Prof. S. Krauter Kombinatorik. WS Blatt06_Lsg.doc

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1 Prof. S. Krauter Kombinatorik. WS Blatt06_Lsg.doc Aufgaben zur Siebformel: 1. Formulieren Sie die Siebformel ausführlich und explizit für die Vereinigung von 2, 3 bzw. 4 Mengen A, B, C und D. Machen Sie sich die Sache im Fall von 3 Mengen an einem Mengenbild nochmals klar. Was erhält man mit der Siebformel, wenn die beteiligten Mengen paarweise disjunkt sind? 2. Weisen Sie nach, dass ein Element, das in genau k der Mengen A i vorkommt, in der Siebformel genau 1 Mal gezählt wird. 3. a) Wie viele Zahlen aus der Menge M = {1, 2, 3, 4,, } sind durch 6 oder durch 7 oder durch 10 oder durch 15 teilbar? b) Wie viele Zahlen aus der Menge M = {1, 2, 3, 4,, } sind weder durch 6 noch durch 7 noch durch 10 noch durch 15 teilbar? 4. Das Problem der Rencontres: An einer Tanzveranstaltung nehmen genau n Ehepaare teil. Bei einer Tanzrunde fordert jeder der n Herren irgendeine der n Damen als Tanzpartnerin auf. a) Wie viele verschiedene Zuordnungsmöglichkeiten der Herren zu den Damen gibt es insgesamt? b) Bei wie vielen der möglichen Zuordnungen tanzt keine einziger Herr mit seiner eigenen Ehepartnerin? c) Wie wahrscheinlich ist es daher, dass bei einer beliebigen Tanzrunde kein einziges Ehepaar tanzt? d) Berechnen Sie die Ergebnisse von a) bis c) z.b. mit Hilfe von MAPLE zahlenmäßig für die Werte n = 0, 1, 2, 3,,10, Fünf Jäger, allesamt perfekte Schützen, stehen schussbereit da um fünf auf dem See schwimmende Enten zu erlegen. Jeder der 5 Jäger zielt beliebig auf irgendeine Ente. Da alle perfekte Schützen sind, verfehlt keiner sein Ziel. a) Wie viele verschiedene Zuordnungen zwischen Jägern und angezielten (und damit auch getroffenen) Enten gibt es insgesamt? b) Bei wie vielen Zuordnungen werden alle, bei wie vielen genau 4 bei wie vielen genau 3, bzw. genau 2 bzw. genau 1 Ente bzw. keine Ente getroffen? c) Wie groß ist die im Mittel getroffene Anzahl von Enten? d) Wie groß ist die Überlebenswahrscheinlichkeit für eine bestimmte Ente?

2 6. Die Eulersche ϕ-funktion gibt für jede natürliche Zahl n an, wie viele der natürlichen Zahlen, die kleiner oder gleich n sind, zu n teilerfremd sind. So sind z.b. die Zahlen 1, 3, 7 und 9 zu 10 teilerfremd, also ist ϕ(10) = 4. Man siebt unter den natürlichen Zahlen, die kleiner oder gleich 10 sind, diejenigen aus, die die Primfaktoren 2 oder 5 enthalten. a) Wie viele der Zahlen kleiner oder gleich 36 enthalten weder den Primfaktor 2 noch den Primfaktor 3, sind also zu 36 teilerfremd? Benützen Sie die Siebformel. b) Sieben Sie unter den Zahlen 1, 2, 3,, 210 genau diejenigen aus, die die Primfaktoren 2 oder 3 oder 5 oder 7 enthalten. Bestimmen Sie auf diese Weise die Anzahl der zu 210 teilerfremden Zahlen und damit ϕ(210). c) Verfahren Sie wie in b) für die Zahl 8*9*5 = 360. d) Leiten Sie nun mit Hilfe des Siebprinzips eine Formel her, mit der man die Eulersche Zahl ϕ(n) berechnen kann, wenn man die Primfaktorzerlegung von n kennt, also z.b. für n = p a * q b * r c. Hinweis: Man erhält ϕ (n) = n * (1 - p 1 ) * (1 - q 1 ) * (1 - r 1 ). Die folgenden Aufgaben stammen aus: M. Aigner; Diskrete Mathematik. Vieweg An einer Fakultät ist festgelegt, dass jeder Student genau 4 der 7 angebotenen Vorlesungen belegen muss. Die Dozenten geben ihre Teilnehmerzahlen mit 51, 30, 30, 20, 25, 12 und 18 an. Kann das stimmen? 8. a) Gegeben sind n paarweise disjunkte Mengen S i. Diese enthalten a 1, a 2,..bzw. a n Elemente. Beweisen Sie: Die Anzahl der verschiedenen Mengen, die aus jeder der Mengen S i höchstens ein Element enthalten ist x = (a 1 + 1) * (a 2 + 1) * (a 3 + 1) *... * (a n + 1). b) Verwenden Sie dieses Prinzip zur Ermittlung der Teileranzahl einer Zahl aus ihrer Primfaktorzerlegung. c) Warum ist n genau dann eine Quadratzahl, wenn seine Teileranzahl ungerade ist? 9. Es sei M = {1, 2, 3,..., 100} und A eine Teilmenge von M mit A =55. Zeigen Sie, dass es in A zwei Zahlen a und b gibt mit a b = 9. Gilt dies auch für A = 54? 10. Kann man die 12 Kanten eines Würfels so mit den Zahlen 1, 2, 3,..., 12 nummerieren, dass die Summe der drei Kanten in jeder Ecke dieselbe ist? 11. a) Im Parlament eines Landes gibt es 151 Sitze und drei Parteien. Wie viele Möglichkeiten der Sitzverteilung gibt es, so dass keine Partei die absolute Mehrheit hat? b) Wie viele verschiedene Wörter kann man durch Umstellungen der Buchstaben aus dem Wort ABRAKADABRA bilden?

