Wahrscheinlichkeitsrechnung

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Wahrscheinlichkeitsrechnung"

Transkript

1 Grundstudium Mathematik Wahrscheinlichkeitsrechnung Bearbeitet von Dominique Foata, Aime Fuchs 1. Auflage Taschenbuch. xv, 383 S. Paperback ISBN Format (B x L): 17 x 24,4 cm Gewicht: 783 g Wirtschaft > Betriebswirtschaft: Theorie & Allgemeines > Wirtschaftsmathematik und - statistik Zu Inhaltsverzeichnis schnell und portofrei erhältlich bei Die Online-Fachbuchhandlung beck-shop.de ist spezialisiert auf Fachbücher, insbesondere Recht, Steuern und Wirtschaft. Im Sortiment finden Sie alle Medien (Bücher, Zeitschriften, CDs, ebooks, etc.) aller Verlage. Ergänzt wird das Programm durch Services wie Neuerscheinungsdienst oder Zusammenstellungen von Büchern zu Sonderpreisen. Der Shop führt mehr als 8 Millionen Produkte.

2 KAPITEL 2 EREIGNISSE Bei der Konstruktion eines wahrscheinlichkeitstheoretischen Modells geht man von einer nichtleeren Menge Ω aus und versucht, die beiden folgenden Bedingungen gleichzeitig zu erfüllen: 1) jeder Teilmenge von Ω eine Wahrscheinlichkeit zuzuordnen; 2) einige einfache Rechenregeln zu respektieren, in erster Linie die Additivität. Es zeigt sich, dass man aus mathematischen Gründen (die, kurz gesagt, damit zusammenhängen, dass eine unendliche Menge Ω ausserordentlich kompliziert gebaute Teilmengen haben kann) diesen beiden Anforderungen nicht gleichzeitig genügen kann, zumindest dann nicht, wenn Ω die Kardinalität des Kontinuums hat. Daher die Idee, nicht zu versuchen, jeder Teilmenge A P(Ω) eine Wahrscheinlichkeit zuzuordnen, sondern nur denjenigen Mengen, die einer geeigneten Familie A angehören, die im allgemeinen echt in P(Ω) enthalten sein wird. Falls diese Familie einige naheliegende algebraische Eigenschaften hat, kann man auch die zweite Bedingung erfüllen. Es sind die Eigenschaften einer Algebra und σ-algebra, die sich als die leistungsfähigsten herausgestellt haben. Deren Axiome und elementaren Eigenschaften werden in diesem Kapitel behandelt. Die Dynkin-Systeme und die monotonen Klassen, die hier ebenfalls betrachtet werden, haben dagegen eher den Charakter technischer Hilfsmittel. 1. Algebren Definition. Es seien Ω eine Basismenge und A eine Teilmenge von P(Ω). Man bezeichnet A als (Boolesche) Algebra, wenna den folgenden Axiomen genügt: (A1) Ω A; (A2) A A, B A A B A; (A3) A A A c A. Folgerungen (A4) A; (A5) A A, B A A B A; (A6) A 1,A 2,...,A n A n i=1 A i A und n i=1 A i A.

3 10 KAPITEL 2: EREIGNISSE Diese drei Eigenschaften sind unmittelbare Folgerungen aus den drei Axiomen. Eigenschaft (A4) folgt aus (A1) und (A3), Eigenschaft (A5) aus der Identität A B =(A c B c ) c, aus (A2) und (A3). Eigenschaft (A6) schliesslich folgt aus (A2) mittels Induktion über n. Äquivalent hierzu ist die bequemere Aussage, dass eine Familie A von Teilmengen von Ω eine Algebra ist, wenn sie das Element Ω enthält und abgeschlossen (stabil) ist unter endlichen Vereinigungen und Komplementierung. Ein Beispiel einer Algebra ist die Familie aller endlichen Vereinigungen von halboffenen Intervallen der reellen Geraden, wie im Folgenden beschrieben. Beispiel. Es bezeichne P die Menge aller halboffenen Intervalle der reellen Geraden von der Form ],a [; [a, b[; [a, + [; <a + ; <a b<+ ; <a < +. Satz 1.1. Die Familie A aller Teilmengen von R, die sich als endliche Vereinigungen von Intervallen aus P schreiben lassen, ist eine Algebra. Zum Beweis dieser Behauptung verifiziert man zunächst ohne weiteres folgende Punkte: 1) das Komplement eines Intervalles von P gehört zu A; 2) Ω = R =], + [ und =[a, a[ gehören zu A; 3) die Vereinigung zweier Elemente von A gehört zu A; 4) der Durchschnitt zweier Intervalle aus P gehört zu A. Daraus folgt: sind A = i I i und B = j J j zwei Elemente von A, soist auch ihr Durchschnitt A B = i,j I i J j ein Element von A. Folglich gehört auch das Komplement A c = i I i c eines Elementes A = i I i von A wieder zu A. Bemerkung. Man beachte, dass sich jedes Element A der gerade behandelten Algebra immer auch als endliche Vereinigung paarweise disjunkter Intervalle von P darstellen lässt. 2. σ-algebren. Die folgende Definition einer σ-algebra basiert auf den drei Axiomen einer Algebra, wobei lediglich das zweite Axiom modifiziert wird: über die endlichen Vereinigungen hinausgehend werden auch abzählbare Vereinigungen zugelassen. Definition. Es seien Ω eine Basismenge und A eine Teilmenge von P(Ω). Man bezeichnet A als σ-algebra, (oder auch σ-körper oder Borel-Körper), wenn A den folgenden Axiomen genügt:

4 2. σ-algebren 11 (T1) Ω A; (T2) ist (A n )(n =1, 2,...) eine Folge von Elementen aus A, sogehört auch die Vereinigung n=1 A n zu A; (T3) A A A c A. Man kann also sagen, dass eine σ-algebra eine Familie von Teilmengen von Ω ist, die Ω enthält und die unter abzählbaren Vereinigungen und Komplementierung abgeschlossen ist. Die beiden folgenden Eigenschaften sind unmittelbare Folgerungen aus den drei Axiomen; zum Beweis vergleiche man den Nachweis der entsprechenden Eigenschaften für Algebren: (T4) A; (T5) ist (A n )(n =1, 2,...) eine Folge von Elementen aus A, sogehört auch der Durchschnitt n=1 A n zu A. Bemerkung. Jedeσ-Algebra ist auch eine Algebra. In der Tat genügt es, von zwei Elementen A und B von A ausgehend die Folge A 1 = A, A 2 = B und A n = für n 3 zu betrachten. Aus Axiom (T2) folgt, dass die Vereinigung A B = n=1 A n zu A gehört. Damit ist Axiom (A2) nachgewiesen. Beispiele. Für jede nichtleere Menge Ω sind sowohl die zweielementige Familie {Ω, } als auch die Potenzmenge P(Ω) σ-algebren. Letztere σ- Algebra wird man immer dann auf Ω zugrunde legen, wenn diese Menge endlich oder abzählbar ist. Im Gegensatz zur Situation bei den Algebren (man vergleiche Satz 1.1) ist es bei nichttrivialen σ-algebren schwieriger, eine explizite Beschreibung aller ihrer Elemente anzugeben. Satz 2.1 (von einem Mengensystem erzeugte σ-algebra). Es sei C eine Familie von Teilmengen von Ω. Dann existiert genau eine σ-algebra σ(c) mit den folgenden Eigenschaften: (i) σ(c) C; (ii) ist T irgendeine σ-algebra, die C umfasst, so enthält sie auch σ(c). Die σ-algebra σ(c) wird als die von C erzeugte σ-algebra bezeichnet. Beweis. Wir zeigen zunächst, dass jeder Durchschnitt einer nichtleeren Familie von σ-algebren wiederum eine σ-algebra ist. In der Tat: ist (T i )eine nichtleere Familie von σ-algebren von Ω, dann ist die Menge Ω in jeder dieser σ-algebren enthalten und somit auch in deren Durchschnitt i T i.ebenso zeigt man, dass die Axiome (T2) und (T3), die ja für jede der σ-algebren T i erfüllt sind, auch für deren Durchschnitt gelten. Nun ist zu bemerken, dass die Familie der σ-algebren, die C enthalten, nicht leer ist, da immerhin P(Ω) zu dieser Familie gehört. Daher kann man die Familie aller derjenigen σ-algebren betrachten, die C enthalten; dies ist wiederum eine σ-algebra gemäss dem ersten Teil dieses Beweises. Sie hat

