DIE SPRACHE DER WAHRSCHEINLICHKEITEN

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "DIE SPRACHE DER WAHRSCHEINLICHKEITEN"

Transkript

1 KAPITEL 1 DIE SPRACHE DER WAHRSCHEINLICHKEITEN Es ist die Aufgabe der ersten drei Kapitel, eine vollständige Beschreibung des grundlegenden Tripels (Ω, A, P) und seiner Eigenschaften zu geben, das heutzutage von allen Wahrscheinlichkeitstheoretikern als erste Annäherung an den Begriff der Wahrscheinlichkeit akzeptiert wird. Zunächst gilt es, die Ereignisse zu beschreiben, die mit Erscheinungen verknüpft werden, bei denen der Zufall eine Rolle spielt. Dies ist das Thema des ersten Kapitels. Diese Ereignisse begegnen uns als Teilmengen der ersten Komponente Ω dieses Tripels. Um eine praktische Handhabung der Ereignisse zu erreichen, werden wir im folgenden Kapitel eine ausgezeichnete Familie A von Ereignissen einführen, die präzisen algebraischen Regeln genügt. Im dritten Kapitel schliesslich werden wir die dritte Komponente P (das Wahrscheinlichkeitsmass) studieren, das uns erlaubt, eine Gewichtung der zur Familie A gehörigen Ereignisse vorzunehmen. 1. Ein Beispiel. Wir stellen uns eine Erdölgesellschaft vor, die über eine gewisse Anzahl von Schiffen verfügt und die bestrebt ist, eine genaue Studie über die Ankunftszeiten ihrer Tanker an deren Bestimmungshäfen zu machen. Wegen der Zufälligkeiten der Seefahrt können die Ankunftszeiten dieser Tanker nicht auf die Stunde genau vorhergesagt werden. Um diese Ankunftszeiten untersuchen zu können, muss die Gesellschaft apriorieine Klasse von Ereignissen in Betracht ziehen, die diesen Ankunftszeiten zugeordnet ist, wie zum Beispiel: keine Ankunft am Freitag zwischen 8 Uhr und 10 Uhr oder die Tanker n o 1 und n o 2 kommen am 8. Januar an oder Tanker n o 2 hat einen Schaden auf hoher See. Sie wird auch eine Familie von noch präziser beschriebenen Ereignissen auch Stichproben genannt betrachten müssen, wie etwa: Tanker n o 2 kommt am Freitag, den 8. Januar, um 9 Uhr an. Bezeichnet ω diese Stichprobe, so tritt das Ereignis A: keine Ankunft am Freitag zwischen 8 Uhr und 10 Uhr bei der Stichprobe ω nicht ein, wogegen das Ereignis B: mindestens einer der Tanker n o 1 und n o 2 kommt am 8. Januar an bei ω eintritt. Um dieses Phänomen der Ankunftszeiten studieren zu können, wird man also eine Basismenge Ωeinführen und sie mit der Menge der Paare (n, t) identifizieren, wobei n die Nummer eines Tankers der Gesellschaft und t den

2 2 KAPITEL 1: DIE SPRACHE DER WAHRSCHEINLICHKEITEN Ankunftszeitpunkt des Tankers im Hafen bezeichnet. Die obige Stichprobe ω ist also durch das Element (2, (8, 9)) gegeben, wobei (8, 9) den 8. Januar, 9 Uhr bezeichnet. Das Ereignis B ist also mit der Menge aller Elemente (n, t) zu identifizieren, bei denen n = 1 oder 2 ist, sowie (8, 0) t (8, 24). Man sieht an diesem Beispiel, dass die Zugehörigkeit ω B äquivalent ist mit der Aussage B tritt bei der Stichprobe ω ein. Die Sprache der Zugehörigkeit ist die Sprache der Mengenlehre, die Sprache des Eintretens von Ereignissen gehört zur Sprache der Wahrscheinlichkeitstheorie. Die hier eben beschriebene Äquivalenz erlaubt es, jederzeit zwischen beiden Ausdrucksformen zu wechseln. Dies wird in den folgenden Paragraphen noch näher ausgeführt werden. 2. Das fundamentale Tripel. Im obigen Beispiel war es einfach, die Basismenge Ω explizit anzugeben. In den meisten Fällen wird man sich allerdings damit begnügen, die Existenz einer solchen Menge zu unterstellen. Diese ist Teil des Tripels (Ω, A, P), das die folgenden Eigenschaften hat: a) Ω ist eine nichtleere Menge, genannt Basismenge; ihre Elemente ω werden als Stichproben bezeichnet. Die Menge Ω enthält alle möglichen Resultate eines Zufallsexperiments. b) A ist eine Familie von Teilmengen von Ω, genannt Ereignisse; ein Ereignis ist eine Aussage über ein Zufallsexperiment, die zutreffen kann oder auch nicht. Ist ω eine Stichprobe und A ein Ereignis, so sagt man genau dann, dass das Ereignis A bei der Stichprobe ω eintritt, wennω zu A gehört. In den einfacheren Fällen kann man als Familie A die Menge P(Ω) aller Teilmengen, die Potenzmenge von Ω, wählen (diese Notation wird im folgenden ständig benutzt werden). In dieser Situation kann also jede Teilmenge von Ω als Ereignis angesehen werden. Speziell ist also jede ein-elementige Menge, also jede Menge der Form {ω}, wobeiω einelementvonωist,ein Ereignis, genannt Elementarereignis. Beim weiteren Ausbau der Theorie wird man dafür sorgen, dass die Menge A der Ereignisse geeignete algebraische Eigenschaften hat, genauer, dass sie eine σ-algebra über Ω ist. Dann kann es vorkommen, dass nicht für alle Elemente ω Ω die ein-elementige Menge {ω} zu A gehört, also ein Ereignis ist. Der Begriff Elementarereignis sollte deshalb vermieden werden. c) P ist eine Gewichtsfunktion auf der Familie A der Ereignisse. In dem Rahmen, in dem wir uns bewegen, wird P ein Wahrscheinlichkeitmass auf A sein. Der Wert P(A) heisst dann die Wahrscheinlichkeit von A. Das eben vorgeschlagene Modell erlaubt es, die meisten Begriffe der (elementaren) Mengenlehre in wahrscheinlichkeitstheoretischer Sprache zu formulieren. Speziell erscheinen die logischen Operationen auf Ereignissen als

