Anhangt: Ein Spiel zum Aufwärmen

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1 Anhangt: Ein Spiel zum Aufwärmen Vor einem Rennen betreibt ein Rennläufer Gymnastik, um seine Muskeln aufzuwärmen. Bevor Sie ein in diesem Buch beschriebenes Spiel spielen, möchten Sie vielleicht eine geistige Aufwärmübung (AW) betreiben. Das können Sie mit Hilfe der folgenden Spiele. Spiel AW 1-1 (e) Ziel: Einer zweistelligen Zahl durch Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren von Zahlen zwischen 1 und 6 möglichst nahe zu kommen. Spielerzahl: Ein oder mehrere Spieler. Material: Zwei Kartenpakete; Papier und Bleistift. Vorbereitung: Die roten Karten der Werte 2 bis 6 vom ersten Kartenpaket werden gemischt und bilden Stoß A. Die schwarzen Karten der Werte As (1) bis 10 werden gemischt und bilden Stoß B. Aus jedem Stoß wird eine Karte gezogen. Damit bestimmt man die zu erreichende Zahl: Die Karte aus Stoß A liefert die Ziffer der Zehnerstelle, die aus Stoß B die Ziffer der Einerstelle. Eine" 1 0" aus Stoß A zählt als Null. Spielweise: Die Karten der Werte 1 bis 6 vom zweiten Kartenpaket werden zusammengelegt. Jeder Spieler bekommt sechs dieser Karten mit Werten As (1) bis 6. Die Spieler müssen die Zahlen einiger oder aller dieser Karten zueinander addieren, voneinander subtrahieren, miteinander multiplizieren oder durcheinander dividieren, um die "Zielzahl" durch einen Zahlenausdruck möglichst genau zu treffen. Jeder Spieler schreibt seine Lösung auf. Wertung: Der Spieler, der der Zielzahl am nächsten kommt, erhält einen Punkt, egal ob er darüber oder darunter liegt. Im Falle eines Unentschiedens erhält der Spieler den Punkt, der seine Lösung als erstes gefunden hat. Spiel AW 1-2 (m) Wie Spiel AW 1-1; Stoß A enthält aber Karten der Werte 5 bis 9 (statt 2 bis 6). Die Zielzahl liegt also zwischen 50 und 99, statt zwischen 20 und 69. Jeder Spieler erhält sechs zufäll ig aus einem Stoß, der Karten der Werte As (1) bis 10 enthält, gezogene Karten, mit denen er zu arbeiten hat (statt Karten der Werte 1 bis 6). Spiel AW 1-3 (5) Wie Spiel AW 1-1; die Spieler müssen aber sechs Karten für ihre Lösung verwenden, statt die Wahl zu haben, nur einige der Karten zu nehmen. 236

2 Schauen wir uns ein Beispiel für AW 1-1 an: Aus Stoß A sei eine Zwei gezogen worden. aus Stoß B eine Sieben. Die Zielzahl ist dann kann man auf viele Arten genau erreichen. beispielsweise durch (6X5)-3. (1+2+6)X3. (6X4)+3. ((5+2)X4)-1. Noch ein Beispiel. Die Karte aus Stoß A sei eine Fünf. die aus Stoß B eine Sieben. Das heißt. die Zielzahl ist 57. Auch diese Zahl kann man auf verschiedenste Art genau erreichen. beispielsweise durch (6 X 5 X 2) - 3. (5 X 4 X 3) (6 X 2) (4 + 3) + 1. Nun ein Beispiel für Spiel AW 1-2. Die Zielzahl sei 76. Die sechs Karten des Spielers seien As (1), und 8. Einige der möglichen Lösungen sind: (8 + 1) (6 + 2) + 3 = 75; Abstand zu 76 ist 1 (8 + 1) (6 + 2) + 5 = 77; Abstand zu 76 ist 1 (( ) X 5) -3-1 = 76; Abstand zu 76 ist O. Abschließend ein Beispiel für Spiel AW 1-3. Die Zielzahl sei 43. Zwei Möglichkeiten die bei Verwendung aller sechs Karten zu erreichen sind: 6 X (4 + 2) und (6 X 5 X 4) ( ). 237