5 12 KAPITEL 2: EREIGNISSE die beiden Eigenschaften (i) und (ii) und ist gemäss Konstruktion eindeutig bestimmt. Beispiele. 1) Falls die Familie C selbst eine σ-algebra ist, so stimmt sie mit der von ihr erzeugten σ-algebra überein. 2) Ist A eine Teilmenge von Ω, so ist die von der aus dem einzigen Element A bestehenden Familie {A} erzeugte σ-algebra nichts anderes als {,A,A c, Ω}. 3) Sind A und B zwei disjunkte Teilmengen von Ω, so besteht die von der zweielementigen Familie {A, B} erzeugte σ-algebra aus den acht (nicht notwendigerweise verschiedenen) Mengen, A, B, A + B, A c, B c, A c B c,ω. Definition. Man bezeichnet als Borel-σ-Algebra der reellen Geraden R die von der Familie der abgeschlossenen und beschränkten Intervalle { [a, b] :a b} erzeugte σ-algebra. Diese σ-algebra wird mit B 1 bezeichnet. Ihre Elemente heissen Borelmengen der Geraden. Man kann sich leicht davon überzeugen (siehe Aufgabe 6), dass die Borelσ-Algebra auch von vielen anderen Familien von Teilmengen der reellen Geraden R erzeugt werden kann. Definition. Man bezeichnet als Borel-σ-Algebra des R n die von den abgeschlossenen Rechtecken {(x 1,x 2,...,x n ):a i x i b i,i=1, 2,...,n} erzeugte σ-algebra; sie wird mit B n notiert. Definition. Alsmessbaren Raum bezeichnet man jedes Paar (Ω, A), bestehend aus einer nichtleeren Menge Ω und einer σ-algebra A von Teilmengen von Ω. In diesem Kontext werden die Elemente von A als Ereignisse bezeichnet. Beispiele. 1) Das Paar (Ω, P(Ω)) ist ein messbarer Raum. Dies ist der messbare Raum, den man immer der Menge Ω zuordnet, wenn Ω höchstens abzählbare Kardinalität hat. 2) Das Paar (R n, B n ) ist ein messbarer Raum. 3. Dynkin-Systeme. Die Dynkin-Systeme stellen ein Werkzeug dar, mit dessen Hilfe man nachweisen kann, dass eine gegebene Familie von Teilmengen eine σ-algebra ist. Wie in Satz 3.1 ausgeführt werden wird, genügt es, von einem Dynkin-System auszugehen und nachzuweisen, dass dieses unter endlichen Durchschnitten abgeschlossen ist. Wir werden

6 3. DYNKIN-SYSTEME 13 Dynkin-Systeme im wesentlichen dann benutzen, wenn es darum geht, die Unabhängigkeit von Familien von Ereignissen zu untersuchen. Beim ersten Durchlesen sollte es genügen, die Definition und die beiden folgenden Sätze zur Kenntnis zu nehmen. Definition. Es sei Ω eine Basismenge und D eine Familie von Teilmengen von Ω. Man bezeichnet D als Dynkin-System, wenn es den folgenden Axiomen genügt: (D1) Ω D; (D2) A D, B D, A B A \ B D; (D3) ist (A n )(n =1, 2,...) eine Folge von paarweise disjunkten Elementen von D, sogehört auch deren (disjunkte) Vereinigung A n zu D. Anders gesagt, ein Dynkin-System von Ω ist eine Familie von Teilmengen, die Ω als Element enthält und die unter echter Differenz und abzählbarer disjunkter Vereinigung abgeschlossen ist. Satz 3.1. Jede σ-algebra ist ein Dynkin-System. Ein Dynkin-System D ist genau dann eine σ-algebra, wenn sie zusätzlich unter endlichen Durchschnitten abgeschlossen ist, wenn sie also auch noch folgendem Axiom genügt: (I f ) A D, B D A B D. Beweis. Der erste Teil der Behauptung ist offensichtlich wahr. Es bleibt zu zeigen, dass jedes Dynkin-System, das unter endlichen Durchschnitten abgeschlossen ist, auch eine σ-algebra ist. Gehen wir also von einem solchen System D aus. Zunächst einmal sind die Axiome (T1) und (T3) erfüllt, da ja speziell A c =Ω\ A gilt. Andererseits ist D unter endlichen Vereinigungen abgeschlossen, denn mit A und B aus D gehören auch der Durchschnitt A B und die echte Differenz A \ A B zu D, und damit auch die disjunkte Vereinigung A B = ( A \ (A B) ) + B. Ist nun (A n ) eine Folge von Elementen aus D, so gehören auch alle endlichen Vereinigungen B n = A 1 A n zu D. Man kann also schreiben A n = n=1 (A n \ B n 1 ), n=1 (wobei B 0 = sein soll), was zeigt, dass auch diese (abzählbare) Vereinigung zu D gehört. Genauso wie bei σ-algebrenkannmansichdavonüberzeugen, dass es zu jeder Familie C von Mengen ein eindeutig bestimmtes Dynkin-System gibt, das C umfasst und das in jedem C umfassenden Dynkin-System enthalten ist. n=1

7 14 KAPITEL 2: EREIGNISSE Man bezeichnet dies als das von C erzeugte Dynkin-System und notiert es als D(C). Satz 3.2. Es sei C eine Familie von Teilmengen von Ω, dieunter endlichen Durchschnitten abgeschlossen ist. Dann gilt D(C) =σ(c). Beweis. Da jede σ-algebra ein Dynkin-System ist, gilt sofort die Inklusion D(C) σ(c). Um die umgekehrte Inklusion nachzuweisen, genügt es zu zeigen, dass D(C) aucheineσ-algebra ist. Wegen des vorigen Satzes ist also nur noch nachzuweisen, dass D(C) unter endlichen Durchschnitten abgeschlossen ist. Sei also A irgendein Element von D(C), mit dem wir die Familie I(A) aller Teilmengen B von Ω definieren, für die B A D(C) gilt. Diese Familie I(A) ist ein Dynkin-System, da sie Ω enthält und sowohl unter echter Differenzbildung, als auch unter abzählbarer disjunkter Vereinigung abgeschlossen ist. Wenn nun aber E zu C gehört, so gilt F E C für jedes F C; damit hat man aber auch C I(E) und D(C) I(E) für alle E C. Die letzte Inklusion kann man auch so lesen: für jedes A D(C) und jedes E Cgilt A E D(C). Daraus folgt die Inklusion C I(A) und D(C) I(A) für jedes A D(C). Das besagt aber insbesondere, dass D(C) unter endlichen Durchschnitten abgeschlossen ist. 4. Monotone Klassen. Auch diese sind, wie die Dynkin-Systeme, technische Hilfsmittel. Für deren Verständnis kann man sich, im Rahmen dieses Buches, darauf beschränken, die Definition und die beiden folgenden Sätze zur Kenntnis zu nehmen. Definition. Eine nichtleere Famlie M von Teilmengen einer Menge Ω heisst monoton, wennfür jede monotone Folge (A n ) von Elementen von M (also für jede aufsteigende oder absteigende Folge von Elementen von M) gilt: lim n A n M. Man sagt auch, dass M unter monotonen Grenzübergängen abgeschlossen ist. Ebenso wie bei σ-algebren und Dynkin-Systemen verifiziert man, dass jeder Durchschnitt von monotonen Klassen wieder eine monotone Klasse ist und dass es zu jeder gegebenen Familie C von Teilmengen von Ω genau eine monotone Klasse gibt, die C enthält und die ihrerseits in jeder C umfassenden monotonen Klasse enthalten ist. Diese bezeichnet man als die von C erzeugte monotone Klasse und schreibt dafür M(C). Satz 4.1. Jede σ-algebra ist eine monotone Klasse. Jede monotone Algebra ist eine σ-algebra.

