Mathematik für Naturwissenschaftler
|
|
- Alexandra Winter
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Mathematik für Naturwissenschaftler Was Sie im Bachelor wirklich brauchen und in der Schule nicht lernen Bearbeitet von Norbert Herrmann 1. Auflage Taschenbuch. Paperback ISBN Format (B x L): 15,5 x 23,5 cm Gewicht: 456 g Weitere Fachgebiete > Mathematik > Mathematik Allgemein Zu Inhaltsverzeichnis schnell und portofrei erhältlich bei Die Online-Fachbuchhandlung beck-shop.de ist spezialisiert auf Fachbücher, insbesondere Recht, Steuern und Wirtschaft. Im Sortiment finden Sie alle Medien (Bücher, Zeitschriften, CDs, ebooks, etc.) aller Verlage. Ergänzt wird das Programm durch Services wie Neuerscheinungsdienst oder Zusammenstellungen von Büchern zu Sonderpreisen. Der Shop führt mehr als 8 Millionen Produkte.
2 2 Determinanten Übersicht 2.1 Erste einfache Erklärungen ElementareUmformungen In diesem Kapitel stellen wir einen Begriff vor, der uns gar nicht oft begegnen wird, der aber trotzdem seine Bedeutung hat. Wir kommen in Kapitel Differenzierbarkeit darauf zurück. Weil wir aber mit diesem Begriff nur sehr eingeschränkt arbeiten werden, stellen wir ihn auch nur in einer sehr abgespeckten Form vor. Wenn Sie mehr über dieses Gebiet erfahren wollen, schlagen Sie bitte in guten Mathematikbüchern nach. 2.1 Erste einfache Erklärungen Jeder quadratischen Matrix und nur diesen wird auf raffinierte Weise eine Zahl, ihre Determinante zugeordnet. Nur für (2 2)- und (3 3)-Matrizen wollen wir etwas genauer darauf eingehen. Definition 2.1 (Determinante einer (2 2)-Matrix) Sei a 11 a 12 R 2 2. (2.1) a 21 a 22 Dann heißt die reelle Zahl a 11 a 12 det(a) = A =det = a 11 a 22 a 12 a 21 (2.2) a 21 a 22 die Determinante von A. Dazu ein Beispiel. N. Herrmann, Mathematik für Naturwissenschaftler, DOI / _2, Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2012
3 24 2 Determinanten B = 2 3 = det(a) =( 2) ( 1) 3 ( 2) = = det(b) =1 2 ( 2) ( 1) = Eine ähnlich einfache Regel gibt es für (3 3)-Matrizen, und nur für solche. Sie ist nicht für größere Matrizen übertragbar. Definition 2.2 (Determinante einer (3 3)-Matrix) Sei A eine reelle (3 3)-Matrix: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23. a 31 a 32 a 33 Dann heißt det(a) = A (2.3) die Determinante von A. = a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 a 13 a 22 a 31 a 23 a 32 a 11 a 33 a 12 a 21 Das sieht schrecklich aus, aber dafür haben wir ja Sarrus, der uns eine einfache Merkregel spendiert hat. Satz 2.1 (Regel von Sarrus für (3 3)-Matrizen) a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 Abb. 2.1 Die Regel von Sarrus Wir schreiben die ersten beiden Zeilen unter die Matrix darunter. Dann folgen wir den Pfeilen. Jeder Pfeil trifft drei Einträge der Matrix. Diese werden jeweils miteinander multipliziert. Dann werden die Produkte, die zu Pfeilen von linksobennachrechtsuntengehören, addiert; die Produkte zu Pfeilen von rechts oben nach links unten werden subtrahiert. Vergleichen Sie das Ergebnis bitte mit der Definition (2.4), es ergibt sich genau dieser Ausdruck. Wir sollten noch einmal betonen, dass diese wunderschöne Regel nur für (3 3-Matrizen verwendet werden kann. Sie lässt sich nicht auf größere Matrizen verallgemeinern. Das bitte unbedingt im Gedächtnis behalten.
4 2.1 Erste einfache Erklärungen 25 Mit einem Beispiel wird es noch leichter. Sei dazu Dann rechnen wir mit Herrn Sarrus: det(a) = = = = 0 Abb. 2.2 Beispiel zur Regel von Sarrus Beim folgenden Beispiel lassen wir schon mal die Pfeile weg, damit das Bild einfacher ausschaut. Wenn Sie viel geübt haben, müssen Sie auch die beiden Zeilen nicht mehr darunter schreiben. Dann geht alles im Kopf det(a) = ( 2) 3 ( 4) =24 Dieses Beispiel gibt uns gleich einen Hinweis für spezielle Matrizen, der sehr nützlich sein wird. Satz 2.2 Ist A R n n eine obere (oder untere) Dreiecksmatrix, so ist det(a) das Produkt der Diagonalelemente.
