Logik und Mengen. Jörg Frochte und Markus Lemmen

Transkript

1 Logik und Mengen Jörg Frochte und Markus Lemmen FB Elektrotechnik und Informatik Hochschule Bochum - University of Applied Sciences - Campus Velbert-Heiligenhaus (CVH) Grundlagen der Mathematik Jörg Frochte und Markus Lemmen (CVH) Logik und Mengen Grundlagen der Mathematik 1 / 29

2 Grundbegriffe der klassischen Logik Aussagen Die klassische Logik befasst sich mit Aussagen. Eine Aussage kann z.b. als sprachliches Konstrukt oder in Form einer Formelschreibweise vorliegen und man ist in der Lage dieser Aussage entweder den Wahrheitswert wahr oder falsch zuzuweisen. Beispiel: Auf der A40 war heute Stau. Dieser Aussage können Sie abhängig vom Verkehrsbericht den Wahrheitswert wahr oder falsch zuweisen. Jörg Frochte und Markus Lemmen (CVH) Logik und Mengen Grundlagen der Mathematik 2 / 29

3 Grundbegriffe der klassischen Logik Aussagen In der Mathematik kommen Aussagen oft in Form von Gleichungen vor. Beispiel: 4 = 2 ist eine wahre Aussage. Jedoch ist 4 keine Aussage, sondern lediglich ein Ausdruck oder besser ein Term. Durch die Verknüpfung von Aussagen entstehen neue Aussagen, deren Wahrheitsgehalt sich aus dem der einzelnen Aussagen ableiten lässt. Beispiel: Auf der A40 war heute Stau und ich bin zu spät gekommen. Das Wort und verknüpft die beiden Aussagen zu einer Aussage, die nur dann wahr ist, wenn beide Aussagen wahr sind. Jörg Frochte und Markus Lemmen (CVH) Logik und Mengen Grundlagen der Mathematik 3 / 29

4 Grundbegriffe der klassischen Logik Anwendung Das Wissen über Aussagen und logische Verknüpfungen ist die Grundlage vieler technischer Anwendungen, wie Logikgatter oder einfachen if-abfragen in diversen Programmiersprachen. Beispiel: if ( (a == 42) && (b<0) ) { /* Anweisungen */ } && nimmt hier die Rolle des Wortes und ein. Die Anweisungen werden nur ausgeführt, wenn beide Aussagen wahr sind. Jörg Frochte und Markus Lemmen (CVH) Logik und Mengen Grundlagen der Mathematik 4 / 29

5 Grundbegriffe der klassischen Logik Anwendung Es gibt folgende elementare Verknüpfungen zwischen Aussagen Deutsch Mathematisch C,C++,Java MATLAB und && oder & oder oder nicht! ~ Der Effekt der Operatoren & und & & bzw. und unterscheidet sich im Detail von Sprache zu Sprache. Daneben finden Sie noch oft XOR, welches nicht zu den elementaren Verknüpfungen gehört. Sie können dieses entweder oder leicht durch die anderen Verknüpfungen nachbauen (s. Übungszettel). Aussagen (mathematisch) auf ihren Wahrheitsgehalt und ihre Struktur zu überprüfen, kann sowohl spannend als auch aufwendig sein, ist aber im Folgenden nicht unser Fokus. Das obige Grundwissen soll zunächst genügen. Jörg Frochte und Markus Lemmen (CVH) Logik und Mengen Grundlagen der Mathematik 5 / 29

6 Grundbegriffe der klassischen Logik Implikationen Aussagen können nicht nur verknüpft werden, es kann auch von einer auf die andere logisch geschlossen werden. Beispiel: Wenn heute ein Feiertag ist, wird der Briefträger nicht kommen. }{{}}{{} p q In der Mathematik notiert man kurz und prägnant p q. Allgemein wird das oft kurz als aus p folgt q zusammengefasst und der Pfeil entsprechend als Folgerungspfeil bezeichnet. Um die logischen Schlussfolgerungen zu begreifen, empfiehlt es sich das als p ist hinreichend für q, q ist notwendig für p zu lesen. Jörg Frochte und Markus Lemmen (CVH) Logik und Mengen Grundlagen der Mathematik 6 / 29