3 3. UNENDLICHE FOLGEN VON EREIGNISSEN 3 mengentheoretische Operationen auf den Teilmengen einer Menge. Gelegentlich werden die Sprache der Mengenlehre und die der Wahrscheinlichkeiten nebeneinander benützt, wobei die folgenden Begriffe häufig verwendet werden: 1) Die leere Menge wird, als Ereignis betrachtet, als unmögliches Ereignis angesprochen; es tritt bei keiner Stichprobe ein. 2) Die volle Menge Ω ist ebenfalls ein Ereignis und wird als sicheres Ereignis bezeichnet; es tritt bei jeder Stichprobe ein. 3) Seien A und B zwei Ereignisse. Man sagt, dass das Ereignis A das Ereignis B impliziert, wenn B bei jeder Stichprobe eintritt, bei der auch A eintritt; anders gesagt, wenn A B ist. 4) Zwei Ereignisse A und B sind äquivalent, wennb durch A impliziert wird und ebenso A durch B impliziert wird; anders gesagt, wenn A = B gilt. 5) Die Konjunktion zweier Ereignisse A und B ist das Ereignis, das bei genau denjenigen Stichproben eintritt, bei denen sowohl A als auch B gleichzeitig eintreten; dies ist also der Durchschnitt A B. 6) Die Vereinigung zweier Ereignisse A und B ist das Ereignis, das bei genau denjenigen Stichproben eintritt, bei denen mindestens eines der Ereignisse A, B eintritt; dies ist also A B. 7) Das entgegengesetzte Ereignis zu einem Ereignis A ist dasjenige Ereignis, das bei genau denjenigen Stichproben eintritt, bei denen A nicht eintritt. Dies ist also das Komplement von A, bezeichnet durch A c (= Ω \ A). 8) Zwei Ereignisse A und B sind unverträglich (oder disjunkt), wenn ihre Konjunktion das unmögliche Ereignis ist; anders gesagt, wenn A B =. Bezeichnungen. Wenn Ereignisse A und B unverträglich sind, so bezeichne A + B (anstelle von A B) ihrevereinigung. Entsprechend schreibt man i A i für die Vereinigung von Ereignissen A i, die paarweise unverträglich sind. Anstelle von A B wird oft auch die Schreibweise AB verwendet. Die Differenz zwischen zwei Ereignissen A und B (in dieser Reihenfolge), geschrieben A \ B, ist das Ereignis A B c. Falls A B, so spricht man auch von der echten Differenz A \ B. Eine Folge von Ereignissen A n wird mit (A n ) (n 1) oder einfach mit (A n ) bezeichnet. Falls es sich um eine endliche Folge handelt, schreibt man beispielsweise auch (A i )(i =1, 2,...,n). 3. Unendliche Folgen von Ereignissen 3.1. Grenzwerte von Ereignisfolgen. Es sei (A n ) eine Folge von Ereignissen. In der Mengenlehre ist die Vereinigung n A n (auch n=1 A n

4 4 KAPITEL 1: DIE SPRACHE DER WAHRSCHEINLICHKEITEN geschrieben) der Folge (A n ) die Menge aller ω Ω, die die Eigenschaft haben es gibt (mindestens) ein n mit ω A n. In der Sprache der Wahrscheinlichkeitstheorie wird, gemäss obiger Übersetzung, das Ereignis n A n beschrieben durch mindestens eines der Ereignisse A n tritt ein. Analog bezeichnet n A n das Ereignis alle Ereignisse A n treten ein. Wenn die Folge (A n ) aufsteigend ist, d.h. wenn A n A n+1 für alle n gilt, dann wird die Vereinigung n A n der Folge (A n )auchalslimes der Folge bezeichnet. Man schreibt dann n A n = lim n A n, oder auch A n lim n A n. Wenn entsprechend die Folge (A n ) absteigend ist, wenn also A n A n+1 für alle n gilt, dann wird der Durchschnitt n A n der Folge ebenfalls als Limes der Folge bezeichnet. Man schreibt n A n = lim n A n und A n lim n A n. Wenn eine Folge (A n ) entweder aufsteigend oder absteigend ist, so wird sie auch als monoton bezeichnet Limes inferior und Limes superior. Ist eine Folge (A n ) von Ereignissen gegeben, so kann man immer den Limes inferior und den Limes superior dieser Folge definieren. Der Limes inferior der Folge (A n ) wird notiert als lim inf n A n und ist definiert als die Menge derjenigen Elemente ω von Ω, die zu fast allen A n gehören,d.h.diebisaufendlich viele Indices n zu all diesen Mengen gehören. Analog ist der Limes superior, notiert als lim sup n A n, die Menge derjenigen Elemente ω von Ω, die für unendlich viele Indices n zu A n gehören. Limes inferior und Limes superior lassen sich folgendermassen durch Vereinigung und Durchschnitt ausdrücken: Satz Sei (A n ) eine Folge von Teilmengen einer Menge Ω. Dann gilt lim inf n A n = n=1 m=n A m ; lim sup n A n = lim inf n A n lim sup n A n. n=1 m=n A m ; Beweis. Die Aussage, dass ein Element ω zu allen A n,mithöchstens endlich vielen Ausnahmen, gehört, bedeutet nichts anderes, als dass es von einem bestimmten Index n an zum Durchschnitt B n = m n A m gehört. Es existiert also eine ganze Zahl n derart, dass ω B n gilt, und damit ist die erste Gleichheit bewiesen. Die Aussage, dass ein Element ω zu unendlich vielen der Mengen A n gehört, bedeutet nichts anderes als dass dieses Element, wie weit man auch in der Folge der Indices geht, also bis zum Index n etwa, immer zur Vereinigung C n = m n A m gehört. Folglich gehört ω zum Durchschnitt der Folge (C n ), und damit ist auch die zweite Gleichheit gezeigt.

5 3. UNENDLICHE FOLGEN VON EREIGNISSEN 5 Die behauptete Inklusion ist banal, denn wenn ω zu lim inf n A n gehört, so gehört es zu allen A n von einem bestimmten Index n an, also zu unendlich vielen Ereignissen A m mit m n. Wir schreiben A = lim inf n A n und A = lim sup n A n. Folgende Beziehungen sind ohne weiteres zu verifizieren: (3.2.1) (A ) c = lim sup n A n c und (A ) c = lim inf n A n c. Definition. Falls lim inf n A n = lim sup n A n gilt, so sagt man, dass die Folge (A n )einenlimes besitzt und man schreibt (3.2.2) lim n A n = lim inf n A n = lim sup n A n. Man sagt in dieser Situation auch, dass die Folge (A n ) gegen A = lim n A n strebt oder gegen A konvergiert. Satz Falls die Folge (A n ) monoton ist, sind die Bedingungen (3.2.2) erfüllt. Beweis. Ist (A n ) aufsteigend, gilt also m=n A m = A n, so ist lim inf n A n = n=1 A n = lim n A n. Die Gleichheit m=n A m = m=1 A m gilt andererseits für jedes n 1 und daher ist lim sup n A n = n=1 m=1 A m = m=n A m = lim n A n. Aus der Gültigkeit der Aussage für aufsteigende Folgen folgt mittels der Beziehungen (3.2.1) auch die Gültigkeit für absteigende Folgen. In der Sprache der Wahrscheinlichkeitsrechnung, wenn man also die Mengen der Folge A n als Ereignisse anspricht, ist lim inf n A n dasjenige Ereignis, bei dem alle Ereignisse A n von einer bestimmten Stelle n an eintreten. Analog ist lim sup n A n dasjenige Ereignis, bei dem unendlich viele der Ereignisse A n eintreten. Besonders dieses letzte Ereignis wird in der Wahrscheinlichkeitsrechnung häufig betrachtet, speziell in der Theorie der sogenannten rekurrenten Ereignisse. In englischsprachigen Texten wird oft {A n, i.o.} geschrieben ( i.o. bedeutet infinitely often, d.h. unendlich oft) Indikatorfunktion eines Ereignisses. Eine sehr häufig gebrauchte Funktion ist die Indikatorfunktion I A eines Ereignisses A. Diese Abbildung von Ω in die zwei-elementige Menge {0, 1} wird definiert durch { 1, falls ω A; I A (ω) = 0, falls ω/ A.