5 26 2 Determinanten 2.2 Elementare Umformungen Diese Umformungen, die uns schon bei der Berechnung des Ranges einer Matrix geholfen haben, sind genau so gute Hilfsmittel zur Berechnung von Determinanten, aber Achtung, es gibt kleine Unterschiede. Satz 2.3 Sei A R n n eine quadratische Matrix. Dann gilt: 1. Vertauscht man zwei Zeilen oder zwei Spalten in A, so wird die Determinante mit 1 multipliziert, sie ändert also ihr Vorzeichen. 2. Multipliziert man eine Zeile oder eine Spalte mit a R, sowirddiedeterminante mit dieser Zahl multipliziert. Wird die gesamte Matrix mit einer Zahl a R multipliziert, so werden ja n Zeilen oder Spalten mit dieser Zahl multipliziert, und es ergibt sich: det(a A) =a n det(a) (2.4) 3. Addiert man das Vielfache einer Zeile bzw. Spalte zu einer anderen Zeile bzw. Spalte, so ändert sich die Determinante nicht. Gerade dieser 3. Punkt ist es, der sich prima verwenden lässt. Wir werden mit dieser Regel versuchen, eine gegebene Matrix auf Dreiecksgestalt zu überführen und dann mit Satz 2.2 ihre Determinante berechnen. A := / =: B Diese elementaren Umformungen, die wir oben durch Pfeile angedeutet haben, ändern die Determinante nicht. Daher erhalten wir:
6 2.2 Elementare Umformungen 27 det(a) =det(b) =1 1 4 ( 3) = 12. Damit haben wir ein wirklich praktikables Verfahren zur Berechnung von Determinanten auch größerer Matrizen kennen gelernt. Aber aufpassen, wirklich nur die Operation 3. durchführen, nicht zwischendurch mal, weil uns die Vorzeichen nicht passen, schnell mit ( 1) multiplizieren oder zwei Zeilen vertauschen. Der folgende Satz enthält einige Rechenregeln, die wertvolle Hilfen zur Berechnung von Determinanten liefern. Satz 2.4 Seien A, B R n n.danngilt: 1. Determinantenmultiplikationssatz: det(a B) =det(a) det(b), (2.5) det(a )=det(a), det(e) =1, (2.6) det(a) = 0 rg(a) = n, (2.7) die Zeilen bzw. Spalten bilden also ein linear unabhängiges System, det A = 0= det(a 1 )= 1 det(a). (2.8) In Übung 3, S. 22 haben wir nachgerechnet, dass die beiden Matrizen und B = invers zueinander sind, dass also A B = E ist. Wir berechnen jetzt det A und det B und prüfen den Determinantenmultiplikationssatz (2.5). Mit Sarrus erhalten wir: det(a) = 1 0 ( 3) ( 1) ( 2) ( 1) ( 3) ( 2) 1 = = 3
7 28 2 Determinanten Es folgt also det(b) = ( 2 3 )+( 2 3 ) ( 1 3 ) 2 3 +( 1 3 ) (4 3 ) ( 1 3 ) ( 1 3 ) = 1 27 ( 1 3 ) ( 1 3 ) 1 3 ( 2 3 ) (4 3 ) ( 2 3 ) [ ] = 9 27 det(a) det(b) =( 3) ( 9 27 )= =1=det(A B) =det(e) = in guter Übereinstimmung mit dem Determinantenmultiplikationssatz. Zum Schluss dieser ersten Erklärungen hier noch der Hinweis, dass man in Mathematikbüchern selbstverständlich eine sehr allgemeine Definition der Determinante einer (n n)-matrix findet. Dabei wird von den Permutationen der Zahlen 1,...,n Gebrauch gemacht. Wir wollen nur bemerken, dass es bekanntlich n! viele Permutationen dieser Zahlen gibt. Das ist eine rasant ansteigende Zahl. Man wird also schon für n =10Mühe haben, nach dieser Definition eine Determinante auszurechnen. Für n = 100 braucht man schon einen sehr großen Computer, und selbst die größten Computer werden streiken, wenn wir Matrizen für n = 1000 vor uns haben. Solche Dinger sind aber Anwendern heutzutage allgegenwärtig. Determinanten kann man da einfach vergessen. Wir merken uns: Eine Determinante ist eine schlichte reelle Zahl, die auf komplizierte Weise einer quadratischen Matrix zugeordnet wird.
8 2.2 Elementare Umformungen 29 Übung 3 1. Berechnen Sie von folgenden Matrizen jeweils ihre Determinante: , B = , C = Berechnen Sie mit elementaren Umformungen die Determinante folgender Matrix: 3. Verifizieren Sie an Hand der Matrix die Aussage det (A) =det(a ). 4. Verifizieren Sie an Hand der beiden Matrizen , B = den Determinantenmultipliktionssatz. 5. Zeigen Sie, dass für eine reguläre n n-matrix A gilt: det(a 1 )= 1 det(a) Ausführliche Lösungen:
9
Filme der Kindheit Kindheit im Film
Kinder- und Jugendkultur, -literatur und -medien 66 Filme der Kindheit Kindheit im Film Beispiele aus Skandinavien, Mittel- und Osteuropa Bearbeitet von Christine Gölz, Anja Tippner, Karin Hoff 1. Auflage
MehrDie Unternehmergesellschaft
Die Unternehmergesellschaft Recht, Besteuerung, Gestaltungspraxis Bearbeitet von Prof. Dr. Dr. hc. Michael Preißer, Gültan Acar 1. Auflage 2016. Buch. 300 S. Hardcover ISBN 978 3 7910 3445 4 Format (B
MehrGrundwissen Mathematik
Springer-Lehrbuch Grundwissen Mathematik Ein Vorkurs für Fachhochschule und Universität Bearbeitet von Jan van de Craats, Rob Bosch, Petra de Jong, Theo de Jong 1st Edition. 2010. Taschenbuch. x, 326 S.
