Kombinatorik. Worum geht es in diesem Modul?

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1 Kombinatorik Worum geht es in diesem Modul? Permutationen Binomialkoeffizienten Variation und Kombination Stichproben ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge Stichproben mit Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge Stichproben ohne Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge Stichproben mit Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge Überblick und Anwendung bestimmter Stichprobenziehungen Resümee Worum geht es in diesem Modul? Unter dem Begriff "Kombinatorik" werden einzelne Rechenregeln zusammengefasst, die zur Berechnung der Anzahl der Kombination von Elementen einer Menge dienen. Diese Rechenregeln werden hier vorgestellt. Damit lassen sich Wahrscheinlichkeiten nach dem Gleichmöglichkeitsmodell bestimmen. Beispiel: Anwendungsbeispiele der Kombinatorik - Eine Möglichkeit, Texte zu verschlüsseln, besteht darin, das Alphabet zu "verwürfeln". Dann werden die Buchstaben des Alphabets in eine Zeile geschrieben und in eine Zeile darunter die Buchstaben des verwürfelten Alphabets. Im Originaltext wird jeder Buchstabe aus einem der zweiten Zeile ersetzt. Der Entschlüsseler muss nun herausfinden, welches die Zuordnung war. Die Schwierigkeit dieser Frage wird deutlich, wenn wir uns überlegen, wie viele verwürfelte Alphabete es gibt. - Wie viele Tipp-Möglichkeiten gibt es beim Lotto "6 aus 49"? - Wie viele Varianten gibt es, die Reihenfolge der Personen, die an einer Prüfung teilnehmen, festzulegen? Permutationen Wir betrachten das erste der oben genannten Beispiele, die Verschlüsselung von Texten mit Hilfe eines verwürfelten Alphabets. Wir gehen von einem 26 Buchstaben umfassenden Alphabet aus, die Umlaute ä, ö und ü werden durch ae, oe und ue dargestellt, ß durch ss. Page 1

2 Das ursprüngliche Alphabet sei in einer Zeile aufgeschrieben. In die zweite Zeile soll das verwürfelte Alphabet zu stehen kommen. Die beiden Zeilen unterscheiden sich dann nur durch die Anordnung der Buchstaben. Permutation Jede Zusammenstellung einer endlichen Anzahl von Elementen in irgendeiner Anordnung, in der sämtliche Elemente verwendet werden, heißt Permutation der gegebenen Elemente. Anzahl von Permutationen ohne Wiederholung Wir wollen uns überlegen, wie viele verwürfelte Alphabete es gibt. Es geht also um die Frage der Anordnung von unterschiedlichen Elementen Als ersten Schritt muss das "a" irgendwo platziert werden. Hier haben wir 26 Plätze. Ist das "a" eingetragen, so bleiben 25 Plätze für das "b". Dabei gibt es zu jeder der 26 möglichen Plätze für das "a" 25 Plätze für das "b". Zusammen sind es also 26*25 Möglichkeiten, das "a" und das "b" zu platzieren. Als nächstes haben wir das "c" in einer der nunmehr noch 24 freien Stellen einzutragen. Es sind 26*25*24 Möglichkeiten, "a", "b" und "c" in die zweite Zeile zu schreiben. Wie es weiter geht, ist damit offensichtlich: Die sich ergebende Zahl für die möglichen Verschlüsselungsalphabete ist sehr groß: (Auf die 4 folgen 26 Stellen!) Bei einer Weltbevölkerung von fünf Milliarden Menschen stehen jedem mehr als achtzig Millionen Milliarden eigene Geheimalphabete zur Verfügung. Allgemein gilt: Man kann verschiedene Objekte auf verschiedene Weisen anordnen. wird als N-Fakultät bezeichnet. Speziell wird gesetzt. Anzahl von Permutationen mit Wiederholung Wir betrachten nun den Fall der Anordnung, bei dem sich einzelne Elemente wiederholen dürfen. Die Buchstaben können auf drei verschiedene Weisen angeordnet werden: aab, aba, baa. Ein Austauschen der beiden a's gegeneinander bringt ja keine Veränderung. Page 2

