DIE SPRACHE DER WAHRSCHEINLICHKEITEN

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1 KAPITEL 1 DIE SPRACHE DER WAHRSCHEINLICHKEITEN Es ist die Aufgabe der ersten drei Kapitel, eine vollständige Beschreibung des grundlegenden Tripels (Ω, A, P) und seiner Eigenschaften zu geben, das heutzutage von allen Wahrscheinlichkeitstheoretikern als erste Annäherung an den Begriff der Wahrscheinlichkeit akzeptiert wird. Zunächst gilt es, die Ereignisse zu beschreiben, die mit Erscheinungen verknüpft werden, bei denen der Zufall eine Rolle spielt. Dies ist das Thema des ersten Kapitels. Diese Ereignisse begegnen uns als Teilmengen der ersten Komponente Ω dieses Tripels. Um eine praktische Handhabung der Ereignisse zu erreichen, werden wir im folgenden Kapitel eine ausgezeichnete Familie A von Ereignissen einführen, die präzisen algebraischen Regeln genügt. Im dritten Kapitel schliesslich werden wir die dritte Komponente P (das Wahrscheinlichkeitsmass) studieren, das uns erlaubt, eine Gewichtung der zur Familie A gehörigen Ereignisse vorzunehmen. 1. Ein Beispiel. Wir stellen uns eine Erdölgesellschaft vor, die über eine gewisse Anzahl von Schiffen verfügt und die bestrebt ist, eine genaue Studie über die Ankunftszeiten ihrer Tanker an deren Bestimmungshäfen zu machen. Wegen der Zufälligkeiten der Seefahrt können die Ankunftszeiten dieser Tanker nicht auf die Stunde genau vorhergesagt werden. Um diese Ankunftszeiten untersuchen zu können, muss die Gesellschaft apriorieine Klasse von Ereignissen in Betracht ziehen, die diesen Ankunftszeiten zugeordnet ist, wie zum Beispiel: keine Ankunft am Freitag zwischen 8 Uhr und 10 Uhr oder die Tanker n o 1 und n o 2 kommen am 8. Januar an oder Tanker n o 2 hat einen Schaden auf hoher See. Sie wird auch eine Familie von noch präziser beschriebenen Ereignissen auch Stichproben genannt betrachten müssen, wie etwa: Tanker n o 2 kommt am Freitag, den 8. Januar, um 9 Uhr an. Bezeichnet ω diese Stichprobe, so tritt das Ereignis A: keine Ankunft am Freitag zwischen 8 Uhr und 10 Uhr bei der Stichprobe ω nicht ein, wogegen das Ereignis B: mindestens einer der Tanker n o 1 und n o 2 kommt am 8. Januar an bei ω eintritt. Um dieses Phänomen der Ankunftszeiten studieren zu können, wird man also eine Basismenge Ωeinführen und sie mit der Menge der Paare (n, t) identifizieren, wobei n die Nummer eines Tankers der Gesellschaft und t den