MehrKapitel 4. Determinante. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 4 Determinante 1 / 24
Kapitel 4 Determinante Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 4 Determinante 1 / 24 Was ist eine Determinante? Wir wollen messen, ob n Vektoren im R n linear abhängig sind bzw. wie weit sie davon entfernt
MehrMathematik I Herbstsemester 2018 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.2 Determinanten
Mathematik I Herbstsemester 2018 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.2 Determinanten Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/ farkas 1 / 44 8. Lineare Algebra: 2. Determinanten Ein einführendes
MehrDas lineare Komplementaritätsproblem
Springer-Lehrbuch Das lineare Komplementaritätsproblem Eine Einführung Bearbeitet von Uwe Schäfer Auflage 28 Taschenbuch x Paperback ISBN 978 3 54 79734 Format (B x L): 5,5 x 23,5 cm Gewicht: 428 g Wirtschaft
MehrBauaufsichtliche Zulassungen - Teil IV: Gewässerschutz (BAZ IV)
Bauaufsichtliche Zulassungen - Teil IV: Gewässerschutz (BAZ IV) Amtliches Verzeichnis der allgemeinen bauaufsichtlichen Zulassungen für Bauprodukte und Bauarten nach Gegenstand und wesentlichem Inhalt
MehrMathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.2 Determinanten
Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.2 Determinanten www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/hs2014/other/mathematik1 BIOL Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/
MehrCopyright, Page 1 of 5 Die Determinante
wwwmathematik-netzde Copyright, Page 1 of 5 Die Determinante Determinanten sind ein äußerst wichtiges Instrument zur Untersuchung von Matrizen und linearen Abbildungen Außerhalb der linearen Algebra ist
Mehr8.2 Invertierbare Matrizen
38 8.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen
MehrVorkurs Mathematik. Ein Übungsbuch für Fachhochschulen. Bearbeitet von Michael Knorrenschild
Vorkurs Mathematik Ein Übungsbuch für Fachhochschulen Bearbeitet von Michael Knorrenschild 1. Auflage 2004. Buch. 176 S. Hardcover ISBN 978 3 446 22818 4 Format (B x L): 14,6 x 21,2 cm Gewicht: 259 g Weitere
MehrFunktionentheorie erkunden mit Maple
Springer-Lehrbuch Funktionentheorie erkunden mit Maple Bearbeitet von Wilhelm Forst, Dieter Hoffmann 1. Auflage 2012. Taschenbuch. xviii, 328 S. Paperback ISBN 978 3 642 29411 2 Format (B x L): 15,5 x
MehrHöhere Mathematik für Ingenieure Band II
Teubner-Ingenieurmathematik Höhere Mathematik für Ingenieure Band II Lineare Algebra Bearbeitet von Klemens Burg, Herbert Haf, Friedrich Wille, Andreas Meister 1. Auflage 2012. Taschenbuch. xvii, 417 S.
MehrMedizinische Statistik mit R und Excel
Springer-Lehrbuch Medizinische Statistik mit R und Excel Einführung in die RExcel- und R-Commander-Oberflächen zur statistischen Auswertung Bearbeitet von Rainer Muche, Stefanie Lanzinger, Michael Rau
MehrMehr Erfolg in Mathematik, Abitur: Analysis 1
Mehr Erfolg in... Mehr Erfolg in Mathematik, Abitur: Analysis 1 Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit, Exponential- und Logarithmusfunktionen Bearbeitet von Helmuth Preckur 1. Auflage 009. Taschenbuch. 160
MehrPages, Keynote und Numbers
Pages, Keynote und Numbers Die iwork-apps im Büro und unterwegs nutzen - Office-Apps mit Mac, iphone, ipad & icloud Bearbeitet von Gabi Brede, Horst-Dieter Radke 1. Auflage 2014. Taschenbuch. 326 S. Paperback
Mehr5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3. a 11 a 12 a 21 a 22. det(a) =a 11 a 22 a 12 a 21. a 11 a 21
5. Determinanten 5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3 Als Determinante der zweireihigen Matrix A = a 11 a 12 bezeichnet man die Zahl =a 11 a 22 a 12 a 21. Man verwendet auch die Bezeichnung = A = a 11
MehrDie Erwartungen der Eltern an die weiterführende Schule beim Schulübertritt ihres Kindes von der Grundschule in die Sekundarstufe I
Europäische Hochschulschriften / European University Studies / Publications Universitaires Européennes 1035 Die Erwartungen der Eltern an die weiterführende Schule beim Schulübertritt ihres Kindes von
MehrIngenieurmathematik mit MATLAB
Ingenieurmathematik mit MATLAB Algebra und Analysis für Ingenieure Bearbeitet von Dieter Schott 1. Auflage 2004. Buch. 520 S. Hardcover ISBN 978 3 446 22043 0 Format (B x L): 17,7 x 24,7 cm Gewicht: 1073
MehrPhysik-Manga. Mechanik. Bearbeitet von Hideo Nitta
Physik-Manga Mechanik Bearbeitet von Hideo Nitta 1. Auflage 2010. Taschenbuch. viii, 222 S. Paperback ISBN 978 3 8348 0982 7 Format (B x L): 17 x 24 cm Gewicht: 418 g Weitere Fachgebiete > Physik, Astronomie
MehrMathematik für Wirtschaftsingenieure
Mathematik für Wirtschaftsingenieure Lehr- und Übungsbuch Bearbeitet von Christopher Dietmaier 1. Auflage 005. Buch. 600 S. Hardcover ISBN 978 3 446 337 0 Format (B L): 17,6 4,6 cm Gewicht: 1196 g Weitere
Mehr1 Lineare Unabhängigkeit Äquivalente Definition Geometrische Interpretation Vektorräume und Basen 6
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik Dr. Thomas Zehrt Vektorräume und Rang einer Matrix Inhaltsverzeichnis Lineare Unabhängigkeit. Äquivalente Definition.............................
MehrMatrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme
Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme 1 Matrizen Definition 1. Eine Matrix A vom Typ m n (oder eine m n Matrix, A R m n oder A C m n ) ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n
MehrMathematische Probleme lösen mit Maple
Mathematische Probleme lösen mit Maple Ein Kurzeinstieg Bearbeitet von Thomas Westermann überarbeitet 2008. Buch. XII, 169 S. ISBN 978 3 540 77720 5 Format (B x L): 15,5 x 23,5 cm Weitere Fachgebiete >
Mehr9.2 Invertierbare Matrizen
34 9.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen
MehrVorkurs Mathematik. Ein Übungsbuch für Fachhochschulen. Bearbeitet von Michael Knorrenschild
Vorkurs Mathematik Ein Übungsbuch für Fachhochschulen Bearbeitet von Michael Knorrenschild 1. Auflage 2004. Buch. 176 S. Hardcover ISBN 978 3 446 22818 4 Format (B x L): 14,6 x 21,2 cm Gewicht: 259 g Weitere
MehrFitness-Training fürs Gesicht
Fitness-Training fürs Gesicht Gymnastik statt Lifting: So bleibt Ihre Haut schön und jung Bearbeitet von Heike Höfler 1. Auflage 2008. Taschenbuch. 228 S. Paperback ISBN 978 3 8304 3487 0 Format (B x L):
MehrMathe: sehr gut, 6. Klasse - Buch mit Download für phase-6
mentor sehr gut: Deutsch, Mathe, Englisch für die 5. - 8. Klasse Mathe: sehr gut,. Klasse - Buch mit Download für phase- Mit Download für phase- Bearbeitet von Uwe Fricke 1. Auflage 2009. Taschenbuch.
MehrMaß und Wahrscheinlichkeit
Springer-Lehrbuch Maß und Wahrscheinlichkeit Bearbeitet von Klaus D. Schmidt 1. Auflage 2011. Taschenbuch. xii, 484 S. Paperback ISBN 978 3 642 21025 9 Format (B x L): 15,5 x 23,5 cm Gewicht: 775 g Weitere
MehrDas Zebra-Buch zur Geometrie
Springer-Lehrbuch Das Zebra-Buch zur Geometrie Bearbeitet von Ferdinand Verhulst, Sebastian Walcher 1st Edition. 2010. Taschenbuch. xii, 296 S. Paperback ISBN 978 3 642 05247 7 Format (B x L): 15,5 x 23,5
MehrLeben mit dem Lymphödem
Leben mit dem Lymphödem Erfahrungen und praktische Tipps für Betroffene und Interessierte Bearbeitet von Kirsten Schade 1. Auflage 2016. Taschenbuch. 156 S. Paperback ISBN 978 3 7323 7614 8 Format (B x
MehrKompetenzorientierte Sexualerziehung
Kompetenzorientierte Sexualerziehung für die Grundschule einschl. Klassenstufe 5/6 (Beispiel Nordrhein-Westfalen) Bearbeitet von Rolf Pommerening 1. Auflage 2013. Taschenbuch. XII, 310 S. Paperback ISBN
MehrGrundlagen und Grundfragen der Inklusion
Grundlagen und Grundfragen der Inklusion Theorie und Praxis des inklusiven Unterrichts Bearbeitet von Anton Nuding, Monika Stanislowski 1. Auflage 2013. Taschenbuch. XII, 192 S. Paperback ISBN 978 3 8340
Mehr3 Determinanten, Eigenwerte, Normalformen
Determinanten, Eigenwerte, Normalformen.1 Determinanten Beispiel. Betrachte folgendes Parallelogramm in der Ebene R 2 : y (a + c, b + d) (c, d) (a, b) x Man rechnet leicht nach, dass die Fläche F dieses
MehrGeschichten vom Herrn Keuner
suhrkamp taschenbuch 4517 Geschichten vom Herrn Keuner Bearbeitet von Bertolt Brecht Originalausgabe 2014. Taschenbuch. 133 S. Paperback ISBN 978 3 518 46517 2 Format (B x L): 17 x 24 cm Gewicht: 472 g
MehrMathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010
Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010 Lektion 11 1. Juni 2010 Rechenregeln für Determinanten Satz 62. (Determinanten von Dreiecksmatrizen) Es sei A eine obere oder untere n n-dreiecksmatrix.
