Elemente der Stochastik (SoSe 2016) 7. Übungsblatt

Transkript

1 Dr. M. Weimar Elemente der Stochastik (SoSe Übungsblatt Aufgabe 1 ( Punkte Maria, Joseph und Hannes gehen zusammen mit drei weiteren Personen zur Nikolausparty ihres Tischtennisclubs. Es wird gewichtelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass a Maria ein Geschenk erhält, welches von Joseph oder Hannes stammt? b Maria und Joseph ihre eigenen Geschenke zurückerhalten? c Niemand der Anwesenden sein eigenes Geschenk zurückerhält? Aufgabe 2 (2+35 Punkte In einem Hostel sind noch sieben Vierbettzimmer frei. Wieviele Möglichkeiten gibt es, a vier neue Gäste b fünf neue Gäste auf diese Zimmer zu verteilen? Dabei sind Mehrfachbelegungen zugelassen und von Interesse ist nur die Anzahl der Personen pro Zimmer. Aufgabe 3 (2 Punkte An einem Seminar zur Didaktik nehmen sechs Studierende teil. In der ersten Woche des Semesters wird festgelegt, dass in den verbleibenden zwölf Semesterwochen jeder Teilnehmer zwei Vorträge halten soll. Wieviele Möglichkeiten gibt es die Themen zu verteilen, wenn an jedem Seminartermin genau ein Vortrag gehalten wird? Aufgabe 4 (1 Punkt Wie oft kann man in der nachfolgenden Abbildung das Wort Zufall lesen, wenn man aus jeder Zeile (beginnend von der obersten genau einen Buchstaben auswählt, der unmittelbar schräg unter dem aus der vorhergehenden Zeile gewählten Buchstaben steht? (Zwei Möglichkeiten sind bereits eingezeichnet Abgabe (freiwillig: In den Tutorien während der 9. Vorlesungswoche (

2 Musterlösung zum 7. Übungsblatt Elemente der Stochastik (SoSe 2016 Aufgabe 1. a Es gibt 6 ( mögliche Geschenke für Maria, genau zwei davon stammen von Joseph und Hannes. Die gesuchte W-keit ist damit b Es gibt 6! mögliche Anordnungen aller 6 Geschenke. Erhalten Maria und Joseph ihre eigenen Geschenke zurück, so können die restlichen 4 beliebig angeordnet werden. Dafür gibt es 4! Möglichkeiten. Die gesuchte W-keit ist damit 4! 6! c In Beispiel 6.32 haben wir festgestellt, dass die gesuchte W-keit bei n Wichtel-Teilnehmern durch gegeben ist. Hier ist n 6, sodass d n n n! j0 ( 1 j j! d 6 6 6! j0 ( 10 0! ( 1 j j! + ( 11 1! + ( 12 2! + ( 13 3! ( 14 4! + ( 15 5! + ( 16 6! Aufgabe 2. Vgl. Bsp und die method of stars and bars! a Die zugrunde liegende kombinatorische Figur ist Ungeordnete Stichprobe mit Zurücklegen vom Umfang k 4 aus Urne mit n 7 Kugeln. Dafür gibt es nach Satz 6.18 Möglichkeiten. ( n + k 1 k b Analog zu a gibt es ( n + k 1 k ( ! 4! 6! ( 11 11! ! 6! Möglichkeiten k 5 Gäste auf n 7 Zimmer aufzuteilen. Da es sich nur um Vierbettzimmer handelt müssen aber die 7 Möglichkeiten in denen alle 5 Gäste einem einzigen Zimmer zugeordnet werden würden ausgeschlossen werden. Es bleiben also Möglichkeiten

3 Aufgabe 3. Nach Folgerung 6.27 gibt es ( 12 12! 2, 2, 2, 2, 2, 2 2! 2! 2! 2! 2! 2! Arten n 12 Vorträge auf r 6 Studierende zu verteilen, sodass jeder von ihnen k j 2 halten muss (j 1,..., 6. Aufgabe 4. Vgl. Kütting/Sauer, Sect /Aufg. 10, S Lösung in Sect , S.381. Es muss mit dem einzig vorhandenen Z begonnen werden. Für jeden der restlichen 5 Buchstaben in Zufall gibt danach stets genau zwei Möglichkeiten (rechts/links. Insgesamt gibt es also Wege durch das Diagramm