8 4. MONOTONE KLASSEN 15 Beweis. Der erste Teil der Behauptung ist offensichtlich. Zum Beweis des zweiten Teils betrachte man eine monotone Algebra A und eine Folge (A n )(n =1, 2,...) von Elementen von A. Danngehört gemäss Axiom (A2) jede endliche Vereinigung B n = n i=1 A i wiederum zu A. Wegen B n i=1 A i hat man dann aber auch i=1 A i A, denna ist ja auch eine monotone Klasse. Der folgende Satz spielt für monotone Klassen die gleiche Rolle, welche Satz 3.2 für die Dynkin-Systeme spielte. Satz 4.2. Falls A eine Algebra ist, so gilt σ(a) =M(A). Wenn also eine monotone Klasse eine Algebra A enthält, so enthält sie auch die von A erzeugte σ-algebra σ(a). Beweis. Gemäss vorigem Satz genügt es zu zeigen, dass M = M(A) eine σ-algebra ist. Betrachten wir also für jedes A M mit A c M die Familie K(A) aller Teilmengen B mit B c M und A B M. Jedesolche Familie ist nichtleer, denn A gehört sicher dazu. Wenn andererseits B und B c zu M gehören, so sind die Aussagen B K(A) und A K(B) äquivalent. Wir zeigen nun, dass K(A) eine monotone Klasse ist. Dazu nehmen wir eine monotone Folge (B n ) von Elementen aus K(A). Dann gilt (lim n B n ) c = lim n B c n M und A lim n B n = lim n A B n M. Da andererseits die Inklusion A M gilt und A eine Algebra ist, gehört das Komplement A c zu M, sobald A zu A gehört. Somit umfasst die Familie K(A) diealgebraa, dajab c und A B zu A gehören, also auch zu M. Da aber M die von A erzeugte monotone Klasse ist, besteht die Inklusion M K(A). Für jedes B M gilt B c M. Man kann also die monotone Klasse K(B) betrachten. Für jedes A A gilt B K(A) und folglich A K(B). Daher hat man A K(B) und M K(B). Da diese Inklusion für jedes B M gilt, genügt M den Axiomen (A2) und (A3). Es handelt sich also um eine monotone Algebra und somit auch um eine σ-algebra.

9 16 KAPITEL 2: EREIGNISSE ERGÄNZUNGEN UND ÜBUNGEN 1. Wie würde man den Begriff der von einer Mengenfamilie erzeugten Algebra definieren? 2. Man betrachte eine dreielementige Menge Ω = {a, b, c}. Wiesieht die von der Teilmenge {a, b} erzeugte σ-algebra aus? 3. Die Menge Ω bestehe aus den fünf Elementen a, b, c, d, e. Man betrachte die beiden Familien F 1, F 2 von Teilmengen von Ω: F 1 = {, {a }, {b, c, d, e }, Ω }; F 2 = {, {a }, {b }, {a, b }, {c, d, e }, {a, c, d, e }, {b, c, d, e }, Ω }. a) Man zeige, dass F 1 und F 2 σ-algebren sind. b) Man konstruiere die Boolesche Algebra F 3, die von der aus den beiden Teilmengen {a } und {c, d } bestehenden Familie erzeugt wird. c) Man zeige, dass F 3 eine σ-algebra ist. d) Man konstruiere die von F 2 F 3 erzeugte σ-algebra F 4 4. Es sei Ω eine Menge und Π = (A n ) n 1 eine (abzählbare) Partition von Ω, d.h. eine Familie von Teilmengen von Ω, für die gilt: A n für jedes n, A n =Ω, A i A j = für alle i j. n 1 Man sagt, eine σ-algebra A auf Ω sei durch die Partition Π erzeugt, wenn alle Elemente von Π auch Elemente von A sind und wenn andererseits jedes Element von A eine endliche oder abzählbare Vereinigung von Elementen aus Π ist, d.h. wenn gilt: { } A = A n : T P(N ). n T a) Man zeige, dass jede σ-algebra A auf einer abzählbaren Menge Ω durch eine Partition, wie beschrieben, erzeugt wird. b) Gibt es eine σ-algebra mit abzählbar unendlich vielen Elementen? 5. Es sei A 1,..., A n eine Familie von n (n 1) Teilmengen einer nichtleeren Menge Ω. Man beschreibe die von {A 1,...,A n } erzeugte Algebra A und gebe eine Abschätzung (nach oben) für die Mächtigkeit von A. 6. Man zeige, dass die Borel-σ-Algebra B 1 von R durch jede der nachfolgend aufgeführten Familien erzeugt wird, wobei a und b reelle Zahlen mit <a b< sind:

10 ERGÄNZUNGEN UND ÜBUNGEN 17 a) C 1 = { ]a, b[ }; b) C 2 = { [a, b[ }; c) C 3 = { ]a, b] }; d) C 4 = { [a, + [ }; e) C 5 = { ],a[ }; f) C 6 = { ]a, + [ }; g) C 7 = { ],a] }; h) C 8 = {endliche Vereinigungen von nach rechts halb-offenen Intervallen, d.h. zu P gehörend} (vgl. Satz 1.1); i) C 9 = { offene Teilmengen der Geraden }; j) C 10 = {abgeschlossene Teilmengen der Geraden}; diese Aufzählung ist keineswegs erschöpfend! 7. Es bezeichne C die Klasse aller ein-elementigen Teilmengen einer nichtleeren Menge Ω. Man zeige, dass die von C erzeugte σ-algebra genau dann die Potenzmenge P(Ω) von Ω ist, wenn Ω höchstens abzählbar ist. 8. Es wurde bereits festgestellt, dass der Durchschnitt von zwei σ- Algebren wieder eine σ-algebra ist; im Gegensatz dazu ist die Vereinigung von zwei σ-algebren nicht notwendig wieder eine σ-algebra. Man gebe ein Beispiel dafür an, dass die Vereinigung zweier σ-algebren keine σ-algebra ist.

