Fachwissenschaftliche Grundlagen

Transkript

1 Fachwissenschaftliche Grundlagen Vorlesung im Wintersemester 2011/2012, Universität Landau Roland Gunesch 9. Vorlesung Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 9. Vorlesung 1 / 17

2 Themen heute Teilbarkeit Primzahlen Es gibt unendlich viele Primzahlen lange Lücken zwischen Primzahlen gröÿter gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 9. Vorlesung 2 / 17

3 Wiederholung: Induktion Zuerst zeigen wir: Die Aussage stimmt für n = 1. Gegebenenfalls für einen anderen Anfangswert. Dieser Schritt heiÿt Induktionsanfang. Die Aussage für n zeigen wir momentan nicht, wir setzen sie temporär voraus und nennen sie Induktionsannahme. Dann zeigen wir: Wenn die Aussage für n stimmt, dann auch für n + 1. Wobei n jetzt beliebig ist. Dieser Schritt heiÿt Induktionsschritt. Heute werden wir eine abgewandelte Version kennenlernen. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 9. Vorlesung 3 / 17

4 Rätsel: Ein falscher Induktionsbeweis Was halten Sie von folgendem Induktionsbeweis? Wahr oder falsch? Wenn falsch, wo genau? Behauptung: Alle Pferde haben dieselbe Farbe. Beweis: Wir zeigen per Induktion, dass in jeder Menge mit n Pferden alle Pferde dieselbe Farbe haben. Dies zeigen wir für alle n N. Induktionsanfang: n = 1: Für jede Menge M mit 1 Pferd gilt: alle Pferde in M haben dieselbe Farbe. Wahr. Induktionsannahme: Wir setzen voraus, wir haben schon gezeigt, dass in jeder Menge mit n Pferden alle Pferde dieselbe Farbe haben. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 9. Vorlesung 4 / 17

5 Ein falscher Induktionsbeweis (Fortsetzung) Induktionsschritt: Wir zeigen, dass aus der Induktionsannahme folgt, dass in jeder Menge mit n + 1 Pferden alle Pferde dieselbe Farbe haben. Sei M = {P 1,P 2,...,P n+1} eine Menge von n + 1 Pferden. Dann sind die Mengen A = {P 1,P 2,...,P n } und B = {P 2,P 3,...,P n+1} jeweils Mengen mit n Pferden, also haben alle Pferde in A dieselbe Farbe, und alle Pferde in B haben dieselbe Farbe. Da P 2 A, haben alle Pferde in A dieselbe Farbe wie P 2. Da P 2 B, haben alle Pferde in A dieselbe Farbe wie P 2. Also haben alle Pferde in M = A B dieselbe Farbe wie P 2. Also gilt, dass in jeder Menge mit n + 1 Pferden alle Pferde dieselbe Farbe haben. Wo ist der Fehler? Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 9. Vorlesung 5 / 17

6 Auösung des Rätsels Antwort: Für n + 1 = 2 ist es nicht korrekt, dass P 2 A. Abgesehen von dieser einen Stelle ist der gesamte Rest des Beweises korrekt. Und selbst diese Stelle ist für alle anderen Werte von n korrekt. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 9. Vorlesung 6 / 17

7 Teiler Denition Seien k,n ganze Zahlen. Wir sagen, die Zahl k teilt die Zahl n, geschrieben k n wenn gilt: Es gibt eine ganze Zahl m mit n = k m. Dann heiÿt k ein Teiler von n. Denition n heiÿt ein Vielfaches von k. Denition n heiÿt durch k teilbar. Beispiel: Denn 10 = 2 5. Frage: Wieviele Teiler hat die Zahl 7 nach dieser Denition? Antwort: 4, nämlich die Zahlen 1, 7, -1, -7. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 9. Vorlesung 7 / 17

8 Regeln für Teilbarkeit: Regeln für Teilbarkeit: Für beliebige Zahlen n,m,k,l Z gilt: 1 n n n -1 n -n n n m m n = n = m n = m n 1 = n = 1 n = 1 n m und m l impliziert n l n 0 0 n gilt nur dann, wenn n = 0 ist n m k l = nk ml n m 1 n m 2 = k 1,k 2 Z : n (k 1 m 1 + k 2 m 2 ) (Vielfachensumme) Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 9. Vorlesung 8 / 17

9 Primzahlen Denition Eine natürliche Zahl p 2 heiÿt Primzahl, wenn die einzigen Teiler von p die Zahlen 1 und p sind. Eine natürliche Zahl n 2, die keine Primzahl ist, heiÿt zusammengesetzt oder Nicht-Primzahl. Denition Wenn p n und p Primzahl ist, dann heiÿt p ein Primteiler von n. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 9. Vorlesung 9 / 17