7 Grundbegriffe der klassischen Logik Notwending vs. Hinreichend Nehmen wir an, Sie stehen vor einer Haustür, an der Folgendes steht: Beispiel: Hunde die bellen, beißen nicht. Unser Hund bellt nicht! Würden Sie eintreten? Um ehrlich zu sein, bringt Sie dieses Schild logisch betrachtet in ihrer Entscheidungsfindung keinen Schritt weiter. Ziehen Sie jedoch einfach rein menschlich die Intention des Autors in Betracht... bleiben Sie besser draußen. Jörg Frochte und Markus Lemmen (CVH) Logik und Mengen Grundlagen der Mathematik 7 / 29

8 Grundbegriffe der klassischen Logik Notwending vs. Hinreichend Hunde } die {{ bellen }, beißen }{{ nicht. } p q Unser Hund bellt nicht! }{{} p Wir haben also p q und p. Das ist allerdings nicht hilfreich, da hier p negiert wird. Kennen wir den Wahrheitswert von p nicht, so können wir nicht durch p auf q schließen, aber das heißt nicht, dass q nicht wahr ist. Vielleicht bellt der Hund nicht, aber trifft vielleicht diese Aussage auf ihn zu? Hunde die keine Zähne haben, beißen nicht. Jörg Frochte und Markus Lemmen (CVH) Logik und Mengen Grundlagen der Mathematik 8 / 29

9 Grundbegriffe der klassischen Logik Notwending vs. Hinreichend Kommen wir zurück zu notwendig und hinreichend. Als mathematisch Gebildeter 1 weiß man, dass folgende Definition gilt: Definition (Trapez) In der Geometrie ist ein Trapez ein Viereck mit mindestens zwei parallel zueinander liegenden Seiten. Daher ist die Aussage p Die Figur ist ein Rechteck hinreichend für Die Figur ist ein Trapez (q). Also p q. Selbstverständlich ist p nicht notwendig für q. Es gibt ja durchaus Trapeze, die keine Rechtecke sind. q ist aber notwendig für p. Wenn die Figur noch nicht einmal ein Trapez ist, ist sie bestimmt kein Rechteck. 1 im Gegensatz zu Wer-wird-Millionär und dem Brockhaus von 1996 Jörg Frochte und Markus Lemmen (CVH) Logik und Mengen Grundlagen der Mathematik 9 / 29

10 Grundbegriffe der klassischen Logik Notwending vs. Hinreichend p q. Der Umstand, dass q notwendig ist für p, wird öfter benutzt als man glaubt. Es dient oft zum Vorsortieren. Warum? Machen wir uns einmal die Aussage von notwendig analog zu dem Schluss oben klar: q p. Beispiel: Ein Löwe ist ein Tier mir vier Beinen. Tier == Löwe Tier hat vier Beine. Tier hat nicht vier Beine Tier!= Löwe Jörg Frochte und Markus Lemmen (CVH) Logik und Mengen Grundlagen der Mathematik 10 / 29

11 Grundbegriffe der klassischen Logik Notwending vs. Hinreichend Mit dem Doppelpfeil werden zwei Aussagen p und q verbunden, wenn gilt: p q: p ist notwendig und hinreichend für q. Der Zusammenhang kann auch gelesen werden als p ist genau dann wahr, wenn q wahr ist. p genau dann wenn q. p ist dann und nur dann wahr, wenn q wahr ist. Hierbei wird nur eine Aussage über den Zusammenhang zwischen den beiden Aussagen getroffen, nämlich dass sie zueinander äquivalent, also gleichwertig, sind. Allein aus p q kann man weder auf den Wahrheitsgehalt von p noch von q schließen. Beispiel: Heute ist genau dann Freitag, wenn morgen Samstag ist. Jörg Frochte und Markus Lemmen (CVH) Logik und Mengen Grundlagen der Mathematik 11 / 29

