Das Maschinenmodell Datenrepräsentation
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- Götz Joseph Hausler
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1 Das Maschinenmodell Datenrepräsentation Darstellung von Zahlen/Zeichen in der Maschine Bit (0/1) ist die kleinste Informationseinheit Größere Einheiten durch Zusammenfassen mehrerer Bits, z.b. 8 Bit = 1 Byte, 4 Byte = 1 Wort 1 Byte = 8 Bit Most Significant Bit Least Significant Bit In einem Byte können 256 unterschiedliche Zustände repräsentiert werden:
2 Das Maschinenmodell Datenrepräsentation Gängige Größen 2 10 Byte = 1 KiloByte 2 20 Byte = 1 MegaByte 2 30 Byte = 1 GigaByte 2 40 Byte = 1 TeraByte 2 50 Byte = 1 PetaByte 2 60 Byte = 1 ExaByte
3 Das Maschinenmodell Datenrepräsentation Zeichen werden durch eindeutige Byte-Codes kodiert Der ASCII Zeichensatz ist der "Urvater" aller Zeichensätze Er enthält 2 7 = 128 Zeichen Die lateinischen Grundbuchstaben, Zahlen und einige spezielle Zeichen Er ist sozusagen der kleinste gemeinsame Nenner aller anderen Zeichensätze Der erweiterte ASCII Zeichensatz enthält 2 8 = 256 Zeichen In der ersten Hälfte identisch mit dem 7 Bit ASCII Zeichensatz In der zweiten Hälfte enthält er je nach Sprache und Computersystem verschiedene weitere Zeichen, z.b. Umlaute
4 Das Rechnermodell Datenrepräsentation American Standard Code of Information Interchange
5 Das Rechnermodell Datenrepräsentation Erweiterung des 7-Bit ASCII-Codes Verfügbares MSB-Bit als Paritätsbit zur Erkennung von Übertragungsfehlern Setze MSB-Bit so, dass die Summe aller Bits gerade/ungerade Wenn nicht erfüllt, dann Übertragungsfehler Verfügbares MSB-Bit zur Erweiterung des Zeichensatzes z.b. länderspezifische Erweiterungen - ä ö ü ß etc.
6 Das Rechnermodell Datenrepräsentation Ein/Ausgabemedien müssen entsprechende Zeichen-Codes senden/empfangen und darstellen z.b. Tastaturtreiber müssen ASCII Zeichen-Codes generieren Das Aussehen der Zeichen wird durch die Schriftart oder den Font festgelegt Können beliebig gewählt werden Geben vor, wie ein Zeichen auf dem Ausgabemedium erscheint Byte-Wert (interne Repräsentation) 252 Zeichensatz, z.b. ASCII, 252 = ü Schriftart (Font), realisiert Zeichen
7 Das Rechnermodell Zahlenrepräsentation Zahlensysteme: Repräsentation einer Zahl Z in einer Zahlenbasis Z = i X i Y i, (i, 0 X Y) Y: Basis des Zahlensystems X: Ziffernvorrat Negative Exponenten beschreiben Nachkommastellen Beispiel Dezimalsystem: Y =10, 0 X 10 Z = = Prinzipiell kann die Basis beliebig gewählt werden Gängige Basen sind Y = 2 (Binär), Y = 10 (Dezimal), Y = 16 (Hexadezimal)
8 Das Rechnermodell Zahlenrepräsentation Dual- oder Binärzahlen Basis Y=2, Ziffernvorrat = 0,1 (repräsentiert durch 1 Bit) Bsp.: = Hexadezimalsystem Basis Y=16, Ziffernvorrat 0-9, A-F Bsp.: 6A = = 106 Zur Umrechnung von Dualdarstellung in Hexadezimaldarstellung splittet man 1 Byte in 2 Halbbytes 106 = = 6A
