Der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache Proseminar Modul 4c, Gruppe 3: Primzahlen, Dr. Regula Krapf

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1 Der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache Proseminar Modul 4c, Gruppe 3: Primzahlen, Dr. Regula Krapf Carina Hilger Inhaltsverzeichnis 1 Der größte gemeinsame Teiler (ggt) Division mit Rest nach Euklid Der Euklidische Algorithmus Der erweiterte Euklidische Algorithmus Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgv) 7 3 Primfaktorzerlegung 10 4 Literaturverzeichnis 13

2 Die folgende Ausarbeitung beschäftigt sich mit dem ggt und kgv zweier natürlicher Zahlen, sowie deren Ermittlung mittels Primfaktorzerlegung. Definitionen und Sätze wurden aus dem Buch Zahlentheorie von Harald Scheid und Andreas Frommer [1] und dem Skript Elementarmathematik vin Regula Krapf [2] entnommen. 1 Der größte gemeinsame Teiler (ggt) Wir beschäftigen uns zunächst mit dem größten gemeinsamen Teiler von zwei natürlichen Zahlen a und b. Er ist die größte gemeinsame Zahl, durch die sich zwei Zahlen ohne Rest teilen lassen. Definition. Seien a, b N. Dann definiert man ggt (a, b) := max{g N g a g b} den größten gemeinsamen Teiler von a und b. Zwei Zahlen a, b N heißen teilerfremd, falls ggt (a, b) = 1. Definition 1 besagt, dass für a, b N 0 gilt g = ggt (a, b) g a g b c N : (c a c b c g). 1.1 Division mit Rest nach Euklid Unter der Division von a und b mit Rest verstehen wir folgende Darstellung. Satz 1. Für alle a, b N \ {0} gibt es q, r N mit a = qb + r und 0 r < b. Die Zahlen q = a b und r = a qb sind dabei durch a und b eindeutig bestimmt. Nun gilt genau dann c a und c b, wenn c b und c r gilt, gemäß Lemma 1. Also ist ggt (a, b) = ggt (r, b). Ist r = 0, dann ist ggt (a, b) = b. Ist r 0, so wiederholen wir die obige Umformung mit vertauschten Rollen: Lemma 1. Seien a, b N mit a = qb + r mit q, r N und 0 r < b. Dann gilt: ggt (a, b) = ggt (b, r). Beweis. Für einen Teiler c von b gilt c a c qb + r c r. Also ist jeder Teiler von a und b auch ein Teiler von b und r. Lemma 2. Seien a, b N. Für jedes c N gilt: Falls c a und c b, so folgt c ggt (a, b).

3 Beweis. Wir beweisen per Widerspruch. Annahme: b N sei minimal, sodass a, c N existieren mit c a, c b und c ggt (a, b). Nach Lemma 1 sei a = qb + r mit r < b. nach ggt (a, b) = ggt (b, r) und c a und c b c r = a qb. Lemma 1 Nun gilt aber nach Annahme c b, c r und c ggt (b, r). b r c ggt (a, b). Dieses Lemma definiert auch ggt (0, 0): Da 0 die einzige durch alle Zahlen aus N teilbare Zahl ist, gilt ggt (0, 0) = 0. Beispiel 1. Wir berechnen ggt (24, 32). Es gilt: Teiler von 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 Teiler von 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32 Somit gilt ggt (24, 32) = 8. Die Bildung des ggt zweier Zahlen ist eine assoziative Verknüpfung, d.h. es gilt ggt (ggt (a, b), c) = ggt (a, ggt (b, c)). Definition. Für a N sei T a := {b N b a} die Teilermenge von a. Satz 2. Für a, b N gilt T ggt (a,b) = T a T b. Beweis. " ": Sei c T ggt (a,b) c ggt (a, b). Für a: ggt (a, b) a c a c T a. Für b: ggt (a, b) b c b c T b. " ": Sei c T a T b c T a und c T b. c a und c b c ggt (a, b) nach Lemma 2 c T ggt (a,b).