11 18 KAPITEL 2: EREIGNISSE

DIE SPRACHE DER WAHRSCHEINLICHKEITEN

DIE SPRACHE DER WAHRSCHEINLICHKEITEN KAPITEL 1 DIE SPRACHE DER WAHRSCHEINLICHKEITEN Es ist die Aufgabe der ersten drei Kapitel, eine vollständige Beschreibung des grundlegenden Tripels (Ω, A, P) und seiner Eigenschaften zu geben, das heutzutage

Mehr

Skriptbausteine zur Vorlesung Maßtheorie

Skriptbausteine zur Vorlesung Maßtheorie Skriptbausteine zur Vorlesung Maßtheorie Vorlesender: Prof. Dr. Bernd Hofmann Der folgende Text soll die Nacharbeit der Vorlesung erleichtern und dabei an Definitionen, Sätze und Beispiele erinnern. Das

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Prof. Dr. D. Castrigiano Dr. M. Prähofer Zentralübung 38. Einschränkung eines Maßes TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Mathematik für Physiker 4 (Analysis 3) http://www.ma.tum.de/hm/ma9204

Mehr

Filme der Kindheit Kindheit im Film

Filme der Kindheit Kindheit im Film Kinder- und Jugendkultur, -literatur und -medien 66 Filme der Kindheit Kindheit im Film Beispiele aus Skandinavien, Mittel- und Osteuropa Bearbeitet von Christine Gölz, Anja Tippner, Karin Hoff 1. Auflage

Mehr

Kapitel II - Wahrscheinlichkeitsraum

Kapitel II - Wahrscheinlichkeitsraum Institut für Volkswirtschaftslehre (ECON) Lehrstuhl für Ökonometrie und Statistik Kapitel II - Wahrscheinlichkeitsraum Wahrscheinlichkeitstheorie Prof. Dr. W.-D. Heller Hartwig Senska Carlo Siebenschuh

Mehr

Im gesamten Kapitel sei Ω eine nichtleere Menge. Wir bezeichnen die Potenzmenge

Im gesamten Kapitel sei Ω eine nichtleere Menge. Wir bezeichnen die Potenzmenge 1 Mengensysteme Ein Mengensystem ist eine Familie von Teilmengen einer Grundmenge und damit eine Teilmenge der Potenzmenge der Grundmenge. In diesem Kapitel untersuchen wir Mengensysteme, die unter bestimmten

Mehr

Die Unternehmergesellschaft

Die Unternehmergesellschaft Die Unternehmergesellschaft Recht, Besteuerung, Gestaltungspraxis Bearbeitet von Prof. Dr. Dr. hc. Michael Preißer, Gültan Acar 1. Auflage 2016. Buch. 300 S. Hardcover ISBN 978 3 7910 3445 4 Format (B

Mehr

σ-algebren, Definition des Maßraums

σ-algebren, Definition des Maßraums σ-algebren, Definition des Maßraums Ziel der Maßtheorie ist es, Teilmengen einer Grundmenge X auf sinnvolle Weise einen Inhalt zuzuordnen. Diese Zuordnung soll so beschaffen sein, dass dabei die intuitiven

Mehr

Maße auf Produkträumen

Maße auf Produkträumen Maße auf Produkträumen Es seien (, Ω 1 ) und (X 2, Ω 2 ) zwei Meßräume. Wir wollen uns zuerst überlegen, wie wir ausgehend davon eine geeignete σ-algebra auf X 2 definieren können. Wir betrachten die Menge

Mehr

Mathematik III. Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2010/2011. Vorlesung 62 In diesem Kurs beschäftigen wir uns mit dem

Mathematik III. Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2010/2011. Vorlesung 62 In diesem Kurs beschäftigen wir uns mit dem Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2010/2011 Mathematik III Vorlesung 62 In diesem Kurs beschäftigen wir uns mit dem Flächeninhalt von ebenen Gebilden und den Volumina von räumlichen Gebilden. Für ein Rechteck

Mehr

Analysis III. Vorlesung 61

Analysis III. Vorlesung 61 Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2014/2015 Analysis III Vorlesung 61 In diesem Kurs beschäftigen wir uns mit dem Flächeninhalt von ebenen Gebilden und den Volumina von räumlichen Gebilden. Für ein Rechteck

Mehr

Wahrscheinlichkeitstheorie und Maßtheorie

Wahrscheinlichkeitstheorie und Maßtheorie KAPITEL 7 Wahrscheinlichkeitstheorie und Maßtheorie 7.1. Vorüberlegungen Die folgenden drei Beispiele sind Spezialfälle des Oberbegriffs Maß. Beispiel 7.1.1 (Verteilung der Ladung oder der Masse). Man

Mehr

Metrische äußere Maße, Borel-Maße

Metrische äußere Maße, Borel-Maße Metrische äußere Maße, Borel-Maße Zum einen haben wir mit dem Fortsetzungssatz gesehen, dass man mit einem äußeren Maß (auf P(X) ) stets eine σ-algebra und ein Maß auf dieser bekommt. Liegt nun ein metrischer

Mehr

KONSTRUKTION VON MASSEN

KONSTRUKTION VON MASSEN KONSTRUKTION VON MASSEN MARCUS HEITEL 1. Einleitung Wir wollen im Folgenden das Lebesguemaß konstruieren. Dieses soll die Eigenschaft λ ( [a, b = b a für a, b R besitzen. Nun ist ein Maß aber auf einer

Mehr

Vorkurs Mathematik. Ein Übungsbuch für Fachhochschulen. Bearbeitet von Michael Knorrenschild

Vorkurs Mathematik. Ein Übungsbuch für Fachhochschulen. Bearbeitet von Michael Knorrenschild Vorkurs Mathematik Ein Übungsbuch für Fachhochschulen Bearbeitet von Michael Knorrenschild 1. Auflage 2004. Buch. 176 S. Hardcover ISBN 978 3 446 22818 4 Format (B x L): 14,6 x 21,2 cm Gewicht: 259 g Weitere

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 1. und 2. Vorlesung - 2017 Im Alltag... Laut den meteorologischen Vorhersagen wird es morgen regnen. Ob ich riskiere und die Wette verlieren werde? Ich werde mit Sicherheit gewinnen! Ist das wirklich unmöglich?

Mehr

4 Messbare Funktionen

4 Messbare Funktionen 4 Messbare Funktionen 4.1 Definitionen und Eigenschaften Definition 4.1. Seien X eine beliebige nichtleere Menge, M P(X) eine σ-algebra in X und µ ein Maß auf M. Das Paar (X, M) heißt messbarer Raum und

Mehr

Stochastik I. Vorlesungsmitschrift

Stochastik I. Vorlesungsmitschrift Stochastik I Vorlesungsmitschrift Ulrich Horst Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin Inhaltsverzeichnis 1 Grundbegriffe 1 1.1 Wahrscheinlichkeitsräume..................................

Mehr

Das Lebesgue-Maß im R p

Das Lebesgue-Maß im R p Das Lebesgue-Maß im R p Wir werden nun im R p ein metrisches äußeres Maß definieren, welches schließlich zum Lebesgue-Maß führen wird. Als erstes definieren wir das Volumen von Intervallen des R p. Seien

Mehr

Grundlagen. Kapitel Mengen

Grundlagen. Kapitel Mengen Kapitel 1 Grundlagen 1.1 Mengen Grundobjekte mathematischer Theorien sind Mengen. Zwar stellt man sich darunter Gesamtheiten von gewissen Dingen (den Elementen der Menge) vor, doch führt die uneingeschränkte

Mehr

Mehr Erfolg in Mathematik, Abitur: Analysis 1

Mehr Erfolg in Mathematik, Abitur: Analysis 1 Mehr Erfolg in... Mehr Erfolg in Mathematik, Abitur: Analysis 1 Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit, Exponential- und Logarithmusfunktionen Bearbeitet von Helmuth Preckur 1. Auflage 009. Taschenbuch. 160

Mehr

Teil II. Wahrscheinlichkeitsrechnung

Teil II. Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil II Wahrscheinlichkeitsrechnung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung (SS 2014) Folie 129 5 Zufallsexperimente Inhaltsverzeichnis (Ausschnitt) 5 Zufallsexperimente Ergebnisse Ereignisse

Mehr

Teil II. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Inhaltsverzeichnis (Ausschnitt) Zufallsexperimente (Zufallsvorgänge) Ergebnisse

Teil II. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Inhaltsverzeichnis (Ausschnitt) Zufallsexperimente (Zufallsvorgänge) Ergebnisse 5 Zufallsexperimente Inhaltsverzeichnis (Ausschnitt) Teil II Wahrscheinlichkeitsrechnung 5 Zufallsexperimente Ergebnisse Ereignisse Wahrscheinlichkeiten Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

