Lineare Algebra I (WS 13/14)

Transkript

1 Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke Alexander Lytchak 1 / 9

2 Erinnerung: Zwei ganz wichtige Gruppen Für jede Gruppe (G, ) und jedes Element g G gibt es genau einen Gruppenhomomorphismus φ : (Z, +) (G, ), mit φ(1) = g. Für jede Gruppe G gibt es einen injektiven Homomorphismus φ : G Sym G. Jede endliche Gruppe mit höchtsens n Elementen ist isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe S n. Man hat damit gute Chancen, etwas über alle Gruppen zu verstehen, wenn man etwas über Z oder über S n versteht. Ein weiteres Ziel der nächsten Vorlesungen ist es, unseren Zoo aus algebraischen Objekten zu erweiteren. Insbesondere werden wir wichtige Beispiele von Körpern kennenlernen. Alexander Lytchak 2 / 9

3 Die ganzen Zahlen Auf der Menge der ganzen Zahlen Z gibt es zwei Verknüpfungen und +, die uns sehr gut vertraut sind. Wir werden nun einige einfache Eigenschaften dieser arithmetischen Verknüpfungen untersuchen. Proposition Sei H eine Untergruppe von (Z, +). Dann gibt es eine eindeutige Zahl n N, so dass H die Form nz = {nm m Z} hat. Definition Für zwei Zahlen x, y Z sagen wir, dass x die Zahl y teilt, falls es ein m Z gibt, mit m x = y. In diesem Fall schreiben wir x y. Die Zahl x heißt ein Teiler der Zahl y. Und y heißt teilbar durch x. Es gilt x 0 für alle x Z. Es gilt 1 y für alle y Z. Die Zahl 1 ist nur teilbar durch ±1. Jede Untergruppe von (Z, +) ist die Menge aller durch irgendeine feste Zahl n Z teilbaren Zahlen. Alexander Lytchak 3 / 9

4 Teilbarkeit Gilt x y so auch ±x ein Teiler von ±y. Damit kann man sich bei Teilbarkeitsfragen auf natürliche Zahlen beschränken. Jede Zahl y Z \ {0} hat nur endlich viele Teiler. Jeder Teiler x ist vom Betrag kleiner als y. Jede natürliche Zahl y 2 hat mindestens zwei positive Teiler 1 und y. Sind es die einzigen positiven Teiler, so heißt y eine Primzahl. Aus x y folgt x (ay) für alle a Z. Aus x y 1 und x y 2 folgt x (y 1 + y 2 ). Definition Für zwei ganze Zahlen a, b, die nicht beide gleich 0 sind, bezeichnen wir als ggt (a, b), (in Worten, größter gemeinsamer Teiler von a und b) die größte ganze Zahl die a und b teilt. Die Zahlen a und b heißen teilerfremd, wenn ggt (a, b) = 1 gilt. Jedes b Z ist teilerfremd zu 1. Ist a eine Primzahl, so sind a und b teilerfremd genau dann, wenn b nicht teilbar durch a ist. Alexander Lytchak 4 / 9

5 Satz von Bézout Proposition Seien a, b positive ganze Zahlen. Dann ist ggt (a, b) die kleinste positive ganze Zahl, die man in der Form ax + by mit ganzen Zahlen x, y schreiben kann. Folgerung Zwei positive ganze Zahlen a, b sind teilerfremd genau dann, wenn es ganze Zahlen x, y gibt, so dass ax + by = 1 gilt. Alexander Lytchak 5 / 9

6 Division mit Rest und Euklidischer Algorithmus Proposition Seien a 0 und b > 0 ganze Zahlen. Dann gibt es eindeutige ganze Zahlen q 0 und 0 r < b mit a = qb + r. Wir sagen, a hat den Rest r modulo b. Für a, b, q, r wie oben, gilt ggt (a, b) = ggt (b, r). Diesen Schritt kann man iterieren, um ggt (a, b) zu bestimmen. Dieses Verfahren heißt Euklidischer Algorithmus. Setze r = r 1 und q = q 1. D.h. a = q 1 b + r 1. Sei r 1 > 0. Finde q 2 0 und 0 r 2 < r 1 mit b = q 2 r 1 + r 2. Sei r 2 > 0. Finde q 3 0 und 0 r 3 < r 2 mit r 1 = q 3 r 2 + r 3. Nach endlich vielen Schritten erhalten wir r n+1 = 0. ggt (a, b) = ggt (b, r 1 ) = ggt (r 1, r 2 ) =... = ggt (r n, r n+1 ) = r n. Alexander Lytchak 6 / 9

7 Anwendung und Beispiel Man kann nun auch eine explizite Darstellung von ggt (a, b) als ax + by bestimmen: ggt (a, b) = r n = = r n 2 q n r n 1 = r n 2 q n (r n 3 q n 1 r n 2 ) = q n r n 3 + (1 + q n q n 1 )r n 2 = =... = xa + yb Als Beispiel bestimmen wir ggt (99, 78). 99 = ; 78 = ; 21 = ; 15 = ; 6 = Damit gilt ggt (99, 78) = 3. Und wir können 3 als 78x + 99y wie folgt schreiben: 3 = = 15 2 ( ) = = 3 ( ) 2 21 = = ( ) = Alexander Lytchak 7 / 9

8 Vater der strengen Beweise Euklid Um 300 v. Chr. (Alexandria) Alexander Lytchak 8 / 9

9 Zerlegung in Primfaktoren Die Folgenden Sätze, die sich bereits bei Euklid finden, stehen am Beginn der elementaren Zahlentheorie. Proposition Ist p eine Primzahl, und sind a, b Z, so gilt p ab genau dann, wenn p a oder p b gilt. Satz Jede natürliche Zahl m 2 hat eine eindeutige Darstellung als Produkt von Primzahlen m = p 1 p 2... p l mit p 1 p 2... p l. Satz Es gibt unendlich viele Primzahlen. Alexander Lytchak 9 / 9