Zahlenmengen. Bemerkung. R Menge aller Dezimalbrüche: reelle Zahlen, C = {a + i b : a, b R} mit i 2 = 1 komplexe Zahlen.

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Artur Kranz
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1 Zahlenmengen N = {0, 1,, 3,...} natürliche Zahlen, Z = {...,, 1, 0, 1,,...} ganze Zahlen, Q = {p/q : p Z, q N \ {0}} rationale Zahlen, R Menge aller Dezimalbrüche: reelle Zahlen, C = {a + i b : a, b R} mit i = 1 komplexe Zahlen. Bemerkung Datenbereiche in Programmiersprachen sind immer endliche Teilmengen der ganzen oder der rationalen Zahlen. mengen11b.pdf, Seite 1

2 Zahlensysteme Üblicherweise werden natürliche Zahlen x N als Dezimalzahlen dargestellt: x = a n a n 1...a 1 a 0 = a n 10 n + a n 1 10 n a a 0 mit n N und den Dezimalziern a 0, a 1,..., a n {0, 1,,..., 9}. Beispiel 134 = = , d. h. hier ist n = 3, a 0 = 4, a 1 = 3, a = und a 3 = 1 mengen11b.pdf, Seite

3 Andere Zahlensysteme Statt 10 kann auch jede andere natürliche Zahl b als Basis des Zahlensystems genommen werden. Eine besondere Rolle in der Computerwelt spielen Zahlen zur Basis, die Dualzahlen: (a n a n 1...a 1 a 0 ) = a n n + a n 1 n a 1 + a 0 Beispiel: (10110) = = Allgemein mit Basis b (a n a n 1...a 1 a 0 ) b = n i=0 a i b i = a 0 + a 1 b a n b n Beispiel (mit b = 8, b = 16 und b = 3) 5 = = (31) 8 = = (19) 16 = = (1) 3 mengen11b.pdf, Seite 3

4 Darstellung gebrochener Zahlen zur Basis b Beliebige reelle Zahlen lassen sich zur Basis b darstellen: (a n...a 0, a 1 a a 3 ) b = a n b n +...a 0 + a 1 b zum Beispiel (10011, 1101) + a b + a 3 b 3..., = = = 19, Die Berechnung der Darstellung einer ganzen Zahl zur Basis b kann mit Hilfe der Divison mit Rest durch b erfolgen. Die Nachkommastellen erhält man mit Hilfe wiederholter Multiplikation mit b und Zerlegung in einen ganzzahligen und einen gebrochenen Anteil. mengen11b.pdf, Seite 4

5 Beispiel: Darstellung von 3, 6 als Dualzahl Darstellung von 3 zur Basis : 3 : = 11 Rest 1 11 : = 5 Rest 1 5 : = Rest 1 : = 1 Rest 0 1 : = 0 Rest 1 Ergebinis 3 = (10111) (Reste von unten nach oben gelesen) Beide Teile zusammengesetzt ergibt (3, 6) 10 = (10111, 1001). Darstellung von 0, 6 zur Basis : 0, 6 = 1 + 0, 0, = 0 + 0, 4 0, 4 = 0 + 0, 8 0, 8 = 1 + 0, 6 0, 6 = 1 + 0, 0, = 0 + 0, 4... Ergebinis 0, 6 = (0, ) = (0, 1001) (Ganzzahlige Anteile von oben nach unten gelesen) mengen11b.pdf, Seite 5

6 Bemerkungen Ist die Basis b > 10, so werden die Ziern für 10, 11, 1,... in der Regel durch Buchstaben A, B, C,... dargestellt. Bei der Umrechnung zwischen den Basen und 8 bzw. 16 kann ausgenutzt werden, dass eine Zier zur Basis 8 drei Ziern zur Basis bzw. eine Zier zur Basis 16 vier Ziern zur Basis entspricht. Beispiele (A5) 16 = ( ) (345, 67) 8 = ( , ) (111001, ) = (39, 5C) 16 (3, 5) 8 = (10011, 101) = (13, A) 16 mengen11b.pdf, Seite 6

7 Mächtigkeit von Mengen Zwei Mengen haben die gleiche Mächtigkeit, wenn es eine 1-1-Zuordnung zwischen ihren Elementen gibt. Bei endlichen Mengen bedeutet dies, dass die Zahl ihrer Elemente gleich ist. Abzählbarkeit Eine Menge heiÿt abzählbar, wenn sie die gleiche Mächtigkeit hat wie N. (mit einer unendlichen for-schleife durchlaufen werden kann). Z ist abzählbar: Die Schleife 0, 1, 1,,, 3, 3,... durchläuft alle ganzen Zahlen. mengen11b.pdf, Seite 7

