Anleitung zum Ausführen der vier Grundrechenarten mit dem russischen Abakus ( Stschoty )

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1 Zahlen darstellen 1 Anleitung zum Ausführen der vier Grundrechenarten mit dem russischen Abakus ( Stschoty ) 1 Zahlen darstellen 1.1 Stschoty in Grundstellung bringen Der Stschoty wird hochkant gehalten so, dass der Stab mit den vier Perlen im unteren Bereich liegt, dieser repräsentiert den Dezimalpunkt. Jeder der übrigen Stäbe stellt eine Stelle des Dezimalsystems dar, abgelesen wird die Zahl dann von oben nach unten auf der linken Seite des Rahmens. In der Grundstellung befinden sich daher alle Perlen auf der rechten Seite. Abb. 1: Stschoty in Grundstellung 1.2 Eine Zahl darstellen Um eine Zahl darzustellen wird für jede der Zehnerpotenzen die passende Anzahl an Perlen auf die linke Seite des Rahmens geschoben. Im nebenstehenden Bild ist also die Zahl = ,426 zu sehen. Abb. 2: Darstellung der Zahl ,426

2 Zahlen addieren 2 2 Zahlen addieren Im Folgenden wird ein Beispiel für die Addition zweier Zahlen, 58,3 und 4,51, beschrieben. 2.1 Ersten Summanden darstellen Zunächst wird der erste Summand auf die oben beschriebene Weise dargestellt. Im Beispiel hier die Zahl 58,3. Abb. 3: Darstellung der Zahl 58,3 2.2 Zweiten Summanden hinzufügen Um eine Zahl zu der dargestellten zu addieren werden der Reihe nach so viele weitere Perlen nach links verschoben, wie es der Darstellung des zweiten Summanden, hier 4,51, entspricht. Um nicht durcheinander zu kommen geht man dabei am besten die Ziffern von rechts nach links durch. Im Beispiel hier addiert man also zunächst 1 Hundertstel, anschließend 5 Zehntel und dann 4 Einer, indem man die entsprechende Anzahl an Perlen auf die linke Seite schiebt. Abb. 4: Erstere Schritte zum Addieren von 4,51 Bei letzterem müssten 4 Perlen verschoben werden, rechts befinden sich aber nur noch 2, es muss also ein Zehner-Ausgleich durchgeführt werden.

3 Zahlen subtrahieren Einen Übertrag verarbeiten Zunächst werden so viele Perlen verschoben, wie rechts noch zur Verfügung stehen, im Beispiel hier 2. Anschließend befinden sich auf der linken Seite 10 Einer-Perlen. Dies wird im Dezimalsystem als 10, also 1 Zehner und 0 Einer, dargestellt. Entsprechend werden jetzt also alle Einer- Perlen zurück nach rechts geschoben und eine Zehner-Perle in der Reihe darüber nach links. Anschließend werden die 2 ausstehenden Einer-Perlen nach links geschoben und der Stschoty zeigt nun das Ergebnis der Rechnung, 58,3 + 4,51 = 62,81, an. Abb. 5: Ausführen des Übertrags und Ablesen des Ergebnisses Für andere Überträge verfährt man ebenso: Sobald sich auf der linken Seite 10 Perlen befinden, werden diese alle zurück nach rechts geschoben und als Ausgleich eine Perle auf dem darüberliegenden Stab nach links geschoben. Eine Ausnahme bilden hierbei natürlich die Zehntel: Sobald sich links 10 Zehntel befinden, werden diese alle wieder nach rechts geschoben und anschließend eine Einer-Perle nach links geschoben, der Stab, der den Dezimalpunkt markiert bleibt immer unverändert. 3 Zahlen subtrahieren Um eine Subtraktion durchzuführen wird auf die gleiche Weise wie oben verfahren. Als Beispiel wird hier 62,81 4,51 berechnet. Zunächst wird die erste Zahl der Rechnung, der Minuend, dargestellt. Anschließend werden der Reihe nach so viele Perlen nach rechts geschoben, wie es der Darstellung des Subtrahenden, hier 4,51, entspricht. Dabei geht man in diesem Fall die Ziffern am besten von links nach rechts durch. Zunächst werden also 4 Einer-Perlen zurück nach rechts geschoben.

