Diskrete Mathematik. Marcel Erné Fakultät für Mathematik und Physik

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1 Diskrete Mathematik Marcel Erné Fakultät für Mathematik und Physik Vorlesung für Studierende des Bachelor- und Master-Studienganges Mathematik Sommersemester Natürliche Zahlen und endliche Mengen 1

2 Inhaltsverzeichnis 0 Natürliche Zahlen und endliche Mengen Zählen, Induktion und Rekursion Endliche Mengen

3 0 Natürliche Zahlen und endliche Mengen 0.1 Zählen, Induktion und Rekursion Was ist eine natürliche Zahl? Obwohl man eine intuitive Vorstellung von Zahlen hat, bedarf es zur fundierten Begründung der Mathematik einer exakten Definition natürlicher Zahlen. John von Neumanns ebenso einfache wie geniale Antwort beruht auf einer rekursiven Definition der natürlichen Zahlen als gewisser Mengen, die aus der leeren Menge durch sukzessive Hinzunahme bestimmter Elemente entstehen: 0 := (die einzige Menge mit keinem Element) 1 := {0} (eine Menge mit genau einem Element) 2 := {0, 1} (eine Menge mit genau zwei Elementen) 3 := {0, 1, 2} (eine Menge mit genau drei Elementen) usw. Aber was ist genau mit und so weiter gemeint? Um dies zu präzisieren, definiert man für jede Menge x ihren Nachfolger x + := x {x} und versteht unter einer Nachfolgermenge eine Menge, die das Element 0 und mit x immer auch x + enthält. Die Existenz einer solchen Menge basiert auf dem sogenannten Unendlichkeitsaxiom, das aus den übrigen Mengenaxiomen (zur Sicherung der Konstruktion von Paarmengen, Vereinigungsmengen, Potenzmengen etc.) nicht abgeleitet werden kann. Der Durchschnitt aller Nachfolgermengen (zu dessen Bildung man mindestens eine solche Menge haben muss) ist dann die kleinste Nachfolgermenge. Sie wird mit N 0 bezeichnet. Ihre Elemente heißen natürliche Zahlen. Informale Schreibweise: N 0 = {0, 1, 2,...} Es gilt nun per definitionem das Prinzip der vollständigen Induktion I: Ist eine Aussage A(n) über natürliche Zahlen n für n = 0 richtig, und folgt aus A(n) stets A(n + ), so gilt A(n) für alle natürlichen Zahlen n. Das Induktionsprinzip muss in diesem System also weder bewiesen noch als Axiom gefordert werden! Anschaulich beschreibt es einen Domino-Effekt. Eine erste Anwendung des Induktionsprinzips ist Lemma 0.1 Für n N 0 folgt aus x n stets x n, d.h. jedes Element einer natürlichen Zahl ist auch echte Teilmenge dieser Zahl. Insbesondere gilt n n. 3

4 Beweis. Der Induktionsbeginn n=0 ist klar: Es gibt kein x und kein x. Aus x n + = n {n} folgt x n oder x = n, im ersten Fall also nach Induktionsannahme x n n +. Im zweiten Fall ist x = n n +, da sonst n n gelten müsste, was ebenfalls nach Induktionsannahme ausgeschlossen ist. Ebenso leicht sieht man: Lemma 0.2 Für m, n N 0 ist m n äquivalent zu m n. Beweis. Der Induktionsschritt geht so: Sei m n +. Ist m n, so folgt mittels Induktionsannahme m n n +, und im Falle m = n ist wieder m n +. Andernfalls wäre n m, also n m n +, was wegen n + = n {n} nicht geht. Die intuitiv geläufige und für die gesamte Mathematik grundlegende Ordnung auf den natürlichen Zahlen definiert man nun einfach als Teilmengenbeziehung! m < n m n, m n m n, m n n m. Wir wissen, dass die Teilmengenrelation auf beliebigen Mengensystemen eine Ordnung, d.h. reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist: (r) (t) (a) x x x y z x z x y x x = y Diese Inklusionsordnungen sind allerdings nur selten total, d.h. vielfach gilt weder x y noch y x. Anders bei natürlichen Zahlen: Satz 0.3 Für natürliche Zahlen m und n gilt genau eine der Beziehungen m < n, m = n, n < m. ist eine totale Ordnung auf N 0 und sogar eine Wohlordnung, d.h. jede nichtleere Teilmenge von N 0 hat ein kleinstes Element. Beweis. Hat eine Teilmenge M von N 0 kein kleinstes Element, so liegt 0 nicht in M (sonst wäre 0 das kleinste Element). Liegt kein m n in M, so auch n + nicht (sonst wäre n + das kleinste Element von M). Induktiv folgt, dass kein Element in M liegt, d.h. M ist leer. Wir haben soeben die Wohlgeordnetheit der natürlichen Zahlen aus dem Prinzip der vollständigen Induktion hergeleitet. Interessanterweise funktioniert es auch umgekehrt: Wir setzen A(0) sowie A(n) A(n + ) und die Wohlordnung von N 0 voraus. Wäre A(n) nicht für alle n N 0 richtig, so gäbe es ein kleinstes m, für das A(m) falsch ist. Dieses m kann nicht gleich 0 sein, also wäre es eine Nachfolgerzahl n +, und wegen n < m und der Minimalität von m wäre A(n) richtig, also auch A(n + ), ein Widerspruch. 4