6 6 KAPITEL 1: DIE SPRACHE DER WAHRSCHEINLICHKEITEN ERGÄNZUNGEN UND ÜBUNGEN 1. Es seien A, B, C drei Ereignisse. In Abhängigkeit von A, B, C sind die folgenden Ereignisse mittels mengentheoretischer Operationen auszudrücken: a) Nur A tritt ein; b) A und C treten ein, nicht aber B; c) alle drei Ereignisse treten ein; d) mindestens eines der Ereignisse tritt ein; e) mindestens zwei der Ereignisse treten ein; f) höchstens eines der Ereignisse tritt ein; g) keines der Ereignisse tritt ein; h) genau zwei der Ereignisse treten ein; i) nicht mehr als zwei der Ereignisse treten ein. 2. Es bezeichne Ω die Menge aller verheirateten Paare einer gewissen Stadt. Man betrachte folgende Ereignisse: A: der Mann ist älter als vierzig Jahre ; B: die Frau ist jünger als der Mann ; C: die Frau ist älter als vierzig Jahre. a) Man interpretiere in Abhängigkeit von A, B, C das Ereignis der Mann ist älter als vierzig Jahre, nicht aber seine Frau. b) Man beschreibe umgangssprachlich die Ereignisse A B C c, A\(A B), A B c C, A B. c) Man verifiziere A C c B. 3. Für eine Folge (A i )(i =1, 2,...) von Ereignissen zeige man A i = i=1 ( A n \ n=1 n 1 i=0 A i ), wobei A 0 = gesetzt wird. Dies bedeutet, dass sich jede Vereinigung auch als Vereinigung disjunkter Mengen schreiben lässt. 4. Es seien A und B zwei Ereignisse sowie (A n ) eine Folge von Ereignissen, wobei A n = A oder B, je nachdem, ob n gerade oder ungerade ist. Man zeige lim inf n A n = A B und lim sup n A n = A B. 5. Im Folgenden bezeichnen A, B (mit oder ohne Indices) jeweils Ereignisse. Man verifiziere folgende Aussagen über die Indikatorfunktionen:

7 ERGÄNZUNGEN UND ÜBUNGEN 7 a) I Ω 1; I 0; b) I A (ω) I B (ω) für alle ω in Ω gilt genau dann, wenn A B; c) I A B = I A I B ; I A B = I A + I B I A B ; d) I A c =1 I A ; I A\B = I A (1 I B ). e) Es seien A = lim inf n A n und A = lim sup n A n. Dann gilt I A = lim inf n I An und I A = lim sup n I An. 6. Es seien E, F, G drei Ereignisse, aus denen man zwei weitere Ereignisse A und B konstruiert mittels A = ( E F ) G, B = E ( F G ). a) Eines der beiden Ereignisse A, B, impliziert das andere; welches? b) Man finde eine notwendige und hinreichende Bedingung für E und G derart, dass A = B gilt. 7. Sind zwei Ereignisse A, B gegeben, so bezeichne A B dasjenige Ereignis, bei dem genau eines der Ereignisse A, B realisiert wird; dieses Ereignis wird als symmetrische Differenz der Ereignisse A und B bezeichnet. Gegeben seien drei Ereignisse A, B, C in Ω. a) Man zeige: (A B) (A B c )=Ω. b) Man finde eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass gilt. (A B) (A C) =A (B C).

8 8 KAPITEL 1: DIE SPRACHE DER WAHRSCHEINLICHKEITEN

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundstudium Mathematik Wahrscheinlichkeitsrechnung Bearbeitet von Dominique Foata, Aime Fuchs 1. Auflage 1999. Taschenbuch. xv, 383 S. Paperback ISBN 978 3 7643 6169 3 Format (B x L): 17 x 24,4 cm Gewicht:

Mehr

Teil II. Wahrscheinlichkeitsrechnung

Teil II. Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil II Wahrscheinlichkeitsrechnung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung (SS 2014) Folie 129 5 Zufallsexperimente Inhaltsverzeichnis (Ausschnitt) 5 Zufallsexperimente Ergebnisse Ereignisse

Mehr

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Marco Cattaneo Institut für Statistik Ludwig-Maximilians-Universität München Sommersemester 2011 1. Wahrscheinlichkeitsrechnung 2. Diskrete Zufallsvariable 3. Stetige Zufallsvariable 4. Grenzwertsätze

Mehr

Kapitel ML:IV. IV. Statistische Lernverfahren. Wahrscheinlichkeitsrechnung Bayes-Klassifikation Maximum-a-Posteriori-Hypothesen

Kapitel ML:IV. IV. Statistische Lernverfahren. Wahrscheinlichkeitsrechnung Bayes-Klassifikation Maximum-a-Posteriori-Hypothesen Kapitel ML:IV IV. Statistische Lernverfahren Wahrscheinlichkeitsrechnung Bayes-Klassifikation Maximum-a-Posteriori-Hypothesen ML:IV-1 Statistical Learning c STEIN 2005-2011 Definition 1 (Zufallsexperiment,

Mehr

Kapitel 2. Zufällige Versuche und zufällige Ereignisse. 2.1 Zufällige Versuche

Kapitel 2. Zufällige Versuche und zufällige Ereignisse. 2.1 Zufällige Versuche Kapitel 2 Zufällige Versuche und zufällige Ereignisse In diesem Kapitel führen wir zunächst anschaulich die grundlegenden Begriffe des zufälligen Versuchs und des zufälligen Ereignisses ein und stellen