MehrBasiswissen Mathematik, Statistik und Operations Research für Wirtschaftswissenschaftler
Basiswissen Mathematik, Statistik und Operations Research für Wirtschaftswissenschaftler Bearbeitet von Gert Heinrich 5., korr. Aufl. 2013. Taschenbuch. XV, 399 S. Paperback ISBN 978 3 486 75491 9 Format
Mehr5.4 Basis, Lineare Abhängigkeit
die allgemeine Lösung des homogenen Systems. Wieder ist 2 0 L i = L h + 0 1 Wir fassen noch einmal zusammen: Ein homogenes lineares Gleichungssystem A x = 0 mit m Gleichungen und n Unbekannten hat n Rang(A)
MehrFachrechnen für die Feuerwehr
Die Roten Hefte e, Bd. 31 Fachrechnen für die Feuerwehr Bearbeitet von Kurt Klingsohr überarbeitet 2007. Taschenbuch. 145 S. Paperback ISBN 978 3 17 019903 3 Format (B x L): 10,5 x 14,8 cm Gewicht: 100
MehrTheodor Storm - Constanze Esmarch
Storm - Briefwechsel (StBw) 15 Theodor Storm - Constanze Esmarch Briefwechsel (1844-1846). Kritische Ausgabe. Bearbeitet von Regina Fasold 1. Auflage 2002. Buch. 1076 S. Hardcover ISBN 978 3 503 06147
MehrFerienkurs Mathematik für Physiker I Skript Teil 3 ( )
Ferienkurs Mathematik für Physiker I WS 2016/17 Ferienkurs Mathematik für Physiker I Skript Teil 3 (29032017) 1 Lineare Gleichungssysteme Oft hat man es in der Physik mit unbekannten Größen zu tun, für
MehrRettungsschwimmen. Lehrbuch. Bearbeitet von Die Wasserwacht des Bayerischen Roten Kreuzes
Rettungsschwimmen Lehrbuch Bearbeitet von Die Wasserwacht des Bayerischen Roten Kreuzes 2015 2015. Taschenbuch. ca. 256 S. Paperback ISBN 978 3 609 68945 6 Format (B x L): 14,8 x 21 cm Gewicht: 389 g Zu
MehrKompendium der ANALYSIS - Ein kompletter Bachelor-Kurs von Reellen Zahlen zu Partiellen Differentialgleichungen
Kompendium der ANALYSIS - Ein kompletter Bachelor-Kurs von Reellen Zahlen zu Partiellen Differentialgleichungen Band 2: Maß- und Integrationstheorie, Funktionentheorie, Funktionalanalysis, Partielle Differentialgleichungen
MehrWir stellen uns das Ziel, wesentliche Information über. Determinanten haben auch eine geometrische Bedeutung: Volumenbestimmung eines Parallelepipeds
39 Determinanten 391 Motivation Wir stellen uns das Ziel, wesentliche Information über die Invertierbarkeit einer n n-matrix das Lösungsverhalten zugehöriger linearer Gleichungssysteme möglichst kompakt
MehrLangenscheidt Training plus, Mathe 5. Klasse
Langenscheidt Training plus - Mathe Langenscheidt Training plus, Mathe 5. Klasse Bearbeitet von Uwe Fricke 1. Auflage 2013. Taschenbuch. ca. 128 S. Paperback ISBN 978 3 468 60072 2 Format (B x L): 17,1
MehrÜbungen zur Linearen Algebra, Kap. 1 bis Kap. 3
Übungen zur Linearen Algebra, Kap. bis Kap. 3. Gegeben seien die beiden Matrizen Berechnen Sie Lösungen zu Übung 6 3 4, B = ( 3 5 4 A B, B A, (A B, (B A Dies ist fast eine reine Rechenaufgabe. Wir wollen
Mehr8. Elemente der linearen Algebra 8.5 Quadratische Matrizen und Determinanten
Einheitsmatrix Die quadratische Einheitsmatrix I n M n,n ist definiert durch I n = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 (Auf der Hauptdiagonalen stehen Einsen, außerhalb Nullen Durch Ausmultiplizieren sieht man I n A = A
Mehr36 2 Lineare Algebra
6 Lineare Algebra Quadratische Matrizen a a n sei jetzt n m, A, a ij R, i, j,, n a n a nn Definition Eine quadratische Matrix A heißt invertierbar genau dann, wenn es eine quadratische Matrix B gibt, so
MehrJetzt lerne ich Buchstaben und schreiben (ab 5)
Jetzt lerne ich Buchstaben und schreiben (ab 5) Vorschule Bearbeitet von Ulrike Holzwarth-Raether, Ute Müller-Wolfangel, Gabie Hilgert, Stefanie Scharnberg 1. Auflage 2012. Taschenbuch. 24 S. Paperback
MehrMathematik zum Studieneinstieg
Springer-Lehrbuch Mathematik zum Studieneinstieg Grundwissen der Analysis für Wirtschaftswissenschaftler, Ingenieure, Naturwissenschaftler und Informatiker Bearbeitet von Gabriele Adams, Hermann-Josef
MehrKanban. Optimale Steuerung von Prozessen. Bearbeitet von Gerhard Geiger, Ekbert Hering, Rolf Kummer