3 Zu dieser Anzahl kommen wir auch durch folgende Überlegung: Elemente lassen sich auf unterschiedliche Arten anordnen. Sind Elemente nicht unterscheidbar, so sind jeweils dieser Anordnungen nicht zu unterscheiden. Mithin haben wir unterschiedliche Anordnungen, wenn von den Elementen gleich sind. In dem einfachen Buchstabenbeispiel ist ; dies ist gerade die von uns bereits ermittelte Anzahl. Allgemein gilt: Man kann Objekte, die in Teilgruppen zerlegt werden können und bei denen alle Elemente jeder Teilgruppe nicht zu unterscheiden sind, in verschiedenen Abfolgen anordnen, wobei gilt. Beispiel: Permutationen Beim 100-Meter-Endlauf der olympischen Spiele laufen acht Läufer in einer bestimmten Reihenfolge ein. Die Läufer können auf genau Arten ins Ziel einlaufen. Beim Elfmeterschießen müssen nacheinander fünf Spieler schießen. Es gibt Möglichkeiten, die Spieler in einer Reihenfolge schießen zu lassen. (Achtung: Damit ist noch nichts über die Trefferwahrscheinlichkeit ausgesagt.) A) Sieben Studierende (vier männlich, drei weiblich) haben sich für die Sprechstunde bei einem Professor angemeldet. In wie vielen Varianten kann der Professor die Reihenfolge festlegen, wenn nur nach dem Geschlecht gegangen wird? Link zur Lösung ( : aa4.pdf ) B) Der Professor nimmt zuerst alle männlichen Studierenden an die Reihe. Wie viele Varianten der Anordnung aller sieben Studierender bleiben noch? (Hier zählt das Individuum.) Link zur Lösung ( : aa9.pdf ) Binomialkoeffizienten Page 3

4 Sechs Richtige beim Lotto Wir betrachten das zweite der eingangs genannten Beispiele, das Lotto. Um die Wahrscheinlichkeit für sechs Richtige zu bestimmen, müssen wir die Anzahl der Möglichkeiten ermitteln, sechs Zahlen aus 49 auszuwählen. Dabei ist die Reihenfolge ohne Bedeutung, in der die Zahlen gezogen werden. Um diese Anzahl zu bestimmen, betrachten wir zuerst die Anzahl der Möglichkeiten mit Berücksichtigung der Anordnung. Wie bei den Permutationen erhalten wir: Um die Anzahl der möglichen Ziehungen ohne Berücksichtigung der Anordnung zu erhalten, ist einfach durch die Anzahl der Permutationen der sechs gezogenen Kugeln zu dividieren. Dies ergibt Ausgerechnet ergibt dies die Anzahl Die Chance für sechs Richtige ist also etwa 1 zu 14 Millionen. Allgemein erhalten wir Quotienten der Form Der Ausdruck ist der Binomialkoeffizient, der "N über n" gesprochen wird. Variation und Kombination Jede Zusammenstellung einer endlichen Zahl von Elementen in irgendeiner Anordnung, in der nur Teilmengen aller Elemente verwendet werden, wird allgemein als Kombination bezeichnet. Werden aus Elementen zusammengestellt, so sprechen wir von einer Kombination. Von den vier Elementen sind beispielsweise für die Zusammenstellungen und Kombinationen. Variationen und Kombinationen unterscheiden sich durch die Berücksichtigung der Anordnung der Elemente innerhalb der Zusammenstellungen. Bei Variationen gelten die Anordnungen und als verschieden. Das bedeutet, dass bei Variationen die Anordnung, bzw. Reihenfolge der Elemente berücksichtigt werden muss. Bei Kombinationen gelten hingegen die Anordnungen und als Page 4