12 Grundbegriffe der klassischen Logik Notwending vs. Hinreichend Beispiele: x = 2 x 2 = 4 aber x 2 = 4 x = 2 y = x f (x) = f (y), wobei f eine Funktion ist y = x f (x) = f (y), wobei f eine streng monoton steigende Funktion ist Tipp: Weniger ist hier sicherer Sie müssen in der Lage sein diese Implikationen zu lesen und sie in neuen Kontexten zu beurteilen. Wenn Sie darin noch keine Übung haben, benutzen Sie die Implikationspfeile spärlich. Das bedeutet, wenn Sie in Ihrer Argumentation nur vorwärts schließen wollen, benutzen Sie auch nur. Das ist auch dann richtig, wenn darüber hinaus gilt. Machen Sie einfach einen Äquivalenzpfeil und diese Äquivalenz ist nicht gegeben, dann haben Sie einen Fehler gemacht, der in mehr als einer Hinsicht nicht nötig war. Jörg Frochte und Markus Lemmen (CVH) Logik und Mengen Grundlagen der Mathematik 12 / 29

13 Cantors Definition der Menge Die naive Prägung des Begriffes der Menge geht auf Georg Cantor zurück. Von ihm stammt die Formulierung: Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens - welche die Elemente der Menge genannt werden - zu einem Ganzen. Man erkennt, dass Cantor hier keine formale Definition vornimmt oder Axiome ( mathematische Glaubenssätze ) formuliert. Die moderne Mengenlehre basiert hingegen auf Axiomensystemen, uns reicht jedoch ein intuitives Verständnis von Mengen im Sinne Cantors völlig aus. Georg Cantor ( ) Deutscher Mathematiker Jörg Frochte und Markus Lemmen (CVH) Logik und Mengen Grundlagen der Mathematik 13 / 29

14 Motivation HTML-Farben Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens - welche die Elemente der Menge genannt werden - zu einem Ganzen. Nach dieser Definition kann so ziemlich alles zu einer Menge zusammengefasst werden. Notiert wird dies im Allgemeinen mit geschweiften Klammern (Mengenklammern). Beispiel HTML-Farbpalette VGA-Farbpalette = { black, grey, maroon, red, green, lime, olive, yellow, navy, blue, purple, fuchsia, teal, aqua, silver, white } Eine Menge besteht aus ihren Elementen; kennt man alle Elemente der Menge, so kennt man die Menge an sich. Jörg Frochte und Markus Lemmen (CVH) Logik und Mengen Grundlagen der Mathematik 14 / 29

15 Schreibweisen Neben der Mengenklammer ist das Element-Symbol von großer Bedeutung. Ist M eine Menge und x ein Element von M so schreibt man x M. Für die Negation dieser Aussage, also z.b. y ist kein Element der Menge M, schreibt man y M. Jörg Frochte und Markus Lemmen (CVH) Logik und Mengen Grundlagen der Mathematik 15 / 29

16 Schreibweisen Man kann eine Menge einfach definieren. Die Elemente haben dann vielleicht nichts gemeinsam außer Mitglied in dieser Menge zu sein. Beispiel: M 1 := { Feuer, Banane, Rot } Dies ist jedoch eher selten. Im Allgemeinen gruppiert man in einer Menge Elemente, die eine Eigenschaft gemeinsam haben. Dazu muss man diese Elemente nicht alle aufzählen, sondern kann die Eigenschaft angeben. Beispiel: M := {x N x ist durch 2 teilbar} Jörg Frochte und Markus Lemmen (CVH) Logik und Mengen Grundlagen der Mathematik 16 / 29