Kanban Optimale Steuerung von Prozessen Bearbeitet von Gerhard Geiger, Ekbert Hering, Rolf Kummer 2., vollständig überarbeitete Auflage 2003. Taschenbuch. 128 S. Paperback ISBN 978 3 446 21894 9 Format
MehrElektrotechnik für Ingenieure 1
Elektrotechnik für Ingenieure 1 Gleichstromtechnik und Elektromagnetisches Feld. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium Bearbeitet von Wilfried Weißgerber 10. Auflage 2015. Buch. XIV, 439 S. Kartoniert
MehrOffice 2016 für Mac Das Profibuch
Edition SmartBooks Office 2016 für Mac Das Profibuch Mehr herausholen aus Word, Excel, PowerPoint, OneNote und Outlook Bearbeitet von Horst-Dieter Radke 1. Auflage 2015. Taschenbuch. XIV, 380 S. Paperback
MehrLieschen Radieschen und der Lämmergeier
Gulliver 1190 Lieschen Radieschen und der Lämmergeier Bearbeitet von Martin Auer, Axel Scheffler Neuausgabe 2010. Taschenbuch. 40 S. Paperback ISBN 978 3 407 74190 5 Format (B x L): 12,5 x 18,7 cm Gewicht:
MehrDie finanzpolitische Bedeutung des Sports in Deutschland
Die finanzpolitische Bedeutung des Sports in Deutschland Bearbeitet von Tim Pawlowski, Christoph Breuer 1. Auflage 2012. Taschenbuch. xix, 431 S. Paperback ISBN 978 3 658 00312 8 Format (B x L): 14,8 x
MehrLicht und Beleuchtung in der People- und Porträtfotografie
mitp Edition Profifoto Licht und Beleuchtung in der People- und Porträtfotografie Bearbeitet von Friedrun Reinhold 1. Auflage 2010. Taschenbuch. 240 S. Paperback ISBN 978 3 8266 5938 6 Format (B x L):
Mehr8.2 Invertierbare Matrizen
38 8.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen
MehrLehrbücher der Erziehungswissenschaft - ein Spiegel der Disziplin?
Klinkhardt forschung. Beiträge zur Theorie und Geschichte der Erziehungswissenschaft 38 Lehrbücher der Erziehungswissenschaft - ein Spiegel der Disziplin? Bearbeitet von Peter Kauder, Peter Vogel 1. Auflage
MehrGrundkurs Theoretische Physik 1
Springer-Lehrbuch Grundkurs Theoretische Physik 1 Klassische Mechanik Bearbeitet von Wolfgang Nolting 1. Auflage 2012. Taschenbuch. xiv, 504 S. Paperback ISBN 978 3 642 29936 0 Format (B x L): 16,8 x 24
MehrDIN EN ISO 9000:2000 ff. umsetzen
DIN EN ISO 9000:2000 ff. umsetzen Gestaltungshilfen zum Aufbau Ihres Qualitätsmanagementsystems Bearbeitet von Jörg-Peter Brauer 5. Auflage 2009. Taschenbuch. 128 S. Paperback ISBN 978 3 446 41608 6 Format
MehrBerechnungen in Excel
Berechnungen in Excel Zahlen, Formeln und Funktionen Bearbeitet von René Martin 2. Auflage 2001. Taschenbuch. 304 S. Paperback ISBN 978 3 446 21846 8 Format (B x L): 16,9 x 24,1 cm Gewicht: 582 g Zu Leseprobe
MehrAnwendungen der Linearen Algebra
Anwendungen der Linearen Algebra mit MATLAB Bearbeitet von Günter M. Gramlich 1. Auflage 2004. Buch. 179 S. Hardcover ISBN 978 3 446 22655 5 Format (B x L): 14,5 x 21 cm Gewicht: 265 g Weitere Fachgebiete
MehrMathematik-Arbeitsblätter für die 2. Klasse
Mathematik-Arbeitsblätter für die 2. Klasse Kopiervorlagen zum Buch»So lernen alle Kinder rechnen«bearbeitet von Christina Buchner 1. Auflage 2013. Taschenbuch. 128 S. Paperback ISBN 978 3 407 62875 6
MehrReligionspädagogik. Ein Arbeitsbuch. Bearbeitet von Prof. Dr. Frank Thomas Brinkmann
Religionspädagogik Ein Arbeitsbuch Bearbeitet von Prof. Dr. Frank Thomas Brinkmann 1. Auflage 2012. Taschenbuch. 296 S. Paperback ISBN 978 3 17 022214 4 Format (B x L): 15,5 x 23,1 cm Gewicht: 442 g Weitere
MehrZeitung als Zeichen. Identität und Mediennutzung nationaler Minderheiten in Deutschland. Bearbeitet von Swea Starke
Zeitung als Zeichen Identität und Mediennutzung nationaler Minderheiten in Deutschland Bearbeitet von Swea Starke 1. Auflage 2014. Taschenbuch. XIII, 286 S. Paperback ISBN 978 3 631 65738 6 Format (B x
Mehr4. Übungsblatt zur Mathematik II für Inf, WInf
Fachbereich Mathematik Prof Dr Streicher Dr Sergiy Nesenenko Pavol Safarik SS 010 11 15 Mai 4 Übungsblatt zur Mathematik II für Inf, WInf Gruppenübung Aufgabe G13 (Basistransformation) ( ) 15 05 Die lineare
MehrMathematik II Frühlingsemester 2015 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.3 Ergänzungen
Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kapitel 8: Lineare Algebra 83 Ergänzungen wwwmathethzch/education/bachelor/lectures/fs2015/other/mathematik2 biol Prof Dr Erich Walter Farkas http://wwwmathethzch/ farkas
MehrSocial Media in der Schule
Beltz Pocket 7 Social Media in der Schule Bearbeitet von Andreas Gohlke 1. Auflage 2012. Taschenbuch. 96 S. Paperback ISBN 978 3 407 62818 3 Gewicht: 81 g Weitere Fachgebiete > Pädagogik, Schulbuch, Sozialarbeit
MehrAufbaukurs Tank für Gefahrgutfahrer - Expertenpaket
Aufbaukurs Tank für Gefahrgutfahrer - Expertenpaket Schulung nach ADR 2015 - Teilnehmer- und Referentenunterlagen Bearbeitet von Klaus Ridder, Torsten Bütow 20. Auflage 2014 2014. Buch. 140 S. ISBN 978
MehrJetzt lerne ich erste Zahlen (ab 4)
Jetzt lerne ich erste Zahlen (ab 4) Kindergarten Bearbeitet von Ulrike Holzwarth-Raether, Ute Müller-Wolfangel, Gabie Hilgert, Stefanie Scharnberg 1. Auflage 2012. Taschenbuch. 24 S. Paperback ISBN 978
MehrEasy ISO 9001:2000 für kleine Unternehmen
Easy ISO 9001:2000 für kleine Unternehmen Bearbeitet von Alexander A.W. Scheibeler 3. Auflage 2002. Loseblatt. 400 S. ISBN 978 3 446 22074 4 Format (B x L): 1 x 1 cm Gewicht: 10 g Zu Leseprobe schnell
MehrMathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler - Klausur- und Übungsaufgaben
Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler - Klausur- und Übungsaufgaben 632 Aufgaben mit ausführlichen Lösungen zum Selbststudium und zur Prüfungsvorbereitung Bearbeitet von Lothar Papula 4.,
MehrMathematik 2 für Naturwissenschaften
Hans Walser Mathematik 2 für Naturwissenschaften Modul 212 Determinanten Hans Walser: Modul 212, Determinanten ii Modul 212 für die Lehrveranstaltung Mathematik 2 für Naturwissenschaften Sommer 2003 Probeausgabe
MehrLehrbuch der höheren Mathematik Teil I
Lehrbuch der höheren Mathematik Teil I Bearbeitet von Wladimir I. Smirnow 1. Auflage 1990. Buch. 449 S. Hardcover ISBN 978 3 8085 5574 3 Gewicht: 793 g Weitere Fachgebiete > Mathematik > Mathematik Allgemein
MehrAnwendungen der Linearen Algebra
Anwendungen der Linearen Algebra mit MATLAB Bearbeitet von Günter M. Gramlich 1. Auflage 4. Buch. 179 S. Hardcover ISBN 978 3 446 22655 5 Format (B x L): 14,5 x 21 cm Gewicht: 265 g Weitere Fachgebiete
MehrHybride Finanzierung im Internationalen Steuerrecht
Hybride Finanzierung im Internationalen Steuerrecht am Beispiel von Genussrechten Bearbeitet von Martin Alexander Six 2007 2007. Taschenbuch. 304 S. Paperback ISBN 978 3 7073 1209 6 Format (B x L): 15,5
MehrProjektleiter-Praxis
Xpert.press Projektleiter-Praxis Optimale Kommunikation und Kooperation in der Projektarbeit Bearbeitet von Jürgen Hansel, Gero Lomnitz Neuausgabe 2002. Buch. x, 171 S. Hardcover ISBN 978 3 540 44281 3
MehrOffice 2016 für Mac Das Profibuch
Edition SmartBooks Office 2016 für Mac Das Profibuch Mehr herausholen aus Word, Excel, PowerPoint, OneNote und Outlook Bearbeitet von Horst-Dieter Radke 1. Auflage 2015. Taschenbuch. XIV, 380 S. Paperback
MehrBasiswissen Zahlentheorie
Mathematik für das Lehramt Basiswissen Zahlentheorie Eine Einführung in Zahlen und Zahlbereiche Bearbeitet von Kristina Reiss, Gerald Schmieder Neuausgabe 2007. Taschenbuch. XVI, 477 S. Paperback ISBN
Mehrmitp/die kleinen Schwarzen XING Erfolgreich netzwerken im Beruf Bearbeitet von Frank Bärmann
mitp/die kleinen Schwarzen XING Erfolgreich netzwerken im Beruf Bearbeitet von Frank Bärmann 2014 2014. Taschenbuch. 266 S. Paperback ISBN 978 3 8266 8207 0 Format (B x L): 12,5 x 18,5 cm Gewicht: 248
MehrKettensägen im Feuerwehreinsatz
Die Roten Hefte e Nr. 72 Kettensägen im Feuerwehreinsatz Bearbeitet von Klaus Thrien erweitert, überarbeitet 2007. Taschenbuch. 197 S. Paperback ISBN 978 3 17 019128 0 Format (B x L): 10,5 x 14,8 cm Gewicht:
MehrDas Gesetzesverständnis Jesu im Lukasevangelium
Europäische Hochschulschriften / European University Studies / Publications Universitaires Européennes 939 Das Gesetzesverständnis Jesu im Lukasevangelium Bearbeitet von Chung-Yeon Kim 1. Auflage 2013.