4 Zahlen subtrahieren 4 Abb. 6: Ausführen des Übertrags bei der Subtraktion Hierbei tritt wieder ein Übertrag auf, denn links sind nur 2 Perlen. Diese werden zunächst nach rechts geschoben und anschließend der Übertrag verarbeitet. Dazu wird eine Perle auf dem darüberliegenden Zehner-Stab zurück nach rechts geschoben und als Entsprechung davon 10 Einer-Perlen nach links. Nun können die 2 verbleibenden Einer-Perlen nach rechts geschoben werden. Der Übertrag wird hier also genau umgekehrt wie bei der Addition durchgeführt: Stehen auf einem Stab links keine Perlen mehr zur Verfügung, wird auf dem darüberliegenden Stab eine Perle nach rechts geschoben und entsprechend alle 10 Perlen auf dem Stab wieder nach links. Der Stab, der den Dezimalpunkt markiert bleibt natürlich auch hierbei unangetastet, für die Zehntel wird eine Einer-Perle verschoben. Im Beispiel hier bleiben nun noch 5 Zehntel-Perlen und eine Hundertstel-Perle nach rechts zu verschieben und das Ergebnis 58,3 kann direkt abgelesen werden. Abb. 7: Beenden der Subtraktion und Ablesen des Ergebnisses

5 Multiplikationen 5 4 Multiplikationen Eine Multiplikation zweier beliebiger natürlicher Zahlen a und b kann z.b. als wiederholte Addition einer der beiden Faktoren durchgeführt werden: a b = a + a+... +a b Summanden = b + b+... +b a Summanden Diese Vorgehensweise wird allerdings schnell aufwendig, da für a b mindestens a einzelne Additionen durchgeführt werden müssen. Eine Alternative ist es, die Multiplikationsvorschrift für andere Abakusse auf den Stschoty zu übertragen, wobei das Standardverfahren zur schriftlichen Multiplikation verwendet wird. Als Beispiel wird nun die Rechnung zu 54 7 beschrieben. Mithilfe der schriftlichen Multiplikation erhält man das Ergebnis, indem der zweite Faktor mit jeder Ziffer des ersten Faktors multipliziert und die einzelnen Zwischenergebnisse, gewichtet nach der zugehörigen Zehnerpotenz, anschließend addiert werden: Dieses Vorgehen kann auch auf einem Abakus durchgeführt werden. Dazu erhalten die Stäbe allerdings eine andere Bedeutung als oben, zur besseren Übersichtlichkeit hält man ihn dabei am besten quer. Abb. 8: Darstellung der Zahl 54 für die Multiplikation Zunächst wird der erste Faktor, hier die 54, dargestellt. Dabei wird allerdings die oben beschriebene Zehner- Wertung der Stäbe ignoriert und die Zahl so dargestellt, dass die höchste Stelle ganz links ist. Abb. 9: Darstellung der beiden Faktoren Anschließend wird ein Stab freigelassen, der den Malpunkt darstellt und vor allem als Trennlinien zwischen den Faktoren dient. Daneben wird dann der zweite Faktor dargestellt, hier die 7. Diese Darstellung dient vor allem als Merkhilfe. Ist bereits absehbar, dass die Darstellung der beiden Fakto-