17 Schreibweisen Die folgenden Mengen von Zahlen kennen Sie vermutlich bereits aus der Schule: N, die Menge der natürlichen Zahlen. Ob Null dazugehört oder nicht, ist Ansichtssache und sollte vorab geklärt werden. Z, die Menge der ganzen Zahlen, immer inklusive Null. Q, die Menge der rationalen Zahlen, also all der Zahlen, die man als Bruch m n zweier ganzer Zahlen m, n darstellen kann. R, die Menge der reellen Zahlen, welche eine Erweiterung der rationalen Zahlen um Zahlen wie π, 2 und e ist. Jörg Frochte und Markus Lemmen (CVH) Logik und Mengen Grundlagen der Mathematik 17 / 29

18 Teil- und Obermenge Definition (Teil- und Obermenge) Seien A und B zwei Mengen. Dann nennt man A eine Teilmenge von B und B eine Obermenge von A, wenn jedes Element von A auch in B enthalten ist. Es gilt also: x A x B Man notiert diesen Umstand als A B Existieren in B darüber hinaus weitere Elemente, die nicht in A enthalten sind, so nennen wir A eine echte Teilmenge von B und B eine echte Obermenge von A. Man notiert diesen Umstand als A B Jörg Frochte und Markus Lemmen (CVH) Logik und Mengen Grundlagen der Mathematik 18 / 29

19 Gleichheit von Mengen Da sich Mengen durch ihre Elemente auszeichnen, werden Beziehungen zwischen Mengen in der Regel über die Elemente definiert. Entsprechend gilt Definition (Gleichheit von Mengen) Zwei Mengen A und B heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten. Formal A = B : Für alle x A gilt x B und für alle x B gilt x A Alternativ und kompakter: A = B (A B B A) Schreibweisen Wer oft mit math. Aussagen hantiert, wünscht sich Abkürzungen. In der math. Literatur wird i.a. das Zeichen als Abkürzung für Für alle verwendet; ein sog. Quantor. Die Benutzung ist Ihnen freigestellt. Jörg Frochte und Markus Lemmen (CVH) Logik und Mengen Grundlagen der Mathematik 19 / 29

20 Intervalle Definition (Intervall) Sei M gleich N, Z, Q oder R. In der Mathematik wird die Menge aller Zahlen aus M, die zwischen zwei Zahlen a, b M liegen als Intervall bezeichnet. I := {x M a x b} Da hier a und b zum Intervall gehören, nennt man diese Intervall abgeschlossen. Gehören a und b nicht dazu, gilt also I := {x M a < x < b} so wird I also offen bezeichnet. Gehört nur einer der beiden Ränder (a oder b) zum Intervall, spricht man von einem halboffenen Intervall. Jörg Frochte und Markus Lemmen (CVH) Logik und Mengen Grundlagen der Mathematik 20 / 29

21 Intervalle Mit dieser Definition ist ein Intervall also immer eine Teilmenge seiner Obermenge M. Die Natur von I hängt von M ab. Beispiel I := {x M 1 x 4} besteht, falls M = N oder Z gilt, nur aus drei diskreten Zahlen. Der wichtigste Anwendungsfall ist M = R. Hier gelten die folgenden Bezeichnungen: [a, b] = {x R a x b} ]a, b[= (a, b) = {x R a < x < b} ]a, b] = (a, b] = {x R a < x b} [a, b[= [a, b) = {x R a x < b} Jörg Frochte und Markus Lemmen (CVH) Logik und Mengen Grundlagen der Mathematik 21 / 29

22 Schnittmenge und leere Menge Definition (Leere Menge) Die Menge, die kein Element enthält, heißt leere Menge. Sie wird mit, selten auch {}, bezeichnet. Achtung: Manche Menschen gehen sehr verschwenderisch mit Mengenklammern um, wenn sie sich dem Thema das erste Mal nähern. Die Menge und { } sind verschiedene Mengen. Die erste ist die leere Menge und die zweite die Menge, die die leere Menge enthält. Also eine Menge von Mengen und alles andere als leer. Jörg Frochte und Markus Lemmen (CVH) Logik und Mengen Grundlagen der Mathematik 22 / 29

