χ a : N + {0, 1, 1} {( a χ a (n) = χ a (n ). ψ(mn) < ψ(m)ψ(n).

Transkript

1 September 007, Zahlentheorie 1 a) Formulieren Sie das quadratische Reziprozitätsgesetz einschließlich der Definitionen der Legendre- und Jacobi-Symbole. b) Für a Z \ {0} definieren wir durch χ a (n) = χ a : N + {0, 1, 1} {( a ) falls ggt(n, a) = 1 n 0 sonst. Zeigen Sie, dass für n, n mit n n (mod 4 a ) gilt χ a (n) = χ a (n ). c) Finden Sie die kleinste Zahl N a, so dass χ a (n) = χ a (n ) für n n (mod N a ) in den Fällen a = 1, 3,,. September 007, Zahlentheorie Sei m 1 eine natürliche Zahl. Sei ψ(m) die Maximalordnung eines Elements von (Z/mZ) = R (m). a) Zeigen Sie, dass gilt: ψ(m) ϕ(m) (m 1). b) Sei p eine Primzahl, k 1. Bestimmen Sie ψ(p k ). c) Für m, n > ; m, n teilerfremd zeigen Sie, dass gilt ψ(mn) < ψ(m)ψ(n). Kommentar vom Hiwi: Mit Maximalordnung ist die maximale Ordnung, also das Maximum über die jeweils auftretenden Ordnungen gemeint. 1

2 März 007, Zahlentheorie 1 Sei p Z eine Primzahl, Z/pZ der Körper der Reste modulo p; a, b, c Z/pZ, dabei a 0. a) Wie viele Elemente hat das Bild der quadratischen Funktion ϕ : Z/pZ Z/pZ, x ϕ(x) = ax + bx + c? b) Hat die quadratische Gleichung ax + bx + c = 1 für den Fall p = 61, a = 1, b =, c = 38 Lösungen? März 007, Zahlentheorie Seien m, n N natürliche Zahlen, d = ggt(m, n) der größte gemeinsame Teiler. a) Zu zeigen: Jede genügend große natürliche Zahl der Form r d, r N, kann in der Form rd = α m + β n mit α, β N {0} geschrieben werden. b) Finden Sie eine Lösung (α, β) wie oben im Fall m = 9, n = 31, r = 901, d = 1. September 006, Zahlentheorie 1 (und Kryptographie 1) a) Formulieren und begründen Sie den euklidischen Algorithmus. b) Lösen Sie 95x + 43y = 1 in ganzen Zahlen x, y. c) Finden Sie eine Lösung von 35x + 55y + 77z = 3, x, y, z ganze Zahlen 0.

3 September 006, Zahlentheorie a) Zu zeigen: Jede sechsstellige Zahl der Form abcabc ist durch 7, 11 und auch durch 13 teilbar. b) Zu zeigen, dass (k Ziffern), k, keine Quadratzahl ist. (Hinweis: Betrachten Sie Reste mod l, l geeignet) März 006, Zahlentheorie 1 a) Definieren Sie den Begriff multiplikative Funktion. Zeigen Sie, dass die Eulerfunktion ϕ und die Funktion σ (für n N sei σ(n) die Summe der Teiler von n) multiplikative Funktionen sind. b) Zeigen Sie, dass für eine Primzahl p N und k N gilt. σ(p k )ϕ(p k ) = p k (1 1 p k+1) c) Folgern Sie die Existenz einer positiven Zahl C R so, dass für alle n N n C < ϕ(n)σ(n) < n gilt. Kommentar vom Hiwi: In c) sei n > 1 oder ersetze in diesem Fall das zweite <-Zeichen durch ein -Zeichen. März 006, Zahlentheorie Zeigen Sie: a) Ist das Produkt mn zweier teilerfremder natürlicher Zahlen n, m eine Quadratzahl, dann sind auch n und m Quadratzahlen. b) Zu drei paarweise teilerfremden natürlichen Zahlen a, b, c mit geradem b, welche die Gleichung a + b = c erfüllen, gibt es natürliche Zahlen u, v mit a = u v, b = uv, c = u + v. 3