3 Lösungen zu Blatt06: 1. Siehe Skript. 2. Siehe Skript. 3. a) Se = Sechservielfache; analog: Si, Ze, Fz. Wir verwenden der Einfachheit halber diese Bezeichnungen sowohl für die Mengen als auch für deren Anzahlen. Se = ; Si = ; Ze = ; Fz = 6 666; Summe1 = Se Si = 2 380; Se Ze = 3 333; Se Fz = 3 333; Si Ze = 1 428; Si Fz = 952; Ze Fz = Summe2 = Se Si Ze = 476; Se Si Fz = 476; Se Ze Fz = 3 333; Si Ze Fz = 476; Summe3 = Se Si Ze Fz = 476 = Summe4. Ergebnis = Summe1 Summe2 + Summe3 Summe4 = = = > s:=0; s := 0 > for i from 1 to do if irem(i,6)=0 or irem(i,7)=0 or irem(i,10)=0 or irem(i,15)=0 then s:=s+1 end if; end do; print(s); > s:=0; b) Dies ist genau die Komplementmenge der in a) betrachteten Menge, also erhalten wir = s := 0 > for i from 1 to do if irem(i,6)>0 and irem(i,7)>0 and irem(i,10)>0 and irem(i,15)>0 then s:=s+1 end if; end do; print(s); Es geht bei diesem Problem um bijektive Zuordnungen einer n-menge auf sich selbst, wenn wir die Ehepartner identifizieren. a) Insgesamt gibt es n! mögliche Zuordnungen. b) Es geht nun um die Anzahl der Fixpunktfreien Permutationen einer n-menge: n k 1 Diese Anzahl ist uns bekannt (siehe Skript): n!* ( 1) * k! k= 2

4 c) Dividiert man die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen durch die Anzahl aller Permutationen, so erhält man die Wahrscheinlichkeit dafür, dass kein einziges n k 1 Ehepaar tanzt zu w = ( 1) *. k! k= 2 d) Wir geben die Werte in Form einer Tabelle an: Anzahl und Anteil fixpunktfreier Permutationen einer n-menge > ffp:=proc(n); n! * sum('(-1)^k*(1/k!)', 'k'=2..n) end proc; ffp := proc () n n! sum ('(-1)^k/ k!', '' k = 2.. n ) end proc > ffp(2); 1 5. Wir lösen das Problem mit Hilfe der Kenntnisse über surjektive Abbildungen: a) Es gibt insgesamt 5 5 = 3125 mögliche Zielzuordnungen Jäger Ente. b) In allen Fällen, bei denen die Zuordnung Jäger Enten surjektiv ist, bleibt keine Ente übrig, werden also alle 5 getroffen. Das sind 5! * S(5, 5) = 5! = 120 Fälle. In all den Fällen, bei denen die Jäger die Enten 1, 2, 3 und 4 treffen, bleibt die Ente 5 übrig. Das ist genau bei den surjektiven Abbildungen von 5 Jägern auf die Enten 1 bis 4 der Fall, das sind jedoch 4! * S(5, 4) = 24 * 10 = 240 Fälle. Analoges gilt für jede Ente. Daher sind dies 5 * 240 = 1200 Fälle. In den Fällen, bei denen die Jäger die Enten 1, 2 und 3 treffen, bleiben die Enten 4 und 5 übrig. Das ergibt C(5,2) * 3! * S(5, 3) = 10 * 6 * 25 = 1500 Fälle. Analog erhalten wir für 2 Treffer und 3 Überlebende: C(5,3) * 2! * S(5,2) = 10 * 2 * 15 = 300 Fälle. Für 1 Treffer: C(5,4) * 1! * S(5, 1) = 5 Fälle. Wir erhalten die folgende Tabelle: Getroffen Überlebt Fallzahl Wahrsch. 0,0016 0,096 0,48 0,384 0,0384 1,0000 c) Mittlere Anzahl getroffener Ente = 1 * 0, * 0, * 0, * 0, * 0,384 = 3,3616. Im Mittel werden also 3,3616 Enten getroffen d) Dass eine bestimmte Ente von einem bestimmten Jäger nicht angezielt wird, trifft in 4 von 5 Fällen zu, die Wahrscheinlichkeit dafür ist also 4/5. Dass sie von allen fünf Jägern nicht getroffen wird ist daher (4/5) 5 = 0,32768 = 33%. e) Zusatz: Wir verwenden die Siebformel zur Ermittlung der Anzahl der Volltreffer :