3 Anhang 2: Wahrscheinlichkeit, Kombinationen und Variationen Einigen der beschriebenen Spiele liegen einfache aber kraftvolle mathematische Ideen zugrunde. Wir wollen nun kurz einige Ideen einführen, die Variationen, Kombinationen und Wahrscheinlichkeit betreffen, die man auf einige Spiele des Kapitels Deduktive Logik anwenden kann. Diese Einführung kann Ihnen eine Hilfe sein, Ihr Spiel zu verbessern, und Sie dazu anregen, mehr über Mathematik zu lernen und Freude daran zu haben. Nehmen wir an, Sie spielen das Spiel D 5-1, in dem es darum geht, Wert und Lage von 2 aus 5 Karten (Verdopplung erlaubt) zu bestimmen. Wieviele verschiedene Codes gibt es? Eine Möglichkeit zu ihrer Bestimmung ist die, sie alle aufzulisten. Hier sind sie: Es gibt also 25 verschiedene Codes. Jeden nennt man eine Variation (mit Wiederholung). Betrachten wir nun das verwendete System zur Auflistung genauer. Die erste Spalte gibt alle fünf Möglichkeiten mit einer,,1" (einem As) an erster Stelle; die zweite alle fünf Möglichkeiten mit einer,,2" an erster Stelle. Weil es für die erste Karte fünf verschiedene Möglichkeiten gibt, von denen jede fünf Möglichkeiten für die zweite I iefert, gibt es insgesamt 5 X 5 = 25 verschiedene Codes. Wenn wir dieses System der Auflistung verwenden, können wir sicher sein, daß wir keine Möglichkeit vergessen haben. Wir erkennen außerdem ein abkürzendes Verfahren, um die Anzahl aller möglichen Codes zu bestimmen: man multipliziert die Zahl der verschiedenen Karten, die an erster Stelle stehen können mit der Zahl der verschiedenen Karten', die an zweiter Stelle stehen können. (5 X 5 = 25). Dieselbe abkürzende Art können wir für die anderen Spiele derselben Gruppe (Einige aus vielen) verwenden. Spiel D 5-2 hat beispielsweise als Ziel, Wert und Lage von 3 aus 5 Karten zu bestimmen. Dabei gibt es 5 X 5 X 5 = 125 verschiedene Codes. Erkennen Sie den Grund dafür? Nehmen wir an, wir listen nur die Codes auf, die an der ersten Stelle eine 1 stehen haben. Hier die Möglichkeiten: Ihre Anzahl ist 25. Die Codes sind dieselben 25 wie beim Spiel,,2 aus 5" vorher, nur daß nun vor jedem Code noch eine 1 steht. Mit einer 2 an erster Stelle gibt es wieder genau 25, mit 3 wieder, usw. Insgesamt gibt es folglich 5 X 5 X 5 versch iedene Codes. 238

4 Unter Verwendung derselben abkürzenden Methode können wir eine Tabelle zusammenstellen, die angibt, wieviele Codes es für andere "Einige aus vielen"-spielen gibt: Einige aus vielen Anzahl der Karten im Code Anzahl der möglichen Karten Wenden wir nun unsere Aufmerksamkeit dem Spiel 0 5-3, 4 aus 6 zu. Wie wir schon wissen, gibt es 1296 mögliche verschiedene Codes (6 X 6 X 6 X 6). Wir wollen nicht versuchen, sie alle aufzulisten. Schauen wir aber nach, ob wir sie zu Gruppen zusammenfassen können. Hier eine mögliche Art der Gruppierung dieser 1296 Codes: Gruppe 1 Gruppe 2 Gruppe 3 Gruppe 4 Gruppe usw. usw. usw. usw. usw. Erkennen Sie die Regel der Zuordnung der Codes zu den einzelnen Gruppen? Das ist eine Möglichkeit zur Anwendung Ihrer Fähigkeiten in induktiver Logik. In Codes der Gruppe 1 hat jede Karte einen Wert der vom Wert jeder anderen Karte desselben Codes verschieden ist. In Codes der Gruppe 2 hat ein Kartenpaar denselben Wert, die beiden restlichen haben Werte, die voneinander und vom Wert einer Karte des Paares verschieden sind. In Codes der Gruppe 3 kommt eine Tripel Karten gleichen Wertes vor (drei Karten mit demselben Wert) und eine weitere, deren Wert vom Wert einer Karte des Tripels verschieden ist. In Codes der Gruppe 4 kommen zwei Kartenpaare desselben Wertes vor, wobei Karten in verschiedenen Paaren auch verschiedene Werte haben. Codes der Gruppe 5 enthalten vier Karten desselben Wertes. Jede der 1296 möglichen Codes des Spieles 0 5-3, 4 aus 6, gehört zu genau einer dieser fünf Gruppen. Eine interessante Frage ist die nach dem Umfang dieser Gruppen. Die Antwort kann bei der Planung einer Strategie für dieses Spiel hilfreich sein. Die Auswahl der Codes in Gruppe 5 ist leicht zu bestimmen. Diese Anzahl ist 6: 1111, 2222, 3333, 4444, 5555 und Wie steht es mit Gruppe 1? Erkennen Sie eine Möglichkeit zur Anzahlbestimmung, ohne alle Codes auflisten zu müssen? Bei jedem Code der Gruppe 1 kann an erster Stelle eine beliebige von sechs Karten stehen. Weil aber die Werte der Karten alle untereinander verschieden sein müssen, gibt es für die Karte an zweiter Stelle nur fünf Möglichkeiten. An dritter Stelle muß 239