2 2 KAPITEL 1: DIE SPRACHE DER WAHRSCHEINLICHKEITEN Ankunftszeitpunkt des Tankers im Hafen bezeichnet. Die obige Stichprobe ω ist also durch das Element (2, (8, 9)) gegeben, wobei (8, 9) den 8. Januar, 9 Uhr bezeichnet. Das Ereignis B ist also mit der Menge aller Elemente (n, t) zu identifizieren, bei denen n = 1 oder 2 ist, sowie (8, 0) t (8, 24). Man sieht an diesem Beispiel, dass die Zugehörigkeit ω B äquivalent ist mit der Aussage B tritt bei der Stichprobe ω ein. Die Sprache der Zugehörigkeit ist die Sprache der Mengenlehre, die Sprache des Eintretens von Ereignissen gehört zur Sprache der Wahrscheinlichkeitstheorie. Die hier eben beschriebene Äquivalenz erlaubt es, jederzeit zwischen beiden Ausdrucksformen zu wechseln. Dies wird in den folgenden Paragraphen noch näher ausgeführt werden. 2. Das fundamentale Tripel. Im obigen Beispiel war es einfach, die Basismenge Ω explizit anzugeben. In den meisten Fällen wird man sich allerdings damit begnügen, die Existenz einer solchen Menge zu unterstellen. Diese ist Teil des Tripels (Ω, A, P), das die folgenden Eigenschaften hat: a) Ω ist eine nichtleere Menge, genannt Basismenge; ihre Elemente ω werden als Stichproben bezeichnet. Die Menge Ω enthält alle möglichen Resultate eines Zufallsexperiments. b) A ist eine Familie von Teilmengen von Ω, genannt Ereignisse; ein Ereignis ist eine Aussage über ein Zufallsexperiment, die zutreffen kann oder auch nicht. Ist ω eine Stichprobe und A ein Ereignis, so sagt man genau dann, dass das Ereignis A bei der Stichprobe ω eintritt, wennω zu A gehört. In den einfacheren Fällen kann man als Familie A die Menge P(Ω) aller Teilmengen, die Potenzmenge von Ω, wählen (diese Notation wird im folgenden ständig benutzt werden). In dieser Situation kann also jede Teilmenge von Ω als Ereignis angesehen werden. Speziell ist also jede ein-elementige Menge, also jede Menge der Form {ω}, wobeiω einelementvonωist,ein Ereignis, genannt Elementarereignis. Beim weiteren Ausbau der Theorie wird man dafür sorgen, dass die Menge A der Ereignisse geeignete algebraische Eigenschaften hat, genauer, dass sie eine σ-algebra über Ω ist. Dann kann es vorkommen, dass nicht für alle Elemente ω Ω die ein-elementige Menge {ω} zu A gehört, also ein Ereignis ist. Der Begriff Elementarereignis sollte deshalb vermieden werden. c) P ist eine Gewichtsfunktion auf der Familie A der Ereignisse. In dem Rahmen, in dem wir uns bewegen, wird P ein Wahrscheinlichkeitmass auf A sein. Der Wert P(A) heisst dann die Wahrscheinlichkeit von A. Das eben vorgeschlagene Modell erlaubt es, die meisten Begriffe der (elementaren) Mengenlehre in wahrscheinlichkeitstheoretischer Sprache zu formulieren. Speziell erscheinen die logischen Operationen auf Ereignissen als

3 3. UNENDLICHE FOLGEN VON EREIGNISSEN 3 mengentheoretische Operationen auf den Teilmengen einer Menge. Gelegentlich werden die Sprache der Mengenlehre und die der Wahrscheinlichkeiten nebeneinander benützt, wobei die folgenden Begriffe häufig verwendet werden: 1) Die leere Menge wird, als Ereignis betrachtet, als unmögliches Ereignis angesprochen; es tritt bei keiner Stichprobe ein. 2) Die volle Menge Ω ist ebenfalls ein Ereignis und wird als sicheres Ereignis bezeichnet; es tritt bei jeder Stichprobe ein. 3) Seien A und B zwei Ereignisse. Man sagt, dass das Ereignis A das Ereignis B impliziert, wenn B bei jeder Stichprobe eintritt, bei der auch A eintritt; anders gesagt, wenn A B ist. 4) Zwei Ereignisse A und B sind äquivalent, wennb durch A impliziert wird und ebenso A durch B impliziert wird; anders gesagt, wenn A = B gilt. 5) Die Konjunktion zweier Ereignisse A und B ist das Ereignis, das bei genau denjenigen Stichproben eintritt, bei denen sowohl A als auch B gleichzeitig eintreten; dies ist also der Durchschnitt A B. 6) Die Vereinigung zweier Ereignisse A und B ist das Ereignis, das bei genau denjenigen Stichproben eintritt, bei denen mindestens eines der Ereignisse A, B eintritt; dies ist also A B. 7) Das entgegengesetzte Ereignis zu einem Ereignis A ist dasjenige Ereignis, das bei genau denjenigen Stichproben eintritt, bei denen A nicht eintritt. Dies ist also das Komplement von A, bezeichnet durch A c (= Ω \ A). 8) Zwei Ereignisse A und B sind unverträglich (oder disjunkt), wenn ihre Konjunktion das unmögliche Ereignis ist; anders gesagt, wenn A B =. Bezeichnungen. Wenn Ereignisse A und B unverträglich sind, so bezeichne A + B (anstelle von A B) ihrevereinigung. Entsprechend schreibt man i A i für die Vereinigung von Ereignissen A i, die paarweise unverträglich sind. Anstelle von A B wird oft auch die Schreibweise AB verwendet. Die Differenz zwischen zwei Ereignissen A und B (in dieser Reihenfolge), geschrieben A \ B, ist das Ereignis A B c. Falls A B, so spricht man auch von der echten Differenz A \ B. Eine Folge von Ereignissen A n wird mit (A n ) (n 1) oder einfach mit (A n ) bezeichnet. Falls es sich um eine endliche Folge handelt, schreibt man beispielsweise auch (A i )(i =1, 2,...,n). 3. Unendliche Folgen von Ereignissen 3.1. Grenzwerte von Ereignisfolgen. Es sei (A n ) eine Folge von Ereignissen. In der Mengenlehre ist die Vereinigung n A n (auch n=1 A n