Mehr

Im gesamten Kapitel sei Ω eine nichtleere Menge. Wir bezeichnen die Potenzmenge

Im gesamten Kapitel sei Ω eine nichtleere Menge. Wir bezeichnen die Potenzmenge 1 Mengensysteme Ein Mengensystem ist eine Familie von Teilmengen einer Grundmenge und damit eine Teilmenge der Potenzmenge der Grundmenge. In diesem Kapitel untersuchen wir Mengensysteme, die unter bestimmten

Mehr

Mengenlehre. Begriff der Mengenzugehörigkeit x M, x Ê M >x : x { a 1. e e x = a n. } 2 x = a 1. >x : x { y P(y) } 2 P(x) Begriff der leeren Menge

Mengenlehre. Begriff der Mengenzugehörigkeit x M, x Ê M >x : x { a 1. e e x = a n. } 2 x = a 1. >x : x { y P(y) } 2 P(x) Begriff der leeren Menge Mengenlehre Grundbegriff ist die Menge Definition (Naive Mengenlehre). Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer Anschauung zu einem wohldefinierten Ganzen. (Georg Cantor) Notation 1. Aufzählung

Mehr

Unabhängigkeit KAPITEL 4

Unabhängigkeit KAPITEL 4 KAPITEL 4 Unabhängigkeit 4.1. Unabhängigkeit von Ereignissen Wir stellen uns vor, dass zwei Personen jeweils eine Münze werfen. In vielen Fällen kann man annehmen, dass die eine Münze die andere nicht

Mehr

σ-algebren, Definition des Maßraums

σ-algebren, Definition des Maßraums σ-algebren, Definition des Maßraums Ziel der Maßtheorie ist es, Teilmengen einer Grundmenge X auf sinnvolle Weise einen Inhalt zuzuordnen. Diese Zuordnung soll so beschaffen sein, dass dabei die intuitiven

Mehr

Dr. H. Grunert Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Vorlesungscharts. Vorlesung 1. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Dr. H. Grunert Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Vorlesungscharts. Vorlesung 1. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Vorlesungscharts Vorlesung 1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufallsvorgänge und Zufallsereignisse Definitionen der Wahrscheinlichkeit Seite 1 von 11 Chart 1: Vorgänge deterministisch zufällig

Mehr

Stochastik I. Vorlesungsmitschrift

Stochastik I. Vorlesungsmitschrift Stochastik I Vorlesungsmitschrift Ulrich Horst Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin Inhaltsverzeichnis 1 Grundbegriffe 1 1.1 Wahrscheinlichkeitsräume..................................

Mehr

2 Mengen und Abbildungen

2 Mengen und Abbildungen 2.1 Mengen Unter einer Menge verstehen wir eine Zusammenfassung von Objekten zu einem Ganzen. Die Objekte heiÿen Elemente. Ist M eine Menge und x ein Element von M so schreiben wir x M. Wir sagen auch:

Mehr

Einführung in die Informatik 2

Einführung in die Informatik 2 Einführung in die Informatik 2 Mathematische Grundbegriffe Sven Kosub AG Algorithmik/Theorie komplexer Systeme Universität Konstanz E 202 Sven.Kosub@uni-konstanz.de Sprechstunde: Freitag, 12:30-14:00 Uhr,

Mehr

Satz von Borel-Cantelli. Limes inferior von Mengen. Limes superior von Mengen. Stetigkeit. Konvergenz von Zufallsvariablen. Kolmogorow-Ungleichung

Satz von Borel-Cantelli. Limes inferior von Mengen. Limes superior von Mengen. Stetigkeit. Konvergenz von Zufallsvariablen. Kolmogorow-Ungleichung Satz von Borel-Cantelli Limes inferior von Mengen Limes superior von Mengen Stetigkeit Konvergenz von Zufallsvariablen Kolmogorow-Ungleichung Tschebyschow-Ungleichung Konvergenzkriterien Starkes Gesetz

Mehr

Mengensysteme, Wahrscheinlichkeitsmaße

Mengensysteme, Wahrscheinlichkeitsmaße Kapitel 1 Mengensysteme, Wahrscheinlichkeitsmaße Der Großteil der folgenden fundamentalen Begriffe sind schon aus der Vorlesung Stochastische Modellbildung bekannt: Definition 1.1 Eine Familie A von Teilmengen

Mehr

4 Messbare Funktionen

4 Messbare Funktionen 4 Messbare Funktionen 4.1 Definitionen und Eigenschaften Definition 4.1. Seien X eine beliebige nichtleere Menge, M P(X) eine σ-algebra in X und µ ein Maß auf M. Das Paar (X, M) heißt messbarer Raum und

Mehr

Kapitel 2 MENGENLEHRE

Kapitel 2 MENGENLEHRE Kapitel 2 MENGENLEHRE In diesem Kapitel geben wir eine kurze Einführung in die Mengenlehre, mit der man die ganze Mathematik begründen kann. Wir werden sehen, daßjedes mathematische Objekt eine Menge ist.

Mehr

Grundlagen. Kapitel Mengen

Grundlagen. Kapitel Mengen Kapitel 1 Grundlagen 1.1 Mengen Grundobjekte mathematischer Theorien sind Mengen. Zwar stellt man sich darunter Gesamtheiten von gewissen Dingen (den Elementen der Menge) vor, doch führt die uneingeschränkte

Mehr

Topologische Grundbegriffe I. 1 Offene und Abgeschlossene Mengen

Topologische Grundbegriffe I. 1 Offene und Abgeschlossene Mengen Topologische Grundbegriffe I Vortrag zum Proseminar Analysis, 26.04.2010 Nina Neidhardt und Simon Langer Im Folgenden soll gezeigt werden, dass topologische Konzepte, die uns schon für die Reellen Zahlen

Mehr

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie KAPITEL 1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie 1. Zufallsexperimente, Ausgänge, Grundmenge In der Stochastik betrachten wir Zufallsexperimente. Die Ausgänge eines Zufallsexperiments fassen wir

Mehr

Analysis I - Stetige Funktionen

Analysis I - Stetige Funktionen Kompaktheit und January 13, 2009 Kompaktheit und Funktionengrenzwert Definition Seien X, d X ) und Y, d Y ) metrische Räume. Desweiteren seien E eine Teilmenge von X, f : E Y eine Funktion und p ein Häufungspunkt

Mehr

Kapitel 1. Grundlagen Mengen

Kapitel 1. Grundlagen Mengen Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig

Mehr

Im allerersten Unterabschnitt wollen wir uns mit einer elementaren Struktur innerhalb der Mathematik beschäftigen: Mengen.

Im allerersten Unterabschnitt wollen wir uns mit einer elementaren Struktur innerhalb der Mathematik beschäftigen: Mengen. Kapitel 1 - Mathematische Grundlagen Seite 1 1 - Mengen Im allerersten Unterabschnitt wollen wir uns mit einer elementaren Struktur innerhalb der Mathematik beschäftigen: Mengen. Definition 1.1 (G. Cantor.

