Kombinatorik und Polynommultiplikation

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1 Kombinatorik und Polynommultiplikation 3 Vorträge für Schüler SS 2004 W. Plesken RWTH Aachen, Lehrstuhl B für Mathematik 2 Mengen und Abbildungen: Die Sprache der Mathematik Wir haben in der ersten Vorlesung schon einige intuitive Begriffe im Zusammenhang mit dem Zählen kennengelernt, insbesondere Mengen und ihre Elemente. Heute wollen wir noch genauer sehen, was man mit Mengen machen kann, einige der Begriffsbildungen vom vorigen Mal etwas formaler wiederholen, um sie dann besser verallgemeinern zu können, bis wir dann unsere Ausgangsaufgabe über die Anzahl der Reihenfolgen der Schüler, die auf Bankreihen verteilt sind, lösen können. Wir fangen mit einigen sehr einfachen Konzepten an. Definition 2.1 Sei M eine Menge und A, B seien Teilmengen von M. 1) A B := {m M m A und m B} heißt der Durchschnitt oder auch die Schnittmenge von A und B. 2) A B := {m M m A oder m B} heißt die Vereinigung oder auch die Vereinigungsmenge von A und B. 3) A B := {m M m A und m B} heißt die Differenz oder auch die Differenzmenge von A mit B. Insbesondere heißt M A die Komplementmenge von A in M. Dies sind ganz einfache und selbstverständliche Begriffsbildungen und entsprechend selbstverständlich sollte uns die folgende Bemerkung sein. 1

2 Bemerkung 2.2 Sei M eine endliche Menge, also eine Menge, die nur endlich viele Elemente enthält, und A, B seien Teilmengen von M. Dann gilt: M A = M A, A B = A + B A B. Insbesondere gilt A B = A + B genau dann, wenn A B = die leere Menge ist, d. h., wenn A und B disjunkt sind. Damit haben wir eine mengentheoretische Operation gefunden, die der Addition von Zahlen entspricht. Wie steht es mit der Multiplikation? Definition 2.3 Seien M und N Mengen. Dann heißt M N := {(m, n) m M und n N} das cartesische Produkt oder die Paarmenge von M und N. Die Elemente dieser Menge heißen (geordnete) Paare der Mengen M und N. Für (m, n), (m, n ) M N soll gelten: (m, n) = (m, n ) genau dann, wenn m = m und n = n. Beispiel 2.4 1) (Visualisierung) M := {a, b}, N := {1, 2, 3}. Dann können wir uns die Elemente von M N wie folgt in einem Schema vorstellen: a (a, 1) (a, 2) (a, 3) b (b, 1) (b, 2) (b, 3) Damit sollte intuitiv klar sein, dass für endliche Mengen M und N gilt: M N = M N. 2) Ein Spielkartendeck (Skatblatt) kann man als cartesisches Produkt auffassen: {c, h, p, k} {7, 8, 9, 10, B, D, K, A}. 3) Im Falle M = N muss man unterscheiden zwischen {{a, b} a, b M} Pot(M) und M M. Z. B. für M = {1, 2, 3} hat die erste Menge 6 Elemente: {{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}} und das cartesische Produkt 3 3 = 9 Elemente. 2