9 Das Rechnermodell Zahlenrepräsentation Umrechnung von Dezimalzahlen in Dualzahlen mit der Restwertmethode (basierend auf dem Horner-Schema) 37 : 2 = 18 Rest > : 2 = 9 Rest 0 9 : 2 = 4 Rest 1 4 : 2 = 2 Rest 0 2 : 2 = 1 Rest 0 1 : 2 = 0 Rest 1
10 Das Rechnermodell Zahlenrepräsentation Umrechnung von gebrochenen Zahlen durch Zerlegung in den ganzzahligen und gebrochenen Teil Umrechnung des ganzzahligen Teils der Dezimalzahl Umrechnung des gebrochenen Anteils der Dezimalzahl mittels fortgesetzter Multiplikation 0,2 2 = 0,4 --> 0 0,4 2 = 0,8 --> 0 0,8 2 = 1,6 --> 1 0,6 2 = 1,2 --> 1 0,2 2 = 0,4 --> > =
11 Das Rechnermodell Zahlenrepräsentation Zahlenkonvertierung dezimal binär hex dezimal binär hex A B C D E F
12 Das Rechnermodell Zahlenrepräsentation Natürliche Zahlen (positive ganze Zahlen) Anzahl von darstellbaren Zahlen hängt ab von der Anzahl von Bytes, die zur Repräsentation zur Verfügung stehen 1 Byte: Wertebereich von Entspricht in einigen Programmiersprachen dem Typ byte 2 Byte: Wertebereich von Entspricht in einigen Programmiersprachen dem Typ ushort 4 Byte: Wertebereich von 0-(2 32-1) Entspricht in einigen Programmiersprachen dem Typ ulong
13 Das Rechnermodell Zahlenrepräsentation Ganze Zahlen (Integer-Zahlen) Signed (vorzeichenbehaftet) Alternative 1: Reservierung eines Bits für das Vorzeichen und Kodierung wie gehabt Zahlenbereich bei 8 Bit: -127 bis +127 Es gibt +0 und -0
14 Das Rechnermodell Zahlenrepräsentation Ganze Zahlen (Integer-Zahlen) Signed (vorzeichenbehaftet) Alternative 2: Darstellung negativer Zahlen im Zweier-Komplement ( X=B n+1 -X ) Negation aller Bits der positiven Zahl und anschließende Addition von = , -106 = = Zahlenbereich bei (n+1) Bits: -2 n bis 2 n -1
15 Das Rechnermodell Zahlenrepräsentation Reelle Zahlen (Gleitkomma-Darstellung) Genauigkeit der internen Repräsentation hängt ab von der Anzahl von Bytes, die zur Repräsentation zur Verfügung stehen 4 Byte: Entspricht in einigen Programmiersprachen dem Typ float 8 Byte: Entspricht in einigen Programmiersprachen dem Typ double
16 Das Rechnermodell Zahlenrepräsentation IEEE-Norm 754 (Institute of Electrical and Electronics Engineers) Gleitkommazahl p (4 Bytes) wird dargestellt als p = (-1) s 1.m B e s = sign(m): Vorzeichenbit m: Mantisse B: Basis (wird nicht kodiert, da B = 2) e: Exponent Bits s exp m 1Bit 8Bit 23Bit Vorzeichen exp = e+127 Mantisse
17 Das Rechnermodell Zahlenrepräsentation Gleitkommadarstellung In der Mantisse werden Werte von 0.0 bis (Dual) repräsentiert Bsp.: = 1/2 = 0.5; = 1/4 = 0.25 Kleinste Zahl ist: (1 in Position 2-23 ) Da das höchstwertige Bit immer 1 ist, wird es nicht kodiert (Hidden-Bit) Den Wert des Exponenten erhält man durch Subtraktion von 127 (Hälfte des Wertebereichs) von dem in den 8 Bit dargestellten ganzzahligen Wert Werte von 127 bis 128 sind somit möglich -127 und 128 jedoch für Spezialfälle reserviert -127: 0, 128 (m=0): Infinity, 128 (m 0): NaN: ungültiger Wert