Mehr

Lineare Algebra I. - 1.Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß. Monday 12 September 16

Lineare Algebra I. - 1.Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß. Monday 12 September 16 Lineare Algebra I - 1.Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß 1. Mengen und Abbildungen: Mengen gehören zu den Grundlegendsten Objekten in der Mathematik Kurze Einführung in die (naive) Mengelehre

Mehr

Grundlagen der Mengenlehre

Grundlagen der Mengenlehre mathe plus Grundlagen der Mengenlehre Seite 1 1 Grundbegriffe Grundlagen der Mengenlehre Def 1 Mengenbegriff nach Georg Cantor (1845-1918) Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener

Mehr

Vor(schau)kurs für Studienanfänger Mathematik: Aussagen und Mengen

Vor(schau)kurs für Studienanfänger Mathematik: Aussagen und Mengen Vor(schau)kurs für Studienanfänger Mathematik: Aussagen und Mengen 09.10.2014 Herzlich Willkommen zum 2. Teil des Vorschaukurses für Mathematik! Organisatorisches Der Vorkurs besteht aus sechs Blöcken

Mehr

1. Gruppen. 1. Gruppen 7

1. Gruppen. 1. Gruppen 7 1. Gruppen 7 1. Gruppen Wie schon in der Einleitung erläutert wollen wir uns in dieser Vorlesung mit Mengen beschäftigen, auf denen algebraische Verknüpfungen mit gewissen Eigenschaften definiert sind.

Mehr

Vorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre

Vorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre Vorlesung Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre Allgemeines RUD26 Erwin-Schrödinger-Zentrum (ESZ) RUD25 Johann-von-Neumann-Haus Fachschaft Menge aller Studenten eines Institutes

Mehr

7 KONVERGENTE FOLGEN 35. inf M = Infimum von M. bezeichnet haben. Definition. Sei (a n ) n N eine beschränkte Folge in R. Dann heißt.

7 KONVERGENTE FOLGEN 35. inf M = Infimum von M. bezeichnet haben. Definition. Sei (a n ) n N eine beschränkte Folge in R. Dann heißt. 7 KONVERGENTE FOLGEN 35 und die größe untere Schranke mit bezeichnet haben. inf M = Infimum von M Definition. Sei (a n ) n N eine beschränkte Folge in R. Dann heißt der Limes superior der Folge, und lim

Mehr

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Mengen)

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Mengen) WS 2016/17 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Mengen) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_16

Mehr

Vorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion

Vorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion Vorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion Saskia Klaus 07.10.016 1 Motivation In den ersten beiden Vorträgen des Vorkurses haben wir gesehen, wie man aus schon bekannten Wahrheiten

Mehr

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6 Inhaltsverzeichnis 1 Vorbemerkungen 1 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4 4 Laplace-Experimente 6 5 Hilfsmittel aus der Kombinatorik 7 1 Vorbemerkungen

Mehr

3 Topologische Gruppen

3 Topologische Gruppen $Id: topgr.tex,v 1.2 2010/05/26 19:47:48 hk Exp hk $ 3 Topologische Gruppen Als letztes Beispiel eines topologischen Raums hatten wir die Zariski-Topologie auf dem C n betrachtet, in der die abgeschlossenen

Mehr

,...) ist eine Folge, deren Glieder der Null beliebig nahe kommen. (iii) Die Folge a n = ( 1) n + 1 n oder (a n) = (0, 3 2, 2 3, 5 4, 4 5

,...) ist eine Folge, deren Glieder der Null beliebig nahe kommen. (iii) Die Folge a n = ( 1) n + 1 n oder (a n) = (0, 3 2, 2 3, 5 4, 4 5 3 Folgen 3.1 Definition und Beispiele Eine Abbildung a : Æ Ê heißt (reelle) Zahlenfolge. Statt a(n) schreiben wir kürzer a n und bezeichnen die ganze Folge mit (a n ) n Æ oder einfach (a n ), was aber

Mehr

Konstruktion der reellen Zahlen

Konstruktion der reellen Zahlen Konstruktion der reellen Zahlen Zur Wiederholung: Eine Menge K (mit mindestens zwei Elementen) heißt Körper, wenn für beliebige Elemente x, y K eindeutig eine Summe x+y K und ein Produkt x y K definiert

Mehr

Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Lösungsvorschläge zu Übungsblatt 2

Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Lösungsvorschläge zu Übungsblatt 2 TUM, Zentrum Mathematik Lehrstuhl für Mathematische Physik WS 2013/14 Prof. Dr. Silke Rolles Thomas Höfelsauer Felizitas Weidner Tutoraufgaben: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie svorschläge

Mehr

2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit

2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit 2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit Literatur: [Papula Bd., Kap. II.2 und II.], [Benning, Kap. ], [Bronstein et al., Kap. 1.2.1] Def 1 [Benning] Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft wiederholbarer,

Mehr

Mengen und Abbildungen

Mengen und Abbildungen Mengen und Abbildungen Der Mengenbegriff Durchschnitt, Vereinigung, Differenzmenge Kartesisches Produkt Abbildungen Prinzip der kleinsten natürlichen Zahl Vollständige Induktion Mengen und Abbildungen

Mehr

Kapitel 1. Grundlagen

Kapitel 1. Grundlagen Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 27. Oktober 2010 Teil III Wahrscheinlichkeitstheorie 1 Zufallsereignisse Vorüberlegungen Der Ereignisraum Konstruktionen

Mehr

Zufallsprozesse, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten die Grundlagen

Zufallsprozesse, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten die Grundlagen Zufallsprozesse, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten die Grundlagen Wichtige Tatsachen und Formeln zur Vorlesung Mathematische Grundlagen für das Physikstudium 3 Franz Embacher http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/

Mehr

Data Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik

Data Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik Data Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik Hagen Knaf Studiengang Angewandte Mathematik Hochschule RheinMain 21. Oktober 2015 Vorwort Das vorliegende Skript enthält eine Zusammenfassung verschiedener

Mehr

Lineare Algebra 1. Detlev W. Hoffmann. WS 2013/14, TU Dortmund

Lineare Algebra 1. Detlev W. Hoffmann. WS 2013/14, TU Dortmund Lineare Algebra 1 Detlev W. Hoffmann WS 2013/14, TU Dortmund 1 Mengen und Zahlen 1.1 Mengen und Abbildungen Eine Menge ist eine Zusammenfassung wohlunterscheidbarer Objekte unserer Anschauung/unseres Denkens/unserer