6 Multiplikationen 6 ren, der Trennstab und das Ergebnis mehr Stäbe benötigen, als der Stschoty hat, kann darauf auch verzichtet werden (s. unten). Abb. 10: Darstellung des ersten Zwischenergebnisses Abb. 11: Addieren des zweiten Zwischenergebnisses und Ablesen des Ergebnisses Anschließend wird, wie in der Rechnung oben, die schriftliche Multiplikation angewendet, wobei man die einzelnen Ziffern von rechts nach links durchgeht. Im Beispiel hier wird also zunächst 4 7 im Kopf ausgerechnet. Das Ergebnis, 28, wird dann auf der rechten Seite des Stschotys dargestellt. Um den Platz bestmöglich auszunutzen wird die hinterste Stelle auf dem Stab ganz rechts platziert. Anschließend wird die nächste Ziffer des ersten Faktors mit dem zweiten Faktor multipliziert, hier also 5 7 = 35 berechnet. Dieses Zwischenergebnis wird dann nun zu dem ersten hinzuaddiert. Genau wie bei der schriftlichen Multiplikation muss dabei aber die passende Zehnerpotenz berücksichtigt werden, d.h. es wird nicht , sondern berechnet, indem der zweite Stab von rechts zur Darstellung der Einer-Stelle verwendet wird. Tritt dabei ein Übertrag auf, wird dieser genauso verarbeitet, wie oben bei der Addition beschrieben wurde, d.h. sind alle 10 Perlen auf einem Stab unten, werden sie wieder nach oben geschoben und stattdessen auf dem Stab links davon eine Perle nach unten geschoben. Dieses Verfahren kann auch mit Faktoren angewendet werden, die beide mehrere Stellen haben, z.b. bei der Rechnung Die Darstellung der beiden Faktoren und des Ergebnisses würde 13 Stäbe benötigen, also mehr, als der Stschoty hat. Auf die Darstellung der Faktoren wird daher verzichtet und nur das Ergebnis dargestellt. Um nicht durcheinander zu kommen wird der Stab mit dem Dezimalpunkt dabei als Markierung verwendet. Die einzelnen Zwischenergebnisse werden dabei entweder im Kopf ausgerechnet, oder auf die gleiche Art und Weise, wie oben beschrieben wurde.

7 Division und Modulo-Rechnen 7 Abb. 12: Ausführung einer Multiplikation mit mehrstelligen Faktoren Das gleiche Verfahren kann auch für Dezimalbrüche angewendet werden. Dazu multipliziert man beide Faktoren so mit einer geeigneten Zehnerpotenz k, dass keiner der beiden Faktoren mehr eine Nachkommastelle hat. Statt 1,35 2,4 rechnet man also auf die oben beschriebene Art und Weise. Abschließend teilt man das Ergebnis, 32400, durch k 2 und erhält also 1,35 2,4 = 3,24. 5 Division und Modulo-Rechnen Die Division kann, analog zum vorherigen Kapitel, als Abfolge von Subtraktionen dargestellt werden. Dazu wird von dem Dividenden wiederholt der Divisor abgezogen, bis das Ergebnis kleiner als Null werden würde. Die Anzahl der Subtraktionen wird mitgezählt und stellt dann das Ergebnis der Division dar. Im Folgenden wird das Beispiel 15: 4 beschrieben. Um dieses Verfahren mit einem Stschoty durchzuführen wird der Dividend, hier die 15, auf dem Abakus dargestellt. Anschließend

8 Division und Modulo-Rechnen 8 wird so lange, wie es möglich ist, der Divisor, hier 4, davon subtrahiert und nach jeder Subtraktion ein Zähler, z.b. der ganz linke oder rechte Stab, um 1 hochgesetzt. Abb. 13: Beispiel-Division 15:4 Das Ergebnis ist also 15: 4 = 3 Rest 3. Auf dieser Art und Weise wird also nur die Division mit Rest durchgeführt und falls der Rest nicht Null ist, nicht das exakte Ergebnis der Division bestimmt. Dafür liefert dieses Verfahren aber gleichzeitig auch 15 mod 4, den dies ist gerade der Divisionsrest, also hier 15 mod 4 3. Als Alternative dazu kann auch das schriftliche Dividieren mit dem Stschoty umgesetzt werden. Zum Beispiel das Ergebnis der Division 157: 4 erhält man nach der Standardmethode auf die folgende Weise: 157: 4 = : 4 = : 4 = 39, : 4 = 39, Um dieses Vorgehen auf den Stschoty zu übertragen wird der Term zunächst wieder analog zur Multiplikation auf dem Abakus dargestellt. Dabei genügt es allerdings, den Dividenden dazustellen, da die Darstellung des Divisors hier nicht benötigt wird und nur als Merkhilfe dienen würde. Ist