4 Aus Satz 2 folgt: T ggt (ggt (a,b),c) = T ggt (a,b) T c = (T a T b ) T c = T a (T b T c ) = T a T ggt (b,c) = T ggt (a,ggt (b,c)). Verallgemeinert können wir für alle a, b, c N definieren: und ggt (a, b, c) := ggt (ggt (a, b), c)(= ggt (a, ggt (b, c))) T a T b T c = T ggt (a,b,c). Daraus ergibt sich: Genau dann ist d = ggt (a, b, c), wenn (1) d a und d b und d c; (2) aus t a und t b und t c folgt t d. Wegen der Assoziativität können wir rekursiv ggt (a 1,..., a n ) für a 1... ; a n N definieren, gemäß der vorangehenden Definition: ggt (a 1,..., a n+1 ) := ggt (ggt (a 1,..., a n ), a n+1 ). Allgemein gilt für a 1, a 2,..., a n N ist T a1 T a2... T an = T ggt (a1,a 2,...a n). Daraus folgt: Genau dann ist d = ggt (a 1, a 2,..., a n ), wenn (1) d a 1 und d a 2 und... und d a n ; (2) aus t a 1 und t a 2 und... und t a n folgt t d. 1.2 Der Euklidische Algorithmus Man bezeichnet den euklidischen Algorithmus auch als Wechselwegnahme, da man abwechselnd ein Vielfaches der einen Zahl von der anderen Zahl wegnimmt. Für a, b N wird die folgende Kette von Divisionen mit Rest als euklidischer Algorithmus bezeichnet:

5 Setze a = r 0, b = r 1. a = v 1 b + r 2 mit 0 < r 2 < b b = v 2 r 2 + r 3 mit 0 < r 3 < r 2 r 2 = v 3 r 3 + r 4 mit 0 < r 4 < r 3. r n 3 = v n 2 r n 2 + r n 1 mit 0 < r n 1 < r n 2 r n 2 = v n 1 r n 1 + r n mit 0 < r n < r n 1 r n 1 = v n r n. Dabei ist n dadurch bestimmt, dass r n der letzte von 0 verschiedene Rest in der Divisionskette ist. Ein solches n existiert, denn die Folge der Reste nimmt streng monoton ab: b > r 2 > r 3 >... > r n 1 > r n. Satz 3. Der letzte von 0 verschiedene Rest r n im euklidischen Algorithmus für a, b N ist der größte gemeinsame Teiler von a und b. Beweis. Mit den Bezeichnungen im euklidischen Algorithmus gilt wegen Lemma 1 ggt (a, b) = ggt (b, r 1 ) = ggt (r 1, r 2 ) =... = ggt (r n 1, r n ) = r n. Beispiel 2. Es soll ggt (156, 66) berechnet werden: 156 = = = = 3 6 Es ergibt sich also ggt (156, 66) = Der erweiterte Euklidische Algorithmus Lemma 3. (Lemma von Bézout) Für alle a, b N \ {0} gibt es u, v Z mit ggt (a, b) = ua + vb.

6 Beweis. Durch vollständige Induktion. Behauptung: Für alle j {0,... n} gibt es s j, t j Z mit r j = s j a + t j b. Induktionsanfang: r 0 = a = }{{} 1 a + }{{} 0 b s 0 t 0 r 1 = b = }{{} 0 a + }{{} 1 b s 1 t 1 Induktionsannahme: Wir nehmen an, die Behauptung gelte für alle k j. D.h., für alle k j gibt es s k, t k Z mit r k = s k a + t k b. Induktionsschluss: Wir müssen zeigen: Es gibt s j+1, t j+1 Z mit r j+1 = s j+1 a+t j+1 b. Es gilt r j 1 = v j r j + r j+1 r j+1 = r j 1 v j r j IA = (sj 1 a + t j 1 b) v j (s j a + t j b) = (s j 1 v j s j ) a + (t j 1 v j t j ) }{{}}{{} =:s j+1 =:t j+1 b Damit ist die Induktionsbehauptung bewiesen. Es folgt ggt (a, b) = r n = s }{{} n a+ t n b. }{{} =:u :=v Beispiel 3. Wir haben vorhin den ggt (156, 66) berechnet. Daraus ergibt sich 6 = = 24 ( ) = = 3 ( ) 66 = ggt (156, 66) = u v 66 mit u = 3 und v = 7. Die Darstellung ggt (a, b) = ua+vb mit u, v Z wird auch Vielfachensummendarstellung genannt. Seien x, y Z dann ist ggt (a, b) = ua + vb und ggt (ggt (a, b), c) = x ggt (a, b) + yc. Daraus folgt:

7 ggt (a, b, c) = ggt (ggt (a, b), c) = x(ua + vb) + yc = (xu)a + (xv)b + yc. Verallgemeinert gilt: Für a 1, a 2,..., a n N existieren v 1, v 2,..., v n Z, sodass gilt ggt (a 1, a 2,..., a n ) = v 1 a 1 + v 2 a v n a n. Satz 4. Sind a 1,... a n N alle teilerfremd zu m Z, dann ist auch ihr Produkt teilerfremd zu m. Beweis. Sei ggt (a 1, m) = ggt (a 2, m) =... = ggt (a n, m) = 1. Dann gibt es u 1,... u n und v 1,... v n (u i, v i Z) mit 1 = u 1 a 1 + v 1 m 1 = u 2 a 2 + v 2 m. 1 = u n a n + v n m. Nach Multiplikation dieser Gleichungen folgt 1 = (u 1 u 2... u n )(a 1 a 2... a n ) + vm mit v Z. Ein gemeinsamer Teiler kann daher nur 1 sein. 2 Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgv) In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen zweier natürlicher Zahlen a und b. Es ist das kleinste positive Zahl, welche sowohl Vielfaches von a als auch von b ist. Definition. Seien a, b N. Dann definiert man kgv (a, b) := min{k N a k b k} das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b. Die Definition besagt, dass für a, b N \ {0} gilt k = kgv (a, b) a k b k c N : (a c b c k c). Lemma 4. Genau dann gilt a c und b c, wenn kgv (a, b) c. Beweis. " ": Es gelte kgv (a, b) c.

8 Für a: a kgv (a, b) und kgv (a, b) c a c (wegen der Transitivität der Teilbarkeitsrelation). Für b: b kgv (a, b) und kgv (a, b) c b c (wegen der Transitivität der Teilbarkeitsrelation). " ": Es gelte a c und b c. Sei k = kgv (a, b) und c = q k + r mit q, r N und 0 r < k. Beweis per Widerspruch: Annahme: r 0 r = c qk Für a: a c und a qk a c qk = r. Für b: b c und b qk b c qk = r k r Also gilt r = 0 k c. Beispiel 4. Wir berechnen kgv (24, 32). Vielfache von 24: 24, 48, 72, 96, 120,... Vielfache von 32: 32, 64, 96,... Somit folgt kgv (24, 32) = 96. Satz 5. Für a, b N gilt kgv (a, b) = a b ggt (a,b). Beweis. Man setze Wegen gilt a c und b c. c := a b ggt (a, b). a ggt (a, b), b ggt (a, b) N

9 Nach dem Lemma von Bézout gilt ggt (a, b) = ua + vb mit u, v Z. Für ein beliebiges d V a V b gilt c d, denn die Zahl ist ganz. d c = d ggt (a, b) a b = d (ua + vb) a b = u d b + v d a Folglich ist c d und damit c das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b. Die Bildung des kgv zweier Zahlen ist eine assoziative Verknüpfung, d.h. es gilt kgv (kgv (a, b), c) = kgv (a, kgv (b, c)). Definition. Für a N sei V a := {b N a b} die Vielfachenmenge von a. Satz 6. Für a, b N gilt V kgv (a,b) = V a V b. Beweis. " ": Sei c V kgv (a,b) kgv (a, b) c. Für a: a kgv (a, b) a c c V a. Für b: b kgv (a, b) b c c V b. " ": Sei c V a V b c V a und c V b. a c und b c kgv (a, b) c nach Lemma 4 c V kgv (a,b). Aus Satz 6 folgt V kgv (a,b),c) = V kgv (a,b) V c = (V a V b ) V c = V a (V b V c ) = V a V kgv (b,c) = V kgv (a,kgv (b,c)). Allgemein gilt für a 1, a 2,..., a n N ist V a1 V a2... V an = V kgv (a1,a 2,...,a n). Also ist genau dann v = kgv (a 1, a 2,..., a n ), wenn gilt: (1) a 1 v und a 2 v und... und a n v; (2) aus a 1 c und a 2 c und... und a n c folgt v c.