23 Schnittmenge Definition (Schnittmenge) Die Schnittmenge von zwei Mengen A und B ist definiert als die Menge der Elemente, die sowohl Elemente von A als auch von B sind. Man notiert formal: A B := {x (x A) und (x B)} Natürlich kann die Schnittmenge auch identisch mit der leeren Menge sein, falls A und B keine Elemente gemeinsam haben. Jörg Frochte und Markus Lemmen (CVH) Logik und Mengen Grundlagen der Mathematik 23 / 29

24 Schnittmenge Beispiele: Schnittmengen und natürliche Zahlen [1, 3] [2, 5] = [2, 3] [1, 2[ [2, 3] = ]1, 4[ [1, 2] =]1, 2] [ 1, 10] [0, [= [0, 10] Zur Erinnerung ist in der Mathematik das Symbol für unendlich. Entsprechend für "negativ unendlich". Da unendlich nicht wirklich eine Begrenzung für Intervalle darstellt, wird das Intervall hier als offen gekennzeichnet. Jörg Frochte und Markus Lemmen (CVH) Logik und Mengen Grundlagen der Mathematik 24 / 29

25 Vereinigung von Mengen Definition (Vereinigungsmenge) Die Vereinigungsmenge von zwei Mengen A und B ist definiert als die Menge der Elemente, die Elemente von A oder von B sind. Man notiert formal: A B := {x (x A) oder (x B)} Das oder ( ) ist natürlich nicht-ausschließend, also wie ein XOR, zu verstehen sondern als entweder-oder. Die Vereinigung umfasst auch die Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind. Jörg Frochte und Markus Lemmen (CVH) Logik und Mengen Grundlagen der Mathematik 25 / 29

26 Vereinigung von Mengen Beispiele: Vereinigungsmengen und natürliche Zahlen ]1, 3] [2, 5[=]1, 5[ [1, 2[ [2, 3] = [1, 3] ]1, 4[ [1, 2] = [1, 4[ [ 1, 10] [0, [= [ 1, [ Jörg Frochte und Markus Lemmen (CVH) Logik und Mengen Grundlagen der Mathematik 26 / 29

27 Differenz und Komplement Definition (Differenz) Die Differenzmenge von zwei Mengen A und B ist definiert als die Menge der Elemente, die in A, aber nicht in B enthalten sind. Man notiert formal: A \ B := {x (x A) und (x B)}. Ist B A, so wird die Differenz A \ B oft als Komplement von B in A bezeichnet. Jörg Frochte und Markus Lemmen (CVH) Logik und Mengen Grundlagen der Mathematik 27 / 29

28 Differenz und Komplement Beispiele: Differenzmengen [1, 3] \ [2, 5[= [1, 2[ [1, 2[\[2, 3] = [1, 2[ [0, 4] \ {2} = [0, 2[ ]2, 4] R \ Q = Menge der irrationalen Zahlen Definition (Irrationale Zahlen) Eine reelle Zahl heißt irrational, wenn sie nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen, m n, dargestellt werden kann. Formal: R \ Q Anmerkung Irrationale Zahlen sind also reelle Zahlen, die keine rationalen Zahlen sind. Der Begriff Ratio wird hier im Sinne von Verhältnis, nicht im Sinne von Vernunft verwendet. Es gibt keine unvernünftigen Zahlen ;-) Jörg Frochte und Markus Lemmen (CVH) Logik und Mengen Grundlagen der Mathematik 28 / 29

29 Kartesisches Produkt von Mengen Definition (Kartesisches Produkt von Mengen) Sind A und B zwei Mengen, so nennt man die Menge A B := {(a, b) a A, b B}. das kartesische Produkt der Mengen A und B. Beispiel: Kartesisches Produkt in R A = [0.5, 2] und B = [1, 2]. Das kartesische Produkt A B enthält damit alle Zahlenpaare, die in einem Rechteck mit den Ecken (0.5, 1) und (2, 2) im Koordinatensystem liegen. Derartige geordnete Paare (oder Tupel) haben viele Anwendungen, über die wir noch sprechen werden. Jörg Frochte und Markus Lemmen (CVH) Logik und Mengen Grundlagen der Mathematik 29 / 29