TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

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1 Prof. Dr. D. Castrigiano Dr. M. Prähofer Zentralübung 38. Einschränkung eines Maßes TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Mathematik für Physiker 4 (Analysis 3) W/ Wintersemester 2010/11 Lösungsblatt 7 ( ) Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum, d.h. A P(Ω) ist eine σ-algebra und µ ist ein Maß auf A. Sei X A, A X := {A A : A X} und µ X := µ AX. Man zeige: (a) A X = {A X : A A} ist σ-algebra von X. (b) (X, A X, µ X ) ist wieder ein Maßraum. (a) Zunächst: {A A : A X} = {A X : A A}. : Sei A A mit A X. Dann ist A X = A. : Sei B A. Dann ist auch B X A und B X X. A X, mit A A ist X \ A A und X \ A X, also auch X \ A A. Sei nun (A n ) eine paarweise disjunkte Folge von Mengen aus A X. Dann ist A n A und A n X. A X ist also eine σ-algebra. (b) µ( ) = 0 und µ bleibt auch auf A σ-additiv.

2 39. Das Zählmaß Sei Ω eine beliebige Menge. A Ω heißt ko-endlich (ko-abzählbar), wenn Ω \ A endlich (abzählbar) ist. Sei E := {{a} : a Ω}. Man zeige: (a) ρ(e) = Endl(Ω) := {A Ω : A < }. Wann ist ρ(e) = P(Ω)? (b) σ(e) = Zähl(Ω) := {A Ω : A oder Ω \ A ist abzählbar}. Wann ist σ(e) = P(Ω)? (c) µ(a) := A N 0 { } für A Ω ist ein Maß auf ρ(e), σ(e) und P(Ω). µ : P(Ω) [0, ] heißt Zählmaß auf Ω. (a) : Endl(Ω) ist ein Ring (enthält und mit A und B auch A B und A \ B). Da offenbar auch E Endl(Ω) folgt ρ(e) Fin(Ω), da ρ(e) der kleinste Ring mit dieser Eigenschaft ist. : Für a Ω ist {a} ρ(e), somit ist auch jede endliche Teilmenge A = {a 1,, a n } = {a 1 } {a n } Ω in ρ(e). D.h. ρ(e) Fin(Ω). Offenbar gilt ρ(e) = P(Ω) genau dann, wenn Ω eine endliche Menge ist. (b) : Zähl(Ω) ist eine σ-algebra (enthält und mit A auch Ω \ A. Sei nun (A n ) eine Folge in Zähl(Ω). Ist eines der A n ko-abzählbar, so ist auch A n koabzählbar. Sind alle A n abzählbar, so auch ihre Vereinigung, da die abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen wieder abzählbar ist. Da offenbar auch E Zähl(Ω) folgt σ(e) Zähl(Ω), da σ(e) die kleinste σ-algebra mit dieser Eigenschaft ist. : Für a Ω ist {a} σ(e), somit ist auch jede abzählbare Teilmenge von Ω in σ(e). Das Komplement einer ko-abzählbaren Teilmenge ist abzählbar, also sind auch die ko-abzählbaren Mengen in σ(e). Insgesamt σ(e) Fin(Ω). Offenbar gilt σ(e) = P(Ω) genau dann, wenn Ω eine abzählbare Menge ist. (c) µ( ) = 0. Sind A n ρ(e), n N paarweise disjunkt, so ist A n nur dann in ρ(e), wenn ( alle bis ) auf endlich viele A n gleich der leeren Menge sind. Dann ist aber offenbar µ A n = µ(a n ), da die Summe in Wahrheit endlich ist. Somit ist µ ρ(e) ein Maß auf ρ(e). ( ) Seien nun A n beliebige, paarweise disjunkte Teilmengen von N. Ist µ A n < ( ) so ist nichts mehr zu zeigen, siehe oben. Ist µ A n =, so führt die Annahme µ(a n ) < sofort auf einen Widerspruch. Somit ist µ auf P(Ω) und damit auch auf σ(e) σ-additiv, also ein Maß.

3 40. Nullmengen I (a) Ist B B d beschränkt, so gilt λ d (B) <. (b) Für α R, i 0 {1,..., d} ist H := {x R d : x i0 = α} eine λ d -Nullmenge. (a) Ist B B d beschränkt, so gibt es ein R > 0 mit B [ R, R[ d. Somit ist λ d (B) λ d ([ R, R[ d ) = (2R) d <. (b) H ist abgeschlossen, also in B d. Mit H n := H [ n, n[ d ist H n = H. Wegen der σ-subadditivität ist λ d (H) λ d (H n ) = 0, wenn noch λ d (H n ) = 0 gezeigt wird. Dazu sei n fest. Setze H nk := {x R d : α x i0 < α + 1 k }. Dies ist ein Quader mit H nk H n (d.h. H nk H n(k+1) und H n = H nk ). k N Also ist λ d (H n ) λ d (H nk ) = (2n) d 1 1 k 0 für k, d.h. λd (H n ) = 0