3 Als etwas abstrakteres Anwendungsbeispiel unserer beiden Prinzipien, wie man die Addition und Multiplikation mengentheoretisch realisieren kann, wollen wir uns folgende Identität für Binomialkoeffizienten veranschaulichen. Satz 2.5 Sei n eine natürliche Zahl, 0 k n/2 und k := n k. Dann gilt: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) n k k k k k k = k k k Beweis. Wir haben vier Möglichkeiten den Beweis zu führen gemäß den vier Anzahlinterpretationen, die wir für die Binomialkoeffizienten gesehen hatten. Ich entscheide mich für die Spaziergänge in Manhattan. Am Anfang steht die Aufteilung der Menge M n (k) der Wege der Länge n, wo man insgesamt k-mal nach Osten und k -mal nach Norden geht: Man schaut sich an, wo man nach k Schritten ist: Hierfür gibt es k + 1 Möglichkeiten, je nachdem, wieviele Schritte man nach Osten gegangen ist, sagen wir l Schritte. Nennen wir die Menge der Wege aus M n (k), die nach k Schritten genau l-mal nach Osten gegangen sind, A l. Dann haben wir also eine Aufteilung der Menge aller relevanten Wege in paarweise disjunkte Teilmengen: M n (k) = A 0 A 1... A k mit A i A j = für i j, also ( ) n = A 0 + A A k. k Jetzt zur Analyse der einzelnen A l. Offenbar setzt sich jedes Element aus A l aus einem Anfangsweg der Länge k und einem Endweg der Länge k zusammen. Der Endpunkt der Anfangswege ist bei allen gleich und auch gleich dem Ausgangspunkt der Endwege. Man überlegt sich jetzt, dass man so etwas wie eine Paarmenge von Wegen vorliegen hat: Die erste Komponente ist der Anfangsweg mit ( k l) Möglichkeiten und die zweite Komponente ist der Endweg mit ( k k l) Möglichkeiten. Nun sieht man aber leicht (Übung), dass ( ) ( k l = k k l) ist. Also haben wir ( )( ) ( )( ) k k k k A l = = l k l k l k l 3

4 und die Behauptung folgt durch Einsetzen. q. e. d. Übung: Führe den Beweis in einer der anderen drei Sprechweisen gemäß dem gestrigen Satz. Jetzt kommen wir zu dem zentralen Konzept der Abbildung zwischen Mengen. Ich werde zwei Definitionen geben: eine formale und eine anschauliche in Umgangssprache. Wir werden versuchen, uns klar zu machen, dass es wirklich dasselbe Konzept ist. Aber eines steht fest: Das Konzept der Abbildung ist grundlegend für die gesamte Mathematik. Es gibt kaum etwas, was nicht mit Hilfe dieses Konzeptes formuliert wird. Definition 2.6 Seien M und N Mengen. Eine Abbildung f ist eine Teilmenge f M N des cartesischen Produktes M N mit folgenden Eigenschaften: 1) Zu jedem m M gibt es ein n N mit (m, n) f. 2) Sind (m, n 1 ), (m, n 2 ) f, so gilt n 1 = n 2. Für m M bezeichnet man das eindeutige n N mit (m, n) f mit f(m). Notation: f : M N : m f(m). In anderen Worten: Eine Abbildung f : M N ist eine Zuordnung, die jedem Element m M ein eindeutig bestimmtes Element f(m) N zuordnet. Wir wiederholen nochmals alle unsere früheren Betrachtungen im Lichte dieser neuen Definition. Beispiel 2.7 Bei dem Würfelbeispiel am Anfang mit den zwei Würfeln hatten wir es mit der folgenden Abbildung zu tun: u : {1, 2, 3, 4, 5, 6} {1, 2, 3, 4, 5, 6} {0, 1, 2, 3, 4, 5} : { a b, falls a b, (a, b) b a, sonst. Die Frage, die wir gestern zum Auftakt behandelt hatten, hieß: Wie viele Elemente haben die Fasern dieser Abbildung? In anderen Worten, wie viele Paare werden auf 0, auf 1 etc. abgebildet? Hier ist eine allgemeine Definition von Faser: 4