5 Die Induktion kann statt bei 0 bei einer beliebigen natürlichen Zahl k starten, indem man N 0 durch N k := {n N 0 n k} ersetzt. Um eine Aussage A(n) für alle n N k aus den Voraussetzungen A(k) und A(n) A(n + ) herzuleiten, wendet man das Induktionsprinzip I auf die Aussage es gilt n < k oder A(n) an. Beispiel 0.4 Für n 5 gilt n 2 < 2 n. Obwohl die Aussage auch für n = 0 und n = 1 richtig ist, darf man die Induktion dort nicht beginnen, weil dann der Induktionsschluss versagt (es ist ja n 2 = 2 n für n = 2, 4 und n 2 > 2 n für n = 3). Jedoch ist 5 2 = 25 < 32 = 2 5 richtig, und aus n 2 < 2 n folgt für n 5: (n + ) 2 = (n + 1) 2 = n 2 + 2n + 1 < 2 n + 2 n = 2 n+1 = 2 n+, da 2n + 1 < 2 n sogar für n 3 gilt (was man seinerseits sofort durch Induktion verifiziert). Ein nützliches und scheinbar stärkeres Induktionsprinzip ist die folgende Variante, die entsteht, indem man das Induktionsprinzip I statt auf A(n) auf die Aussage A(m) gilt für alle m n anwendet (wie wir das oben im Beweis von 0.3 getan haben): Prinzip der vollständigen Induktion II: Folgt aus der Richtigkeit von A(m) für alle m < n stets auch A(n), so gilt A(n) für alle natürlichen Zahlen n. Beachten Sie, dass in der Voraussetzung der Induktionsanfang A(0) mit versteckt ist, weil es kein m N 0 mit m < 0 gibt! Ein berühmtes Beispiel für die Anwendung des Induktionsprinzips II ist der Beweis der eindeutigen Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen: Haben alle Zahlen m < n eine Primfaktorzerlegung, so auch n selbst, denn entweder ist n = 1 das leere Produkt, oder n ist eine Primzahl, oder n ist ein Produkt kleinerer Zahlen, die dann bereits eine Primfaktorzerlegung haben. Beim Beweis der Eindeutigkeit geht man ähnlich vor. Für die vorangehenden Beipiele braucht man selbstverständlich Addition, Multiplikation und Potenzierung natürlicher Zahlen. Axiomatisch führt man sie folgendermaßen rekursiv ein: m + 0 := m, m + n + := (m + n) +, m 0 = 0, m n + := m n + m, m 0 := 1, m n+ := m n m. Man kann dann die Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetze sowie die Potenzgesetze (m n) k = m k n k, k m+n = k m k n und (k m ) n = k m n allesamt induktiv beweisen, was wir dem Leser überlassen. Zu m, n N 0 mit m n gibt es genau ein k N 0 mit m+k = n (Induktion!), bezeichnet mit n m. 5