Kapitel 1. Grundlagen Mengen

Kapitel 1. Grundlagen Mengen Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig

Mehr

Kapitel 1. Grundlagen

Kapitel 1. Grundlagen Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig

Mehr

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Marco Cattaneo Institut für Statistik Ludwig-Maximilians-Universität München Sommersemester 2011 1. Wahrscheinlichkeitsrechnung 2. Diskrete Zufallsvariable 3. Stetige Zufallsvariable 4. Grenzwertsätze

Mehr

Mathematik für Naturwissenschaftler

Mathematik für Naturwissenschaftler Mathematik für Naturwissenschaftler Was Sie im Bachelor wirklich brauchen und in der Schule nicht lernen Bearbeitet von Norbert Herrmann 1. Auflage 2011. Taschenbuch. Paperback ISBN 978 3 8274 2866 0 Format

Mehr

Existenz des Lebesgue-Borel-Maßes

Existenz des Lebesgue-Borel-Maßes A Existenz des Lebesgue-Borel-Maßes In diesem (nicht prüfungsrelevanten) Anhang tragen wir u.a. die Existenz des Lebesgue- Borel-Maßes nach. 52 Es empfiehlt sich, diesen Anhang erst nach Kapitel 5 zu lesen

Mehr

Musterlösung Analysis 3 - Maßtherorie

Musterlösung Analysis 3 - Maßtherorie Musterlösung Analysis 3 - Maßtherorie 10. März 2011 Aufgabe 1: Zum Aufwärmen (i) Zeige, dass die Mengensysteme {, X} und P(X) σ-algebren sind. Es sind jeweils nur die Charakteristika nachzuweisen. (1)

Mehr

Aufgaben zu Kapitel 0

Aufgaben zu Kapitel 0 Aufgaben zu Kapitel 0 0.1. Seien A und B zwei Mengen. Wie kann man paarweise disjunkte Mengen A 1, A 2 und A 3 so wählen, dass A 1 A 2 A 3 = A B gilt? 0.2. Seien E ein Menge und A eine Teilmengen von E.

Mehr

Kapitel II Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsräume

Kapitel II Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsräume Kapitel II Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsräume 1. Einführung 1.1 Motivation Interpretation der Poisson-Verteilung als Grenzwert der Binomialverteilung. DWT 1.1 Motivation 211/476 Beispiel 85 Wir betrachten

Mehr

5 Komplementäre Verbände

5 Komplementäre Verbände 5 Komplementäre Verbände Die Bestimmung von Verbandselementen durch Punkte hat in modularen längenendlichen Verbänden im Falle der Existenz sinnvolle Eigenschaften (vgl. 4.5), die Existenz kann aber mit

Mehr

Folgen. Definition. Sei M eine beliebige Menge. Eine Abbildung a : N M oder a : N 0 M heißt eine Folge.

Folgen. Definition. Sei M eine beliebige Menge. Eine Abbildung a : N M oder a : N 0 M heißt eine Folge. Folgen Eine Folge stellt man sich am einfachsten als eine Aneinanderreihung von Zahlen (oder Elementen irgendeiner anderen Menge) vor, die immer weiter geht Etwa,,,,,, oder,,, 8,,,, oder 0,,,,,,,, In vielen

Mehr

8. Formelsammlung. Pr[ ] = 0. 0 Pr[A] 1. Pr[Ā] = 1 Pr[A] A B = Pr[A] Pr[B] DWT 8.1 Gesetze zum Rechnen mit Ereignissen 203/467 Ernst W.

8. Formelsammlung. Pr[ ] = 0. 0 Pr[A] 1. Pr[Ā] = 1 Pr[A] A B = Pr[A] Pr[B] DWT 8.1 Gesetze zum Rechnen mit Ereignissen 203/467 Ernst W. 8. Formelsammlung 8.1 Gesetze zum Rechnen mit Ereignissen Im Folgenden seien A und B, sowie A 1,..., A n Ereignisse. Die Notation A B steht für A B und zugleich A B = (disjunkte Vereinigung). A 1... A

Mehr

(b) Man nennt die Menge M beschränkt, wenn sie nach oben und unten beschränkt ist.

(b) Man nennt die Menge M beschränkt, wenn sie nach oben und unten beschränkt ist. 8 Punktmengen Für die Menge M = { 1 n ; n N } ist 1 = max(m), denn 1 M und 1 n 1 für alle n N. Die Menge M besitzt aber kein Minimum, denn zu jeder Zahl x = 1 n M existiert ein y M mit y < x, etwa y =

Mehr

Reelle Analysis. Vorlesungsskript. Enno Lenzmann, Universität Basel. 11. Oktober 2013

Reelle Analysis. Vorlesungsskript. Enno Lenzmann, Universität Basel. 11. Oktober 2013 Reelle Analysis Vorlesungsskript Enno Lenzmann, Universität Basel 11. Oktober 2013 3 Fortsetzung von Prämassen zu Massen Der Begriff des Prämasses ist nicht ausreichend, um eine geschmeidige Integrationstheorie

Mehr

Basiswissen Mathematik, Statistik und Operations Research für Wirtschaftswissenschaftler

Basiswissen Mathematik, Statistik und Operations Research für Wirtschaftswissenschaftler Basiswissen Mathematik, Statistik und Operations Research für Wirtschaftswissenschaftler Bearbeitet von Gert Heinrich 5., korr. Aufl. 2013. Taschenbuch. XV, 399 S. Paperback ISBN 978 3 486 75491 9 Format

Mehr

Mathe: sehr gut, 6. Klasse - Buch mit Download für phase-6

Mathe: sehr gut, 6. Klasse - Buch mit Download für phase-6 mentor sehr gut: Deutsch, Mathe, Englisch für die 5. - 8. Klasse Mathe: sehr gut,. Klasse - Buch mit Download für phase- Mit Download für phase- Bearbeitet von Uwe Fricke 1. Auflage 2009. Taschenbuch.

Mehr

mitp/die kleinen Schwarzen XING Erfolgreich netzwerken im Beruf Bearbeitet von Frank Bärmann

mitp/die kleinen Schwarzen XING Erfolgreich netzwerken im Beruf Bearbeitet von Frank Bärmann mitp/die kleinen Schwarzen XING Erfolgreich netzwerken im Beruf Bearbeitet von Frank Bärmann 2014 2014. Taschenbuch. 266 S. Paperback ISBN 978 3 8266 8207 0 Format (B x L): 12,5 x 18,5 cm Gewicht: 248

Mehr

Grundwissen Mathematik

Grundwissen Mathematik Springer-Lehrbuch Grundwissen Mathematik Ein Vorkurs für Fachhochschule und Universität Bearbeitet von Jan van de Craats, Rob Bosch, Petra de Jong, Theo de Jong 1st Edition. 2010. Taschenbuch. x, 326 S.