4 September 005, Zahlentheorie 1 a) Sei p eine ungerade Primzahl und a eine ganze, nicht durch p teilbare Zahl. Zeigen Sie, dass die Kongruenz x a (mod p ) genau dann lösbar ist, wenn a quadratischer Rest modulo p ist, und dann genau zwei Lösungen modulo p besitzt. b) Entscheiden Sie, ob die Kongruenzen bzw. x 8 (mod 89) x 4 8 (mod 89) lösbar sind und bestimmen Sie gegebenenfalls die Lösungen. September 005, Zahlentheorie Zeigen Sie: a) n 3 = n (n+1) 4 für n N. b) Ist p eine ungerade Primzahl und schreibt man (p 1) 3 als gekürzten Bruch, so ist der Zähler durch p teilbar. März 005, Zahlentheorie 1 (und Algebra-Zahlentheorie ) a) Sei R = {x Q: es gibt m, n > 0 mit m 3 n x Z}. Zeigen Sie, dass R ein Ring ist. b) Zeigen Sie, dass R ein Hauptidealring ist. Beschreiben Sie die Ideale. c) Zeigen Sie, dass die Einheitengruppe R von R zu Z/Z Z Z isomorph ist. 4

5 März 005, Zahlentheorie Zu zeigen für die Eulersche ϕ-funktion a) Sind d, n N, d teilt n = ϕ(d) teilt ϕ(n). b) Für n gilt: d N, d n, (d, n)=1 d = n ϕ(n). c) Sei ϕ(n) mod 4. Dann folgt: n = p a oder n = p a mit p Primzahl. September 004, Zahlentheorie 1 Seien a, b, c ganze Zahlen, die der Gleichung a + b = c genügen, so ist wenigstens eine der drei Zahlen durch 3 und eine durch 5 teilbar. September 004, Zahlentheorie a) Seien m, n 1 natürliche Zahlen. Sei S = {mk + nl k, l Z}; sei d = Min{s S s > 0}. Zeigen Sie, dass d der größte gemeinsame Teiler von m und n ist. b) Seien m und n wie oben. Sei S = {mk nl k, l 1, mk > nl}. Zeigen Sie, dass Min S wieder der größte gemeinsame Teiler von m und n ist. c) Sei m = , n = Zeigen Sie, dass m und n teilerfremd sind. Zeigen Sie auch, dass weder m noch n eine Primzahl ist. Zeigen Sie, dass der Rest, wenn m durch n geteilt wird, gleich ist. März 004, Zahlentheorie 1 a) Berichten Sie über die Theorie der Primitivwurzeln. b) Wie viele Primitivwurzeln (mod 7) gibt es? Wie viele (mod 6)? 5

6 c) Schreiben Sie alle Restklassen (mod 7) auf, die teilerfremd zu 7 sind. Auf diesem Weg finden Sie alle Lösungen der Kongruenz x 6 + y 6 = (mod 7). (Geben Sie die möglichen Werte von X = x 6 und Y = y 6 an; für die verschiedenen X, Y geben Sie die entsprechenden x, y an.) März 004, Zahlentheorie a) Für eine ungerade Primzahl p und a teilerfremd zu p zeigen Sie, dass, wenn x a (mod p) lösbar ist, dann ist auch für alle k 1 ebenfalls lösbar. x a (mod p k ) b) Ist die Aussage von a) richtig, wenn die Bedingung a teilerfremd zu p weggelassen wird? Ist die Aussage richtig für p gerade? Begründen Sie ihre Antworten. c) Zeigen Sie, dass die Kongruenz (x 13)(x 17)(x 1) 0 (mod m) für alle m lösbar ist. Gibt es ganzzahlige Lösungen von September 003, Aufgabe 1 (x 13)(x 17)(x 1) = 0? a) Formulieren Sie den kleinen Fermatschen Satz und den Wilsonschen Satz. b) Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie, dass 1 (p 1) ( 1) p 1 1 p 1 ( 1) p 1 ( p 1! p 1 1 ) (mod p). c) Ist p eine Primzahl mit p 3 (mod 4), so gilt p 1! ±1 (mod p). Berechnen Sie die Werte von p 1! (mod p) für die ersten 6 Primzahlen dieser Art. Kommentar vom Hiwi: In b) sei p. 6

7 September 003, Aufgabe a) Definieren Sie die Eulersche ϕ-funktion. b) Beweisen Sie die Multiplikativität dieser Funktion. c) Für welche natürlichen n gilt ϕ(n) = ϕ(3n)? September 003, Aufgabe 3 Seien p und q = p 1 Primzahlen. a) Welche Zahlen kommen als Ordnungen in der primen Restklassengruppe modulo p für a, p a, in Frage? b) Zeigen Sie im Fall p 3 (mod 4): ist keine Primitivwurzel modulo p, so ist eine Primitivwurzel modulo p. c) Beweisen Sie im Fall p 3 (mod 8), dass eine Primitivwurzel modulo p ist. März 003, Aufgabe 1 a) Welche ganzen Zahlen n lassen sich darstellen in der Form n = x y mit x, y Z? b) Zeigen Sie, dass jede ganze Zahl n eine Darstellung mit x, y, z Z hat. März 003, Aufgabe n = x + y z Für n N sei σ(n) die Summe aller positiven Teiler von n. Zeigen Sie a) σ(n) ist multiplikativ, b) σ(p k ) = pk+1 1 p 1 für p prim, k N, c) σ(n) ist genau dann ungerade, wenn n oder n eine Quadratzahl ist. 7

