Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Lösungsvorschlag
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- Nele Thomas
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1 MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner SS 2013 Blatt Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Lösungsvorschlag 9. Wir betrachten die Ereignisse A, B, C A; für diese gilt A B C (A \ (A C (B \ (A B (C \ (B C (A B C. C C \(B C A B C B \(A B A A \ (A C B Die vier Mengen (A \ (A C, (B \ (A B, (C \ (B C und (A B C sind paarweise disjunkt mit (A C A, (A B B und (B C C, und daher ergibt sich P (A B C P (A \ (A C + P (B \ (A B + +P (C \ (B C + P (A B C (P (A P (A C + (P (B P (A B + + (P (C P (B C + P (A B C P (A + P (B + P (C P (A B P (A C P (B C + P (A B C. Alternativ läßt sich die Formel von Sylvester auch durch zweimalige Anwendung der in der Vorlesung für alle Ereignisse D, E A gezeigten Beziehung P (D E P (D + P (E P (D E
2 über P (A B C P ((A B C herleiten. P (A B + P (C P ((A B C ( P (A + P (B P (A B + P (C P ((A C (B C P (A + P (B + P (C P (A B ( P (A C + P (B C P ((A C (B C P (A + P (B + P (C P (A B P (A C P (B C + P (A B C. 10. Aus sechs Personen A, B, C, D, E und F soll ein dreiköpfiger Ausschuß zufällig durch Losentscheid gebildet werden. a Da in der zu betrachtenden Situation keine Person mehrfach in den Ausschuß gewählt werden kann und zudem keine Reihung der Ausschußmitglieder erfolgt, ist Ω {ABC, ABD, ABE, ABF, ACD, ACE, ACF, ADE, ADF, AEF, BCD, BCE, BCF, BDE, BDF, BEF, CDE, CDF, CEF, DEF} ein geeigneter Ergebnisraum; dabei entspricht die alphabetische Reihung ABC der Menge {A, B, C}. Wir erhalten also ( 20, 3 und folglich gilt mit den Ergebnissen ω 1 ABC,..., ω 20 DEF für die Wahrscheinlichkeiten der entsprechenden Elementarereignisse b P ({ω 1 }... P ({ω 20 } A 1 A wird in den Ausschuß gewählt. Da Person A fest im Ausschuß ist, kommen für die beiden übrigen Plätze im Ausschuß noch fünf Personen in Frage; es ist also A 1 ( und damit P (A 1 A ( 5 1 ( Alternativ kann man gemäß a die für A 1 günstigen Ergebnisse direkt
3 A 2 A und B werden in den Ausschuß gewählt. Da die Personen A und B fest im Ausschuß sind, kommen für den übrigen Platz im Ausschuß noch vier Personen in Frage; es ist also A 2 ( und damit P (A 2 A 2 ( 4 1 ( Alternativ kann man gemäß a die für A 2 günstigen Ergebnisse direkt A 3 A oder B werden in den Ausschuß gewählt. Da Person A oder Person B oder beide Personen fest im Ausschuß sind, gibt es gemäß Ereignis A 1 genau ( Möglichkeiten, in denen Person A im Ausschuß ist; unter diesen zehn Möglichkeiten sind bereits die vier Möglichkeiten beinhaltet, in den Person A und B im Ausschuß sind. Damit gibt es noch ( 4 2 Möglichkeiten, in denen nur Person B im Ausschuß ist; es ist also A 3 ( ( und damit P (A 3 A ( 5 ( ( Alternativ kann man gemäß a die für A 3 günstigen Ergebnisse direkt Es ist A 4 Ω \ A 1, also A 4 A wird nicht in den Ausschuß gewählt. P (A 4 1 P ( A Alternativ kann man gemäß a die für A 4 günstigen Ergebnisse direkt A 5 Weder A noch B werden in den Ausschuß gewählt. Da weder Person A noch B im Ausschuß sind, kommen für drei Plätze im Ausschuß noch vier Personen in Frage; es ist also A 5 ( und damit P (A 5 A ( 4 5 ( Alternativ kann man gemäß a die für A 5 günstigen Ergebnisse direkt aus dem Ergebnisraum Ω abzählen oder über das zu A 5 komplementäre Ereignis A 3 argumentieren.