Mehr

1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten Zufälliger Versuch: Vorgang, der (zumindest gedanklich) beliebig oft wiederholbar ist und dessen Ausgang innerhalb einer

Mehr

Vorkurs Mathematik. Vorlesung 5. Cauchy-Folgen

Vorkurs Mathematik. Vorlesung 5. Cauchy-Folgen Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2014/2015 Vorkurs Mathematik Vorlesung 5 Cauchy-Folgen Ein Problem des Konvergenzbegriffes ist, dass zur Formulierung der Grenzwert verwendet wird, den man unter Umständen

Mehr

Rumpfskript. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung. Prof. Dr. Ralf Runde Statistik und Ökonometrie, Universität Siegen

Rumpfskript. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung. Prof. Dr. Ralf Runde Statistik und Ökonometrie, Universität Siegen Rumpfskript Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Prof. Dr. Ralf Runde Statistik und Ökonometrie, Universität Siegen Vorbemerkung Vorbemerkung Das vorliegende Skript heißt nicht nur Rumpf skript, sondern

Mehr

1. Aufgabe [2 Punkte] Seien X, Y zwei nicht-leere Mengen und A(x, y) eine Aussageform. Betrachten Sie die folgenden Aussagen:

1. Aufgabe [2 Punkte] Seien X, Y zwei nicht-leere Mengen und A(x, y) eine Aussageform. Betrachten Sie die folgenden Aussagen: Klausur zur Analysis I svorschläge Universität Regensburg, Wintersemester 013/14 Prof. Dr. Bernd Ammann / Dr. Mihaela Pilca 0.0.014, Bearbeitungszeit: 3 Stunden 1. Aufgabe [ Punte] Seien X, Y zwei nicht-leere

Mehr

1 Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie

1 Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie H.-J. Starkloff Unendlichdimensionale Stochastik Kap. 01 11. Oktober 2010 1 1 Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie 1.1 Messbare Räume Gegeben seien eine nichtleere Menge Ω und eine Menge A von Teilmengen

Mehr

5. Äquivalenzrelationen

5. Äquivalenzrelationen 5. Äquivalenzrelationen 35 5. Äquivalenzrelationen Wenn man eine große und komplizierte Menge (bzw. Gruppe) untersuchen will, so kann es sinnvoll sein, zunächst kleinere, einfachere Mengen (bzw. Gruppen)

Mehr

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung lausthal Begriffe Informatik II rundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de Definition: Unter einem Zufallsexperiment versteht man einen,

Mehr

Allgemeine Algebren. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden

Allgemeine Algebren. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden Allgemeine Algebren Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de Operationen Eine Operation auf einer Menge A ist eine Abbildung f : A n A. A n ist dabei

Mehr

Warum Mathe? IG/StV-Mathematik der KFU-Graz. 1 Mengen Mengenoperationen Rechenregeln Mengen 4. Funktionen 7

Warum Mathe? IG/StV-Mathematik der KFU-Graz. 1 Mengen Mengenoperationen Rechenregeln Mengen 4. Funktionen 7 Warum Mathe? IG/StV-Mathematik der KFU-Graz März 2011 Inhalt 1 Mengen 1 1.1 Mengenoperationen.............................. 2 1.2 Rechenregeln.................................. 3 2 Übungsbeispiele zum

Mehr

Donnerstag, 11. Dezember 03 Satz 2.2 Der Name Unterraum ist gerechtfertigt, denn jeder Unterraum U von V ist bzgl.

Donnerstag, 11. Dezember 03 Satz 2.2 Der Name Unterraum ist gerechtfertigt, denn jeder Unterraum U von V ist bzgl. Unterräume und Lineare Hülle 59 3. Unterräume und Lineare Hülle Definition.1 Eine Teilmenge U eines R-Vektorraums V heißt von V, wenn gilt: Unterraum (U 1) 0 U. (U ) U + U U, d.h. x, y U x + y U. (U )

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 2. Übungsblatt

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 2. Übungsblatt KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heio Hoffmann WS 2013/14 Höhere Mathemati I für die Fachrichtung Informati Lösungsvorschläge zum 2. Übungsblatt Aufgabe

Mehr

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung lausthal Informatik II rundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de Begriffe Definition: Unter einem Zufallsexperiment versteht man einen,

Mehr

Topologische Grundbegriffe II. 1 Begriffe auf Mengen

Topologische Grundbegriffe II. 1 Begriffe auf Mengen Vortrag zum Seminar zur Analysis, 03.05.2010 Dennis Joswig, Florian Goy Aufbauend auf den Resultaten der Vorlesung Topologische Grundbegriffe I untersuchen wir weitere topologische Eigenschaften von metrischen

Mehr

Zusammenfassung Stochastik

Zusammenfassung Stochastik Zusammenfassung Stochastik Die relative Häufigkeit Ein Experiment, dessen Ausgang nicht vorhersagbar ist, heißt Zufallsexperiment (ZE). Ein Würfel wird 40-mal geworfen, mit folgendem Ergebnis Augenzahl

Mehr

Mengen. Eigenschaften. Spezielle Mengen (1) Prominente Mengen. ! Mengenzugehörigkeit

Mengen. Eigenschaften. Spezielle Mengen (1) Prominente Mengen. ! Mengenzugehörigkeit Mengen! Definition (Intuitive Mengenlehre) Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer Anschauung zu einem wohldefinierten Ganzen. (Georg Cantor)! Notation 1. Aufzählung aller Elemente: {

Mehr

STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT. Annika Pohlmann Philipp Oel Wilhelm Dück

STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT. Annika Pohlmann Philipp Oel Wilhelm Dück STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT Annika Pohlmann Philipp Oel Wilhelm Dück 1 GLIEDERUNG 1) Bedingte Wahrscheinlichkeiten 2) Unabhängigkeit für mehr als zwei Ereignisse 3) Unabhängigkeit für Zufallsvariable

Mehr

Kapitel 5 KONVERGENZ

Kapitel 5 KONVERGENZ Kapitel 5 KONVERGENZ Fassung vom 21. April 2002 Claude Portenier ANALYSIS 75 5.1 Metrische Räume 5.1 Metrische Räume DEFINITION 1 Sei X eine Menge. Eine Abbildung d : X X! R + heißt Metrik oder Distanz

Mehr

N = f0; 1; 2; : : : g: [n] = f1; : : : ; ng: M = f x j x hat die Eigenschaft E g:

N = f0; 1; 2; : : : g: [n] = f1; : : : ; ng: M = f x j x hat die Eigenschaft E g: 1 Mengen Gregor Cantor denierte 1895 eine Menge als eine Zusammenfassung wohldenierter, unterscheidbarer Objekte. Eine Menge wird als neues Objekt angesehen, die Menge ihrer Objekte. Ein Objekt x aus der

Mehr

Stochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume

Stochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume Stochastik 1. Wahrscheinlichkeitsräume Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft und gleichartig wiederholbarer Vorgang mit mindestens zwei verschiedenen Ergebnissen, bei dem der Ausgang ungewiß ist.