8 März 003, Aufgabe 3 a) Formulieren Sie das Quadratische Reziprozitätsgesetz. Für eine von und 5 verschiedene Primzahl p folgern Sie, dass ( 5 p) = 1 genau dann gilt, wenn p 1 (mod 5) oder p 4 (mod 5). b) Es sei F n, n 0 die (Fibonacci-)Folge, die durch F 0 = 1, F 1 = 1 und F n+ = F n+1 + F n für n 0 definiert wird. Es sei p eine Primzahl und p 1 (mod 5). Zeigen Sie, dass es a, a (mod p) und c (mod p) gibt mit F n c(a n+1 a n+1 ) (mod p). (Die Restklasse von c wird durch c(a a ) 1 (mod p) bestimmt.) September 00, Aufgabe 3 Es sei f(x) = 0 15 x + 31x a) Hat f(x) 0 (mod 7) eine Lösung? b) Hat f(x) 0 (mod 31) eine Lösung? c) Hat f(x) = 0 eine ganzzahlige Lösung? September 00, Aufgabe 4 Seien a, m, n natürliche Zahlen, a > 1. Man zeige: a) Ist d ein gemeinsamer Teiler von m, n, so ist a d 1 ein gemeinsamer Teiler von a m 1 und a n 1. b) Ist m > n und r der Rest von m bei Division durch n, so ist ein gemeinsamer Teiler von a m 1 und a n 1 auch Teiler von a r 1. c) Es gilt ggt(a m 1, a n 1) = a ggt(m,n) 1 September 00, Aufgabe 5 a) Definieren Sie die Möbius-Funktion µ(n). b) Folgern Sie aus dieser Definition, dass { 1 für n = 1 µ(d) = 0 für n > 1 gilt. d n 8

9 c) Sei F n (x) = d n µ(d)x d und n = p l 1 a... p l k k die Primfaktorzerlegung von n. Zeigen Sie, dass sich F n (x) durch die Rekursion f 1 (x) := x x p 1 f j (x) := f j 1 (x) f j 1 (x p j ), (1 < j k) zu berechnet. F n (x) = f k (x) Frühjahr 00, Aufgabe 3 a) Zeigen Sie, dass N! K!(N K)! := ( N K) ganz ist (0 K N). (K )! (K )! b) Zeigen Sie, dass (K 1) und K ganz sind, und K!(K 1)! K!(K 1)! schließen Sie daraus, dass (K )! für K 1 ebenfalls ganz ist. K!(K 1)! c) Zeigen Sie, dass die Taylorentwicklung von (1 x) 1 um x = 0 lautet: 1 1 x 1 8 x 1 16 x x (K )! K 1 K!(K 1)! xk... Folgern Sie, dass die Nenner der Taylorkoeffizienten sämtlich Potenzen von sind. Frühjahr 00, Aufgabe 4 Sei p eine Primzahl. a) Erklären Sie das Legendre-Symbol ( r p) und zeigen Sie ( )( ) ( ) r s rs = p p p für ganze Zahlen r, s, die 0 und teilerfremd zu p sind. b) Zeigen Sie, dass 1 quadratischer Rest mod p für jede Primzahl p 1 mod 4 ist. c) Ermitteln Sie, ob 646 ein quadratischer Rest mod 419 ist. 9

10 September 001, Aufgabe 3 a) Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen n, für die das Produkt ihrer Teiler n ergibt: d = n. d n b) Sei p eine Primzahl. Verallgemeinern Sie Ihr Resultat in a) auf den Fall d = n p. September 001, Aufgabe 4 d n Sei p > eine Primzahl. Beweisen Sie: a) Die Quadrate x mod p ohne die Nullklasse bilden bezüglich der Multiplikation eine Untergruppe der Ordnung p 1 und vom Index in der multiplikativen Gruppe von Z/pZ. b) Die Quadrate x mod p (einschließlich der Nullklasse) bilden keine Untergruppe in der additiven Gruppe von Z/pZ. c) Jede Restklasse mod p ist Summe von zwei Quadraten, d. h. zu jedem ganzen a gibt es ganze Zahlen x und y mit a x + y mod p. d) Stellen Sie jede Restklasse mod 7 als Summe von zwei Quadraten dar. März 001, Aufgabe 4 a) Formulieren Sie das quadratische Reziprozitätsgesetz (einschl. Ergänzungssätze) für das Jacobi-Symbol. Erklären Sie alle nötigen Begriffe. b) Seien a, b Z, a, b ungerade, b ±1, a > b, ggt(a, b) = 1. Zeigen Sie, dass es ein k Z gibt, so dass folgende Aussagen gelten (i) a kb < b (ii) a kb 1 (mod ). c) Sei [ a b] definiert für a, b Z, a, b ungerade mit ggt(a, b) = 1. Wir setzen voraus, dass Folgendes gilt: (1) [ a b] = [ b a ] 10