5 Definition 2.8 Sei f : M N eine Abbildung. Für jedes n N heißt {m M f(m) = n} die Faser über n oder das volle Urbild von n. Für m M heißt die Faser über f(m) auch die Faser von m. Unterrichtsübung: Jedes Element von M liegt in genau einer Faser der Abbildung f : M N. Beispiel 2.9 Sei M n wieder die Menge der Wege der Länge n in Manhattan. Dann haben wir eine Abbildung e : M n {Straßenecken} : Weg Endpunkt des Weges. Die (nicht leeren) Fasern dieser Abbildung sind gerade die Mengen von gestern, die in der Verschärfung des Satzes auftauchten und heute im Beweis mit M n (k) bezeichnet wurden und ( n k) Elemente haben. Übung: Gib eine Abbildung z : M n (k) {0, 1,..., k} an, so dass die A i gerade die Fasern sind. Als nächstes hatten wir gestern eine vorläufige Definition des Begriffes Zählen gegeben. Jetzt können wir einen bessere Definition geben. Zur Vorbereitung geben wir noch einen Namen für Abbildungen, die nur die Elemente neu benennen, gewissermaßen umtaufen. Definition 2.10 Eine Abbildung f : M N heißt bijektiv, falls {(n, m) N M (m, n) f} ebenfalls eine Abbildung ist. Diese wird dann mit f 1 bezeichnet. Klar: f : M N ist genau dann bijektiv, wenn für jedes n N die Faser über n aus genau einem Element besteht. Jetzt können wir endlich die Frage beantworten, was Zählen eigentlich bedeutet: Man stellt eine bijektive Abbildung zwischen der zu zählenden endlichen Menge und der Menge {1, 2,..., n} für ein gewisses n N auf. 5

6 Definition 2.11 Eine Menge M heißt endlich, wenn M leer ist oder wenn ein n N und eine bijektive Abbildung ϕ : M {1, 2,..., n} existieren. Jede solche Abbildung heißt Abzählung von M. Anderenfalls heißt M unendlich. Eigentlich müssten wir zeigen, dass n eindeutig bestimmt ist, um es als Anzahl der Elemente von M zu bezeichnen. Wir wollen das jetzt zurückstellen und mit unseren Beispielen weitermachen. Beispiel 2.12 Eine 01-Folge der Länge n ist eine Abbildung f : {1, 2, 3, 4,..., n} {0, 1}. Die Menge dieser Abbildungen oder Folgen wird auch mit {0, 1} {1,2,...,n} bezeichnet. Diese Menge hat 2 n Elemente, denn α : {0, 1} {1,2,...,n} {0,..., 2 n 1} : f f(1)2 0 + f(2) f(n)2 n 1 ist bijektiv. Unsere Beschreibung von M n, der Menge der Wege der Länge n, war nichts anderes als eine bijektive Abbildung von M n auf {0, 1} {1,2,...,n}. Hätten wir Osten und Norden statt 0, 1 gesagt, so hätte man auch mit {O, N} {1,2,...,n} als M n arbeiten können. Wie die bijektive Abbildung zwischen {O, N} {1,2,...,n} und {0, 1} {1,2,...,n} aussieht, ist klar. Übung: Gib eine bijektive Abbildung zwischen {1, 2,..., n} {1, 2,..., m} und {1, 2,..., nm}, also eine Abzählung des cartesischen Produktes an. (Hinweis: Betrachte zweistellige Zahlen und verallgemeinere.) Bei den Binomialkoeffizienten haben wir nur die Anzahl angegeben und nicht eine explizite bijektive Abbildung konstruiert. Satz 2.13 Sei M eine endliche Menge mit m Elementen. Dann ist die folgende Abbildung bijektiv: C : Pot(M) {0, 1} M : S χ S, wo χ S die charakteristische Abbildung von S ist: { 1, falls m S, χ S : M {0, 1} : m 0, falls m S. 6