Mehr

Funktionentheorie erkunden mit Maple

Funktionentheorie erkunden mit Maple Springer-Lehrbuch Funktionentheorie erkunden mit Maple Bearbeitet von Wilhelm Forst, Dieter Hoffmann 1. Auflage 2012. Taschenbuch. xviii, 328 S. Paperback ISBN 978 3 642 29411 2 Format (B x L): 15,5 x

Mehr

Kardinalzahlen. Bemerkung. Eine unendliche Kardinalzahl α muss eine Limesordinalzahl sein. (Beweis zur Übung)

Kardinalzahlen. Bemerkung. Eine unendliche Kardinalzahl α muss eine Limesordinalzahl sein. (Beweis zur Übung) Kardinalzahlen Kardinalzahlen sollen die Größe von Mengen messen, daher suchen wir eine Aussage der Form, dass jede Menge bijektiv auf eine Kardinalzahl abgebildet werden kann. Um eine brauchbare Theorie

Mehr

Vorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion

Vorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion Vorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion Saskia Klaus 07.10.016 1 Motivation In den ersten beiden Vorträgen des Vorkurses haben wir gesehen, wie man aus schon bekannten Wahrheiten

Mehr

Mengensysteme, Wahrscheinlichkeitsmaße

Mengensysteme, Wahrscheinlichkeitsmaße Kapitel 1 Mengensysteme, Wahrscheinlichkeitsmaße Der Großteil der folgenden fundamentalen Begriffe sind schon aus der Vorlesung Stochastische Modellbildung bekannt: Definition 1.1 Eine Familie A von Teilmengen

Mehr

Menge von Teilmengen: -Algebra

Menge von Teilmengen: -Algebra Menge von Teilmengen: -Algebra 2 Zusammenfassung Ein Maß ist eine Funktion W A 7!.A/, wobei A jeweils eine (Teil-)Menge ist. Dieses Kapitel befasst sich mit dem Definitionsbereich A der Funktion. Der Definitionsbereich

Mehr

Stochastik für Informatiker

Stochastik für Informatiker Statistik und ihre Anwendungen Stochastik für Informatiker Bearbeitet von Lutz Dumbgen 1. Auflage 2003. Taschenbuch. XII, 267 S. Paperback ISBN 978 3 540 00061 7 Format (B x L): 15,5 x 23,5 cm Gewicht:

Mehr

Im allerersten Unterabschnitt wollen wir uns mit einer elementaren Struktur innerhalb der Mathematik beschäftigen: Mengen.

Im allerersten Unterabschnitt wollen wir uns mit einer elementaren Struktur innerhalb der Mathematik beschäftigen: Mengen. Kapitel 1 - Mathematische Grundlagen Seite 1 1 - Mengen Im allerersten Unterabschnitt wollen wir uns mit einer elementaren Struktur innerhalb der Mathematik beschäftigen: Mengen. Definition 1.1 (G. Cantor.

Mehr

I Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit Reellwertige Zufallsvariablen...

I Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit Reellwertige Zufallsvariablen... Inhaltsverzeichnis I Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume......................... 1 2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit........... 7 3 Reellwertige Zufallsvariablen........................

Mehr

Vorkurs Mathematik. Ein Übungsbuch für Fachhochschulen. Bearbeitet von Michael Knorrenschild

Vorkurs Mathematik. Ein Übungsbuch für Fachhochschulen. Bearbeitet von Michael Knorrenschild Vorkurs Mathematik Ein Übungsbuch für Fachhochschulen Bearbeitet von Michael Knorrenschild 1. Auflage 2004. Buch. 176 S. Hardcover ISBN 978 3 446 22818 4 Format (B x L): 14,6 x 21,2 cm Gewicht: 259 g Weitere

Mehr

Mathematik für Wirtschaftsingenieure

Mathematik für Wirtschaftsingenieure Mathematik für Wirtschaftsingenieure Lehr- und Übungsbuch Bearbeitet von Christopher Dietmaier 1. Auflage 005. Buch. 600 S. Hardcover ISBN 978 3 446 337 0 Format (B L): 17,6 4,6 cm Gewicht: 1196 g Weitere

Mehr

Lehr- und Übungsbuch Mathematik für Informatiker

Lehr- und Übungsbuch Mathematik für Informatiker Lehr- und Übungsbuch Mathematik für Informatiker Lineare Algebra und Anwendungen Bearbeitet von Wolfgang Preuß, Günter Wenisch 1. Auflage 1996. Buch. 328 S. Hardcover ISBN 978 3 446 18702 3 Format (B x

Mehr

Wichtige Begriffe und Sätze aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wichtige Begriffe und Sätze aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung Wichtige Begriffe und Sätze aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung Version: 22. September 2015 Evelina Erlacher 1 Mengen Es sei Ω eine Menge (die Universalmenge ) und A, B seien Teilmengen von Ω. Dann schreiben

Mehr

Kapitel 1. Grundlagen

Kapitel 1. Grundlagen Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig

Mehr

Stochastik. Skript zur Vorlesung von Prof. Dr. Michael Kohler Sommersemester 2007

Stochastik. Skript zur Vorlesung von Prof. Dr. Michael Kohler Sommersemester 2007 Stochastik Skript zur Vorlesung von Prof. Dr. Michael Kohler Sommersemester 2007 1 1. Grundbegriffe der Maßtheorie Ziel: Konstruktion von Maßzahlen (wie z. B. Wahrscheinlichkeit / Länge / Fläche / Volumen

Mehr

Grundstudium Mathematik. Analysis III. Bearbeitet von Herbert Amann, Joachim Escher

Grundstudium Mathematik. Analysis III. Bearbeitet von Herbert Amann, Joachim Escher Grundstudium Mathematik Analysis III Bearbeitet von Herbert Amann, Joachim Escher Neuausgabe 2008. Taschenbuch. xii, 480 S. Paperback ISBN 978 3 7643 8883 6 Format (B x L): 17 x 24 cm Gewicht: 960 g Weitere

Mehr

Axiomatische Mengenlehre

Axiomatische Mengenlehre Axiomatische Mengenlehre Die Wahl von Axiomen für ein Gebiet ist nicht völlig beliebig. Zumeist steht im Hintergrund die Absicht, damit gewisse Theoreme beweisen zu können. Darüber hinaus sollte die Anzahl

Mehr

Die Schreibweise x M bedeutet, dass das Objekt x in der Menge M liegt. Ist dies nicht der Fall, dann schreibt man

Die Schreibweise x M bedeutet, dass das Objekt x in der Menge M liegt. Ist dies nicht der Fall, dann schreibt man Die Schreibweise x M bedeutet, dass das Objekt x in der Menge M liegt. Ist dies nicht der Fall, dann schreibt man x / M. Man sagt, M ist Teilmenge von N und schreibt M N, wenn für jedes x M auch x N gilt.

Mehr

Hausdorff-Maß und Hausdorff-Dimension. Jens Krüger

Hausdorff-Maß und Hausdorff-Dimension. Jens Krüger Hausdorff-Maß und Hausdorff-Dimension Jens Krüger Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Grundlagen aus der Maßtheorie 3 3 Die Konstruktion des Hausdorff-Maßes 4 4 Eigenschaften des Hausdorff-Maßes und Hausdorff-Dimension

Mehr

ELEMENTARE DISKRETE MATHEMATIK Kapitel 4: Mächtigkeit von Mengen

ELEMENTARE DISKRETE MATHEMATIK Kapitel 4: Mächtigkeit von Mengen ELEMENTARE DISKRETE MATHEMATIK Kapitel 4: Mächtigkeit von Mengen MAA.01011UB MAA.01011PH Vorlesung mit Übung im WS 2016/17 Christoph GRUBER Günter LETTL Institut für Mathematik und wissenschaftliches Rechnen

Mehr

b liegt zwischen a und c.

b liegt zwischen a und c. 2 DIE ANORDNUNGSAXIOME 5 (2.4) a, b, c R : (a < b 0 < c) ac < bc Monotoniegesetz der Multiplikation Bezeichnungen a > b : b < a (> wird gelesen: größer als ) a b : a < b oder a = b a b : a > b oder a =

Mehr

Grundbegrie der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundbegrie der Wahrscheinlichkeitsrechnung Die Benutzung dieser Materialien ist auf Herbst 2017 beschränkt. Diese Hilfsmaterialien sind nur für unseren Studenten gemeint, dürfen also nicht weiterverteilt werden. Grundbegrie der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

Taschenbuch der Wirtschaftsmathematik

Taschenbuch der Wirtschaftsmathematik Taschenbuch der Wirtschaftsmathematik Bearbeitet von Wolfgang Eichholz, Eberhard Vilkner 6., aktualisierte Auflage 013. Buch. 396 S. Kartoniert ISBN 978 3 446 43535 3 Format B x L): 1,7 x 19,5 cm Gewicht:

Mehr

Maßtheorie. Skript zur Vorlesung von Prof. Dr. Michael Kohler. Sommersemester 2005 und Wintersemester 2005/2006

Maßtheorie. Skript zur Vorlesung von Prof. Dr. Michael Kohler. Sommersemester 2005 und Wintersemester 2005/2006 Maßtheorie Skript zur Vorlesung von Prof. Dr. Michael Kohler Sommersemester 2005 und Wintersemester 2005/2006 1 1 Grundbegriffe der Maßtheorie Ziel: Konstruktion von Maßzahlen (wie z. B. Länge / Fläche

Mehr

Analysis III, WS 2011/2012 Montag $Id: masse.tex,v /10/31 15:48:07 hk Exp $

Analysis III, WS 2011/2012 Montag $Id: masse.tex,v /10/31 15:48:07 hk Exp $ $Id: masse.tex,v 1.8 2011/10/31 15:48:07 hk Exp $ 2 Maßräume 2.2 Meßbare Abbildungen Der nächste Grundbegriff sind die meßbaren Abbildungen. Erinnern Sie sich daran das wir eigentlich einen Integralbegriff

Mehr

Mengenlehre. Begriff der Mengenzugehörigkeit x M, x Ê M >x : x { a 1. e e x = a n. } 2 x = a 1. >x : x { y P(y) } 2 P(x) Begriff der leeren Menge

Mengenlehre. Begriff der Mengenzugehörigkeit x M, x Ê M >x : x { a 1. e e x = a n. } 2 x = a 1. >x : x { y P(y) } 2 P(x) Begriff der leeren Menge Mengenlehre Grundbegriff ist die Menge Definition (Naive Mengenlehre). Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer Anschauung zu einem wohldefinierten Ganzen. (Georg Cantor) Notation 1. Aufzählung

Mehr

Mengen. (Nicht-) Elemente einer Menge { 3, 4 } { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } } 3 { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } }

Mengen. (Nicht-) Elemente einer Menge { 3, 4 } { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } } 3 { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } } Mengen Definition (Intuitive Mengenlehre) Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer Anschauung zu einem wohldefinierten Ganzen. (Georg Cantor) Notation 1. Aufzählung aller Elemente: { 1,

Mehr

Elemente der Analysis I Kapitel 3: Einführung III, Summen, Logik, Mengen, Beweise

Elemente der Analysis I Kapitel 3: Einführung III, Summen, Logik, Mengen, Beweise Elemente der Analysis I Kapitel 3: Einführung III, Summen, Logik, Mengen, Beweise Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 15. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/

Mehr

Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Lösungsvorschläge zu Übungsblatt 1

Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Lösungsvorschläge zu Übungsblatt 1 TUM, Zentrum Mathematik Lehrstuhl für Mathematische Physik WS 2013/ Prof. Dr. Silke Rolles Thomas Höfelsauer Felizitas Weidner Tutoraufgaben: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie svorschläge zu

Mehr

Lehrstuhl IV Stochastik & Analysis. Stochastik II. Wahrscheinlichkeitstheorie I. Skriptum nach einer Vorlesung von Hans-Peter Scheffler

Lehrstuhl IV Stochastik & Analysis. Stochastik II. Wahrscheinlichkeitstheorie I. Skriptum nach einer Vorlesung von Hans-Peter Scheffler Fachschaft Mathematik Uni Dortmund Lehrstuhl IV Stochastik & Analysis Stochastik II Wahrscheinlichkeitstheorie I Skriptum nach einer Vorlesung von Hans-Peter Scheffler Letzte Änderung: 26. November 2002

Mehr

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Mengen)

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Mengen) WS 2016/17 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Mengen) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_16

Mehr

Übungsblatt 5 zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie

Übungsblatt 5 zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie Dr. Christoph Luchsinger Übungsblatt 5 zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie Allgemeine Masse Herausgabe des Übungsblattes: Woche 13, Abgabe der Lösungen: Woche 14 (bis Freitag, 16.15 Uhr), Besprechung:

Mehr

5. Äquivalenzrelationen

5. Äquivalenzrelationen 5. Äquivalenzrelationen 35 5. Äquivalenzrelationen Wenn man eine große und komplizierte Menge (bzw. Gruppe) untersuchen will, so kann es sinnvoll sein, zunächst kleinere, einfachere Mengen (bzw. Gruppen)

Mehr

Medizinische Statistik mit R und Excel

Medizinische Statistik mit R und Excel Springer-Lehrbuch Medizinische Statistik mit R und Excel Einführung in die RExcel- und R-Commander-Oberflächen zur statistischen Auswertung Bearbeitet von Rainer Muche, Stefanie Lanzinger, Michael Rau

Mehr

Grundlagen und Grundfragen der Inklusion

Grundlagen und Grundfragen der Inklusion Grundlagen und Grundfragen der Inklusion Theorie und Praxis des inklusiven Unterrichts Bearbeitet von Anton Nuding, Monika Stanislowski 1. Auflage 2013. Taschenbuch. XII, 192 S. Paperback ISBN 978 3 8340

Mehr

Lineare Algebra I. - 1.Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß. Monday 12 September 16

Lineare Algebra I. - 1.Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß. Monday 12 September 16 Lineare Algebra I - 1.Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß 1. Mengen und Abbildungen: Mengen gehören zu den Grundlegendsten Objekten in der Mathematik Kurze Einführung in die (naive) Mengelehre

Mehr

1 Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie

1 Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie H.-J. Starkloff Unendlichdimensionale Stochastik Kap. 01 11. Oktober 2010 1 1 Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie 1.1 Messbare Räume Gegeben seien eine nichtleere Menge Ω und eine Menge A von Teilmengen

Mehr

Stochastische Unabhängigkeit, bedingte Wahrscheinlichkeiten

Stochastische Unabhängigkeit, bedingte Wahrscheinlichkeiten Kapitel 2 Stochastische Unabhängigkeit, bedingte Wahrscheinlichkeiten 2.1 Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen Gegeben sei ein W-Raum (Ω, C, P. Der Begriff der stochastischen Unabhängigkeit von

Mehr

Zeitung als Zeichen. Identität und Mediennutzung nationaler Minderheiten in Deutschland. Bearbeitet von Swea Starke

Zeitung als Zeichen. Identität und Mediennutzung nationaler Minderheiten in Deutschland. Bearbeitet von Swea Starke Zeitung als Zeichen Identität und Mediennutzung nationaler Minderheiten in Deutschland Bearbeitet von Swea Starke 1. Auflage 2014. Taschenbuch. XIII, 286 S. Paperback ISBN 978 3 631 65738 6 Format (B x

Mehr

Kapitel 19. Das Lebesgue Maß σ Algebren und Maße

Kapitel 19. Das Lebesgue Maß σ Algebren und Maße Kapitel 19 Das Lebesgue Maß 19.1 σ Algebren und Maße 19.2 Das äußere Lebesgue Maß 19.3 Das Lebesgue Maß 19.4 Charakterisierungen des Lebesgue Maßes 19.5 Messbare Funktionen 19.1 σ Algebren und Maße Wir

Mehr

Meßbare Funktionen. Die angemessenen Abbildungen zwischen Meßräumen sind die meßbaren Funktionen.