MehrPOL-Leitsymptome Herz-Kreislauf-System
POL-Leitsymptome Herz-Kreislauf-System Bearbeitet von Berthold Block 1. Auflage 2006. Taschenbuch. 239 S. Paperback ISBN 978 3 13 142831 8 Format (B x L): 170 x 240 cm Weitere Fachgebiete > Medizin > Klinische
MehrFigur und Handlung im Märchen
Kinder- und Jugendkultur, -literatur und -medien 82 Figur und Handlung im Märchen Die «Kinder- und Hausmärchen» der Brüder Grimm im Licht der daoistischen Philosophie Bearbeitet von Liping Wang /??? 1.
MehrAdobe Photoshop Lightroom 5 für Einsteiger
Edition FotoHits Adobe Photoshop Lightroom 5 für Einsteiger Bilder verwalten und entwickeln Bearbeitet von Sam Jost 1. Auflage 2013. Taschenbuch. 256 S. Paperback ISBN 978 3 8266 9735 7 Format (B x L):
Mehr5.2 Rechnen mit Matrizen
52 Rechnen mit Matrizen 52 Rechnen mit Matrizen 97 Für Matrizen desselben Typs ist eine Addition erklärt, und zwar durch Addition jeweils entsprechender Einträge Sind genauer A = (a ij ) und B = (b ij
MehrMathematik für Ingenieure
Mathematik für Ingenieure Grundlagen - Anwendungen in Maple Bearbeitet von Ziya Sanal 3., vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage 2015. Buch mit CD-ROM. XII, 816 S. Kartoniert ISBN 978 3 658 10641
MehrOrganisation der Prüfung von Arbeitsmitteln
VDE-Schriftenreihe Normen verständlich 120 Organisation der Prüfung von Arbeitsmitteln Normgerechte, rechtssichere Prüfung elektrischer Geräte und Maschinen nach BetrSichV unter Beachtung von DIN VDE 0105,
MehrProfessionelle Kompetenz von Mathematiklehramtsstudierenden
Perspektiven der Mathematikdidaktik 4 Professionelle Kompetenz von Mathematiklehramtsstudierenden Eine Analyse der strukturellen Zusammenhänge Bearbeitet von Björn Schwarz 1. Auflage 2012. Taschenbuch.
MehrLehr- und Übungsbuch Mathematik für Informatiker
Lehr- und Übungsbuch Mathematik für Informatiker Lineare Algebra und Anwendungen Bearbeitet von Wolfgang Preuß, Günter Wenisch 1. Auflage 1996. Buch. 328 S. Hardcover ISBN 978 3 446 18702 3 Format (B x
MehrApple Watch im Einsatz
Edition SmartBooks Apple Watch im Einsatz Design Funktionen Apps Bearbeitet von Heiko Bichel 1. Auflage 2015. Taschenbuch. 192 S. Paperback ISBN 978 3 86490 298 7 Format (B x L): 14 x 21 cm Weitere Fachgebiete
Mehr»Ich bin doch auch zu etwas nütze«
Menschen und Kulturen 8»Ich bin doch auch zu etwas nütze«lebenswelten behinderter Menschen in Lima und Cajamarca (Peru) Bearbeitet von Petra J. Wagner 1. Auflage 2011. Buch. 343 S. Hardcover ISBN 978 3
Mehrtäglich einmal Scilab!
Mathematik 1 - Übungsblatt 7 täglich einmal Scilab! Aufgabe 1 (Definitionsformel für Determinanten) Determinanten quadratischer Matrizen sind skalare Größen (=einfache Zahlen im Gegensatz zu vektoriellen
MehrLeistungsbeurteilung nach dem TVöD
Leistungsbeurteilung nach dem TVöD Rechtssichere Einführung und praktische Anwendung mit sofort einsetzbaren Arbeitshilfen auf CD-ROM Bearbeitet von Elisabeth Schmidtke, Jens Walkowiak 1. Auflage 2006.
MehrNicht nur Klettern oder Urlaub!
Wissenschaftliche Beiträge aus dem Tectum-Verlag 14 Nicht nur Klettern oder Urlaub! Erlebnispädagogik im Lichte der Hirnforschung Bearbeitet von Björn Zielke 1. Auflage 2010. Taschenbuch. ca. 147 S. Paperback
MehrDie Welt der Primzahlen
Springer-Lehrbuch Die Welt der Primzahlen Geheimnisse und Rekorde Bearbeitet von Paulo Ribenboim, Wilfrid Keller, Jörg Richstein 1. Auflage 2006. Taschenbuch. XXIV, 356 S. Paperback ISBN 978 3 540 34283
MehrDie perfekte Feuerwehr-Rede Heft 30
Die perfekte Feuerwehr-Rede Heft 30 Musterreden für interne Anlässe und Auftritte in der Öffentlichkeit Bearbeitet von Martin Bernhard 2014 2014. Taschenbuch. 112 S. Paperback ISBN 978 3 609 61925 5 Format
Mehr6.2 Rechnen mit Matrizen
62 Rechnen mit Matrizen 62 Rechnen mit Matrizen 103 Für Matrizen desselben Typs ist eine Addition erklärt, und zwar durch Addition jeweils entsprechender Einträge Sind genauer A = (a ij ) und B = (b ij
Mehr