6 Wie bei den soeben gegebenen Definitionen geht es in vielen Problemstellungen der diskreten Mathematik darum, mit einer Rekursionsvorschrift eine Folge von Zahlen zu bestimmen. Dabei ist die Rekursion häufig evident, während die Angabe eine expliziten Formel schwer bis unmöglich sein kann. Auch wenn aus theoretischer Sicht explizite Formeln meist die Wunschkandidaten bleiben, erweist sich in vielen Fällen die Rekursion für die Bearbeitung mit dem Computer als erheblich schneller und einfacher. Wir schreiben ab jetzt n+1 statt n +. Beispiele 0.5 (Durch Rekursion definierte Folgen) (1) Aus der Rekursionsvorschrift F n+1 = c F n und einem Startwert F 0 gewinnt man die explizite Darstellung F n = c n F 0, die man mit Induktion beweisen kann. (2) Die Rekursion F n = n F n 1 liefert für F 0 = 1 die Fakultäten F n = n! = n k=1 k = 1... n. (3) Die Rekursion F n = F n 1 + F n 2 führt auf die Fibonacci-Folgen. Für die Startwerte F 0 = 0, F 1 = 1 bekommt man die explizite Binetsche Formel F n = 1 5 (Φ n ( Φ) n ), wobei Φ = 1 2 ( 5 + 1) der Goldene Schnitt ist. Diese Formel zu finden, erforderte Finesse, sie induktiv zu beweisen, ist Routine. (4) Die Rekursion F n = n 1 k=0 F k wird nach Einsetzen zu F n+1 = 2F n und führt daher auf F n = 2 n 1 F 0. (5) Die Rekursion F n = 2 + n 1 k=0 F k ergibt für F 0 = 3 die Folge der Fermatzahlen F n = 2 2n + 1. Deren Teilerfremdheit ist unmittelbar klar aus der Rekursion. Wieder stellt sich eine grundsätzliche Frage: Was ist eigentlich eine Rekursionsvorschrift? Und was garantiert, dass sie eine Lösung hat und diese eindeutig ist? Um solche Fragen zu beantworten, formulieren wir ohne Beweis den wichtigen Rekursionssatz in seiner allgemeinen Form. Für beliebige Mengen X und Y bezeichnet Y X die Menge der Abbildungen von X nach Y. Speziell ist X n für n N 0 die Menge der n-tupel mit Koeffizienten in X (wobei wir oft (x 1,..., x n ) statt (x 0,..., x n 1 schreiben), und X = {X n n N 0 } ist die Menge der endlichen Folgen in X. Hingegen ist X N0 die Menge der unendlichen Folgen in X. Lassen wir das Wort unendlich im Zusammenhang mit Folgen weg, meinen wir meist unendliche Folgen. Häufig schreibt man F n statt F (n). Mit dem Induktionsprinzip II kann man nun zeigen: Satz 0.6 (Rekursionssatz) Sei X eine Menge und R eine Funktion von X nach X. Dann existiert genau eine Folge F : N 0 X mit F n = R(F n ) für alle n N 0 (Rekursionsvorschrift). Dabei ist F n die Einschränkung von F auf die Menge n = {0,..., n 1}. Machen Sie sich in 0.5 jeweils klar, welche Funktion die Rekursion liefert. Bei den Fibonaccifolgen ist R( ) = F 0, R(x 0 ) = F 1, R(x 0,..., x n 1 ) = x n 1 + x n 2 (n>1). 6

7 0.2 Endliche Mengen Was ist eine endliche Menge? Wieder glaubt man, eine recht konkrete Vorstellung davon zu haben, was endlich bedeutet versucht man es aber zu erklären, verstrickt man sich leicht in undefinierte Begriffsbildungen oder Zirkelschlüsse. ( Eine Menge ist endlich, wenn sie endlich viele Elemente hat?) Es war die geniale Idee von Richard Dedekind (schon zu Ende des 19. Jahrhunderts), endliche Mengen durch die Eigenschaft zu charakterisieren, dass sie keine gleichmächtigen echten Teilmengen haben (d.h. keine Bijektion auf echte Teilmengen zulassen). So schön dieser von allen Zahlen freie Gedanke ist er hat einen kleinen Nachteil: Will man zum Beispiel zeigen, dass die Potenzmenge einer endlichen Menge wieder endlich ist, braucht man so schwere und unkonstruktive Geschütze wie das Auswahlaxiom. Es erweist sich daher als vorteilhaft, die Endlichkeit doch mittels natürlicher Zahlen zu definieren. Dazu ist es ganz wichtig, natürliche Zahlen als Mengen eingeführt zu haben. Wir setzen die Begriffe Relation, Funktion, Injektion, Surjektion und Bijektion als bekannt voraus. Das Bild einer Teilmenge Z von X unter einer Funktion F von X nach Y bezeichnen wir mit F [Z], das Urbild einer Menge W von Y mit F [W ]. Die Umkehrfunktion einer Bijektion F notieren wir als F oder F 1. Zwei Mengen X und Y heißen gleichmächtig, in Zeichen X Y, falls eine Bijektion zwischen X und Y existiert. Offenbar definiert dies eine Äquivalenzrelation auf jedem System von Mengen (da die Verknüpfung von Bijektionen und deren Umkehrfunktion wieder eine Bijektion ist). Um festzustellen, ob zwei Mengen gleichmächtig sind, braucht man sie also nicht beide abzuzählen, sondern lediglich ihre Elemente paarweise einander zuzuordnen. Wir sagen nun, eine Menge sei endlich, wenn sie gleichmächtig zu einer natürlichen Zahl n ist, was anschaulich bedeutet, dass man die Menge mit den endlich vielen Zahlen, die Elemente (!) von n sind, abzählen oder durchnummerieren kann. Von fundamentaler Bedeutung ist dabei: Lemma 0.7 Jede endliche Menge N ist zu genau einer natürlichen Zahl n gleichmächtig. Diese Zahl nennt man Kardinalität oder Mächtigkeit der Menge N und bezeichnet sie mit #N oder N. Man sagt auch, N habe n Elemente. Beweis. Wegen der Transitivität der Gleichmächtigkeitsrelation reicht es zu zeigen, dass zwei gleichmächtige natürliche Zahlen m und n schon gleich sind. Dies folgt aus der Vergleichbarkeit der natürlichen Zahlen (siehe 0.3) und der Dedekindschen Beschreibung der Endlichkeit: Satz 0.8 Eine endliche Menge ist zu keiner echten Teilmenge gleichmächtig. Beweis. Es genügt, die folgende Aussage durch Induktion zu beweisen: A(n): Ist M n N 0 und F : M n bijektiv, so ist M = n. n = 0 = hat keine echte Teilmenge. Sei nun N n + und G : N n + bijektiv. Das Urbild von n n + unter G sei m ; wir vertauschen es mit n, definieren also eine Bijektion (Transposition) 7

