufweisen und alle drei Würfel benutzt werden? 12 5 Damen sitzen um einen runden Tisch. 3 Herren setzen sich zu ihnen, aber so, dass nirgends zwei Herren zwischen den Damen sitzen. Auf wie viele Arten können sich die Herren zwischen die Damen setzen?

13 13 Kap 12 Kombinatorik 13 Drei Karten, die mit 1, 2, 3 nummeriert sind, werden verdeckt gemischt und anschliessend der Reihe nach aufgdeckt. Stimmt eine Zahl auf der Karte mit der Ziehungsnummer der Karte überein, so nennt man dies eine Übereinstimmung. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Übereinstimmung? 14 Bei einem Fest treten 4 Solisten auf; die Reihenfolge ist jedoch unbekannt. Wie viele verschiedene Reihenfolgen sind möglich? 15 Eine Speisekarte verzeichnet 4 Vorspeisen, 7 Hauptgerichte und 6 Desserts. Wie viele verschieden Menüs kann man zusammenstellen?