11 () [ ] [ a b = a ] b falls a a (mod b). Zeigen Sie: [ a b] = [ 1 1]. Kommentar vom Hiwi: In c) soll [ a b] nicht die Gaußklammer darstellen, sondern ein Symbol, das abhängig von seinen zwei Einträgen definiert ist wie genau, ist unbekannt und egal, bekannt sind nur die beiden Eigenschaften (1) und (). März 001, Aufgabe 5 Wie viele Nullen treten am Ende der Dezimal- bzw. Dualdarstellung von 100! auf? Welches sind die letzten beiden Ziffern von 3 53 in der Dezimaldarstellung? März 001, Aufgabe 6 Seien a, b teilerfremde ganze Zahlen. Zeigen Sie, dass jede Strecke der Länge a + b auf der Geraden ax + by = 1 einen Punkt (x, y) mit ganzzahligen Koordinaten enthält. September 000, Aufgabe 7 Seien a, b, c und m ganze Zahlen. Geben Sie mit Beweis Kriterien dafür an, dass folgende Kongruenzen lösbar sind: a) ax b mod m b) ax + by c mod m c) Entscheiden Sie, ob das Kongruenzsystem { 3x + 5y 1 mod 15 x + 7y 3 mod 14 eine Lösung in ganzen Zahlen x, y hat und berechnen Sie gegebenenfalls eine Lösung. 11

12 September 000, Aufgabe 8 Sei n N Produkt paarweise verschiedener, ungerader Primzahlen und sei a Z mit (a, n) = 1. a) Beweisen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind: (i) Die Kongruenz x a mod n ist lösbar. (ii) Für alle Primteiler p von n gilt ( a p) = 1. b) Entscheiden Sie, ob x a mod 105 für a = 19, 5, 79 lösbar ist und konstruieren Sie gegebenenfalls eine Lösung. März 000, Aufgabe 7 a) Bestimmen Sie die quadratischen Reste modulo 3, 5 und 8. b) Erfüllen die ganzen Zahlen a, b, c die Gleichung a + b = c, (1) so zeige man, dass 3, 4 und 5 das Produkt abc teilen. c) Man folgere, dass nicht alle drei Zahlen a, b, c, die (1) genügen, Primzahlen sein können. März 000, Aufgabe 8 Beweisen Sie unter Benutzung des Fundamentalsatzes der elementaren Zahlentheorie folgende Irrationalitätsaussagen für reelle Zahlen: a) Ist m N keine k-te Potenz, so ist k m irrational. b) Sind m und n quadratfreie natürliche Zahlen 1, so ist m + n irrational. c) Die Menge {log p p Primzahl} ist linear unabhängig über Q. September 1999, Nachschreibeklausur, Aufgabe 5 Man berechne den größten gemeinsamen Teiler von 59 und 511. Wie viele Lösungen modulo 511 hat die Kongruenz Man bestimme alle diese Lösungen. 59x 385 (mod 511)? 1

13 September 1999, Nachschreibeklausur, Aufgabe 6 Sei p eine Primzahl. Man zeige ( ) p p n für n = 1,,..., p 1 und folgere für ganzzahliges a. (a + 1) p a p + 1 (mod p) September 1999, Aufgabe 7 Sei n eine natürliche Zahl und p eine Primzahl, die n nicht teilt. Beweisen Sie: a) Ist p = x + ny mit x, y N lösbar, so ist ( ) n p = 1. b) Ist p = x + 5y, x, y N, so ist p 1, 3, 7 oder 9 mod 0. c) Keine der Zahlen m 3 oder 7 mod 0 lässt sich in der Form m = x + 5y, x, y N darstellen. Kommentar vom Hiwi: In b) sei p 5. September 1999, Aufgabe 8 a) Geben Sie eine Definition der Möbius-Funktion µ an. Beweisen Sie aus Ihrer Definition, dass gilt: { 1 für n = 1 µ(d) = 0 für n > 1 d n b) Sei c N und sei f eine Funktion auf {0, 1,..., c 1}. Zeigen Sie, dass gilt: f(x) = µ(d) f(x) d c 0 x c ggt(x,c)=1 0 x c x 0 mod d c) Beweisen Sie, dass für die Eulersche ϕ-funktion gilt: ϕ(n) = d n µ(d) n d 13

