2 Mengenlehre. Definition: Unter einer Menge M versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten (den Elementen) zu einem Ganzen.

Transkript

1 Mengenlehre 2 Mengenlehre Definition: Unter einer Menge M versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten (den Elementen) zu einem Ganzen. Üblicherweise werden Mengen mit Großbuchstaben bezeichnet. Die Elemente einer Menge werden durch Beistriche getrennt zwischen zwei geschwungenen Klammern angeführt. Gleiche Elemente werden dabei nur einmal angeschrieben. Beispiel 2.01: M 1,2,3,4,5 Mengen kann man im aufzählenden Verfahren angeben (siehe Beispiel oben) oder im beschreibenden Verfahren. Beispiel 2.02: S 5 10 Sprachliche Übersetzung: S ist die Menge aller Elemente aus der Menge der natürlichen Zahlen, für die gilt: 5 ist kleiner oder gleich und ist kleiner als 10. Im aufzählenden Verfahren: S 5,6,7,8,9 Man kann sagen: 6 S 6 ist ein Element der Menge S 10 S 10 ist kein Element der Menge S." Eine Menge, die kein Element besitzt, heißt leere Menge. mathematisches Symbol:. Verknüpfungen von Mengen: Gleichheit von Mengen: Gehören alle Elemente einer Menge A auch zur Menge B und umgekehrt, dann sind die beiden Mengen gleich. mathematische Schreibweise: A B x A x B Beispiel 2.03: A 5,4,3 B 2 y 6 A und B enthalten dieselben Elemente, daher gilt: A B. Teilmenge: Eine Menge A ist dann eine Teilmenge der Menge M, wenn jedes Element der Menge A auch in der Menge M enthalten ist. mathematische Schreibweise: A M A M Bei A M gibt es in der Menge M noch mindestens ein Element, das nicht in der Menge A liegt. A ist somit eine echte Teilmenge von M mathematische Schreibweise: 9

2 Berufsreifeprüfung Mathematik Beispiel 2.04: A 1,5,8 M 1,5,8,25,101 A M Obermenge: A M M A M ist eine echte Obermenge von A Es gilt: Die leere Menge ist Teilmenge einer jeden Menge, Durchschnittsmenge: Sucht man die gemeinsamen Elemente von zwei Mengen A und B, dann erhält man den Durchschnitt der zwei Mengen. mathematische Schreibweise: A B A B Beispiel 2.05: A 1,2,3,4 B 3,4,5,6,7 A B 3,4 Ist die Durchschnittsmenge die leere Menge, so nennt man die beiden Mengen elementefremd oder disjunkt. Für den Durchschnitt von zwei Mengen gelten folgende Gesetze: A B B A A B C A B C A B C A Kommutatives Gesetz Assoziatives Gesetz Vereinigungsmenge: Werden alle Elemente der Menge A und alle Elemente der Menge B in eine gemeinsame Menge gegeben, dann spricht man von der Vereinigung der Mengen A und B. mathematische Schreibweise: A B A B 10

3 Mengenlehre Beispiel 2.06: A 1,2,3,4 B 3,4,5,6,7 A B 1,2,3,4,5,6,7 Für die Vereinigung von zwei Mengen A und B gelten folgende Gesetze: A B B A A B C A B C A B C A A Kommutatives Gesetz Assoziatives Gesetz Differenzmenge: Nimmt man nur jene Elemente aus der Menge A, welche nicht in B enthalten sind, dann spricht man von der Differenz der Mengen A und B mathematische Schreibweise: A\B A B Beispiel 2.07: A 1,2,3,4 B 3,4,5,6,7 A\B 1,2 Für die Differenz von zwei Mengen A und B gilt das kommutative Gesetz nicht: A\B B\A Komplementärmenge: Bildet man die Differenzmenge einer Grundmenge G und ihrer Teilmenge A, dann erhält man die Komplementärmenge von A in Bezug auf G. mathematische Schreibweise: A G G\A G A Produktmenge: Bildet man die Menge aller geordneten Paare,, wobei ein Element der Menge A und ein Element der Menge B ist, so spricht man von der Produktmenge. mathematische Schreibweise: A x B, A B Beispiel 2.08: A,,, B 1,2 A B,1,,2,,1,,2,,1,,2 Jede Produktmenge kann auch in einem Koordinatensystem dargestellt werden. Dabei trägt man die Elemente der Menge A auf der -Achse, jene der Menge B auf der -Achse auf. Beachten Sie: Bei geordneten Paaren, ist die Reihenfolge wichtig! 11

