Durch welches 3-Tupel wird die Umkehrfunktion von p = (2, 3, 1) dargestellt?

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1 23. Januar 2007 Arbeitsblatt 11 Übungen zu Mathematik I für das Lehramt an der Grund- und Mittelstufe sowie an Sonderschulen I. Gasser, H. Strade, B. Werner WiSe 06/ Präsenzaufgaben: 1. Bekanntlich ist eine Permutation p von A = {1, 2,..., n} eine Bijektion p : A A (und besitzt daher eine Umkehrabbildung) und wird mit dem n-tupel (p(1), p(,..., p(n)) bezeichnet ( Abbildungsnotation ). Sei jetzt n = 3. Berechne die Verkettung (2, 3, 1) (2, 1, 3). Lösung: (3, 2, 1) Durch welches 3-Tupel wird die Umkehrfunktion von p = (2, 3, 1) dargestellt? Lösung: (3, 1, 2. Wie oft kommt der Term a 2 b 5 vor, wenn man (a + b) 7 ausmultipliziert? Lösung: Binomischer Lehrsatz: ( 5 = 10 mal. 3. Erstellen Sie ohne jede Vorlage die ersten fünf Zeilen des Pascal schen Dreiecks. 4. Begünden Sie mit kurzen Sätzen die Beziehung (n) k = k! ( n kombinatorisch, wobei Sie nur benutzen sollen, dass (n) k die Anzahl aller k-tupel aus {1, 2,..., n} mit lauter verschiedenen Komponenten und ( n die Anzahl alle k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge ist. 5. Erklären sie in kurzen Sätzen, warum ( n die Anzahl der Terme a k b n k beim Ausmultiplizieren von (a + b) n ist. 6. Welche der folgenden Aussagen ist wahr? Die Schreibweise p := (2, 3, 1, 4) für eine Permutation p bedeutet, dass p( = 1 Die Schreibweise p := (2, 3, 1, 4) für eine Permutation p bedeutet, dass nach der Umordnung von (1, 2, 3, 4) die 2 an erster Stelle steht (n) n = n! (n) n 1 = n! Wenn man (a + b) 6 ausmultipliziert, so kommt der Term a 2 b 4 genau so oft vor wie der Term a 4 b 2 1

2 Wenn man (a + b) 6 ausmultipliziert, so kommt der Term a 2 b 4 genau so oft vor wie der Term a 3 b 3 ( 0 0) = 1 0! = 0 Es gibt einen Sinn, nach der Anzahl von 0-elementigen Teilmengen einer 0-elementigen Menge zu fragen Wenn 100 Personen ihre Stimmen auf drei Kandidaten verteilen sollen, so ist jede Stimmenverteilung gleichwahrscheinlich, wenn die Personen ihre Stimmabgabe dem Zufall mit gleicher Wahrscheinlichkeit für jeden Kandidaten überlassen Übungsaufgaben: (Abgabe in den Übungen) Aufgabe 39: (Eine Frage, die eher für den Sommer geeignet, aber auch in diesem milden Winter aktuell ist) Wieviele Möglichkeiten gibt es bei 10 verschiedenen Sorten Eis, wenn man (a) (3) (b) (4) eine Eisportion mit 4 verschiedenen Kugeln haben möchte? Lösung: Es kommt nicht auf die Anordnung an (bei manchen doch). Also gibt es ( 10 4 ) = 210 Eisportionen. zwei Eisportionen mit je 4 verschiedenen Kugeln haben möchte und auch beide Eisportionen verschiedene Sorten (d.h. insgesamt 8 Sorten) haben sollen? Lösung: Für die erste Eisportion gibt es ( ) 10 4 = 210 Möglichkeiten, für die zweite verbleiben ( 6 4) = 15 Möglichkeiten. Nun kommt es nicht auf die Anordnung der beiden Portionen an, d.h. jedes Paar von Eisportionen kommt zwei Mal vor. Insgesamt gibt es also /2 = 1575 Möglichkeiten. (c) (3) zwei verschiedene Eisportionen 1 mit je 4 verschiedenen Kugeln haben möchte, aber die zwei Eisportionen auch gleiche Sorten haben können? Lösung: ( ( 10 4 ) ) ( 2 = ( )/2 = Genauer: es gibt n := 10 ) 4 = Kugel-Eise. Von diesen wählt man sich zwei heraus, das geht auf ( ) Weisen. 1 D.h., dass nicht alle vier Sorten der Eisportionen gleich sind. 2