10 3 Primfaktorzerlegung Definition. Eine natürliche Zahl p N mit p 2 heißt Primzahl, falls 1 und p die einzigen Teiler von p sind. Wir bezeichnen mit P die Menge aller Primzahlen. Eine Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl n N mit n 2 ist ein Produkt n = p P pep, wobei e p N für fast alle p P und e p = 0. Lemma 5. Seien a, b N \ {0, 1} und a = p P pep und b = p P pfp die Primfaktorzerlegungen von a und b. Dann gilt a b e p f p für alle p P. Beweis. Wir beweisen beide Richtungen einzeln: die Primfaktorzer- " ": Es gelte a b. Somit gibt es ein k N mit ak = b. Sei p P pgp legung von k. Dann gilt p fp = b = ak = p gp p ep = p gp+ep. p P p P p P p P Aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung folgt f p = g p + e p e p für allep P. " ": Sei e p f p für alle p P. Dann gibt es für jedes p P eine natürliche Zahl g p N mit f p = e p + g p. Setze k = p P pgp. Daraus folgt mit k = p P pgp. b = p P p fp = p P Also folgt, dass a ein Teiler von b ist. p ep+gp = p P p ep p gp = ak Mit Hilfe des Hauptsatzes der Arithmetik können wir nun aus der Primfaktorzerlegung von a und von b die Primfaktorzerlegung von ggt (a, b) und kgv (a, b) bestimmen: p P

11 Lemma 6. Seien a, b N \ {0, 1} und a = p P pep und b = p P pfp die Primfaktorzerlegung von a und b. Dann gilt: (a) ggt (a, b) = p P pmin{ep,fp} (b) kgv (a, b) = p P pmax{ep,fp}. Beweis. (a): Sei g = ggt (a, b) und g = p P pmin{ep,fp}. Nach Definition des ggt gilt g a und g b. Sei g = p P p gp die Primfaktorzerlegung von g. Aus dem vorherigen Lemma folgt, dass g p e p und g p f p für alle p P. Somit gilt g p min{e p, f p } für jedes p P und damit g g. Es folgt auch, dass g a und g b und damit nach Lemma 2 auch g ggt (a, b) = g. Nun gilt g g und g g, also g = g. (b): Sei also k = kgv (a, b) und k = p P pmax{ep,fp}. Nach Definition des kgv gilt a k und b k. Sei k = p P p kp die Primfaktorzerlegung von k. Es folgt aus Lemma 6, dass k p e p und k p f p für alle p P. Somit gilt k p max{e p, f p } für jedes p P und damit k k. Es folgt auch, dass a k und b k und damit nach Lemma 3 auch k = kgv (a, b) k. Nun gilt k k und k k, also k = k.

12 Beispiel 5. Sei a = 120 und b = 150. Wir möchten ggt und kgv dieser beiden Zahlen ermitteln. Dazu zerlegen wir sie in ihre Primfaktoren. 120 = = = = ggt (120, 150) = = 30 kgv (120, 150) = = 600.

13 4 Literaturverzeichnis [1] Scheid, Harald; Frommer, Andreas: Zahlentheorie, 4. Auflage. Elsevier: München, [2] Krapf, Regula; Skript Elementarmathematik, Wintersemester 2017/2018.