10 Es gibt Primteiler Satz Jede natürliche Zahl n 2 besitzt einen Primteiler. Beweis. Beweis per vollständiger Induktion. (Achtung: neue Variante der Beweismethode!) Induktionsanfang: n = 2. Wegen 2 2 gilt die Behauptung. Induktionsvoraussetzung: Für n 2 sei schon gezeigt: Jedes k n besitzt einen Primteiler. (Dies heiÿt manchmal Induktionsverfahren 2. Art.) Induktionsschritt: Zu zeigen ist, dass n + 1 einen Primteiler besitzt. Fall 1: n + 1 ist schon prim. Dann hat es den Primteiler n + 1. Fall 2: n + 1 ist nicht prim. Dann hat es einen Teiler auÿer 1,n + 1. Also n + 1 = k l mit k,l 2. Es muss gelten k,l < n + 1. Per Induktionsvoraussetzung hat k einen Primteiler, also p k, also k = p m. Dann hat n + 1 denselben Primteiler, p (n + 1), denn n + 1 = kl = pml. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 9. Vorlesung 10 / 17

11 Wieviele Primzahlen gibt es? Wieviele Primzahlen gibt es? Schon Euklid hat bewiesen: Satz Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweis. Angenommen, es gäbe nur endlich viele, nämlich p 1,p 2,...,p N. Sei P := p 1 p 2...p N + 1. Ist P eine Primzahl oder gibt es Teiler von P (auÿer 1 und P)? Wir wissen schon: P hat einen Primteiler p. Der muss eine der Zahlen p 1,p 2,...,p N sein. Nennen wir ihn p j. Aus p j P und p j p 1 p 2...p N folgt p j 1. Deshalb ist p j = 1. Widerspruch zur Primteilereigenschaft. Also hatte P keinen Teiler auÿer 1 und P, ist also eine neue Primzahl. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 9. Vorlesung 11 / 17

12 Sieb des Eratosthenes Schon Eratosthenes von Kyrene (Cyrene) kannte ein Verfahren, um alle Primzahlen bis n zu bestimmen (n ist eine beliebige natürliche Zahl). Verfahren Sieb des Eratosthenes: 1 Schreibe die Zahlen 2,3,...,n in eine Liste auf. 2 Markiere 2 (die erste Zahl in der Liste) als Primzahl, streiche alle Vielfachen von 2. 3 Markiere 3 (die erste nicht gestrichene Zahl in der restlichen Liste) als Primzahl, streiche alle Vielfachen von 3. 4 Markiere die erste nicht gestrichene Zahl in der restlichen Liste, als Primzahl, streiche alle Vielfachen davon. 5 Wiederhole den vorherigen Schritt, bis am Ende der Liste angekommen. (Bemerkung: Nach k = n Schritten aufhören genügt auch.) Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 9. Vorlesung 12 / 17

13 Lücken zwischen Primzahlen Die Primzahlen 2 und 3 folgen aufeinander: 3=2+1. Ansonsten ist immer eine Lücke zwischen zwei Primzahlen (da ungerade), also eine Nicht-Primzahl. Manchmal eine groÿe Lücke: Satz Für jedes n N gibt es eine Lücke der Länge n zwischen Primzahlen. D.h. es gibt n aufeinanderfolgende Nicht-Primzahlen in N. Beweis. Die Zahlen m! + 2, m! + 3, m! + 4,...,m! + m sind alle Nicht-Primzahlen. Dies ist eine Lücke der Länge m 1. Mit m = n + 1 folgt die Behauptung. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 9. Vorlesung 13 / 17

14 Primfaktorzerlegung Satz Satz: Jede natürliche Zahl n 2 läÿt sich auf genau eine Weise schreiben als n = k i=1 wobei p 1 p 2 p k, wobei p 1,p 2,...,p k Primzahlen sind und k N. p i, Beispiel: 45 = Beweis des Theorems: Siehe Warlich, S Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 9. Vorlesung 14 / 17

15 Primfaktorzerlegung Derselbe Satz in etwas anderer Darstellung: Satz Jede natürliche Zahl n 2 läÿt sich auf genau eine Weise schreiben als n = j i=1 p v i i, wobei p 1 < p 2 < < p j, wobei p 1,p 2,...,p j Primzahlen sind, j N und v 1,v 2,...,v j N. Die v i heiÿen Vielfachheiten der p i. Beispiel: 45 = Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 9. Vorlesung 15 / 17

16 Gröÿter gemeinsamer Teiler Denition Für n,m N heiÿt k N ein gemeinsamer Teiler von n und m, wenn gilt k n und k m. Die gröÿte solche Zahl heiÿt der gröÿte gemeinsame Teiler. Wir schreiben: k = ggt(n,m). Denition Für n,m N heiÿt k N ein gemeinsames Vielfaches von n und m, wenn gilt n k und m k. Die kleinste solche Zahl in N heiÿt das kleinste gemeinsame Vielfache. Wir schreiben: k = kgv(n,m). Denition Es gibt auch ggt und kgv von mehr als 2 Zahlen. Die Denition ist analog. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 9. Vorlesung 16 / 17

17 ggt, kgv und Primfaktoren Wenn und n = m = j p v i i i=1 j p w i i i=1 (ggf. mit manchen v i = 0 oder w i = 0), dann ist ggt(n,m) = j p min(v i,w i ) i i=1 und kgv(n,m) = j i=1 p max(v i,w i ) i. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 9. Vorlesung 17 / 17

18 Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 9. Vorlesung 17 / 17