3 Aufgabe 40: (a) (4) Wieviele Möglichkeiten gibt es, 6 Personen in drei Zweiergruppen einzuteilen? Dabei soll es nicht auf die Reihenfolge dieser Zweiergruppen ankommen. Lösung: Kommt es auf die Reihenfolge der drei Zweiergruppen an, so gibt es ( 6 = 15 Möglichkeiten für die erste, ( 4 = 6 für die zweite Gruppe, die dritte Gruppe steht dann fest. Insgesmat gibt es also 15 6 = 90 Einteilungen in drei Zweiergruppen mit Anordnung. Durch Permutation kann man jeweils 3!=6 dieser Einteilungen so zusammenfassen, dass sie zu der gleichen Einteilung führen, d.h. es gibt 90/6=15 Einteilungen. (b) (3) (c) (3) Wieviele sind es, wenn zwei bestimmte Personen nicht in der gleichen Gruppe sein dürfen? Lösung: Es gibt 4 Möglichkeiten für eine 2er-Gruppe mit Person A (und ohne B). Steht eine solche Gruppe fest, verbleiben 3 Möglichkeiten für eine 2er-Gruppe mit Person B. Die restliche 2er-Gruppe steht dann fest. Es gibt insgesamt 12 Möglichkeiten. 5 Stürmer erzielen insgesamt 3 Tore. Wieviele Möglichkeiten von Torschützenlisten gibt es? (Es soll nicht darauf ankommen, in welcher Reihenfolge die Tore erzielt wurden). Benutzen Sie zum einen einfach die richtige Formel aus Kap. 7, wobei Sie zunächst klären, welcher der vier Fälle mit/ohne Zurücklegen, mit/ohne Anordnung vorliegt. Zum anderen begründen Sie Ihr Ergebnis direkt ohne Benutzung dieser Formel. Lösung: Tor zieht Stürmer. Mit zurücklegen, ohne Reihenfolge. k = 3, n = 5. Also ( 7 3) = 35. Oder direkt: es gibt 5 Fälle, dass ein Spieler alle drei Tore schießt, 20 = 5 4 Möglichkeiten, dass ein Spieler zwei und ein anderer ein Tor schießt und ( 5 3) = 10 Fälle, dass die drei Tore von verschiedenen Spielern erzielt werden. Aufgabe 41: In der Vorlesung wurde eine Permutation p der Menge A := {1, 2,..., n} durch das n-tupel (p(1), p(,..., p(n)) bezeichnet, wobei p als Bijektion von A aufgefasst wird. In diesem Sinne bedeutet (2, 3,..., n, 1), dass p(1) = 2, p( = 3,..., p(n 1) = n, p(n) = 1. Ich nenne diese Notation die Abbildungsnotation. Genauso gut hätte man (und das geschieht auch zuweilen in anderen Quellen) eine Notation einer Permutation wählen können, aus der man direkt ablesen kann, wer nach der Permutation an erster, zweiter,..., letzter Stelle steht. Obiges (2, 3,..., n, 1) wäre dann als (n, 1, 2,..., n 1) notiert worden. Ich nenne diese Notation die Umordnungsnotation. 3

4 Zeigen Sie, dass die Umordnungsnotation für p gerade die Abbildungsnotation für die Umkehrabbildung q := p 1 ist. Zunächst für das obige Beispiel ((2, 3,..., n, 1) versus (n, 1, 2,..., n 1)) und dann allgemein. Lösung: a) (4 Punkte) Aus p(1) = 2, p( = 3,..., p(n 1) = n, p(n) = 1 folgt sofort (mit q := p 1 ), dass q( = 1, q(3) = 2,..., q(n) = n 1, q(1) = n, so dass die Abbildungsnotation für q gerade (n, 1, 2,..., n 1) ist die Umordnungsnotation für p. b) (6 Punkte) Wenn p(j) = k, dann gilt q( = j, d.h. die Abbildungsnotation für q hat in der k-ten Komponente ein j, die Umordnunsnotation für p ebenfalls. Aufgabe 42: Lesen Sie sorgfältig Kap durch. (a) (6) Erläutern Sie das Konzept der Trennkugeln bei der Frage, wieviele Stimmenverteilungen es gibt, wenn k := 100 Personen ihre Stimmen auf n := 3 Parteien verteilen. Dabei geht es um die Interpretation der Formel ( ) n+k 1 n 1, von der Sie benutzen sollen, dass sie die Anzahl der Möglichkeiten wiedergibt, n 1 = 2 (Trenn-) Kugeln aus einer Urne mit n + k 1 = 102 Kugeln zu ziehen (ohne Zurücklegen, ohne Berücksichtigung der Anordnung). Lösung: Man zieht zwei (=n 1) Zahlen n 1, n 2 zwischen 1 und 102(=n + k 1). Dann haben n 1 1 Personen ihre Stimme der ersten, n 2 n 1 1 Personen ihre Stimme der zweiten und der Rest ihre Stimme der dritten Partei gegeben. Man dankt sich 102 Kugeln aneinandergereiht, von denen man 2 auslost, diese markiert und als Trennkugeln bezeichnet. Die Anzahl der Kugeln links von der ersten ist dann n 1 1 (Anzahl der Stimmen erste Partei), die Anzahl der Kugeln zwischen den beiden Trennkugeln ist n 2 n 1 1 (Anzahl der Stimmen zweite Partei). Die Zahl der Kugeln rechts von der 2. Trennkugel gibt die Stimmenzahl für die dritte Partei. (b) (1) Welche Nummern tragen die beiden Trennkugeln, wenn alle Stimmen an die erste Partei gehen? (c) ( (d) (1) Lösung: Die Nummern 101 und 102 Welche Nummern tragen die beiden Trennkugeln, wenn alle Stimmen an die zweite Partei gehen? Lösung: Die Nummern 1 und 102 4

5 Welche Nummern tragen die beiden Trennkugeln, wenn alle Stimmen an die dritte Partei gehen? Lösung: Die Nummern 1 und 2 5