8 F : n + n + durch F (m) = n, F (n) = m, F (x) = x sonst. n n n m m n m 3 F G Nun ist die Urbildmenge M = F [N \ {m}] eine Teilmenge von n und vermöge der eingeschränkten Bijektion G F gleichmächtig zu n, da G F [M] = G[ N \{m}] = n + \ {n} = n. n + Nach Induktionsannahme ist dann M = n, und folglich N = F [M] {m} = F [n + ] = n +. Ein schlagkräftiges Hilfsmittel für viele kombinatorische Beweisführungen ist Satz 0.9 (Vergleichbarkeitssatz) Für je zwei endliche Mengen M, N gilt: (1) M N es gibt eine Injektion von M in N, (2) M N es gibt eine Surjektion von M auf N oder N ist leer, (3) M = N es gibt eine Bijektion von M auf N. Beweis. (1) Ist M = m und N = n, so gibt es Bijektionen F : M m und G : N n. Im Falle m n, d.h. m n, ist dann G F : M N eine wohldefinierte Injektion. Ist umgekehrt eine Injektion H : M N gegeben, so ist G H F : m n ebenfalls injektiv, und daraus folgt m n (sonst hätte man nach Satz 0.3 n m ; also wäre m zu einer echten Teilmenge von m gleichmächtig, im Widerspruch zu Satz 0.8). (2) Im Falle M N existiert nach (1) eine Injektion F : N M. Indem man G : M N durch G(x) := F (x) für x F [N] und sonst beliebig definiert, was für N sicher möglich ist, bekommt man eine Surjektion von M auf N. Umgekehrt ist im Falle N = natürlich N M ; hat man eine Surjektion G von M auf N, so definiert man eine Injektion von N nach M, indem man jedem Element von N ein Urbild bezüglich G zuordnet (wegen der Endlichkeit von N geht das ohne Auswahlaxiom). Mit (1) schließt man M N. (3) ergibt sich analog, folgt aber nicht unmittelbar aus (1) und (2)! In den Anwendungen bestimmt man die Elementezahl von M durch Angabe einer Bijektion auf eine Menge N, deren Elementezahl bekannt oder leichter zu bestimmen ist. Analog geht man bei Abschätzungen für Anzahlen vor. 8