4 Vorschläge für die Tutorien zum 7. Übungsblatt Elemente der Stochastik (SoSe 2016 Aufgabe 5 Vier Spielkarten (Bube, Dame, König, Ass liegen verdeckt auf dem Tisch und ein vermeintlicher Hellseher gibt an, zu fühlen, welche Karte an welcher Stelle liegt. Sie vermuten, dass es sich um einen Schwindler handelt, der einfach auf gut Glück rät. Mit welcher W-keit liegt er in diesem Fall bei wenigstens einer Karte richtig? LÖSUNG: Die W-keit dafür, dass er (beim gleichverteilten Raten bei keiner der Karten richtig liegt, ist d 4 /4!, wobei d n die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen von n Elementen bezeichnet (vgl. Aufg. 1c. Die gesuchte W-keit ist damit gegeben durch 1 d 4 4! Aufgabe 6 (Vgl. Kütting/Sauer, Sect /Aufg. 16, S Lösung in Sect , S.381 Betrachte die Toto 11er Wette aus Bsp Es gibt Möglichkeiten eine Tippreihe auszufüllen. Genau eine dieser Möglichkeiten entspricht der richtigen Vorhersage für alle 11 Spiele. Im schlimmsten Fall werden alle 11 Spiele falsch getippt. a Wieviele der möglichen Tipps enthalten genau k Fehler (k 0, 1, 2,..., 11? b Welche Anzahl falsch getippter Spiele ist am wahrscheinlichsten wenn eine Tippreihe zufällig ausgefüllt wird? c Wie hoch ist die entsprechende W-keit in b? LÖSUNG: a Sei k {0, 1, 2,..., 11} gegeben. Dann gibt es ( 11 k Möglichkeiten k der 11 Spiele auszuwählen, die falsch getippt werden. Für jeden der k Fehler gibt es zudem genau zwei Möglichkeiten, da drei Zeichen (0, 1, 2 zur Verfügung stehen und nur ein Zeichen jeweils richtig ist. Sind also k Spiele ausgewählt, so gibt es 2 k Möglichkeiten diese falsch zu tippen. Insgesamt enthalten daher ( 11 k 2 k der möglichen Tipps genau k Fehler. 11! k! (11 k! 2k b Man werte die hergeleitete Formel einfach für jedes k 0, 1,..., 11 aus! Für die ersten k ergibt sich z.b. 1, 22, 220, 1 320, 5 280,...

5 Die Tabelle zeigt, dass k 7 oder k 8 Fehler am häufigsten vorkommen (jeweils Möglichkeiten. c Die W-keit dafür beträgt jeweils Aufgabe 7 Gegeben seien n 3 Punkte im dreidimensionalen Raum, von denen keine 4 in einer gemeinsamen Ebene liegen. Wieviele verschiedene Ebenen gibt es, die jeweils mindestens drei der n Punkte enthalten? Geben sie die Anzahl für n 3, 4, 5 explizit an!

6 LÖSUNG: Es lassen sich ( n 3 n! 3! (n 3! verschiedene Mengen aus genau drei der n Punkte auswählen. Jede dieser Auswahlen bestimmt genau eine Ebene. Da niemals vier (oder mehr Punkte in einer Ebene liegen sollen, sind alle so konstruierten Ebenen verschieden. Für n 3 Punkte gibt es also ( ( Ebene, für n 4 genau 4 ( 3 4 und für n 5 genau Ebenen. Allgemein: ( n 3 Ebenen bei n 3 Punkten. Aufgabe 8 (Vgl. Kütting/Sauer, Sect /Aufg. 17, S Lösung in Sect , S.381f Wie groß ist die W-keit beim Lotto 6 aus 49 genau r {0, 1,..., 6} Richtige zu tippen? Ausführlicher formuliert: Wie groß ist die W-keit dafür, dass bei einer Lottoziehung am Ende genau r Übereinstimmungen mit einer vorliegenden Tippreihe vorhanden sind? (Die Superzahl werde der Einfachheit halber nicht berücksichtigt! Geben sie die W-keiten für r 0 und r 1 explizit an! LÖSUNG: Beim Lotto werden k 6 aus n 49 Kugeln ohne Zurücklegen ausgewählt. Es gibt ( 49 6 solcher Auswahlen. Steht ein solcher Tipp fest, so hat die Lottofee ( 6 r Möglichkeiten r der 6 getippen Zahlen aus der Lottotrommel auswählen und es gibt ( 43 6 r mögliche Auswahlen der verbleibenden 6 r Kugeln mit den 43 nicht auf dem Tippschein angekreuzten Zahlen. Also gilt ( 6 ( Anzahl der günstigen Fälle P ( genau r Richtige r 43 Anzahl der möglichen Fälle 6 r ( Auswerten liefert P ( keine Richtige % und P ( genau 1 Richtige %.