4 Berufsreifeprüfung Mathematik nennt man erste Koordinate, nennt man zweite Koordinate. Für die Produktmenge A B gilt das kommutative Gesetz nicht: A B B A. Übung 2.01 Schreiben Sie folgende Mengen im aufzählenden Verfahren an: (A) a) A 7 4 b) B 3 6 c) C 3 5 d) D 5 1 e) E 4 f) F ² 25 g) G 3 h) H 3 ² 37 i) I 3 ² 37 j) J 2 6 Übung 2.02 Geben Sie folgende Mengen im beschreibenden Verfahren an: (A) a) A 2,3,4 b) B 4,5,6, c) C 2, 1,0,1 d) D, 2, 1,0 e) E 4, 3, 2 f) F 1,0,1,2 Übung 2.03 Begründen Sie, ob A eine Teilmenge von B ist. (D) a) A 3,4,5, B 3,4,5,6 b) A 2,3, B 1 4 c) A 4, B 6 d) A 3,4,5,6, B 3 7 e) A 3, B f) A 5, B

5 Mengenlehre Übung 2.04 Geben Sie die Durchschnittsmenge, die Vereinigungsmenge und die Differenzmengen A\B und B\A an. (A) a) A 3,4,5, B 1,2,3 b) A 5,6,7, B 1,0 c) A 7,8,9, B 5,6 d) A 1,0,1,2,3, B 2, 1,0,1 e) A 2, 1,0,1, B f) A 2,3,4,5,6, B 3,4 g) A x x 2, B 1,0,1 h) A x x 4, B x 2 x 2 Übung 2.05 Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind und schreiben Sie Ihre Entscheidung an (w/f). (C) a) 3 5 b) 0 c) 4 6 d) 43,34 34,43 e) x x 0 f) g) 4,5 3,5,4,6 h) i) 3,4,5 5,4,3 Übung 2.06 Zeichnen Sie, wenn möglich, in die dargestellten Mengendiagramme (Venn-Diagramme) die Mengen A B, A B, A\B sowie B\A ein. (B) a) b) c) Übung 2.07 Geben Sie die Eigenschaften der folgenden Mengen beschreibend an. (A) a) D E b) F\R c) K L Übung 2.08 Gegeben sind die Mengen A,B und C. A 4 16, B ist die Menge aller durch 3 teilbaren Zahlen von 6 bis 21. C 4, Überprüfen Sie anhand der gegebenen Mengen, ob die folgende Gleichung für diese Mengen gültig ist: (A) (B) (D) A\ B C A B \ A C 13

6 Berufsreifeprüfung Mathematik Übung 2.09 Gegeben sind die Mengen F,G und H. F 10,12,14,16,18,20,22 G H 3 Erstellen Sie ein Venn-Diagramm für die folgende Menge: (A) F\G H Übung 2.10 Von den 958 Schüler/innen einer Schule betreiben viele regelmäßig Sport. 319 Schüler/innen spielen regelmäßig Tennis, 810 gehen regelmäßig schwimmen. Nur 98 geben an, weder Tennis zu spielen noch schwimmen zu gehen. Berechnen Sie, wie viele Schüler/innen beide Sportarten regelmäßig betreiben. (B) Dokumentieren Sie die Rechenschritte. (C) 14