7 Beweis. Wir geben die Umkehrabbildung F (wie Faser ) zur Abbildung C (wie charakteristische Abbildung ) an: F : {0, 1} M Pot(M) : χ Faser von χ über 1. Wir lassen es als Übung, zu verifizieren, dass dies wirklich die inverse Abbildung ist. q. e. d. Statt die anderen Beispiele unseres Satzes durchzugehen, verallgemeinern wir gleich. Definition 2.14 Seien n, a, k 1,..., k a Z 0 mit n = k k a. Der Multinomialkoeffizient ( ) n k 1,...,k a ist definiert als die Anzahl der Elemente der Menge {f {1, 2,..., a} {1,2,...,n} Faser von f über i = k i für i = 1,..., a}. Jetzt können wir den Satz verallgemeinern. Ich greife nur eine Sache heraus: Satz 2.15 Für a, n N gilt: (x x a ) n = ( n k 1,..., k a ) x k 1 1 xk a a. Wir wollen den Fall a = 3 wieder mit dem Wegkonzept in einem 3- dimensionalen Manhattan interpretieren. Man kann das Ausmultiplizieren aber auch in anderen Kontexten als Zählen von Wegen deuten. Beispiel 2.16 Die Koeffizienten von (x + y + x 1 + y 1 ) n zählen Wege der Länge n in Manhattan, wo man von einer festen Straßenecke ausgeht, und an jeder Straßenecke, wo man vorbeikommt, in jede der vier Himmelsrichtungen gehen kann. Z. B. für n = 4 bekommt man x xy x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y

8 oder schematisch in der Ebene: Übung: Interpretiere entsprechend: (x + x 1 ) n, (1 + x + x 1 ) n, (x + y + x 1 y 1 ) n, (x + y + z) n etc.. In welchen Fällen sind die Koeffizienten Multinomialkoeffizienten? Was passiert in den anderen Fällen? Was würdest Du als Pascalschen Simplex ansprechen (in Analogie und in Verallgemeinerung des Pascalschen Dreiecks)? Zum Abschluss noch einen Kommentar zu unserem Ausgangsproblem. Wir können es jetzt umformulieren. Satz 2.17 Sei M {1,..., a} {1, 2,..., r} eine n-elementige Teilmenge des cartesischen Produktes der Form M = {(1, 1), (1, 2),..., (1, k 1 ), (2, 1), (2, 2)..., (2, k 2 ),..., (a, k a )}. Gesucht ist die Anzahl der bijektiven Abbildungen (genannt Mischfolgen) mit der Eigenschaft: ϕ : M {1, 2,..., n} ϕ((i, j)) < ϕ((i, j )), falls (i, j), (i, j ) M mit j < j. Es gibt genau ( ) n k 1,...,k a derartige Mischfolgen. 8

9 Beweis. 1) Visualisiere M als (1, 1) (1, 2) (1, k 1 )... (2, 1) (2, 2) (2, k 2 ) (a, 1) (a, 2)... (a, k a ) Eine Mischfolge ist dann die Nummerierung dieser Positionen (i, j) mit 1,..., n mit der oben angegebenen Bedingung. 2) ( ) n k 1,...,k a ist gleich der Anzahl der Abbildungen {1,..., n} {1, 2,... a}, bei denen die Faser über i genau k i Elemente hat. Nenne die Menge dieser Abbildungen R. Wir geben eine bijektive Abbildung zwischen R und der obigen Menge der Mischfolgen an: Zu α R gehört die Mischfolge, die dadurch entsteht, dass man die Nummern der Faser von α über i in der natürlichen Reihenfolge in dem Schema oben in die i-zeile einträgt. Z. B. steht 1 in der α(1)-ten Zeile an der ersten Stelle und n in der α(n)-ten Zeile an der letzten Stelle. 3) Umgekehrt konstruieren wir aus jeder Mischfolge ϕ ein Element von R, also eine Abbildung {1,..., n} {1, 2,... a} wie folgt: s {1,..., n} wird auf die Nummer der Zeile abgebildet, in der es steht. 4) Die beiden Konstruktionen aus 2) und 3) sind invers zueinander, d. h. sie sind bijektive Abbildungen f und f 1. Also ist die Anzahl der gesuchten Mischfolgen gleich R, also gleich ( ) n k 1,...,k a. q. e. d. 9