4 41. Maße auf abzählbaren Mengen (a) Die von den einelementigen Teilmengen von N erzeugte σ-algebra ist P(N). (b) Zu jeder Folge (p i ) i N, p i [0, ], gibt es genau ein Maß µ auf P(N) mit µ({i}) = p i. (c) Es gibt kein Lebesgue -Maß auf Q. (a) Zu zeigen ist nur σ({{1}, {2}, }) P(N). Dies ist aber offensichtlich, da für jedes M N gilt: M = {n}. n M (b) Sei µ ein Maß auf P(N) mit µ({i}) = p i. Dann ist wegen der σ-additivität für M N ( ) µ(m) = µ {n} = µ({i}) = p i. n M i M i M (c) Ein Lebesgue -Maß auf Q sollte mindestens die Länge von Intervallen [a, b[ Q, a, b R, messen können. Mit [q, q + 1 n [ muss also auch der abzählbare Schnitt für n N, also {q}, q Q messbar sein. Für ein translationsinvariantes Maß muss also λ({q}) = λ({0}) = p [0, ] gelten. Da jedes Intervall [a, b[ mit a < b unendlich viele rationale Zahlen enthält, gilt also λ([a, b[) = 0 und damit λ = 0, wenn p = 0, oder λ([a, b[) =, wenn p > 0. Dann ist λ = pµ mit dem Zählmaß µ auf Q.

5 42. ( ) Es gibt Mengen, die nicht Borel-messbar sind Sei Ṽ := {x + Q : x R}. Jedes X Ṽ ist also eine verschobene Kopie von Q, es gilt X [0, 1]. Unter Benutzung des Auswahlaxioms wählt man zu jedem X Ṽ genau ein x X X [0, 1]. Die Vitali-Menge ist V := {x X : X Ṽ }. Man zeige: V ist nicht Borel-messbar. Hinweis: Wikipedia, Satz von Vitali. Annahme: V ist Borel-messbar. Dann ist λ(v ) [0, 1]. Sei nun (q k ) eine bijektive Aufzählung von Q [ 1, 1], V k := V + q k. Die V k sind disjunkt, denn aus x V k und x V l folgt x q k V und x q l V. Es gibt also X, Y Ṽ mit x q k X und x q l Y. Wegen (x q k ) (x q l ) = q l q k Q folgt X = Y uns somit x q k = x q l, da V nur ein Element von X enthält. Es ist also q k = q l und damit k = l. Offensichtlich ist V k [ 1, 2]. k N Es gilt auch [0, 1] k N V k, denn sei x [0, 1]. Dann ist X := x + Q Ṽ und x X V. Es ist also x x X Q [ 1, 1], d.h. es gibt ein k N mit q k = x x X, bzw. x V k. Insgesamt also ( ) 1 λ V k = λ(v k ) = λ(v ) = 3 k N k N k N im Widerspruch zu 0 λ(v ) 1.

6 Hausaufgaben 43. (Bonus) -Stetigkeit Sei λ ein Inhalt auf einem Ring R P(Ω). In der Vorlesung wurde gezeigt, dass ein -stetiger Inhalt λ auf einem Ring R schon ein Maß ist. Man zeige: (a) Ist λ ein endliches Maß ( A R : λ(a) < ), dann ist λ -stetig (b) Es gibt ein nicht-endliches Maß, das nicht -stetig ist. Hinweis: Zählmaß. (a) Sei (B n ) R eine absteigende Folge von Mengen mit lim B n =. Dann ist λ(b n ) eine monoton fallende Folge. Es existiert also lim λ(b n) =: α 0. Wir setzen A n := B n \ B n+1. Die A n sind paarweise disjunkt und es gilt n 1 A k = B 1 \ B n. Für jeden Inhalt λ gilt λ(b 1 ) = λ(b n ) + λ(b 1 \ B n ) = λ(b n ) + λ ( n 1 k=1 k=1 ) n 1 A k = λ(b n ) + k=1 λ(a k ) Wegen der σ-additivität kann man den Limies n durchführen und erhält ( ) λ(b 1 ) = lim λ(b n) + λ(a k ) = lim λ(b n) + λ A k = lim λ(b n) + λ(b 1 ). k=1 Da λ(b 1 ) < folgt lim λ(b n ) = 0. (b) Obiger Beweis funktioniert also nicht, wenn es eine absteigende Folge (B n ) gibt mit B n =, für die λ(b n ) =. Ein Gegenbeispiel dafür ist der Ring P(N) mit dem Zählmaß µ und den Mengen B n = n + N 0. Ein anderes Gegenbeispiel ist der Ring der Borelmengen von R mit dem Lebesgue- Borel-Maß λ und den Mengen B n = [n, [.