14 März 1999, Aufgabe 7 a, b, c seien ganze Zahlen. a und b seien 0. a) Formulieren Sie ein Kriterium für die Lösbarkeit der Gleichung ax + by = c in ganzen Zahlen x und y. b) Beweisen Sie: Besitzt ax+by = c eine Lösung x 0, y 0 Z, so besitzt die Gleichung unendlich viele Lösungen x, y Z. c) Beweisen Sie: 13x + 57y = 531 ist in ganzen Zahlen lösbar. Geben Sie (mit Begründung) alle Lösungen x, y Z an. d) Besitzt die Gleichung aus c) auch Lösungen in positiven ganzen Zahlen, also mit x, y N? März 1999, Aufgabe 8 a) Definieren Sie das Jacobi-Symbol und formulieren Sie das Reziprozitätsgesetz nebst Ergänzungssätzen für das Jacobi-Symbol. b) Sei b eine ungerade natürliche Zahl und a eine zu b prime ganze Zahl. Beweisen Sie: Ist ( a b) = 1, so ist a kein quadratischer Rest mod b. c) Berechnen Sie die Jacobi-Symbole ( a 455) für a = 111, 113, 114. d) Entscheiden Sie, welche der a aus c) quadratische Reste mod 455 sind. Ältere Aufgaben Es waren in den 4 Stunden jeweils nur Aufgaben zu bearbeiten, die einzelnen Aufgaben waren umfangreicher. September 1998, Aufgabe 1 Sei p eine ungerade Primzahl. a) Beweise: Es gibt eine natürliche Zahl a mit ( a p) = 1. Im folgenden sei q die kleinste natürliche Zahl mit ( q p) = 1 b) Berechne q für p = 37, 47 und 71. Beweise die folgenden Eigenschaften von q: c) q ist eine Primzahl. 14

15 d) Ist k eine natürliche Zahl mit (k 1)q < p < kq, so ist ( kq p ) = 1. e) Für k = 1,..., q 1 gilt: ( kq p ) = 1. Folgere: q < p + 1. März 1996, Aufgabe 1 a) Warum ist eine Zahl n 1 mod 4 nicht als Summe zweier Quadrate darstellbar? b) Warum ist eine Zahl n 1 mod 8 nicht als Summe von 3 Quadraten darstellbar? c) n besitze eine Darstellung der Form n = a + b mit ggt(a, b) = 1. Dann besitzt n keinen Primteiler p 3 mod 4. d) Stelle die Zahlen 99, 159 und 0 als Summe von möglichst wenigen Quadraten dar. Begründen Sie, warum Sie mindestens so viele Quadrate benötigen. Frühjahr 1995, Aufgabe a) Man berechne die Jacobi-Symbole ( ) ( und 58 b) Sind die Kongruenzen lösbar? 105 x 46 bzw. 58 (mod 105) c) Besitzt die Primzahl p eine Darstellung p = x + 3y mit x, y N, so liegt p in einer der Restklassen 5 oder 11 (mod 4). September 1993, Aufgabe 3 Zu der natürlichen Zahl m existiere eine Primitivwurzel g mod m. a) Für welche n N ist g n wieder Primitivwurzel mod m? b) Wieviel inkongruente Primitivwurzeln mod m gibt es? c) Man zeige, daß das Produkt aller Primitivwurzeln aus einem Restsystem mod m kongruent 1 mod m ist, falls m 3, 4. Kommentar vom Hiwi: Ergänze in c) noch m )

16 März 199, Aufgabe a) Man formuliere und beweise den Kleinen Fermatschen Satz. b) Sei p eine von und 5 verschiedene Primzahl. Man zeige, daß unendlich viele Zahlen 9, 99, 999,... von p geteilt werden, ebenso unendlich viele der Zahlen 11, 111, 1111,... c) Welches sind die letzten beiden Ziffern von 7 3 im Zehnersystem? März 1991, Aufgabe Sei f(x) = x n +a n 1 x n a 0 mit a i Z und sei p k eine Primzahlpotenz, k 1. a) Man beweise: Ist w Z eine Lösung von f(x) 0 mod p k und f (w) 0 mod p, so ist v w f(w) f (w) mod p k+1 eine Lösung von f(x) 0 mod p k+1. b) Man bestimme alle Lösungen von x 3 + x mod