5 gleich, d.h. die Anordnung der Elemente innerhalb der Zusammenstellungen ist beliebig: Die Reihenfolge spielt keine Rolle. Sowohl Kombinationen als auch Variationen werden zusätzlich danach differenziert, ob die Elemente nach einer Ziehung wieder zurückgelegt werden oder nicht. Werden sie wieder zurückgelegt, so kann ein Element mehrfach vorkommen. Wir sprechen daher von Kombinationen bzw. Variationen ohne Zurücklegen und von Kombinationen bzw. Variationen mit Zurücklegen. Die Stichprobe ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge stellt den Normalfall einer Stichprobenziehung in der Umfragepraxis dar. Dort werden ja verschiedene Personen (jeweils nur einmal) befragt. Und es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge sie befragt werden. Stichproben ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge Wenn aus den drei Objekten bzw. Elementen zwei in bestimmter Reihenfolge ausgewählt werden sollen, wie viele Variationen sind dann möglich? Dies wird durch ein Baumdiagramm deutlich: Durch zweimaliges Ziehen ohne Zurücklegen aus einer Menge von drei Objekten ergeben sich sechs Variationen. Erste Kombinationsregel Allgemein gilt die so genannte "1. Kombinationsregel": Sollen Objekte in bestimmter Reihenfolge aus Objekten ausgewählt werden, so ergeben sich insgesamt mögliche Variationen für die Objekte. Anders ausgedrückt gibt es Möglichkeiten. Das bedeutet: Wir berechnen erst die Möglichkeiten ohne Berücksichtigung der Reihenfolge und multiplizieren diese mit den möglichen Permutationen. Das ist aber gerade Beispiel: Beispiele für Stichproben ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge Bei der Fußballweltmeisterschaft treten im Viertelfinale acht Mannschaften gegeneinander an. Da es drei Medaillen gibt, sind verschiedene Verteilungen möglich. Anschaulich wird es, wenn wir uns überlegen, dass für die Goldmedaille acht Mannschaften zur Verfügung stehen, für die silberne nur noch sieben, da eine ja schon Gold hat und für die bronzene letztlich noch sechs. Die Personalabteilung einer Bank fasst nach einigen Einstellungstests vier Frauen und vier Männer als geeignete Bewerber ins Auge. Sie hat allerdings nur drei Stellen zu vergeben. Wie viele mögliche Stichproben gibt es, die Stellen durch diese acht Personen zu besetzen, wenn jede Person genau eine Stelle innehaben kann? Die Bank kann die Stellen auf verschiedene Weisen verteilen. An einer Klausur nehmen zehn Personen teil. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass A die beste, B die zweitbeste und C die drittbeste Note erhalten, wenn das Ergebnis durch Würfeln ermittelt wird? Page 5

6 Mögliche Fälle: Günstige Fälle: 1 Fall Also ergibt sich als Wahrscheinlichkeit Stichproben mit Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge Wenn aus den drei Objekten in bestimmter Reihenfolge zwei ausgewählt werden sollen, wobei sich jedes der Objekte wiederholen kann, wie viele Variationen sind möglich? Durch ein Baumdiagramm erhalten wir wieder eine übersichtliche Darstellung aller Möglichkeiten: Wenn sich die Objekte wiederholen dürfen, können wir aus drei Objekten bei zweimaligem Ziehen insgesamt Variationen bilden. Erste Variationsregel Allgemein gilt die so genannte "erste Variationsregel": Sollen Objekte in bestimmter Reihenfolge aus Objekten ausgewählt werden, wobei sich jedes der Objekte wiederholen kann, so ergeben sich insgesamt mögliche Variationen. Beispiel: Stichproben mit Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge Betrachten wir wieder das Problem der Bank, drei Stellen aus acht Bewerbern zu besetzen. Wie viele Möglichkeiten gibt es nun, die drei Stellen mit den acht Bewerbern zu besetzen, wenn die zukünftigen Angestellten auch mehrere Positionen innehaben können? Dann gibt es für jede Stelle gleich viele Alternativen. Für die erste Stelle stehen acht Personen zur Auswahl. Da man sich aber auch für alle drei Ämter bewerben kann, stehen auch für die zweite und die dritte Stelle acht Personen zur Verfügung. Es gibt also Möglichkeiten. Ein Fahrradnummernschloss besteht aus fünf unabhängig voneinander einzustellenden Ziffern von 0 bis 9. Wie viele Kombinationsmöglichkeiten gibt es? Es gibt Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fahrraddieb mit der ersten Zahlenkombination bereits durch Zufall die richtige trifft, ist dann gerade. Stichproben ohne Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge Wenn aus den drei Objekten zwei ausgewählt werden sollen und die Reihenfolge beliebig ist, wie viele Kombinationen sind dann möglich? Betrachten wir dazu die Abbildung. Wie sie zeigt, können wir durch zweimaliges Ziehen aus den drei Objekten drei Kombinationen bilden: Zweite Kombinationsregel Allgemein gilt im Fall des Ziehens ohne Zurücklegen, ohne Berücksichtigung der Reihenfolge die zweite Kombinationsregel: Sollen Objekte in beliebiger Reihenfolge aus verschiedenen Objekten ausgewählt Page 6