7 44. Beispiele für σ-algebren und Maße Sei Ω eine beliebige Menge. (a) A = {, Ω} ist eine σ-algebra auf Ω. Geben Sie alle Maße auf A an. (b) Sei X Ω, A = σ({x}). Geben Sie alle normierten Maße auf A an (µ ist normiert, wenn µ(ω) = 1). (c) Geben Sie alle normierten Maße auf P n = P({1,..., n}), n N an. (d) Sei (A i ) i N eine Zerlegung von Ω, d.h., die A i sind paarweise disjunkt und Geben Sie alle normierten Maße auf σ({a i : i N}) an. i N A i = Ω. (a) A ist σ-algebra, da abgeschlossen bezüglich Komplementbildung und beliebiger Vereinigungen und ist enthalten. Für jedes Maß µ gilt: µ( ) = 0 und µ(ω) = M [0, ]. Dies ist auch schon ein Maß, da jede paarweise disjunkte Folge in A höchstens einmal ω enthalten kann. (b) A = {, X, Ω \ X, Ω}. µ( ) = 0 und µ(ω) = 1 ist festgelegt. Ist µ(x) = x [0, 1], so muss µ(ω \ X) = 1 x sein. (c) Zu jedem p [0, 1] n mit p 1 = n p i = 1 gibt es genau ein Maß µ mit µ({i}) = p i. Für J {1,..., n} ist dann µ(j) = i J p i. (d) Zu jedem p [0, 1] N mit p 1 = p i = 1 gibt es genau ein Maß µ mit µ({a i }) = p i. Für J N ist dann µ ( i J A ) i = p i. i J Ergänzung: Ausführlicher: Zunächst überzeugt man sich davon, dass mit A := { i J A i : J N } gilt: σ({a i : i N}) = A ( ist klar, gilt, da A eine σ-algebra ist, die die A i enthält). Sei nun µ ein beliebiges Maß auf A und p i := µ(a i ) [0, 1]. Dann gibt es zu jedem A A ein J N mit A = i J A i. Wegen der σ-additivität von µ ist also µ(a) = i J µ(a i ). Wegen der Normiertheit des Maßes ist 1 = µ(ω) = i N = p i. Umgekehrt definiert jedes p [0, 1] N mit p 1 = p i = 1 ein entsprechendes Maß µ auf A mittels µ(a) := µ(a i ) mit J N, so dass A = A i. i J i J

8 45. (Bonus) Monotone Konvergenz bei Mengen Sei A P(Ω) eine σ-algebra, µ ein Maß auf A und (A n ) A. Ist (A n ) aufsteigend, A n A n+1 für n N, und A = A n, so schreibt man A n A. Ist (A n ) absteigend, A n A n+1 für n N, und A = A n, so schreibt man A n A. Zeigen Sie A n A = µ(a n ) µ(a), A n A und µ(a 1 ) < = µ(a n ) µ(a). Ist (A n ) aufsteigend, so setzt man D 0 = A 1 und D n := A n+1 \ A n für n N. Die D n sind dann paarweise disjunkt und es gilt A n A := A n = D n für die Mengen und 0 0 µ(a n+1 ) = µ(a n ) + µ(d n ) für die Maße. Wegen der σ-additivität also µ(a) = µ = µ(d n ) = lim µ(a n). 0 0 D n Für (A n ) absteigend benutzen wir die -Stetigkeit auf der Einschränkung µ A1. A := A n ist als abzählbarer Schnitt wieder in A. Somit gilt für A n = A n \ A, dass lim A n =. Daher lim µ(a n) = lim µ(a n A) = lim µ(a n) + µ(a) = µ(a).

9 46. Nullmengen II (a) Für a R d ist λ d ({a}) = 0. (b) Ist A R d abzählbar, so ist λ d (A) = 0. (c) Sind a, b R d mit a b, so ist λ d (]a, b[) = λ d (]a, b]) = λ d ([a, b]) = d (b i a i ). (a) {a} B d, da abgeschlossen. Für A k := [(a 1,..., a d ), (a k,..., a d+ 1 k )[ gilt A k {a} und damit λ d 1 ({a}) = lim k λd (A k ) = lim k k d = 0 (b) A = {a} ist als abzählbare Vereinigung von Nullmengen wieder eine Nullmenge. a A (c) Wir wissen bis jetzt nur, dass λ d ([a, b[ = d (b i a i ). Sei a + 1 k := (a k,..., a n + 1 k ), k R \ {0}. Dann gilt [a + 1 k, b[ ]a, b[, also auch d λ d (]a, b[) = lim k λd ([a + 1 k, b[) = (b i a i ). Außerdem gilt [a, b + 1 k [ [a, b], also auch λd ([a, b]) = λ d ([a, b[). Wegen λ d (]a, b[) λ d (]a, b]) λ d ([a, b]) folgt die Behauptung.