Mehr

1.4 Äquivalenzrelationen

1.4 Äquivalenzrelationen 8 1.4 Äquivalenzrelationen achdem nun die axiomatische Grundlage gelegt ist, können wir uns bis zur Einführung der Kategorien das Leben dadurch erleichtern, daß wir bis dorthin, also bis auf weiteres,

Mehr

1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem P( ) = 0.

1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem P( ) = 0. 1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem Folg. 2 Sei (Ω, E, P) W.-raum. Seien A, B,A 1,...,A n Ereignisse. Es gelten die folgenden Aussagen: 1. P(A) = 1 P(A). 2. Für das unmögliche Ereignis gilt:

Mehr

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Algorithmen und Datenstrukturen 349 A Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Für Entwurf und Analyse randomisierter Algorithmen sind Hilfsmittel aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung erforderlich.

Mehr

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie. Karin Haenelt

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie. Karin Haenelt Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie Karin Haenelt 1 Inhalt Wahrscheinlichkeitsraum Bedingte Wahrscheinlichkeit Abhängige und unabhängige Ereignisse Stochastischer Prozess Markow-Kette 2 Wahrscheinlichkeitsraum

Mehr

Reelle Analysis. Vorlesungsskript. Enno Lenzmann, Universität Basel. 11. Oktober 2013

Reelle Analysis. Vorlesungsskript. Enno Lenzmann, Universität Basel. 11. Oktober 2013 Reelle Analysis Vorlesungsskript Enno Lenzmann, Universität Basel 11. Oktober 2013 3 Fortsetzung von Prämassen zu Massen Der Begriff des Prämasses ist nicht ausreichend, um eine geschmeidige Integrationstheorie

Mehr

Folgen und Reihen. Thomas Blasi

Folgen und Reihen. Thomas Blasi Folgen und Reihen Thomas Blasi 02.03.2009 Inhaltsverzeichnis Folgen und Grenzwerte 2. Definitionen und Bemerkungen............................. 2.2 Konvergenz und Beschränktheit.............................

Mehr

01. Gruppen, Ringe, Körper

01. Gruppen, Ringe, Körper 01. Gruppen, Ringe, Körper Gruppen, Ringe bzw. Körper sind wichtige abstrakte algebraische Strukturen. Sie entstehen dadurch, dass auf einer Menge M eine oder mehrere sogenannte Verknüpfungen definiert

Mehr

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Universität Duisburg-Essen Essen, den 15.0.009 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Winkler C. Stinner Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Lösung Die Klausur gilt als bestanden,

Mehr

2 - Konvergenz und Limes

2 - Konvergenz und Limes Kapitel 2 - Folgen Reihen Seite 1 2 - Konvergenz Limes Definition 2.1 (Folgenkonvergenz) Eine Folge komplexer Zahlen heißt konvergent gegen, wenn es zu jeder positiven Zahl ein gibt, so dass gilt: Die

Mehr

Satz 18 (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit)

Satz 18 (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit) Ausgehend von der Darstellung der bedingten Wahrscheinlichkeit in Gleichung 1 zeigen wir: Satz 18 (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit) Die Ereignisse A 1,..., A n seien paarweise disjunkt und es gelte

Mehr

(Man sagt dafür auch, dass die Teilmenge U bezüglich der Gruppenoperationen abgeschlossen sein muss.)

(Man sagt dafür auch, dass die Teilmenge U bezüglich der Gruppenoperationen abgeschlossen sein muss.) 3. Untergruppen 19 3. Untergruppen Nachdem wir nun einige grundlegende Gruppen kennengelernt haben, wollen wir in diesem Kapitel eine einfache Möglichkeit untersuchen, mit der man aus bereits bekannten

Mehr

Kapitel 19. Das Lebesgue Maß σ Algebren und Maße

Kapitel 19. Das Lebesgue Maß σ Algebren und Maße Kapitel 19 Das Lebesgue Maß 19.1 σ Algebren und Maße 19.2 Das äußere Lebesgue Maß 19.3 Das Lebesgue Maß 19.4 Charakterisierungen des Lebesgue Maßes 19.5 Messbare Funktionen 19.1 σ Algebren und Maße Wir

Mehr

Brückenkurs Mathematik 2015

Brückenkurs Mathematik 2015 Technische Universität Dresden Fachrichtung Mathematik, Institut für Analysis Dr.rer.nat.habil. Norbert Koksch Brückenkurs Mathematik 2015 1. Vorlesung Logik, Mengen und Funktionen Ich behaupte aber, dass

Mehr

Mengen und Abbildungen

Mengen und Abbildungen 1 Mengen und bbildungen sind Hilfsmittel ( Sprache ) zur Formulierung von Sachverhalten; naive Vorstellung gemäß Georg Cantor (1845-1918) (Begründer der Mengenlehre). Definition 1.1 Eine Menge M ist eine

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 1. Vorlesung - 7.10.2016 Im Alltag... Laut den meteorologischen Vorhersagen wird es morgen regnen. Ob ich riskiere und die Wette verlieren werde? Ich werde mit Sicherheit gewinnen! Ist das wirklich unmöglich?

Mehr

Topologische Begriffe

Topologische Begriffe Kapitel 3 Topologische Begriffe 3.1 Inneres, Rand und Abschluss von Mengen Definition (innerer Punkt und Inneres). Sei (V, ) ein normierter Raum über K, und sei M V eine Menge. Ein Vektor v M heißt innerer

Mehr

Maße auf Produkträumen

Maße auf Produkträumen Maße auf Produkträumen Es seien (, Ω 1 ) und (X 2, Ω 2 ) zwei Meßräume. Wir wollen uns zuerst überlegen, wie wir ausgehend davon eine geeignete σ-algebra auf X 2 definieren können. Wir betrachten die Menge

Mehr

Mathematische Logik Zermelo-Fränkel Axiome der Mengenlehre

Mathematische Logik Zermelo-Fränkel Axiome der Mengenlehre Mathematische Logik Zermelo-Fränkel Axiome der Mengenlehre Laura Casalena 28.März 2012 Dieses Skript stützt sich auf das Kapitel 3 aus Einführung in die Mengenlehre von Heinz-Dieter Ebbinghaus [1]. In

Mehr

Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung Motivation bisher: Beschreibung von Datensätzen = beobachteten Merkmalsausprägungen Frage: Sind Schlußfolgerungen aus diesen Beobachtungen möglich? Antwort: Ja, aber diese gelten nur mit einer bestimmten