8 Q ist abzählbar: / 1 1 1/ 1/3 1/4... / / / / 3 3 3/ 3/ Bemerkung Die reellen Zahlen R sind nicht abzählbar. mengen11b.pdf, Seite 8

9 Prinzip der vollständigen Induktion (1) Gilt eine Aussage A(n) für ein n 0 N, und gilt: () Die Gültigkeit von A(n) impliziert die Gütigkeit von A(n + 1), so gilt die Aussage für alle n n 0. Interpretation Dominoprinzip (Teschl/Teschl): Mit jedem Domino fällt der nächste. Fällt der erste Domino, so fallen alle. Vorgehen beim Induktionsbeweis (1) Induktionsanfang: Zeige die Gültigkeit der Aussage A(n 0 ) für ein geeignetes n = n 0. () Induktionsschritt: Aus der Gültigkeit der Aussage A(n) ist die Gültigkeit der Aussage A(n + 1) zu folgern. Dabei wird die Induktionsannahme A(n) benutzt. mengen11b.pdf, Seite 9

10 Beispiel (1) Die heutige Vorlesung ndet an einem Montag statt. () Jede Vorlesung ndet 7 Tage nach der vorhergehenden statt. Es folgt, dass alle Vorlesungen Montags stattnden. Anwendung: Arithmetische Summe Rechnung von Carl Friedrich Gauÿ (mit ca. 10 Jahren): = 100 k=1 k = ( ) + ( + 99) +...( ) = = = 5050 :-) mengen11b.pdf, Seite 10

11 Verallgemeinerung = 5050 = , = = ( ) 101 = = , = = ( ) 10 = = , =... = ,... Allgemeine Summenformel Für alle n N mit n 1 gilt n k = n = 1 n (n + 1). k=1 mengen11b.pdf, Seite 11

12 Einschub: Summenzeichen n a k=m k bedeutet, dass k alle ganzen Zahlen von m bis n durchläuft und die Werte a k aufaddiert werden: s = 0; for (k=m; k<=n; k++) s = s + a k ; Dann ist s = n k=m a k. Dazu müssen m, n Z sein mit m n. a k steht dabei für einen Ausdruck, der für jedes k zwischen m und n eine reelle Zahl ergibt. Beispiele 5 k= k = = 14 (hier war a k = k), 3 k= 1 k = = 15, 5 (mit a k = k ) mengen11b.pdf, Seite 1

13 Beweis der allgemeinen Summenformel mit vollständiger Induktion (1) Prüfe zunächst nach, dass die Formel für n = 1 gilt (Induktionsanfang): 1 k=1 k = 1 = 1 1 ist oensichtlich richtig. () Unterstelle, dass die Summenformel für ein festes aber beliebiges n ( 1) gilt und zeige davon ausgehend, dass sie dann auch für (n + 1) gültig ist (Induktionsschritt): n+1 k=1 k = n + (n + 1) = 1 n (n + 1) + (n + 1) (nach Annahme) = 1 [n (n + 1) + (n + 1)] = 1 (n + ) (n + 1) = 1 (n + 1) (n + ) Also gilt die Formel auch für n + 1. Mit dem Dominoprinzip folgt, dass sie für alle n 1 gültig ist. mengen11b.pdf, Seite 13

14 Weiteres Beispiel Zu zeigen ist A(n): n n für alle n 4. (1) Zu wählen ist n 0 = 4. Eigesetzt ergibt sich A(4): 4 = 16 4 = 16, was oenbar richtig ist. () Zum Beweis von A(n + 1) kann benutzt werden, dass gilt n n (Induktionsannahme). Zu beweisen ist damit A(n + 1): n+1 (n + 1). Eine Rechung ergibt n+1 = n n 5 16 n ( ) n+1 n = (n + 1), n womit A(n + 1) gezeigt ist. mengen11b.pdf, Seite 14

15 Anwendung: Mächtigkeit der Potenzmenge Die Potenzmenge der nelementigen Menge {1,..., n} hat hat n Elemente. Beweis (1) n 0 = 1: P({1}) = {, {1} } hat = 1 Elemente. () Teile Teilmengen von {1,..., n + 1} in zwei Gruppen ein: (a) solche, die n + 1 nicht enthalten n Stück nach Induktionsannahme (Teilmengen von {1,..., n}), (b) solche, die n + 1 enthalten n Stück (Mengen aus (a) vereinigt mit {n + 1}). Insgesamt: n + n = n+1 Teilmengen. mengen11b.pdf, Seite 15

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