9 Beispiel 0.10 Indem man jeder Teilmenge Y einer Menge X ihre charakteristische Funktion χ Y : X 2 mit χ Y (x) = 1 x Y zuordnet, erhält man eine Bijektion zwischen der Potenzmenge PX und der Menge 2 X aller Funktionen von X nach 2. Das sind im Falle X = n genau 2 n viele; somit hat auch PX genau 2 n Elemente (was man natürlich auch auf andere Weisen zeigen kann). In den nachfolgenden Formeln bedeutet M + N usw. disjunkte Vereinigung. Satz 0.11 (Mächtigkeitsformeln) Für endliche Mengen K, M, N, M 1,..., M n gilt: M + N = M + N, M M n = M M n, M N = M N, M 1... M n = M 1... M n, M N = M N, (M N) K = M K N K, K (M N) = (K M ) N, K M+N = K M K N, K (M +N) = (K M) + (K N). Im letzten Fall sind sogar die Mengen gleich, nicht nur ihre Kardinalitäten. Aus diesen Formeln erhält man die entsprechenden Regeln für natürliche Zahlen als Spezialfall. Ein weiteres sehr nützliches Prinzip der Kombinatorik ist die doppelte Summation. Es beruht auf der Vertauschbarkeit endlicher Doppelsummen, die induktiv aus dem Assoziativ- und Kommutativgesetz für die Addition folgt: Satz 0.12 (Vertauschungregel) Für endliche Mengen J, M und jede Funktion F : J M A in eine kommutative Halbgruppe A gilt: F jm. j J m M F jm = m M j J Insbesondere gilt für jede Relation R J M zwischen endlichen Mengen: jr = Rm = R, j J m M wobei jr = {m M j R m} und Rm = {j J j R m} gesetzt wird. Zum Beweis des zweiten Teils betrachtet man einfach die Koeffizienten F jm mit F jm = 1, falls j R m, und F jm = 0 sonst. Beispiel 0.13 Für die Anzahl der Teiler τ(n) der Zahl n und die mittlere Teilerzahl τ(n) = 1 n n m=1 τ(m) findet man durch doppelte Summation: nτ(n) = m n d m 1 = d n n d = n d n 1 d ε(n) mit 0 ε(n) n, also wegen ln(n) d n 1 d ln(n) + 1: τ(n) ln(n) 1. 9

10 Anhang 1. Die sieben elementaren Mengenoperationen Für Mengen X und Y ist X Y = {x x X oder x Y } die Vereinigung X Y = {x x X und x Y } der Durchschnitt X \ Y = {x x X und x Y } die Differenz X Y = (X \ Y ) (Y \ X) die symmetrische Differenz X + Y = {(0, x) x X} {(1, y) y Y } die (disjunkte) Summe X Y = {(x, y) x X und y Y } das (kartesische) Produkt X Y = {f f Funktion von Y nach X} die (kartesische) Potenz 2. Spezielle Mengen Bezeichnung Menge Elemente 0,, { } leere Menge keine 3. Mächtigkeiten 1 Einermenge {0} 0 2 Zweiermenge {0, 1} 0, 1 n {1, 2,...n} natürliche Zahlen von 1 bis n N {1, 2, 3...} natürliche Zahlen ohne 0 N 0 {0, 1, 2...} natürliche Zahlen ab 0 N n {n, n+1, n+2,...} natürliche Zahlen ab n Z {0, 1, 1, 2, 2...} ganze Zahlen Q { z n z Z, n N} rationale Zahlen (Brüche) R {z + k=1 d k2 k z Z, d k 2} reelle Zahlen (dyadisch) P {2, 3, 5, 7, 11,...} Primzahlen Eine Menge X heißt endlich, falls es eine natürliche Zahl n und eine Bijektion F : X n (genannt Abzählung von X) gibt. In diesem Fall ist n eindeutig bestimmt und heißt Mächtigkeit von X, in Symbolen: X = n. Elementare Rechenregeln für Mächtigkeiten X + Y = X + Y X Y = X Y X Y = X + Y X Y X \ Y = X X Y X Y = X + Y 2 X Y X Y = X Y 10

11 Literatur M. Aigner, Diskrete Mathematik, Vieweg, Wiesbaden 2004 (gut lesbare Auswahl wichtigen Grundlagen, mit Schwerpunkt auf Algorithmen) Th. Ihringer, Diskrete Mathematik, Heldermann Verlag, Berlin 2002 (mittlerer Umfang und Schwierigkeitsgrad) J. Matoušek und J. Nešetřil, Diskrete Mathematik, Springer-Verlag, Berlin 2001 (ausführliche und anschauliche Darstellung der Grundideen) R. P. Stanley, Enumerative Combinatorics, Volume 1 2, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 62, Cambridge University Press 1999 (umfassende, teilweise sehr anspruchsvolle Enzyklopädie mit einer riesigen Sammlung von Aufgaben und Literaturzitaten) A. Steger, Diskrete Strukturen, Band 1: Kombinatorik, Graphentheorie, Algebra, Springer-Verlag, Berlin 2007 (präzise Darstellung mit vielen Beispielen und Aufgaben) 11

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