4 4 KAPITEL 1: DIE SPRACHE DER WAHRSCHEINLICHKEITEN geschrieben) der Folge (A n ) die Menge aller ω Ω, die die Eigenschaft haben es gibt (mindestens) ein n mit ω A n. In der Sprache der Wahrscheinlichkeitstheorie wird, gemäss obiger Übersetzung, das Ereignis n A n beschrieben durch mindestens eines der Ereignisse A n tritt ein. Analog bezeichnet n A n das Ereignis alle Ereignisse A n treten ein. Wenn die Folge (A n ) aufsteigend ist, d.h. wenn A n A n+1 für alle n gilt, dann wird die Vereinigung n A n der Folge (A n )auchalslimes der Folge bezeichnet. Man schreibt dann n A n = lim n A n, oder auch A n lim n A n. Wenn entsprechend die Folge (A n ) absteigend ist, wenn also A n A n+1 für alle n gilt, dann wird der Durchschnitt n A n der Folge ebenfalls als Limes der Folge bezeichnet. Man schreibt n A n = lim n A n und A n lim n A n. Wenn eine Folge (A n ) entweder aufsteigend oder absteigend ist, so wird sie auch als monoton bezeichnet Limes inferior und Limes superior. Ist eine Folge (A n ) von Ereignissen gegeben, so kann man immer den Limes inferior und den Limes superior dieser Folge definieren. Der Limes inferior der Folge (A n ) wird notiert als lim inf n A n und ist definiert als die Menge derjenigen Elemente ω von Ω, die zu fast allen A n gehören,d.h.diebisaufendlich viele Indices n zu all diesen Mengen gehören. Analog ist der Limes superior, notiert als lim sup n A n, die Menge derjenigen Elemente ω von Ω, die für unendlich viele Indices n zu A n gehören. Limes inferior und Limes superior lassen sich folgendermassen durch Vereinigung und Durchschnitt ausdrücken: Satz Sei (A n ) eine Folge von Teilmengen einer Menge Ω. Dann gilt lim inf n A n = n=1 m=n A m ; lim sup n A n = lim inf n A n lim sup n A n. n=1 m=n A m ; Beweis. Die Aussage, dass ein Element ω zu allen A n,mithöchstens endlich vielen Ausnahmen, gehört, bedeutet nichts anderes, als dass es von einem bestimmten Index n an zum Durchschnitt B n = m n A m gehört. Es existiert also eine ganze Zahl n derart, dass ω B n gilt, und damit ist die erste Gleichheit bewiesen. Die Aussage, dass ein Element ω zu unendlich vielen der Mengen A n gehört, bedeutet nichts anderes als dass dieses Element, wie weit man auch in der Folge der Indices geht, also bis zum Index n etwa, immer zur Vereinigung C n = m n A m gehört. Folglich gehört ω zum Durchschnitt der Folge (C n ), und damit ist auch die zweite Gleichheit gezeigt.

5 3. UNENDLICHE FOLGEN VON EREIGNISSEN 5 Die behauptete Inklusion ist banal, denn wenn ω zu lim inf n A n gehört, so gehört es zu allen A n von einem bestimmten Index n an, also zu unendlich vielen Ereignissen A m mit m n. Wir schreiben A = lim inf n A n und A = lim sup n A n. Folgende Beziehungen sind ohne weiteres zu verifizieren: (3.2.1) (A ) c = lim sup n A n c und (A ) c = lim inf n A n c. Definition. Falls lim inf n A n = lim sup n A n gilt, so sagt man, dass die Folge (A n )einenlimes besitzt und man schreibt (3.2.2) lim n A n = lim inf n A n = lim sup n A n. Man sagt in dieser Situation auch, dass die Folge (A n ) gegen A = lim n A n strebt oder gegen A konvergiert. Satz Falls die Folge (A n ) monoton ist, sind die Bedingungen (3.2.2) erfüllt. Beweis. Ist (A n ) aufsteigend, gilt also m=n A m = A n, so ist lim inf n A n = n=1 A n = lim n A n. Die Gleichheit m=n A m = m=1 A m gilt andererseits für jedes n 1 und daher ist lim sup n A n = n=1 m=1 A m = m=n A m = lim n A n. Aus der Gültigkeit der Aussage für aufsteigende Folgen folgt mittels der Beziehungen (3.2.1) auch die Gültigkeit für absteigende Folgen. In der Sprache der Wahrscheinlichkeitsrechnung, wenn man also die Mengen der Folge A n als Ereignisse anspricht, ist lim inf n A n dasjenige Ereignis, bei dem alle Ereignisse A n von einer bestimmten Stelle n an eintreten. Analog ist lim sup n A n dasjenige Ereignis, bei dem unendlich viele der Ereignisse A n eintreten. Besonders dieses letzte Ereignis wird in der Wahrscheinlichkeitsrechnung häufig betrachtet, speziell in der Theorie der sogenannten rekurrenten Ereignisse. In englischsprachigen Texten wird oft {A n, i.o.} geschrieben ( i.o. bedeutet infinitely often, d.h. unendlich oft) Indikatorfunktion eines Ereignisses. Eine sehr häufig gebrauchte Funktion ist die Indikatorfunktion I A eines Ereignisses A. Diese Abbildung von Ω in die zwei-elementige Menge {0, 1} wird definiert durch { 1, falls ω A; I A (ω) = 0, falls ω/ A.