9 Division und Modulo-Rechnen 9 dies gewünscht, kann alternativ die Reihenfolge der beiden Zahlen umgedreht und der Dividend rechts vom Divisor dargestellt werden. Anschließend wird auf die gleiche Weise wie oben gerechnet: 1 kann nicht ganzzahlig durch 4 geteilt werden, daher ist die erste auszuführenden Rechnung 15: 4 = 3 Rest 3. Die erste Ziffer des Ergebnisses ist also eine 3. Diese wird möglichst weit links auf dem Abakus dargestellt, da das Ergebnis von links nach rechts entsteht. Anschließend wird der Divisionsrest, hier 3, mit dem Divisor multipliziert und das Ergebnis von den ersten Ziffern des Dividenden abgezogen, hier also gerechnet. Tritt dabei ein Übertrag auf, wird dieser genauso behandelt, wie bei der Subtraktion oben. Abb. 14: Erste Schritte der schriftlichen Multiplikation mit dem Stschoty Dieses Verfahren wird fortgesetzt, bis die verbleibende Darstellung des Dividenden nicht mehr ganzzahlig durch den Divisor geteilt werden kann, im Beispiel hier nach dem zweiten Schritt. Der Dividend ist nicht Null, daher wird nun nicht 1: 4, sondern 10: 4 berechnet und im Ergebnis an dieser Stelle ein Komma gesetzt. Dieses kann entweder durch ein paar Perlen markiert werden, oder man merkt sich die Stelle einfach. Im Beispiel hier liegt der Stab, der auch sonst den Dezimalpunkt der dargestellten Zahl markiert, gerade zufällig passend. Abb. 15: Letzte Schritte der Division 157 : 4 Sobald eine der Subtraktionen dazu führt, dass der Dividend Null wird, ist die Rechnung beendet und auf der rechte Seite des Abakus kann nun das Ergebnis, hier 13,25, abgelesen werden.

10 Division und Modulo-Rechnen 10 Wie Abb. 14 und Abb. 15 zeigen wandert die Darstellung des aktuellen Dividenden immer weiter nach rechts. Daher stellt man den Dividenden am Anfang so weit wie möglich links dar. Ist die Rechnung noch nicht beendet, wenn der Dividend rechts angekommen ist und die Darstellung des Ergebnisses überdecken würde, gibt es zwei Möglichkeiten. Entweder wird das bisherige Ergebnis als hinreichend genauer Näherungswert akzeptiert, oder die aktuelle Darstellung des Dividenden auf den linken Bereich des Stschotys übertragen, die vorherige Darstellung wieder nach oben geschoben und anschließend weitergerechnet. Ebenso muss verfahren werden, wenn auf der rechten Seite nicht mehr genug Stäbe für die Darstellung des Ergebnisses zur Verfügung stehen. Eine Möglichkeit ist es, die bisherigen Ziffern zu notieren, alle Perlen wieder nach oben zu schieben und anschließend weiter zu rechnen. Die beiden Zwischenergebnisse werden dann anschließend zusammengefügt. Alternativ wird die bisherige Darstellung des Ergebnisses nach links übertragen. Die Anzahl der Stäbe eines Abakus begrenzt also nicht nur den Zahlenbereich, der dargestellt werden kann, sondern auch die Genauigkeit der darstellbaren Rechnungen und Zahlen.