5 eine Karte stehen, deren Wert vom Wert der bei den ersten verschieden ist, folglich gibt es dafür nur vier Möglichkeiten. An vierter Stelle muß eine stehen, deren Wert von dem der ersten drei verschieden ist, somit gibt es nur drei Möglichkeiten. Insgesamt gibt es folglich 6 X 5 X 4 X 3 = 360 verschiedene Codes in Gruppe 1. Was ist mit Gruppe 2? Sehen Sie hier einen Weg zur Anzahlbestimmung, der das Auflisten und darauffolgende Abzählen vermeidet? Das Kartenpaar desselben Wertes in einem Code der Gruppe 2 kann eines von sechs Paaren sein: 11,22,33,44,55 oder 66. Jedes kann in sechs Positionen auftreten: Somit gibt es sechs mögl iche Paare und für jedes sechs mögliche Lagen, was zusammengefaßt 6 X 6 = 36 Möglichkeiten liefert. In jedem Code sind aber noch zwei weitere Karten zu betrachten. Deren Werte müssen untereinander und vom Wert der Karten im Paar verschieden sein. Der Wert der ersten kann einer von fünf Werten sein (er kann beliebig sein, darf aber nicht mit dem Wert einer Karte des Paares übereinstimmen). Wählt man diese, so hat man für die zweite noch vier Möglichkeiten. Folglich enthält die Gruppe 2 genau 6 X 6 X 5 X 4 = 720 verschiedene Codes. Was kann man über den Umfang der Gruppe 3 sagen? Das Tripel kann nur eines von sechs möglichen sein (111,222,333,444,555 oder 666). die vierte Karte kann einen von fünf möglichen Werten haben; sie kann an einer beliebigen von vier möglichen Stellen stehen. Folglich enthält die Gruppe 3 genau 6 X 5 X 4 = 120 versch iedene Codes. Sehen Sie einen Weg, den Umfang der Gruppe 4 zu bestimmen? Das erste Paar kann eines von sechs möglichen (11, 22, 33, 44, 55 oder 66) sein. Ist dieses gewählt, so gibt es für das zweite nur noch fünf Möglichkeiten. Die Anordnung der beiden Paare kann eine,der drei folgenden sein: nebeneinander: abwechsel nd: eingeklemmt: AABB ABAB ABBA Somit enthält Gruppe 4 genau 6 X 5 X 3 = 90 verschiedene Codes. Als Zusammenfassung ergibt sich: Gruppe Beispiel Zahl der Codes Wahrscheinlichkeit , , , , ,00

6 Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, daß ein zufällig ausgewählter Code in eine bestimmte Gruppe fällt, muß man den Umfang der betreffenden Gruppe durch 1296 dividieren, die Gesamtzahl aller möglichen Codes. Das Ergebnis dieser Division haben wir in der letzten Spalte der Tabelle eingetragen (auf zwei Stellen hinter dem Komma genau). Es mag überraschend für Sie sein, daß Gruppe 2 zweimal so viele Codes enthält wie Gruppe 1. Wenn man also einen Code zufällig wählt, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß er in Gruppe 2 fällt, zweimal so hoch wie die, daß er der Gruppe 1 angehört. Jetzt wenden wir uns der Gruppe von Spielen zu: in der es darum geht, den Wert, aber nicht die Lage einiger aus vielen (Karten) zu bestimmen. Beispielsweise muß man im Spiel 02-1 den Wert für 2 aus 5 bestimmen. Wieviele Codes gibt es hier? Die entsprechende Frage für Spiel 0 5-1, wo es um Bestimmung von Wert und Lage geht, haben wir gerade behandelt; wir haben 5 X 5 == 25 Codes gefunden. In fünf dieser Codes haben beide Karten denselben Wert: 11, 22,. 33, 44, 55. Betrachten wir nun die 20 restlichen Codes, in denen beide Karten verschiedene Werte aufweisen. Für jeden gibt es einen zweiten, der sich vom ersten nur in der Reihenfolge der Karten unterscheidet: zu 12 gehört 21; zu 35 gehört 53, usw. Anders gesagt, nur 10, die Hälfte der 20 Codes, sind verschieden, wenn es nur auf den Wert ankommt. Zusammengenommen erhalten wir 15 (== ) verschiedene Codes, wenn nur nach den Kartenwerten gefragt wird. Jeder dieser Codes ist eine Kombination (mit Wiederholu~g). Für,,2 aus 5, Wert und Lage" gibt es 25 Variationen; für,,2 aus 5, Wert allein" gibt es hingegen 15 Kombinationen. Sie haben soeben eine sehr kurze Einführung erhalten, die sich beschäftigt hat mit: und Variationen (Wieviele Codes sind für,,2 aus 5, Wert und Lage" möglich?), Wahrscheinlichkeit (Wie steht es um die Chance für einen Code,.4 aus 6" zur Gruppe 1 zu gehören?) Kombination (Wieviele Codes sind für,,2 aus 5, Wert allein" möglich?) Diese mathematischen Themen können Ihnen, wenn Sie sie im Zusammenhang mit den Spielen dieses Buches erforschen, Freude bereiten und nützen. 241

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11 Additional material from Spielschule des Denkens, ISBN , is available at