6 6 KAPITEL 1: DIE SPRACHE DER WAHRSCHEINLICHKEITEN ERGÄNZUNGEN UND ÜBUNGEN 1. Es seien A, B, C drei Ereignisse. In Abhängigkeit von A, B, C sind die folgenden Ereignisse mittels mengentheoretischer Operationen auszudrücken: a) Nur A tritt ein; b) A und C treten ein, nicht aber B; c) alle drei Ereignisse treten ein; d) mindestens eines der Ereignisse tritt ein; e) mindestens zwei der Ereignisse treten ein; f) höchstens eines der Ereignisse tritt ein; g) keines der Ereignisse tritt ein; h) genau zwei der Ereignisse treten ein; i) nicht mehr als zwei der Ereignisse treten ein. 2. Es bezeichne Ω die Menge aller verheirateten Paare einer gewissen Stadt. Man betrachte folgende Ereignisse: A: der Mann ist älter als vierzig Jahre ; B: die Frau ist jünger als der Mann ; C: die Frau ist älter als vierzig Jahre. a) Man interpretiere in Abhängigkeit von A, B, C das Ereignis der Mann ist älter als vierzig Jahre, nicht aber seine Frau. b) Man beschreibe umgangssprachlich die Ereignisse A B C c, A\(A B), A B c C, A B. c) Man verifiziere A C c B. 3. Für eine Folge (A i )(i =1, 2,...) von Ereignissen zeige man A i = i=1 ( A n \ n=1 n 1 i=0 A i ), wobei A 0 = gesetzt wird. Dies bedeutet, dass sich jede Vereinigung auch als Vereinigung disjunkter Mengen schreiben lässt. 4. Es seien A und B zwei Ereignisse sowie (A n ) eine Folge von Ereignissen, wobei A n = A oder B, je nachdem, ob n gerade oder ungerade ist. Man zeige lim inf n A n = A B und lim sup n A n = A B. 5. Im Folgenden bezeichnen A, B (mit oder ohne Indices) jeweils Ereignisse. Man verifiziere folgende Aussagen über die Indikatorfunktionen:

7 ERGÄNZUNGEN UND ÜBUNGEN 7 a) I Ω 1; I 0; b) I A (ω) I B (ω) für alle ω in Ω gilt genau dann, wenn A B; c) I A B = I A I B ; I A B = I A + I B I A B ; d) I A c =1 I A ; I A\B = I A (1 I B ). e) Es seien A = lim inf n A n und A = lim sup n A n. Dann gilt I A = lim inf n I An und I A = lim sup n I An. 6. Es seien E, F, G drei Ereignisse, aus denen man zwei weitere Ereignisse A und B konstruiert mittels A = ( E F ) G, B = E ( F G ). a) Eines der beiden Ereignisse A, B, impliziert das andere; welches? b) Man finde eine notwendige und hinreichende Bedingung für E und G derart, dass A = B gilt. 7. Sind zwei Ereignisse A, B gegeben, so bezeichne A B dasjenige Ereignis, bei dem genau eines der Ereignisse A, B realisiert wird; dieses Ereignis wird als symmetrische Differenz der Ereignisse A und B bezeichnet. Gegeben seien drei Ereignisse A, B, C in Ω. a) Man zeige: (A B) (A B c )=Ω. b) Man finde eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass gilt. (A B) (A C) =A (B C).

8 8 KAPITEL 1: DIE SPRACHE DER WAHRSCHEINLICHKEITEN

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