18 Das Rechnermodell Zahlenrepräsentation Gleitkommadarstellung in double Bei 8 Byte Darstellung: s: 1 Bit m: 52 Bit e: 11 Bit Höhere Genauigkeit, da Wertebereich 32-Bit-Genauigkeit: bis Bit-Genauigkeit: bis
19 Das Rechnermodell Zahlenrepräsentation Normalisieren einer 64-Bit-genauen Gleitkommazahl: p = ( ) 2 1 Interne Darstellung: s = 0; exp = (e = 1) ; m = p: Normalisierung (`schieben der Mantisse nach [1,10[ ): Verschieben der Mantisse um 4 Stellen nach links und gleichzeitiges Verringern des Exponenten um 4 Ergebnis: p = +( ) =
20 Das Rechnermodell Operationen auf Zahlen Integer-Arithmetik Addition (mit 4 Bit Darstellung): (1) 0000 Overflow Subtraktion durch Addition negativer Zahlen (Y X = Y + X) Y X = Y (X 2 n n+1 ) = Y + 2 n+1 X 2 n+1 = Y + X 2 n+1 Negative Zahl wird hier im 2er-Komplement dargestellt
21 Das Rechnermodell Operationen auf Zahlen Integer-Arithmetik = = Übertrag nur dann Overflow, wenn das Vorzeichen beider Zahlen gleich ist und das Ergebnis ein anderes Vorzeichen hat Bsp: +( 12) + ( 12) = =
22 Das Rechnermodell Operationen auf Zahlen Integer-Arithmetik = Betrag von = (durch Bildung des 2er-Komplement) 00111
23 Das Rechnermodell Operationen auf Zahlen Integer-Arithmetik Algorithmus zur Multiplikation Nach denselben Regeln, nach denen Dezimalzahlen multipliziert werden Stellenweises multiplizieren des Multiplikanten mit dem Multiplikator und addieren der Teilergebnisse *
24 Das Rechnermodell Operationen auf Zahlen Integer-Arithmetik Optimierung der Multiplikation durch Bitverschiebung Verschieben um 1 Position nach rechts entspricht Division durch 2 Verschieben um 1 Position nach links entspricht Multiplikation mit 2 Algorithmus (X Y): 1) Ergebnis = 0 2) wenn letztes Bit von Y = 1, dann addiere X zum Ergebnis 3) Verschiebe Y um eine Stelle nach rechts 4) Verschiebe X um eine Stelle nach links 5) wenn Y ungleich 0, dann wiederhole beginnend mit Schritt 2 6) Ende
25 Das Rechnermodell Operationen auf Zahlen Integer-Arithmetik Multiplikation durch Bitverschiebung 1001 x 1101 Wiederholung Shift rechts Shift links Ergebnis:
26 Das Rechnermodell Operationen auf Zahlen Integer-Arithmetik Division mittels Addition, Subtraktion und Bitverschiebung Algorithmus (X / Y): 1) Quotient Q = 0, Rest = X, T = Y 2) Verschiebe T bis T > Rest (wie oft geht Y in X) 3) Wenn T = Y: Ende 4) Verdopple Q (<<1) und halbiere T (>>1) 5) Wenn T <= Rest: Rest = Rest T und Q = Q+1 6) Wiederhole beginnend mit Schritt 3
27 Das Rechnermodell Operationen auf Zahlen Gleitkomma-Arithmetik Addition/Subtraktion: Exponenten angleichen (Verschieben der Mantisse des Operanden mit kleineren Exponenten Mantissen addieren/subtrahieren Ergebnis normalisieren Beispiel: = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) = 10, = 1 2 5
28 Das Rechnermodell Operationen auf Zahlen Gleitkomma-Arithmetik Multiplikation/Division: Multiplikation/Division der Mantissen Exponenten addieren/subtrahieren Ergebnis normalisieren Beispiel: = ( ) ( ) = = = 240
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