4 11. a Für das Zahlenlotto aus 49 wählen wir als Ergebnisraum Ω die Menge aller elementigen Teilmengen von {1,..., 49} mit ( 49. Für das Ereignis A 1 Es werden lauter aufeinanderfolgende Zahlen gezogen. gibt es genau die folgenden Konstellationen {1,..., }, {2,..., 7},..., {43,..., 48}, {44,..., 49}, also insgesamt 44 für A 1 günstige Ergebnisse; damit ist P (A 1 A 1 44 ( 49 3, %. Zu dem Ereignis A 2 Es werden mindestens zwei betrachten wir das Gegenereignis aufeinanderfolgende Zahlen gezogen. A 2 Es werden keine zwei aufeinanderfolgende Zahlen gezogen. Um die für A 2 günstigen Ergebnisse zu bestimmen, betrachten wir modellhaft sechs schwarze (gezogene Kugeln und 43 weiße (nicht gezogene Kugeln; wir ordnen die Kugeln so an, daß schwarze Kugeln nicht direkt zusammentreffen:. 1.. s w. 2.. s w. 3.. s w. 4.. s w. 5.. s w... s. 7.. Damit ist zwischen je zwei benachbarten schwarzen Kugeln mindestens eine weiße Kugel als Puffer hinzuzunehmen, insgesamt also fünf weiße Kugeln; damit bleiben k 38 weiße Kugeln übrig, die auf n 7 Blöcke (mit Wiederholung ohne Beachtung der Reihenfolge verteilt werden können. Wir erhalten A2 ( P (A 2 ( 44 ( und damit ( 44 A2 ( 49 und folglich ( 44 P (A 2 1 P (A 2 1 ( 49 49,52 %. b Wir denken uns die n zufällig ausgewählten Personen in einer Reihung, so daß sich als Ergebnisraum Ω die Menge aller n Tupel aus den 35 Tagen eines Jahres (unter Vernachlässigung des 29. Februar mit 35 n ergibt.
5 A 1 Mindestens zwei Personen haben am gleichen Tag Geburtstag. sowie das Gegenereignis A 1 von A 1 A 1 Alle Personen haben an verschiedenen Tagen Geburtstag. Damit ist A 1 }{{} 35 }{{} (35 n + 1 }{{} 1. Person 2. Person n te Person und damit und folglich P (A 1 A1 P (A 1 1 P (A (35 n n (35 n n. A 2 Mindestens eine Person hat am 24. Dezember Geburtstag. sowie das Gegenereignis A 2 von A 2 Damit ist und damit und folglich A 2 Keine Person hat am 24. Dezember Geburtstag. A2 }{{} 34 }{{} (34 34 n }{{} 1. Person 2. Person n te Person P (A 2 A2 34n 35 n P (A 2 1 P (A n 35 n. 12. a Wir betrachten eine Urne mit zehn Kugeln, wovon sieben Kugeln schwarz und drei Kugeln weiß sind. Für das Ereignis A erhalten wir die Wahrscheinlichkeit ( 7 ( 2 3 ( ( 3 3 P (A ( Für das Ereignis B erhalten wir die Wahrscheinlichkeit ( ( 3 ( 2 ( ( 4 ( ( P (A
6 Für das Ereingnis C erhalten wir die Wahrscheinlichkeit P (C ( b Wir betrachten das zufällige Drehen eines Glücksrads mit den Ziffern 0 bis 9, die jeweils mit der gleichen Wahrscheinlichkeit erscheinen; damit ist die Wahrscheinlichkeit für eine gerade bzw. ungerade Ziffer jeweils 5 1; das 10 2 Glücksrad wird nun sechsmal unabhängig voneinander gedreht. Für das Ereignis A erhalten wir die Wahrscheinlichkeit P (A ( Für das Ereignis B erhalten wir die Wahrscheinlichkeit ( ( 5 1 P (B ( 1 ( Für das Ereignis C erhalten wir die Wahrscheinlichkeit ( 1 P (C } {{ } ( ( 3 ( }{{} ( Es gehen folgende Überlegungen ein: Bei ( werden die drei geraden Ziffern als Block bei den ersten drei Drehungen bzw. bei den letzten drei Drehungen erzielt; deswegen muß die Ziffer, die nach bzw. vor diesem Block gedreht wird, ungerade sein. Bei ( werden die drei geraden Ziffern als Block bei den Drehungen 2, 3, 4 bzw. bei den Drehungen 3, 4, 5 erzielt; deswegen müssen die Ziffern, die jeweils vor und nach diesem Block gedreht werden, ungerade sein.
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