Mehr

Analysis II (FS 2015): ZUSAMMENHÄNGENDE METRISCHE RÄUME

Analysis II (FS 2015): ZUSAMMENHÄNGENDE METRISCHE RÄUME Analysis II (FS 2015): ZUSAMMENHÄNGENDE METRISCHE RÄUME Dietmar A. Salamon ETH-Zürich 23. Februar 2015 1 Topologische Grundbegriffe Sei (X, d) ein metrischer Raum, d.h. X ist eine Menge und d : X X R ist

Mehr

Mengenlehre. Jörg Witte

Mengenlehre. Jörg Witte Mengenlehre Jörg Witte 25.10.2007 1 Grbegriffe Die Menegenlehre ist heute für die Mathematik grlegend. Sie spielt aber auch in der Informatik eine entscheidende Rolle. Insbesondere fußt die Theorie der

Mehr

Das Ziegenproblem. Nils Schwinning und Christian Schöler Juni 2010

Das Ziegenproblem. Nils Schwinning und Christian Schöler  Juni 2010 Das Ziegenproblem Nils Schwinning und Christian Schöler http://www.esaga.uni-due.de/ Juni 2010 Die Formulierung Obwohl das sogenannte Ziegenproblem in der Mathematik allgegenwärtig erscheint, wurde es

Mehr

17 Lineare Abbildungen

17 Lineare Abbildungen Chr.Nelius: Lineare Algebra II (SS2005) 1 17 Lineare Abbildungen Wir beginnen mit der Klärung des Abbildungsbegriffes. (17.1) DEF: M und N seien nichtleere Mengen. Eine Abbildung f von M nach N (in Zeichen:

Mehr

1.3 Gruppen. Algebra I 9. April 2008 c Rudolf Scharlau,

1.3 Gruppen. Algebra I 9. April 2008 c Rudolf Scharlau, Algebra I 9. April 2008 c Rudolf Scharlau, 2002 2008 18 1.3 Gruppen Der Begriff der Gruppe ordnet sich in gewisser Weise dem allgemeineren Konzept der Verknüpfung (auf einer Menge) unter. So ist zum Beispiel

Mehr

Venndiagramm, Grundmenge und leere Menge

Venndiagramm, Grundmenge und leere Menge Venndiagramm, Grundmenge und leere Menge In späteren Kapitel wird manchmal auf die Mengenlehre Bezug genommen. Deshalb sollen hier die wichtigsten Grundlagen und Definitionen dieser Disziplin kurz zusammengefasst

Mehr

Die Schreibweise x M bedeutet, dass das Objekt x in der Menge M liegt. Ist dies nicht der Fall, dann schreibt man

Die Schreibweise x M bedeutet, dass das Objekt x in der Menge M liegt. Ist dies nicht der Fall, dann schreibt man Die Schreibweise x M bedeutet, dass das Objekt x in der Menge M liegt. Ist dies nicht der Fall, dann schreibt man x / M. Man sagt, M ist Teilmenge von N und schreibt M N, wenn für jedes x M auch x N gilt.

Mehr

Kapitel 9 WAHRSCHEINLICHKEITS-RÄUME

Kapitel 9 WAHRSCHEINLICHKEITS-RÄUME Kapitel 9 WAHRSCHEINLICHKEITS-RÄUME Fassung vom 12. Januar 2001 121 WAHRSCHEINLICHKEITS-RÄUME Stichproben-Raum. 9.1 9.1 Stichproben-Raum. Die bisher behandelten Beispiele von Naturvorgängen oder Experimenten

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Grundlegendes: Mengen und Aussagen

Grundlegendes: Mengen und Aussagen Kapitel 1 Grundlegendes: Mengen und Aussagen Wie jedes Fachgebiet hat auch die Mathematik eine eigene Fachsprache Ohne ihre Kenntnis wird man ein mathematisches Buch, selbst wenn es für Anwender geschrieben

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Gründe für die Behandlung von stochastischen Problemen (nach KÜTTING)

Gründe für die Behandlung von stochastischen Problemen (nach KÜTTING) Vorlesung 03.01.09 Stochastik Gründe für die Behandlung von stochastischen Problemen (nach KÜTTING) Der Mathematikunterricht der Schule hat die Aufgabe, eine Grundbildung zu vermitteln, die auf ein mathematisches

Mehr

1.1 Mengen und Abbildungen

1.1 Mengen und Abbildungen Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau 3 1.1 Mengen und Abbildungen In diesem Abschnitt stellen wir die grundlegende mathematische Sprache und Notation zusammen, die für jede Art von heutiger Mathematik

Mehr

Mengen, Funktionen und Logik

Mengen, Funktionen und Logik Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Mengen, Funktionen und Logik Literatur Referenz: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,

Mehr

2 Folgen und Reihen. 2.1 Folgen in C Konvergenz von Folgen. := f(n)

2 Folgen und Reihen. 2.1 Folgen in C Konvergenz von Folgen. := f(n) 2 Folgen und Reihen 2.1 Folgen in C 2.1.1 Konvergenz von Folgen Eine Folge komplexer Zahlen ist eine Funktion f : N C. Mit a n schreibt man (a n ) n=1, (a n ) oder auch a 1, a 2,.... := f(n) (a n ) heißt

Mehr

Diskrete Strukturen Vorlesungen 5 und 6

Diskrete Strukturen Vorlesungen 5 und 6 Sebastian Thomas RWTH Aachen, WS 2016/17 07.11.2016 09.11.2016 Diskrete Strukturen Vorlesungen 5 und 6 3 Abbildungen In diesem Abschnitt führen wir Abbildungen zwischen Mengen ein. Während Mengen von der

Mehr

1 Mengen. 1.1 Elementare Definitionen. Einige mathematische Konzepte

1 Mengen. 1.1 Elementare Definitionen. Einige mathematische Konzepte Einige mathematische Konzepte 1 Mengen 1.1 Elementare Definitionen Mengendefinition Die elementarsten mathematischen Objekte sind Mengen. Für unsere Zwecke ausreichend ist die ursprüngliche Mengendefinition

Mehr

Satz 16 (Multiplikationssatz)

Satz 16 (Multiplikationssatz) Häufig verwendet man die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit in der Form Damit: Pr[A B] = Pr[B A] Pr[A] = Pr[A B] Pr[B]. (1) Satz 16 (Multiplikationssatz) Seien die Ereignisse A 1,..., A n gegeben.

Mehr

2. Symmetrische Gruppen

2. Symmetrische Gruppen 14 Andreas Gathmann 2 Symmetrische Gruppen Im letzten Kapitel haben wir Gruppen eingeführt und ihre elementaren Eigenschaften untersucht Wir wollen nun eine neue wichtige Klasse von Beispielen von Gruppen

Mehr