7 werden, so ergeben sich verschiedene Kombinationen. Beispiel: Stichproben ohne Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge - Wir haben schon bei der Einführung des Binomialkoeffizienten das Beispiel des Lottos "6 aus 49" betrachtet. - Bei der Gemeinderatswahl kandidieren 20 Personen für den Gemeinderat, der insgesamt acht Mitglieder hat. Wie viele verschiedene Zusammensetzungen des Gemeinderats sind möglich? Man wählt acht aus 20 Personen aus, d.h. es gibt Möglichkeiten, da die Anordnung der Personen innerhalb des Gremiums keine Rolle spielt. Stichproben mit Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge Wenn aus den drei Objekten in beliebiger Reihenfolge zwei ausgewählt werden sollen, wobei sich jedes der drei Objekte wiederholen kann, wie viele Kombinationen sind dann möglich? Betrachten wir wieder eine grafische Darstellung der Möglichkeiten. Aus den drei Objekten lassen sich genau Kombinationen bilden. Anzahl der Kombinationen Allgemein gilt: Sollen Objekte in beliebiger Reihenfolge aus Objekten ausgewählt werden, wobei sich jedes der Objekte beliebig oft wiederholen kann, so ergeben sich insgesamt verschiedene Kombinationen. Beispiel: Stichproben mit Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge Im Supermarkt sollen acht Eier auf drei Behälter verteilt werden. Wie viele Möglichkeiten der Aufteilung der acht Eier existieren? Es liegt keine Einschränkung vor, also müssen z.b. nicht alle Behälter Eier enthalten. Außerdem sind die Eier identisch und folglich ist die Abfolge unwichtig. Daher gibt es Möglichkeiten, die Eier zu verteilen. Ein Fußballer schießt zwölf Bälle auf eine Torwand mit drei Löchern und trifft jedes Mal eines der Löcher. Wie viele Varianten von Treffern in die Löcher gibt es? Die Anzahl der Varianten von Treffern beträgt: Überblick und Anwendung bestimmter Stichprobenziehungen Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über die Anzahl der Möglichkeiten bei unterschiedlichen Formen der Stichprobenziehung. Die Stichprobe ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge stellt den Normalfall der Stichprobenziehung in der Umfragepraxis dar. Dort werden Personen Page 7

8 jeweils nur einmal befragt und es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge sie befragt werden. Ergänzen Sie die Lücken! - Betrachtet man die ganze Objektmenge, spricht man von...? - Betrachtet man Zusammenstellungen von Teilmengen, so spricht man von...? - Muss die Reihenfolge der Elemente in den Zusammenstellungen berücksichtigt werden, spricht man von...? - Muss die Reihenfolge hingegen nicht beachtet werden, spricht man von...? - Dürfen dieselben Elemente mehrfach in den Zusammenstellungen vorkommen, spricht man von einem...? - Dürfen dieselben Elemente hingegen nur einmal in den Zusammenstellungen vorkommen, dann spricht man von einem...? Link zur Lösung ( : c36.pdf ) a) In welche Varianten lassen sich die Regeln zur Berechnung der Anzahl möglicher Permutationen einer gegebenen Menge an Elementen differenzieren? b) Welche Variante der Stichprobenziehung wird in der Regel in der Umfragepraxis angewandt? Link zur Lösung ( : c40.pdf ) Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch? a) Die Summe von (n Fakultät) und beträgt immer eins. b) c) d) Multipliziert man die Anzahl der Möglichkeiten bei einer Stichprobe ohne Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge mit so erhält man die Anzahl der Möglichkeiten einer Stichprobe ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge. Link zur Lösung ( : c60.pdf ) Richtig oder falsch? a) Eine Variation ist eine Teilmenge der Permutationen. b) Eine Permutation ist eine Teilmenge der Kombinationen. c) Eine Kombination ist das gleiche wie eine Stichprobe mit Zurücklegen. d) Eine Variation ist eine Variante, die Grundgesamtheit anzuordnen. Link zur Lösung ( : c70.pdf ) a) Berechnen Sie: b)wie könnte man nachfolgenden Ausdruck anders schreiben? Page 8