Meßbare Funktionen. Die angemessenen Abbildungen zwischen Meßräumen sind die meßbaren Funktionen. Meßbare Funktionen Die angemessenen Abbildungen zwischen Meßräumen sind die meßbaren Funktionen. Definition. Seien (X, Ω 1 ) und (Y, Ω 2 ) Meßräume. Eine Abbildung f : X Y heißt Ω 1 -Ω 2 -meßbar oder kurz

Mehr

Mengen. Eigenschaften. Spezielle Mengen (1) Prominente Mengen. ! Mengenzugehörigkeit

Mengen. Eigenschaften. Spezielle Mengen (1) Prominente Mengen. ! Mengenzugehörigkeit Mengen! Definition (Intuitive Mengenlehre) Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer Anschauung zu einem wohldefinierten Ganzen. (Georg Cantor)! Notation 1. Aufzählung aller Elemente: {

Mehr

4. Vortrag - Garben. Ling Lin, Kristijan Cule Datum: 26. April 2009

4. Vortrag - Garben. Ling Lin, Kristijan Cule Datum: 26. April 2009 4. Vortrag - Garben Datum: 26. April 2009 1 Graduierte Ringe Definition 4.1.1. Eine k-algebra R heißt graduiert, wenn sie dargestellt werden kann als eine direkte Summe R = R n, wobei die R n als k-unterräume

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

Elemente der mengentheoretischen Topologie

Elemente der mengentheoretischen Topologie Elemente der mengentheoretischen Topologie Es hat sich herausgestellt, dass das Konzept des topologischen Raumes die geeignete Struktur darstellt für die in der Analysis fundamentalen Begriffe wie konvergente

Mehr

2. Symmetrische Gruppen

2. Symmetrische Gruppen 14 Andreas Gathmann 2 Symmetrische Gruppen Im letzten Kapitel haben wir Gruppen eingeführt und ihre elementaren Eigenschaften untersucht Wir wollen nun eine neue wichtige Klasse von Beispielen von Gruppen

Mehr

Die Erwartungen der Eltern an die weiterführende Schule beim Schulübertritt ihres Kindes von der Grundschule in die Sekundarstufe I

Die Erwartungen der Eltern an die weiterführende Schule beim Schulübertritt ihres Kindes von der Grundschule in die Sekundarstufe I Europäische Hochschulschriften / European University Studies / Publications Universitaires Européennes 1035 Die Erwartungen der Eltern an die weiterführende Schule beim Schulübertritt ihres Kindes von

Mehr

Aufgaben zur Verbandstheorie

Aufgaben zur Verbandstheorie TU Bergakademie Freiberg WS 2005/06 Institut für Diskrete Mathematik & Algebra Prof. Dr. Udo Hebisch Aufgaben zur Verbandstheorie 1. Für ein beliebiges n IN sei X n die Menge aller Teiler von n. Definiert

Mehr

Schulungspaket ISO 9001

Schulungspaket ISO 9001 Schulungspaket ISO 9001 PPT-Präsentationen Übungen Dokumentationsvorlagen Bearbeitet von Jens Harmeier 1. Auflage 2014. Onlineprodukt. ISBN 978 3 8111 6740 7 Wirtschaft > Management > Qualitätsmanagement

Mehr

Für unseren Gebrauch ist eine Menge bestimmt durch die in ihr enthaltenen Elemente. Ist M eine Menge, so ist ein beliebiges Objekt m wieder so ein

Für unseren Gebrauch ist eine Menge bestimmt durch die in ihr enthaltenen Elemente. Ist M eine Menge, so ist ein beliebiges Objekt m wieder so ein Mengen 1.2 9 1.2 Mengen 7 Der Begriff der Menge wurde am Ende des 19. Jahrhunderts von Georg Cantor wie folgt eingeführt. Definition (Cantor 1895) Eine Menge ist eine Zusammenfassung M von bestimmten,

Mehr

Lösungen zu Übungsblatt 9

Lösungen zu Übungsblatt 9 Analysis : Camillo de Lellis HS 007 Lösungen zu Übungsblatt 9 Lösung zu Aufgabe 1. Wir müssen einfach das Integral 16 (x + y d(x, y x +y 4 ausrechnen. Dies kann man einfach mittels Polarkoordinaten, da

Mehr

Die Roten Hefte / Ausbildung kompakt Bd 204. Tragbare Leitern. Bearbeitet von Thomas Zawadke

Die Roten Hefte / Ausbildung kompakt Bd 204. Tragbare Leitern. Bearbeitet von Thomas Zawadke Die Roten Hefte / Ausbildung kompakt Bd 204 Tragbare Leitern Bearbeitet von Thomas Zawadke 2., überarbeitete und erweiterte Auflage 2016. Taschenbuch. 155 S. Paperback ISBN 978 3 17 023272 3 Format (B

Mehr

aus der Bedingung/Annahme A folgt ein Widerspruch ), so ist A falsch!

aus der Bedingung/Annahme A folgt ein Widerspruch ), so ist A falsch! Bemerkungen: 1 Die Bedeutung von (und damit ) ist klar. wird oft, vor allem in Beweisen, auch als geschrieben (im Englischen: iff, if and only if). 2 Für zwei boolesche Aussagen A und B ist A B falsch

Mehr

Topologische Grundbegriffe I. 1 Offene und Abgeschlossene Mengen

Topologische Grundbegriffe I. 1 Offene und Abgeschlossene Mengen Topologische Grundbegriffe I Vortrag zum Proseminar Analysis, 26.04.2010 Nina Neidhardt und Simon Langer Im Folgenden soll gezeigt werden, dass topologische Konzepte, die uns schon für die Reellen Zahlen

Mehr

Vorlesung Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler. Universität Leipzig, WS 16/17

Vorlesung Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler. Universität Leipzig, WS 16/17 Vorlesung Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Universität Leipzig, WS 16/17 Prof. Dr. Bernd Kirchheim Mathematisches Institut kirchheim@math.uni-leipzig.de 1 / 1 Kapitel 1: Grundlagen 4 / 1 Kap.1

Mehr

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6 Inhaltsverzeichnis 1 Vorbemerkungen 1 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4 4 Laplace-Experimente 6 5 Hilfsmittel aus der Kombinatorik 7 1 Vorbemerkungen

Mehr

13 Auswahlaxiom und Zornsches Lemma

13 Auswahlaxiom und Zornsches Lemma 13 Auswahlaxiom und Zornsches Lemma Handout zur Funktionalanalysis I von H. Glöckner, 25.11.2008 Wichtige Teile der modernen Mathematik beruhen auf dem sogenannten Auswahlaxiom der Mengenlehre. Dieses

Mehr

3 Längenendliche Verbände. Dimension

3 Längenendliche Verbände. Dimension 3 Längenendliche Verbände. Dimension Unser Ziel ist es, projektive Geometrien endlicher Dimension durch Spezialisierung der betrachteten Verbände zu kennzeichnen. Dazu gehört sicher, dass es endliche viele

Mehr

2 Mengen, Abbildungen und Relationen

2 Mengen, Abbildungen und Relationen Vorlesung WS 08 09 Analysis 1 Dr. Siegfried Echterhoff 2 Mengen, Abbildungen und Relationen Definition 2.1 (Mengen von Cantor, 1845 1918) Eine Menge M ist eine Zusammenfassung von wohlbestimmten und wohl

Mehr

Lösungsmenge L I = {x R 3x + 5 = 9} = L II = {x R 3x = 4} = L III = { }

Lösungsmenge L I = {x R 3x + 5 = 9} = L II = {x R 3x = 4} = L III = { } Zur Einleitung: Lineare Gleichungssysteme Wir untersuchen zunächst mit Methoden, die Sie vermutlich aus der Schule kennen, explizit einige kleine lineare Gleichungssysteme. Das Gleichungssystem I wird

Mehr

Automatentheorie und Logik

Automatentheorie und Logik examen.press Automatentheorie und Logik Bearbeitet von Martin Hofmann, Martin Lange 1. Auflage 2011. Taschenbuch. x, 238 S. Paperback ISBN 978 3 642 18089 7 Format (B x L): 15,5 x 23,5 cm Gewicht: 386

Mehr