5 Es sei M1 die Menge der Zuordnungen, bei der die Ente1 nicht getroffen wird. Es ist M1 = 4 5. Analog M2 = M3 = M4 = M5 = M1. M1 M2 = Enten 1 und 2 werden nicht getroffen; M1 M2 = 3 5. Analog andere. M1 M2 M3 = 2 5. Analog die anderen Durchschnitte von 3. M1 M2 M3 M4 = 1. M1 M2 M3 M4 M5 = 0. Damit erhalten wir für die Anzahl der Fälle bei denen mindestens eine Ente nicht getroffen wird: 5 * * * * 1 = 3005; In = 120 = Surj(5, 5) = 5! Fällen, werden dagegen alle getroffen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Enten getroffen werden ist also 120/3125 = 0,0384 also kleiner als 4%. 6. a) Z = Menge der Zahlen bis 36, die den Primfaktor 2 enthalten. z = 18. Analog d = 12. Z D ergibt zd = 6. Damit erhalten wir: Z D = z + d zd = = 24. Die restlichen 12 enthalten weder den Primfaktor 2 noch den Primfaktor 3, sind also zu 36 teilerfremd, d.h. ϕ(36) = 12. b) 210 = 2 * 3 * 5 * 7. Den Primfaktor 2 enthalten z = 105 der Zahlen. Analog d = 70; f = 42; s = 30. Summe1 = 247. zd = 35; zf = 21; zs = 15; df = 14; ds = 10; fs = 6. Summe2 = 101. zdf = 7; zds = 5; zfs = 3; dfs = 2. Summe3 = 17 zdfs = 1. Summe4=1. Mindestens einen der Primfaktoren enthalten also = 162. Daher sind die übrigen = 48 teilerfremd zu 210, also ϕ(210) = 48. c) 360 = 9 * 40 = 2³ * 3² * 5. z = 180; d = 120; f = 72. Summe1 = 372. zd = 60; zf = 36; df = 24. Summe2 = 120. zdf = 12. Mindestens einen der Primfaktoren enthalten daher = 264. Damit ist der Rest = 96. = ϕ(360). d) n = p a * q b * r c P = p a-1 * q b * r c. Analog: Q = p a * q b-1 * r c R = p a * q b-1 * r c. PQ = p a-1 * q b-1 * r c PR = p a-1 * q b * r c-1 QR = p a * q b-1 * r c-1 PQR = p a-1 * q b-1 * r c-1 Damit erhalten wir die Anzahl der zu n teilerfremden Zahlen:

6 p a-1 * q b-1 * r c-1 * (p *q b *r -q*r p*r p*q + r + q + p 1) = p a-1 * q b-1 * r c-1 * (p-1) * (q-1) * (r-1) = p a * q b * r c * (1 - ) * (1 - ) * (1 - ) p q r = n * (1 - ) * (1 - ) * (1 - ). p q r Überprüfen Sie die Ergebnisse von a) bis c) nochmals mit dieser Formel. 7. Wir zählen die Vorlesungsteilnahmen auf zwei verschiedene Weisen: Über die Studierenden: Wenn jeder der s Studierenden genau 4 Veranstaltungen belegt, dann sind das 4*s Teilnahmen. Über die Professoren: = 186. Nun müsste gelten: 4 * s = 186, wobei s eine ganze Zahl sein muss. Da jedoch 186 nicht durch 4 teilbar ist, kann die Sache nicht stimmen; die Professoren haben falsche Angaben gemacht. 8. Man kann aus S 1 entweder 0 oder 1 oder 2 oder 3 oder... oder a 1 Elemente entnehmen, das sind genau (a 1 + 1) Möglichkeiten. Dies gilt analog für jede der Mengen. Damit hat man das Ergebnis (Baumvorstellung): (a 1 + 1) * (a 2 + 1) * (a 3 + 1) *... * (a n + 1). Anwendung auf die Bestimmung der Teileranzahl einer natürlichen Zahl: Sei n = p a * q b * r c. Nun bilden wir die folgenden Mengen: P = {p, p², p³,, p a } Q = {q, q²,, q b } R = {r, r²,, r c }. Man erhält genau dann einen Teiler von n, wenn man aus jeder der Menge der Primteiler höchstens 1 Element entnimmt und diese mit 1 multipliziert. Damit erhält man die gewünschte und wohlbekannte Formel für die Teileranzahl. 9. Wir versuchen eine optimale Lösung zur Vermeidung der Differenz 9, indem wir folgende Gruppen auswählen: 1, 2, 3,..., 9; Lücke; 19, 20, 21,..., 27; Lücke; 37, 38,..., 45; Lücke; 55, 56,..., 63; Lücke; 73, 74,..., 81; Lücke; 91, 92,..., 99. Damit haben wir 6 Neunergruppen ausgewählt, also insgesamt 54 Zahlen. Die 55. Zahl würde einen Fall erzeugen, der eine Differenz von 9 ergibt. Also ist die Auswahl unmöglich. Alternative Lösung: Angenommen wir hätten eine Auswahlmenge A M der gewünschten Art mit 55 Zahlen, von denen keine zwei eine Differenz von 9 haben. Es sei B = M\A die Restmenge von A bezüglich M: Wir können folgende Relation in AxB einführen:

7 (a,b) R, wenn a-b =9, also genau dann, wenn a und b die Differenz 9 haben. Nun zählen wir die Anzahl der Inzidenzen (also der Kreuze in der Relationstabelle) einmal von den Elementen von A aus (d.h. in Zeilen) und dann von den Elementen von B aus (d.h. in Spalten). Wir müssten damit zum selben Ergebnis kommen: Mit jeder Zahl x mit 10 x 91 inzidieren genau 2 verschiedene andere Zahlen, mit den übrigen je genau 1. Für die Elemente aus A muss es daher mindestens 18*1 + 37*2 = 92 Inzidenzen geben. Jedes der 45 Elemente aus B kann jedoch höchstens mit zwei Elementen aus A inzidieren. Daher kann es demnach höchstens 90 Inzidenzen geben. Das ist ein Widerspruch. 10. Wir zählen die Nummern der Kanten auf zwei verschiedene Weisen: Über die Ecken: Addiert man in den Ecken alle Kantennummern, so erhält man 8 mal die in jeder Ecke gleiche Summe S, also den Wert x = 8 * S. Dabei wird jede Kantennummer doppelt gezählt, je einmal an jeder ihrer beide Endecken. Über die Kanten: Man erhält als doppelte Summe aller Kantennummern y = 2* i = 12 * 13 = 156. Nun muss gelten: 8*S = 156 mit einer ganzen Zahl S. Dies ist aber unmöglich. 12 i= a) Jede der drei Parteien hat mindestens einen Sitz. Angenommen die 1. Partei habe i Sitze mit i = 1, 2, 3,...75 (sie darf ja keine 76 haben). Dann kann die zweite Partei noch 75=76-1, 74=76-2, 73=76-3, oder i Sitze haben und die dritte jeweils den Rest. Zu jeder Sitzzahl i der ersten Partei von i=1 bis 75 gibt es also i Möglichkeiten für die zweite Partei (die dritte ergibt sich von selbst) * Daher haben wir als Gesamtzahl aller Möglichkeiten i = = = i= b) Wir zählen, wie oft jeder Buchstabe auftritt: Buchstabe A B D K R Summe Vorkommen Damit erhält man C(11,5) * C(6,2) * C(4,1) * C(3,1) = 11! 5!*2!*2! Möglichkeiten.

8 Tabelle zu Aufgabe 4: A B C D E F G H I J K L 1 n n! ffp( n ) ffp( n ) n!