9 Link zur Lösung ( : c83.pdf ) a) Ein Graphologe soll vier Handschriften in dieselbe Reihenfolge bringen wie die Fotos der Schreiber. Er ordnet alle vier Handschriften richtig zu. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er sein Ergebnis durch Raten erzielt hat? b) Sechs Prüfungskandidaten streiten sich, in welcher Reihenfolge sie geprüft werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine dieser 6 Personen, als letzte dranzukommen? Link zur Lösung ( : c91.pdf ) In einer Untersuchung zur Begriffsbildung erhalten Kinder u.a. die Aufgabe, aus den Worten: Apfel-Baum-Birne-Sonne-Pflaume diejenigen drei herauszufinden, die zusammengehören. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die richtige Lösung (Apfel-Birne-Pflaume) zufällig gefunden wird? Link zur Lösung ( : c99.pdf ) In einer Urne liegen eine gelbe, eine blaue, eine rote, eine grüne und eine schwarze Kugel. Es wird dreimal eine Kugel gezogen und danach wieder zurückgelegt. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt? Link zur Lösung ( : ca1.pdf ) Lösen Sie die folgenden Aufgaben und geben Sie jeweils an, auf welches der Urnenmodelle Sie sich beziehen! a) Wie wahrscheinlich ist es, eine sechsstellige Telefonnummer aus den Ziffern zufällig richtig vorherzusagen, wenn man weiß, dass keine Ziffer doppelt auftritt? b) Bei einer Weinprobe gibt es in einem Weingut 30 verschiedene Sorten. Es sollen zehn Geschmacksrichtungen probiert werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Zahlenlotto ( "6 aus 49" ) sechs Richtige zu haben? d) In der Blindenschrift werden durch die Anordnung von sechs Punkten, die entweder erhaben (Punkt) oder als Löcher (Nicht-Punkt) in Papier gedrückt werden, die Buchstaben, Zahlen und Satzzeichen dem Blinden fühlbar gemacht. Wie viele verschiedene Zeichen sind auf diese Weise in der Blindenschrift unterscheidbar? Link zur Lösung ( : cb5.pdf ) a) Fritz hat beim "Mensch-ärger-Dich-nicht" die Chance, seinem härtesten Konkurrenten eins auszuwischen. Dazu muss er jedoch erst eine Sechs und dann eine Drei oder Vier würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ihm dies gelingt? b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei drei Versuchen keine Sechs zu würfeln? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln nacheinander fünfmal dieselbe Page 9

10 Zahl zu würfeln? Link zur Lösung ( : cc1.pdf ) a) Beim Spiel "Die Reise nach Jerusalem" müssen neun Spieler auf acht Stühle verteilt werden. Wer keinen Platz bekommt, scheidet aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in der ersten Runde nicht auszuscheiden? b) Fünf Freunde wollen einen Ausflug mit einem Kanu machen. Leider bietet das Kanu nur vier Plätze. Wie viele Möglichkeiten gibt es, das Kanu zu besetzen, wenn man davon ausgeht, dass auf jeden Fall alle vier Plätze belegt werden. Link zur Lösung ( : ccb.pdf ) a) In der Mensa gibt es zwei Suppen, drei Hauptgerichte und drei Nachspeisen. Wie viele Essensvarianten kann man sich zusammenstellen, wenn man von jeder Komponente eine wählt? Wie viele Varianten wären es, wenn man auf die Nachspeise auch verzichten kann? b) Drei Kochbücher und fünf Physikbücher sollen auf einem Regal nebeneinander gestellt werden. Auf wie viele Arten geht das, wenn Bücher des gleichen Stoffgebietes nebeneinander stehen sollen? Link zur Lösung ( : cd5.pdf ) Weitere Aufgaben und Erläuterungen zur Einführung in die Kombinatorik finden Sie auf der Seite: Resümee In diesem Modul wurden die Grundlagen kombinatorischer Regeln vermittelt. Dabei wurden Permutationen, Variationen und Kombinationen unterschieden. Verschiedene Formen von Permutationen und Variationen ergeben die so genannten Urnenmodelle. Eine Variante der Urnenmodelle, das Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge, bildet die übliche Form von Stichprobenziehungen in der Umfragepraxis. Fakultät ErklärungKombination ErklärungKombinatorik ErklärungPermutation ErklärungVariation Erklärung (c) Projekt Neue Statistik 2003, Freie Universität Berlin, Center für Digitale Systeme Kontakt: Page 10